PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

Plntemiento del prolem de progrmción Linel Un prolem de progrmción linel es cundo l función ojetivo es un función linel y ls restricciones son ecuciones lineles; l form estándr de un prolem con m restricciones y n vriles se represent. mtricil,...,,,...,,.............. min m n m n mn m m n n n n n n s c c c, A c

Ejemplo 9 3 5 s.. 3 m En form mtricil serí: ( ) 9 5 3 s.. 3 m

Formulción de prolems Prolem de l diet Un person pr su limentción norml dee tomr dirimente 75 mg de proteíns,. mg de clcio,. mg de hierro y 36 clorís. Qué cntidd mínim de leche, huevos y pn dee tomr dirimente un person pr curir ls necesiddes de clcio y hierro si consume l dí por lo menos rends de pn? Leche (por t) Huevos (por unidd) Crne (por on) Pn (por rend) Queso (por on) Proteíns 8 gm 7 gm gm gm 7 gm Clcio.3 gm.3 gm. gm. gm.5 gm Hierro. mg.5 mg 3. mg.6 mg. mg Clorís 75 75 5 75

Formulción de Prolems Un estudinte dee relir un emen de prolems y se le d l posiilidd de escogerlos entre los que figurn en tres lists. Los prolems de l list se puntún con 5 puntos cd uno, los de l con 4 puntos y los de l tres con 6. El lumno se que necesit 3 minutos pr resolver cd prolem de l list, minutos pr los de l y 4 minutos pr los de l 3. Dispone de 3 hors y medi pr relir el emen. Los prolems de ls lists y emplen stnte cálculo y el lumno no dese dedicrles más de hors y medi. Cómo puede lcnr l puntución máim?

Formulción de Prolems 3 Se dese encontrr l mecl más rt de ls tres hrins tl que l frcción de los nutrientes uno, dos y tres en l mecl se myor o igul.4,. y.7, respectivmente. Hrin 3 Coste por Unidd.6..9 5.3.4.5 3.4..3 3

Formulción de Prolems 4 Un compñí tiene dos grdos de inspectores y, que son signdos l control de clidd. Se requiere inspeccionr l menos 8 pies por dí (8 hors). El inspector de grdo cheque pies velocidd de 5 pies por hor con un ectitud del 98%. Los de grdo chequen velocidd de 5 pies por hor con un ectitud del 95%. El slrio del inspector de grdo es de 4 /hor, y el de grdo de 3 /hor. Cd ve que se produce un error, el coste l compñí es de. L compñí tiene 8 inspectores de grdo y de grdo. Determinr l signción óptim de inspectores que minimicen el coste totl de inspección.

Solución Gráfic de un prolem de PL con dos vriles min s.. 5 4 8 3 36 45 5 C B(8,) 5 A(8,5/3) 5

Solución Gráfic 4.. m s E 4 4 B(,) C(,4) D A

Alguns definiciones Solución fctile: L solución que stisfce tods ls restricciones Región fctile: Conjunto de tods ls soluciones fctiles Solución óptim: Es un solución fctile y su vlor de l función ojetivo es myor que el del resto de ls soluciones fctiles Vlor óptimo: El vlor de l función que corresponde l solución óptim Solución lterntiv: Cundo eiste más de un solución óptim Óptimo único: Cundo no eiste otro óptimo Óptimo sin límite: Cundo el prolem no tiene un óptimo finito.

Principios del Método Simple m s.. m,, c m c.........,...,,..., n m n n... c mn n n n n n Si m<n, el prolem m tiene infinits soluciones El prolem no tiene solución trivil

Prolem LP * Optimo Si l solución se encuentr en un vértice, podrí pensrse en un método de solución que evluse J c en cd vértice y escogier el mejor, si eiste. El número máimo de vértices corresponde los distintos grupos de m columns que podemos formr con ls n eistentes en A, o se: n m n! m!( n m)! Pr n grnde puede ser un número ecesivo. p.e. n, m5 resultn 9 cominciones

Algoritmo Simple (Dntig 947) El lgoritmo Simple es un form inteligente de recorrer los vértices que Encuentr un vértice Determin si es óptimo En cso contrrio, encuentr otro vértice vecino con un vlor mejor de J Tmién indic si no hy solución deido no fctiilidd o soluciones no cotds Por tnto, en un número finito de psos puede encontrr el óptimo Suele dividirse en dos fses: I encontrr el vértice inicil, o detectr que no eiste solución II encontrr el óptimo, o detectr que no hy máimo

Mnipulción de desigulddes Convertir ls desigulddes en igulddes trvés de ls vriles de holgur. Desiguldd menor o igul 3 4 5 33 44 5 5 3 4. Desiguldd myor o igul 33 33 6 3. Vriles sin restricciones 3 3

