USO Y MANEJO DEL SOFTWARE STATGRAPHICS

USO Y MANEJO DEL SOFTWARE STATGRAPHICS I.- ESTADISTICA DESCRIPTIVA. 1.1.- Defncón de Estadístca. 1.2.- Estructura y Tpos de Datos Estadístcos. 1.3.- Construccón de la Matrz de Datos 1.4.- Recuperacón de varables de la Bases de Datos para su Procesamento 1.5.- Presentacón de los Datos. 1.5.1- Tablas estadístcas Varables Cualtatvas o atrbutos, datos Undmensonales. 1.5.2.- Gráfcos para Varables Cualtatvas o Atrbutos. 1.6.- Desarrollo de Ejerccos de Aplcacón 1.7.- Ejerccos de Aplcacón. II.- PROCESAMIENTO ESTADISTICO DE DATOS CUANTITATIVOS. 2.1.- Meddas o Indcadores de resumen cuanttatvos 2.1.1.- Meddas de Tendenca Central. 2.1.2.- Meddas de Varabldad. 2.1.2.- Meddas de Posconamento 2.1.3.- Meddas de Deformacón. 2.2.- Tablas Estadístcas o de Frecuenca (Frecuency Tabulaton) 2.2.1.- Varable Cuanttatva Dscreta : 2.2.2.- Varable Cuanttatva Contnua. 2.3.- Hstogramas de Frecuencas. 2.3.1.- Clasfcacón según las formas de loshstogramas. 2.3.2.- Aplcacón de los Hstogramas a problemas relaconados con caldad 2.3.3.- Estratfcacón de Hstogramas. 2.4.- Desarrollo de Ejerccos de Aplcacón 2.5.- Ejerccos de Aplcacón. III.- PROCESAMIENTO DE DATOS BIDIMENSIONALES 3.1.- Ambas varables son cualtatvas 3.2.- Una varable cualtatva y otra cuanttatva 3.3.- Dos varables cuanttatvas 3.3.1.- Análss de regresón 3.3.2.- Análss de correlacón 3.3.3.- Evaluacón de la adecuacón del modelo de regresón. 3.4.- Modelos Lneales Reducbles a lneal.

I.- ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1.1.- Defncón de Estadístca: Podemos defnrla como una cenca que sustentada en el Método Centífco y la Matemátca se preocupa de: Dseño y Planfcacón de la colecta de los datos Recoleccón de los datos Procesamento de los datos Análss e nterpretacón de los resultados o nformacón Con el objetvo de ayudar a tomar decsones lo más acertadas posbles, tenendo como respaldo el conocmento obtendo de la "stuacón estudada" a través de los datos. La defncón anteror es la que llevada a un cclo permanente permte "la mejora contnua" de toda actvdad humana. Dato Procesamento Informacón Análs s Decsón De este contexto podemos desprender entonces que toda la Estructura y Benefcos que se esperan de la Estadístca descansan en los DATOS. Esto nos sugere que el mayor esfuerzo posble lo preocupacón de obtener DATOS DE BUENA CALIDAD. debemos focalzar en la La fuente de obtencón de los datos presenta una gama muy grande de posbldades en este " mundo cada vez más nformatzado". Algunas de estas fuentes son: Las Estadístcas Vtales de los Países, regstradas en lo que en Chle se llama "Regstro Cvl" Boletnes de los dstntos Mnsteros de los Países, Insttucones. Insttutos Naconales de Estadístcas. Encuestas - Entrevstas. Investgacones dseñadas con un propósto específco. Todas las posbldades de búsqueda OFRECIDAS HOY POR INTERNET., etc., etc... Los Prncpos y Fundamentos Estadístcos son ndependentes de la matera, actvdad humana, sector del conocmento,etc. en el cual se aplcan los métodos estadístcos. Por esta razón es que tenen una enorme potencaldad en Cencas de la Salud, Agrcultura, Meteorología, Ingenería, Industra, Comerco., etc., etc.,... Según el propósto que se tenga resolver, con la nformacón obtenda, la Estadístca se dvde en: a) Estadístca Descrptva o Dagnóstca b) Estadístca Inferencal o Inductva - 1 -

La Estadístca Descrptva: Recbe este nombre cuando con la nformacón obtenda sólo se pretende descrbr o caracterzar una varable o un grupo partcular. Las conclusones son váldas sólo para ese grupo en partcular. La Estadístca Inferencal: Recbe este nombre,cuando exste un proceso rguroso de defncón de una muestra aleatora a ser extraída del conjunto mayor, denomnado Poblacón o Unverso, la cual tene asgnado un grado de confabldad y un error preestablecdo. La muestra es obtenda de la poblacón utlzando metodologías que aseguran la representatvdad de la muestra respecto de la poblacón. La nformacón obtenda de la muestra permte elaborar conclusones váldas para todo el Unverso, con un certo grado de confabldad, smlar al que tene la muestra. Es muy mportante de tener en consderacón, que en la actualdad cualquer trabajo de nvestgacón para que tenga valdez y pueda ser publcada en revstas seras ndexadas, debe tener un respaldo de métodos estadístcos adecuados para que los resultados puedan ser dvulgados y tengan un grado de confabldad. 1.2.- Estructura y Tpos de Datos Estadístcos: El dato: es la matera prma con que trabaja la Estadístca. En térmnos muy generales los datos se pueden referr a característcas observables, las cuales pueden ser: Cualtatvas o atrbutos Cuanttatvas o varables, las cuales a su vez se subdvden en: Dscretas y Contnuas Ejemplos Característcas cualtatvas: - El sexo de un ndvduo - El estado cvl de una persona - Profesón o actvdad de la persona Ejemplos Varables Dscretas, se orgnan cuando la varable expresa un conteo (Nº entero) - Cantdad de personas ausentes al trabajo daramente en una empresa - Número de pacentes atenddos por médco en un hosptal - Cantdad de artículos defectuosos en un lote - Cantdad de Cátodos defectuosos en una cosecha - Cantdad de gramos por ltro en una solucón Ejemplos de Varables Contnuas, que se orgnan cuando la varable expresa una medcón - Temperatura axlar de un pacente - Tempo utlzado para reparar una falla - Peso, Estatura de una persona - Temperatura, Ph,etc. de una solucón que pasa por un ducto Sn embargo exsten varables que el valor observado expresa un certo orden o jerarquía.se le denomna Varable Ordnal. Tene la característca de que el valor colectado ndca un orden o jerarquía, permtendo ndcar una poscón relatva de los dstntos elementos clasfcados - Rendmento de un alumno dentro de un curso : Bueno, Regular, Malo - Grado de dfcultad de una prueba - Grado de una lesón o enfermedad - Grado de desarrollo de un País. - 2 -

Matrz de los Datos Cuando se realza un estudo cualesquera sobre un conjunto fnto de "n" sujetos, objetos,cosas,indvduos,entdades, etc., normalmente exste una varada gama de característcas que se colectan y que se expresan en los térmnos vstos anterormente, dgamos entonces de manera genérca, que se determnan o especfcan "p" varables. Lo anteror permte construr la llamada "Base de Datos", que de manera muy general podemos decr que es un arreglo tpo matrcal que tene "n" flas y "p" columnas Indvduos Var X 1 Var X 2 Var X 3 Var X 4 Var X 5... Var X n 1 2 3... n El propósto de la matrz de datos es presentar los datos de la manera "más depurada posble",para proceder al procesamento de los datos y obtener nformacón La prmera preocupacón es aprender a estructurar una base de datos, utlzando un software para su posteror procesamento. Los datos se ngresan en una planlla, muy smlar a la denomnada planlla EXCEL Utlzaremos un software estadístco llamado "STATGRAPHICS", versón 4.0 en ambente Wndows Construremos una pequeña base de datos, con antecedentes de personas 1.3.-Construccón de la Matrz de Datos "Pque" con el sector zquerdo del "ratón" el cono que dentfca a "statgraphcs 4.0. "Verás aparecer una pantalla como la sguente, que en su extremo nferor zquerdo tene una barra donde aparece un archvo denomnado untteled. Fg. 1 Pcar el "cuadrado" que tene el archvo untt... para maxmzar esta planlla. Verás la sguente fgura. - 3 -

Fg. 2 Sobre la palabra "Col_1" coloca la " + " que aparece cuando se trabaja con el ratón y esa columna se pondrá de color negro cuando pques con el sector zquerdo del ratón. Segudamente pcas con el sector derecho y aparecerá una "ventana" con varas opcones. Fg. 3 Al selecconar " Modfy Column " tendrás la posbldad de defnr : a) El nombre de la varable b) Realzar un pequeño comentaro descrptvo de su contendo o sgnfcado, como por ejemplo las undades de medcón de la varable c) Defnr s la varable es un Atrbuto o cualdad, una fecha, una varable numérca decmal, una varable numérca entera, fjar la cantdad de decmales - 4 -