Principios del Método Simple Se convierte en un form cnónic: r m,m r,m m,m m m m...... n rn... mn n n n r m (S) Ls vriles con coeficiente que precen en un sol ecución y con coeficiente cero en el resto de ls ecuciones (,,..., m ) se les llmn vriles ásics o dependientes En l form cnónic hy un vrile ásic en cd ecución Un form cnónic permite otener múltiples soluciones eligiendo vlores diferentes de ls vriles independientes y resolviendo el sistem pr ls vriles dependientes

Principios del Método Simple 3 Un form de trnsformr un sistem cnónico, es:.- Multiplicr culquier ecución del sistem por un número.- Sumr culquier ecución un constnte multiplicd por culquier otr ecución del sistem Un solución que se otiene prtir de un sistem cnónico igulndo ls vriles independientes o no ásics cero, es un solución ásic Un solución ásic fctile es un solución ásic en l cul los vlores de ls vriles dependientes son no negtivs Cómo resolver el progrm linel? Generndo tods ls posiles soluciones ásics fctiles trvés de l reducción cnónic y determinr cuál d el mejor vlor de l función ojetivo

Principios del Método Simple 4 Los psos generles del Simple son los siguientes Comenr con un solución ásic fctile inicil en l form cnónic Mejorr l solución inicil encontrndo otrs soluciones ásics fctiles con un mejor vlor de l función ojetivo. Continur uscndo mejores soluciones ásics fctiles que mejoren el vlor de l función ojetivo. Cundo nos encontremos con un solución que no puede mejorr dicho vlor, entonces estmos en el óptimo y el lgoritmo termin

Principios del Método Simple 5 Tenemos un solución ásic fctile de l form: ásic i i pr i,,...,m no ásic j pr j m,...,n Al conjunto de ls vriles ásics se le llm se y se denot: B Se los coeficientes de l función ojetivo de ls vriles ásics c B Pr ls ses iniciles: B (,..., m ) y c B (c,c,...,c m ), entonces: Z c c L B B c m m De quí se deduce que el lgoritmo, verific si es posile encontrr mejores soluciones ásics fctiles que proporcionen un myor vlor de Z y si l solución ctul es óptim. En cso contrrio, el método otiene un solución ásic fctile dycente con un vlor myor de Z.

Principios del Método Simple 6 Cómo se otiene un solución ásic fctile dycente? Un de ls vriles ásics ps ser un vrile no ásic y hce un vrile no ásic cómo ásic en su lugr. Cómo se seleccionn ests dos vriles? En un solución ásic fctile, ls vriles ásics tienen vlores positivos y ls no ásics siempre son cero. Por tnto psr de un no ásic ásic, st con incrementr su vlor de cero un cntidd positiv. L elección se hce sándonos en cuál de ls vriles no ásics puede mejorr el vlor de l función ojetivo. Por ejemplo incrementndo en y eminr el cmio resultnte en l función ojetivo.

Principios del Método Simple 7 Consideremos s como un vrile no ásic e incrementmos su vlor de, y estudimos su efecto en l función ojetivo. El sistem S qued de l siguiente form: m s ms m r s rs r s s M M (S) s j,n,, m j,m, i j s is i i K K Vlor de l Función Ojetivo: ( ) m i s is i i c c Z L solución:

Principios del Método Simple 8 El incremento en el vlor de l función ojetivo será c s m i c i ( i is ) cs cii cs m i m i c i is c s se llm gnnci reltiv de l vrile no ásic s. c s > L función ojetivo puede ser incrementd hciendo s un vrile ásic c j c j cbpj Es el cociente de gnnci reltiv de un vrile no ásic j c B corresponde los coeficientes de gnnci de ls vriles ásics P j corresponde l column j del sistem cnónico

Criterio de Optimlidd En un prolem de mimición, un solución ásic fctile es óptim, si ls gnncis reltivs de sus vriles no ásics son tods negtivs o cero Si c j pr ls vriles no ásics, entonces tods ls soluciones ásics fctiles dycentes tienen un vlor de l función ojetivo menor que l solución presente, por lo tnto tenemos un máimo locl en ese punto.

Criterio de Optimlidd Cundo s se increment, los vlores de ls vriles ásics cmin, y que: i i is s i, K,m Si: is < is is > i se increment si s se increment i no vrí i disminuye cundo s increment. Y si s crece indefinidmente i puede hcerse negtiv hciendo l solución no fctile Por tnto el incremento de s tiene que ser: m s i min is > is Regl del rdio mínimo

Soluciones degenerds Si l clculr un solución ásic lgun de ls vriles ásics result ser cero, se dice que el vértice es degenerdo, o que se trt de un solución ásic fctile degenerd. Puede precer en el vértice inicil cundo un es cero, o l clculr un nuevo vértice. En este cso, puede ocurrir que i i r min > is is rs Con lo que el incremento en J: c s r rs Con lo cul no hrá mejor en est o en lguns otrs iterciones, reduciendo l eficienci del método. En teorí es posile que se vy vértices sin mejor y se vuelv uno de prtid preciendo ciclos que impidn l convergenci del lgoritmo simple. No ostnte en l práctic no suelen precer si está decudmente progrmdo.