Numerc : Debe ser actvada cuando la varable es varable contnua Character : Debe ser actvada cuando la varable es un atrbuto o cualdad Integer : Debe ser actvada cuando la varable es varable dscreta o cuando se trata de una Varable ordnal donde el número entero que se ngresa representa una jerarquía, ya sea ascendente o descendente. Date : S la varable a ngresar fuese una fecha, ndcando día, mes, año. Month : S la varable fuese un mes dentro de un año. Fxed Decmal : Fja el número de decmales a utlzar.pone 2 por defecto. La pantalla que se actvará es la sguente Fg. 4 Supongamos que tenemos unas " fchas " con antecedentes de muchas personas que trabajan en una empresa, con los sguentes datos. Debemos defnr en base a lo dcho anterormente, las columnas de la base de datos: Nombre : Character Sexo : Character ( M=masculno ; F = femenno) Fecha de nacmento : Date Nvel de Escolardad : Integer (1="básca ncomp." ; 2= "básca compl." ;...) Ofco o Actvdad Character Pertenenca de la vvenda : Character (Propa ; Arrendo. ; Allegado ; Cedda ; Leasng ;...) Estatura : Numerc Peso : Numerc Edad : Integer La Base de Datos tendrá la sguente presentacón Fg. 5-5 -

Una vez que se han ngresado todas las fchas o encuestas o cada certos nstantes, es necesaro guardar la nformacón ya sea en el "Dsco Duro " de su computador o en un "Dskets" de 3.5 pulg. Para ello debe pcar la palabra FILE con el sector zquerdo del ratón y luego en la ventana que se desplega pcar la opcón " Save data fle as.." Tendrá las sguente pantallas : Fg. 6 Fg. 7-6 -

Entonces en la pantalla de la fgura Nº 7, deberás decdr donde guardar el archvo. S la decsón fuese guardar en Dsco de 3 1 / 2 (A), entonces tendrás que pcar esta opcón en el recuadro en prmer plano. Segudamente en este msmo recuadro, en el campo Nombre del archvo escrbrás el nombre con que dentfcaras al archvo de datos. S la decsón fuese guardar el archvo de datos en el Dsco C,entonces tendrás que pcar esta opcón en el recuadro en prmer plano. El computador te hará segur la ruta que tene trazada de manera jerárquca, es decr, secuencalmente rá aparecendo en el campo "Guardar en" las palabras: Archvos de Programa ----Sgwn -----Data. Segudamente en este msmo recuadro, en el campo Nombre del archvo escrbrás el nombre con que dentfcaras al archvo de datos. Tambén puede guardarse el archvo con los datos, el drectoro "ms documentos" El procedmento es el msmo. A modo de ejemplo, la pantalla sguente refleja la estructura de una Base de Datos de personas, la que deberá ser guardada según lo señalado en párrafos anterores. Fg. 8-7 -

1.4.- Recuperacón de varables de la Bases de Datos para su Procesamento Como se vo anterormente, los datos están almacenados en una estructura que se llama "Archvo", el cual está consttudo por varables. Entonces debemos recuperar los datos desde el lugar en donde se encuentran 1. S los datos están en un dsco de 3 1 / 2, entonces sga el sguente procedmento: Ingrese en el ambente de "Statgraphcs" Introduzca el dsco 3 1 / 2 en la dsketera Pque la palabra FILE en la barra superor de herramentas de Statgraphcs y tendrá la sguente `pantalla, Fg. 8. En la ventana de opcones seleccone para actvar la barra que dce Open Data Fle. Fg. 9 Lo más posble es que aparezca una pantalla como lo ndca la F. 10, de donde deberá selecconar la barra que dce "Dsco de 31/2 (A)" y hacer doble clck en dcha opcón Fg. 10-8 -

1.- Se desplegarán todos los archvos que contene su dsket, que fueron creados para ambente statgraphcs. Pero es posble tambén que en ese dsket hayan otros archvos, y en este caso s desea ver todos los archvos que contene el dsket, deberá ubcarse en el campo de la ventana en prmer plano que dce "Tpos de Archvo : " y selecconar aquí una opcón que dce "ALL FILES (*.*). upongamos que en su dsket tenga un archvo que se llama erzo negro, con el cual desea trabajar. Para selecconarlo haga doble clck en ese nombre,y tendrá una pantalla como la Fg. 11 sguente, la cual en su extremo nferor zquerdo aparece la palabra ERIZ... Haga un clck en el cuadradto de esa barra y desplegará el contendo completo del archvo selecconado. Fg. 11 2.- S los datos se encuentran en el dsco C, entonces entonces en la pantalla que muestra la Fg.11,en el recuadro en prmer plano seleccone la opcón "dsco C". Segudamente tendrá frente a usted una pantalla que muestra la Fg. 12, donde deberá selecconar la opcón archvos de programa hacendo un doble clck Fg. 12-9 -

Segudamente deberá buscar el archvo llamado sgwn, y pulsar dos veces sobre esta palabra con el sector zquerdo del "mouse"., en la sguente pantalla. Fg. 13 Al pcar dos veces segudas sobre sgwn, tendrá la sguente pantalla Fg. 14-10 -

Después deberá hacer doble clck sobre la la palabra Data de la pantalla que muestra la Fg. 14 y tendrá la pantalla que desplega todos los archvos de este drectoro Fg. 15 Estos son archvos que trae el software en este drectoro y cuyo propósto es utlzarlos para la enseñanza de la metodología estadístca y el manejo del msmo. En todo caso, lo msmo se hace para recuperar los datos desde el drectoro ms documentos. A modo de ejemplo para desarrollar los contendos, selecconemos desde este drectoro el archvo Cardata. Haga doble clck sobre este archvo que aparece en la pantalla de la Fg. 15 y verá desplegarse la sguente pantalla. - 11 -

Fg. 16 Haga un doble clck sobre el cuadrado ubcado en el rótulo Cardata y se desplegarán todas las varables de este archvo de datos, que contenen datos sobre una varedad de varables colectadas desde un conjunto de automóvles venddos en Estados Undos de Norteamérca Fg. 17 1.5.- Presentacón de los Datos : La prmera y más elemental forma de tener nformacón y una vsón resumda de los datos, es a través de la "tablas estadístcas " y los "Gráfcos estadístcos". Por supuesto que éstas formas de resumr y presentar nformacón depende de la naturaleza del tpo de datos. - 12 -

1.5.1- Tablas estadístcas para ATRIBUTOS,datos Undmensonales Se trata de resumr todas las característcas o cualdades posbles que recoge esa varable, en una tabla que tene una columna con el nombre de la característca, otra con la cantdad de casos que regstran esa característca, otra columna con el porcentaje respectvo, y las columnas de frecuencas acumuladas Absolutas y Relatvas. Para realzar una tabla de datos de una varable que recoge atrbutos se procede de la sguente forma: A modo de ejemplo,usará para trabajar el archvo "CARDATA", tal como está mostrado en la Fg. 14 Tabulará la varable ORIGIN que muestra la procedenca del Automóvl venddo. En este caso se usaron códgos numércos para mayor facldad. 1 = Amercano, 2 = Europeo, 3 = Japonés Poscone el cursor del mouse tal como lo ndca la sguente pantalla Fg. 18 Haga un clck con el sector zquerdo del mouse y llene la ventana que aparece, tal como lo ndca la sguente pantalla. Luego actve "OK" Fg. 19-13 -

Verá aparecer una nueva pantalla,y colocando la punta de la flecha del mouse en el ícono "Tabular Opcon" tendrá: Fg. 20 y luego la pantalla sguente, donde actvará "Frequency Table" - 14 -

Fg. 21 Entonces tendrá ante usted la tabulacón deseada, que aparece en la sguente pantalla: Fg. 22 1.5.2.- Gráfcos para Varables Cualtatvas o Atrbutos. A toda tabla estadístca se hace necesaro, o es aconsejable, entregar una gráfca que nos ayude a mejorar el nvel de comprensón de la varable en estudo. - 15 -

Para este caso exsten dos opcones gráfcas de nterés. Una es el Gráfco de Barras y la otra posbldad es el Gráfco Sectoral. El Gráfco de Barras es aconsejable cuando la cantdad de atrbutos o cualdades que recoge la varable nos supere los dez. Este gráfco muestra barras o rectángulos espacados entre sí, de manera tal que el largo ( o alto) de la barra es la cantdad de veces o frecuenca con que se presenta el atrbuto. El Gráfco Sectoral, al gual que el anteror, es aconsejable cuando la cantdad de atrbutos no supere los ses. Este gráfco se construye en un crculo, tomando sectores de él, proporconales a la cantdad de datos en cada atrbuto. A modo de ejemplo, realzaremos los dos gráfcos anterores, para la varable "orgn" del ARCHIVO CARDATA Al lado derecho de la "Tabular Optons", aparece el ícono de la opcones gráfcas de las "varables atrbutos o caracteres" (Graphcal Optons). Pque esta opcón con el sector derecho del mouse y tendrá frente a usted la sguente pantalla, donde actvará la opcón Barchart, s lo que desea es un gráfco de Barras. S lo que desea es un gráfco sectoral, entonces deberá actvar el la pantalla de opcones, Pechart Fg. 23 Actvando "Barchart" y hacendo un doble clck en el sector negro del grafco se tene la posbldad de agrandar el gráfco en pantalla y mostrar la sguente fgura : Fg. 24-16 -