Resumen Poner el prolem en form cnónic, escriiendo en prolem en form de tl y escoger l se Pr cd vrile no ásic clculr ls gnncis reltivs, escoger l myor. Si es, es el óptimo, sino, seleccionr es vrile s pr entrr en l se. Si todos los is son <, no hy solución. 3 Clculr el menor de los cocientes i/ is ( is >) que determin l vrile que sle de l se. c s - sum(c i is ) c c c3 c4 c5 3 c B Bse 3 4 5 3-4 (is>) i/is 4 3 4 4,3 5-3 3 gnnci reltiv 3 J 4 Pivotr sore el elemento de es fil y column pr psr form cnónic y repetir el proceso

Vriles rtificiles El principl requerimiento del método del Simple es l disponiilidd de un solución ásic fctile inicil: Poner el prolem de form estándr Se emin cd restricción, pr ver l eistenci de un vrile ásic, si no eiste se ñde un vrile nuev pr ctur como ásic > vrile rtificil. Culquier solución ásic fctile con ls vriles rtificiles es un solución ásic fctile del sistem originl. Se resuelve el prolem rtificil: min m i y i s. Ay ; ; y ;

Vriles rtificiles Si el vlor mínimo del prolem rtificil es cero, tods ls vriles rtificiles se hcen cero, tenemos un solución ásic fctile inicil del prolem PL originl Si el vlor mínimo es positivo > el prolem originl no es fctile. Prolem de minimición: Convertir el prolem en uno de mimición, multiplicndo l función por (-). Se utili el lgoritmo del simple con l siguiente modificción Clculr ls gnncis reltivs: c s. Si c s pr tods ls vriles no ásics, * es óptimo, sino seleccionr l vrile con menor c s pr entrr en l se.

Teorí de l dulidd Asocido cd prolem de PL hy un prolem de PL correspondiente llmdo dul Primrio Dul min s.. A c m s.. λ λa c Form simétric, λ, c Primrio min s.. A c Dul m s.. λ λa c Form simétric, λ lires

Ejemplo 4 3 6 4 48 4 sujeto : 4 m 6 Primrio,, 4 4 6 3 4 sujeto : 4 6 min 48 3 3 3 3 Dul 3

Teorí de l Dulidd L * (,λ) f ( ) λ μ * λ,μ * *

Teorems de Dulidd Teorem : El dul del dul es el primrio Teorem : Culquier solución fctile del primrio d un vlor de ρ myor que o l menos igul l vlor de υotenido pr culquier solución fctile del dul ρ c υ λ Teorem 3: Si los prolems del dul y primrio tienen soluciones fctiles, entonces mos tienen soluciones óptims y min ρ m υ Teorem 4: Si el primrio o el dul tienen un solución sin límites, entonces el otro prolem no es fctile Teorem 5: Si el PL tiene solución ásic fctile óptim correspondiente l se B, entonces el vector λ C B B - es un solución óptim del dul

Análisis de l sensiilidd.- Cmio en los prámetros j Si los coeficientes del ldo derecho de ls restricciones cmin de > Δ l solución óptim es: B B - B B - ( Δ) B Δ B El correspondiente incremento en l función de coste es: Δ C B Δ B C B B - Δ λδ λ > precio somr Siempre que B B - ( Δ)

Análisis de l sensiilidd.- Cmio en los coeficientes de coste: c j > c j Δc j Hy que volver clculr l gnnci reltiv de ls vriles no ásics: c j c j c B P Sustituyendo c j por su nuevo vlor. Si se cumple que ls nuevs c j los cmios no fectn l solución óptim inicil, sino sólo l vlor óptimo de l función: (c j Δc j ) j Si no se cumple > hrí que introducir es vrile como un nuev vrile ásic y seguir con el lgoritmo del simple j

Análisis de l sensiilidd 3 3.- Añdir vriles nuevs nj j,,... Ls nuevs vriles se tomn como no ásics y se clculn ls gnncis reltivs: c n j cn j cbpj cn j CBB An j c n j El óptimo originl permnece óptimo si todos los Si lguno de ellos c n j>, entonces hy que meter es vrile en l se y scr un vrile de l se plicndo ls regls del simple Pr psr de los coeficientes de A nj l form cnónic óptim: B A A n j n j

Análisis de l sensiilidd 4 4.- Cmio en los coeficientes de l mtri A: ij > ij Δ ij Si los coeficientes que cmin sólo son los de ls vriles no-ásics, hy que clculr nuevmente ls gnncis reltivs: c c C B A j j B El óptimo originl permnece óptimo si todos los Si lguno de ellos c j>, entonces hy que meter es vrile en l se y scr un vrile de l se plicndo ls regls del simple Si los coeficientes que cmin son deidos vriles ásics, emper de nuevo j c j