Estando con la punta o flecha del cursor en el sector o fondo negro de esta fgura y sobre un texto o título del gráfco, actve el sector derecho del mouse para acceder a algunas opcones de nterés tales como : Cambar las "frequency" o cantdades en " porcentajes " Dejar las barras en sentdo Vertcal S "pca" sobre una palabra o texto cualesquera con el sector zquerdo del mouse y segudamente actvar el sector derecho podrá tener acceso a cambar los textos o leyendas, el estlo y color de las letras, tamaño,etc. Tendrá la sguente pantalla : Fg. 25 Actvando la opcón "Pechart" en la Fg. 22, tendrá el sguente gráfco: Fg. 26-17 -

Los colores y fondos en los gráfcos pueden cambarse. Para ello debe posconar la punta de flecha del cursor en un sector del gráfco y presonar el sector zquerdo del mouse, segudamente presonar el sector derecho y tendrá una pantalla tal, como lo ndca la sguente fgura donde debe elegr la opcón "Graphcs Optons" y tendrá una gama de posbldades gráfcas Fg. 27 Tendrá la sguente Pantalla con la ventana de opcones, que permten cambar la "trama o achurado" y el "color" que usted desea para ese sector. Fg. 28-18 -

Exsten oportundades en que se cuenta ya con una tabla de datos categórcos, y por lo tanto sólo deseamos una representacón gráfca. Por ejemplo: Dstrbucón del síntoma más relevante, en casos de Colon Irrtable. Síntomas Cantdad Astena 58 Cefaleas 35 Dolor 60 Eructos 45 Insomno 68 Meteorsmo 75 Debemos crear un archvo para esta tabla en ambente statgraphcs, donde la varable sntomas se ngresa como un carácter ; la varable cantdad se declara como numérca o entera. Fg. 29-19 -

Para acceder a los gráfcos de Barras o el gráfco sectoral debemos de segur las sguentes secuencas de pantallas: Fg. 30 Fg. 31-20 -

Una vez completados los campos de la ventana en prmer plano, actvar en "OK".y el gráfco a obtener será por supuesto será de Barras, tal como se apreca en la sguente fgura. Fg. 32 Astena Cefaleas Dolor Eructos Insomno Meteorsmo 0 20 40 60 80 Frecuenca S en la pantalla de la Fg. 23 selecconamos " Pechart ", entonces por supuesto de que el gráfco obtendo será el Gráfco Sectoral. Fg. 33-21 -

19,94% 21,99% Grafco Sectoral 17,01% 10,26% 17,60% 13,20% Cantdad Astena Cefaleas Dolor Eructos Insomno Meteorsmo Cuando se trata de grafcar tablas que presentan la dstrbucón o comportamento de varables cualtatvas, hoy en día se está usando en el campo de la mejora de la caldad y la productvdad un grafco muy nteresante llamado Gráfco de Pareto. En térmnos muy generales, los problemas de caldad en el sector procesos ndustrales o de manufactura se presentan como pérddas (productos defectuosos y su costo). En el sector servco, la falta de caldad tambén se puede tratar de cuantfcar a través de las opnones obtendas de los usuaros y el desglose de las causas que motvan el descontento. Resulta muy mportante aclarar el patrón de la dstrbucón de la pérdda. La mayoría de las pérddas se deberán a unos pocos tpos de defectos, y estos defectos pueden atrburse a un número reducdo de causas. S se dentfcan las causas de estos pocos defectos vtales,podremos elmnar cas todas las pérddas, concentrando todo el esfuerzo en esas causas partculares y dejando de lado por el momento otros muchos defectos trvales. El uso del dagrama de Pareto permte soluconar este tpo de problema con efcenca. En 1897, el economsta talano V. Pareto presentó una fórmula que mostraba que la dstrbucón del ngreso es desgual. En 1907, el economsta norteamercano M.C. Lorenz expresó una teoría smlar por medo de dagramas. Estos dos economstas ndcaron que una proporcón muy grande del ngreso está en manos de muy pocas personas. En el campo de La mejora de la Caldad y la Productvdad, el Dr. J.M. Juran aplcó el método de l dagrama de Lorenz como fórmula para clasfcar los problemas de caldad en los pocos vtales y los muchos trvales, y llamó a este método análss de Pareto. Señaló que, en muchos casos, la mayoría de los defectos y de su costo se deben a un número relatvamente pequeño de causas. Para vsualzar la construccón de este gráfco, seguremos la sguente secuencas de "pantallas " : Fg. 34-22 -

En la pantalla que aparecerá al actvar la opcón "Pareto Chart", deberá llenar los sguentes campos : 1.- "Tabulate - Counts ", pues su datos ya están tabulados. Se ngresa la varable cantdad en nuestro ejemplo. S no hubese sdo así, el campo a llenar hubese sdo " Untabulated - Observatons". 2.- "(Labels)", coloque en este campo la varable que contenen los atrbutos. 3.- "(Weghts)", es un campo reservado para consderar ponderacones o grado de mportanca de cada uno de los atrbutos o cualdades recogdos. Este es el caso en stuacones de produccón o manufactura ndustral, donde un causa de fallo puede tener un mayor o menor grado de mportanca debdo a mplcancas en lo económco, segurdad en las personas, etc.-. Pcando sobre el ícono "Tabular Optons", usted podrá tener acceso a la tabla de frecuenca en prmer lugar Fg. 35-23 -

Pcando sobre el ícono "Graphcal Optons ", tendrá acceso a la sguente pantalla, don deberá selecconar la opcón "Pareto Chart", para acceder al gráfco de Pareto. Fg. 36 Fg. 37-24 -

Pareto Chart for Cantdad frequency 400 300 200 100 21,99 41,94 59,53 76,54 89,74 100,00 0 Meteorsmo Insomno Dolor Astena Eructos Cefaleas 1.6.- Desarrollo de un Ejercco de Aplcacón.- A contnuacón se muestra una tabla de datos con defectos en una peza manufacturada, donde se le han colocado a cada uno de ellos los pesos o ponderacones. Muchas veces dchas ponderacones son valores en moneda naconal de lo que sgnfca ese defecto. Tpo de defecto Códgo Número de defectos Costo $ Burbuja Burb 20 150 Fractura Frac 10 300 Mancha Manc 6 50 Rajadura Raj 4 250 Rayado Raya 42 250 Tensón Tens 104 40 otros Otro 14 60 Total 200 Con estos datos se pueden realzar los dos Gráfcos de Pareto. Uno donde no ntervengan los costos untaros, y el otro donde ntervengan dchos costos. a) No ntervenen los costos Prmero se obtene la tabla Fg. 38-25 -

Enseguda podemos obtener el Gráfco. Fg. 39 frequency 200 160 120 80 40 Pareto Chart for Cantdad 83,00 90,00 95,00 98,00 100,00 73,00 52,00 0 Tens Raya Burb Otro Frac Manc Raj b).- Donde ntervenen los costos Prmero obtenemos la pantalla para observar como se llenan los campos Fg. 40-26 -

Enseguda se puede obtener la Tabla de Datos Fg. 41 Y luego el gráfco respectvo donde a dferenca del anteror, camba el orden de prordad de los defectos a los cuales debería comenzar por darles solucón en una prmera nstanca. Fg. 42-27 -

(X 1000) 24 score 20 16 12 8 4 0 Pareto Chart for Cantdad 90,61 95,00 98,68 100,00 77,46 64,30 46,05 Raya Frac Raj Manc Tens Burb Otro 1.7.- Ejerccos de Aplcacón. 1.- Los datos sguentes corresponden a una agrupacón llamada "Escuela de la Mujer", ampara da bajo el "Programa de la Mujer", (PRODEMU). Esta es una Fundacón sn fnes de lucro, dependente de la Prmera Dama de la Nacón, con el propósto de potencar el desarrollo de las mujeres de hogares en extrema pobreza, en búsqueda de una mayor equdad entre mujeres y hombres, para lograr superarse por medo de la Capactacón en labores de uso doméstco y económco, ayudándolas en su realzacón como persona. Estos datos corresponden a una parte de la fcha de nscrpcón en Cursos Sence, fnancados por la Gobernacón Provncal de la Provnca de El Loa, II Regón Antofagasta. Construya una Base de Datos, que contenga las sguentes varables contendas en la tabla de la próxma págna. Consdere que los valores ngresados en cada una de las varables, son códgos cuyo sgnfcado son los sguentes: Est_Cv : 1= soltera ; 2=casada ; 3= Separada ; 4 = vuda Num_Hjos: 0 = sn hjos ; 1= un Hjo ; 2=... Escol(Escolardad) : 1 = Básca Incompleta ;2= Básca Completa ; 3 = Meda Incompleta Construya 1.- Base de Datos, utlzando "Statgraphcs" 2.- La tabla de frecuenca para la varable estado cvl 3.- Una gráfca de barras para la varable estado cvl 4.- La tabla de frecuenca para la varable escolardad 5.- El gráfco sectoral para la varable escolardad Tabla de Datos. - 28 -

Nombre Est_Cv Num_Hjos Escol Nombre Est_Cv Nº_Hjos Escol L.J.V 1 2 3 M.M.M 2 3 2 R.J.G 2 2 2 M.C.C 2 2 2 B.R.A 1 0 1 R.L.P 3 3 1 J.J.M 1 0 1 M.A.N 2 1 1 M.C.V 2 3 2 P.E.C 2 2 1 S.S.T 2 2 1 B.F.M 4 1 1 J.Z.L 1 0 2 M.G.D 2 5 1 M.S.V 4 1 2 R.M.O 2 4 1 U.B.V 2 6 2 M.M.A 2 3 1 N.C.A 1 3 2 J.T.G 1 2 1 M.R.L 1 2 1 M.V.M 2 3 2 P.C.V 4 4 1 R.T.C 1 2 2 P.G.M 2 2 2 J.A.N 2 2 1 E.D.C 1 3 1 S.A.T 2 3 3 E.M.B 2 4 2 G.A.T 1 2 1 S.T.A 2 1 2 M.A.T 2 4 2 A.R.G 3 1 2 R.A.T 2 2 1 L.T.V 2 1 1 M.A.T 1 3 1 A.C.C 2 2 1 A.G.C 2 2 2 J.P.M 2 2 2 J.G.C 2 4 1 P.C.L 2 2 2 J.L.L 2 1 2 Z.C.F 1 4 2 M.N.M 4 5 2 R.P.L 2 3 1 C.A.R 2 3 2 E.G.B 3 2 1 M.T.M 2 2 3 J.L.B 2 8 1 M.T.L 1 3 2 I.E.M 4 3 1 P.V.S 1 3 1 M.V.R 1 1 3 U.C.F 1 6 1 E.P.J 3 2 1 G.B.B 3 7 2 G.G.M 2 5 1 M.H.S 3 8 1 G.G.G 4 3 2 M.G.P 2 4 2 D.C.S 2 2 1 Z.V.C 2 2 2 M.R.G 2 2 2 P.G.B 3 5 2 O.P.A 2 3 2 J.B.M 2 2 2 A.A.D 4 3 2 R.C.C 2 2 1 M.A.A 1 1 2 K.D.B 2 1 2 J.C.D 1 6 1 I.G.F 1 3 1 J.G.G 2 5 2 E.C.L 1 2 2 S.V.H 2 6 1 Z.G.P 2 3 2 S.V.A 2 3 2 G.D.C 2 2 1 N.M.C 2 5 2 B.T.R 4 4 2 2.- La sguente nformacón está referda al Dagnóstco que entrega el médco a pacentes con hemorraga dgestva alta, que fueron atenddos en un Servco de Urgenca "X", durante 1992 Dagnóstco cantdad Ulcera Gástrca 42 Esofagts erosva 16-29 -

Gastrts erosva 21 Ulcera duodenal 180 Crross hepátca 60 Yeyunts hemorrágca 11 No precsada 20 1.- Construya la tabla de frecuenca necesara para realzar el gráfco de Pareto 2.- Construya el Gráfco de Pareto 3.- Redacte las conclusones pertnentes a la nformacón obtenda. II.- PROCESAMIENTO ESTADISTICO DE DATOS CUANTITATIVOS. 2.1.- Estadístca Descrptva Unvarada. Cuando el tpo de dato que entrega la varable en estudo es una Cantdad (entera o decmal), podemos tener nformacón estadístca de ella a través de tres vías: 1. Meddas o Indcadores de resumen cuanttatvos 2. Tablas Estadístcas 3. Gráfcos Estadístcos Las razones prncpales para agrupar los datos son : determnar o calcular las dstrbucones de frecuencas (Tablas Estadístcas), contar con algunos descrptores numércos de la dstrbucón ( Meddas de Resumen), representar gráfcamente los resultados (Gráfcos Estadístcos), para determnar el comportamento o tendencas del fenómeno que nteresa analzar. 2.1.1.- Meddas de resumen cuanttatvas. Fg. 43 Con el archvo de datos nstalado en STATGRAPHICS y tenendo a la vsta la pantalla prncpal, pque la ventana "Descrbe" y aparecerá una pantalla como la anteror, la que deberá ser selecconada en "numercal data" segudo de "one-varable analyss" y pulzar "Enter". - 30 -

S el nterés del usuaro es, por ejemplo, procesar los datos del rendmento en mllas por galón de los coches, estando dentro del archvo de datos "cardata ", deberá selecconar esta varable del lstado que aparece en el recuadro y colocarla en el campo que dce "Data", para luego pcar con el mouse en "okey". Fg.- 44 Cuando usted completó la pantalla anteror, de acuerdo a lo ndcado y pcó en "okey", tendrá frente a usted,lo sguente: Fg.- 45 Debajo de la prmera línea "de íconos" usted tene cuatro ventanas: 1.- La prmera es una pzarra para cambar de varable, en caso de que se desee. (Analyss optons) 2.- La segunda llamada "tabular optons" está destnada a satsfacer varos requermentos del usuaro, tales como: - 31 -

Fg. 46 Analyss Summary : Entrega un resumen muy breve de cual es la varable en proceso, la cantdad de datos, y cual es su rango o recorrdo. Summary Statstcs: Proporcona todas las estadístcas de resumen más usuales, pero pulsando el sector derecho del "mouse",aparece una ventana con la leyenda "pane opton", la que aumenta la cantdad de estadístcas dsponbles. Incluye meddas de: Tendenca Central (Promedo Artmétco, Promedo Geométrco, Modo, Medana), Meddas de Varabldad (Rango,Varanza, Desvacón Estándar, Error Estándar, Coefcente de Varacón), Meddas de Posconamento (Cuartl 1, Cuartl 2), Meddas de Deformacón (Sesgo: Skewness; Curtoss: Kurtoss). Resulta de partcular nterés "Standarzed Skewness" (sesgo estandarzado) y "Standarzed Kurtoss" (Curtoss estandarzada), con las cuales usted puede llegar a determnar s sus datos provenen de una dstrbucón normal. Cuando estos valores están fuera del ntervalo -2 y +2 ndcan un sgnfcatvo ncumplmento con la normaldad estadístca, con lo cual se tende a nvaldar el resultado de aquellos test que requeren del supuesto de normaldad. El termno sesgo ndca haca que lado, zquerdo o derecho, tenden a concentrarse los datos. El térmno Curtoss tene que ver con el grado de apuntamento o alargamento de la curva de datos. A menor coefcente de varacón, más homogenedad en los datos y mayor grado de estramento o apuntamento en sentdo vertcal Para mostrar esta opcón, desarrollaremos un ejemplo, que consstrá en analzar la varable "mpg" ( rendmento en mllas por galón). Seleccone Summary Statstcs. 2.1.- Meddas o Indcadores de Resumen Cuanttatvos (Summary Statstcs). - 32 -

Debemos analzar cada uno de estos Indcadores o Estmadores estadístcos, que muestra el comportamento de los datos de la varable en estudo. Pero es necesaro decr que los que aparecen en esta pantalla son sólo algunos de un conjunto mucho mayor. Para desplegar todas las meddas de resumen de los datos debemos actvar el sector derecho del "mouse" y estando dentro de pane opton selecconar all y luego pulsar ok y obtendrá la sguente pantalla. Fg.- 47 Es necesaro revsar la forma de Cálculo y la forma de nterpretar esos estmadores para la varable en estudo. Los estmadores que aparecen en la pantalla anteror, se conocen con el nombre de Meddas de Resumen. Estas meddas se pueden clasfcar en cuatro grupos: 2.1.1.- Tendenca Central : Son aquellos estmadores cuyos valores tenden a ubcarse en la parte Central del Recorrdo o Rango de la Varable, es decr, más o menos en la mtad del ntervalo defndo entre el valor mínmo y el valor máxmo. Se consderan Meddas de Tendenca Central, las sguentes: Average: Representa el Promedo Artmétco. n X = = = 1 X n 1... n El símbolo anteror sgnfca que debemos sumar todas las medcones u observacones (datos) y dvdr por el número total de datos (n). Esta es una medda que se ve nfluencada por datos que a veces son anómalos, en el sentdo de que pueden aparecer valores que se salen del rango o comportamento habtual - 33 -

de lo que normalmente se regstra. Esto tene mayor mportanca en cuanto menor es la cantdad de datos que se procesan. Esta medda de Tendenca Central, tene algunas característcas mportantes de señalar = n = 1 1. ( X X ) = 0 2. S Y = a ± b X Y = a ± b X Promedo artmétco ponderado: Cuando los datos de la varable en estudo son colectados de dversos estratos, segmentos, o sub-poblacones claramente dentfcados como puede ser: La estatura de hombres y mujeres El rendmento de los coches, según orgen de procedenca La presón arteral sstólca, dastólca, de nños,jóvenes, adultos y senescentes. De forma tal que la muestra o conjunto de datos colectados está partconada en "h" submuestras de tamaños n 1, n 2,..., n h y a cada uno de estas submuestras se les puede o tenen calculado su promedo artmétco entonces el promedo artmétco total del conjunto total de datos se defne y se calcula de la sguente forma: x ( n1 x1 + n2 x2 +... + nh xh ) X = = T ( n + n +... + n ) 1 2 h = h = = h = 1 n x n 1 = = h = 1 p x donde n p = = 1, 2, 3,..., h n Medan : Representa la Medana: Este es una medda de Tendenca Central cuyo valor separa el conjunto de datos en dos mtades. Cada una de ellas es un 50%. Es decr, entre el valor mínmo de la varable y la Medana hay un 50 % de los datos ; por consguente, entre la Medana y el valor máxmo de la varable está el otro 50% superor. Para calcular la medana es necesaro ordenar los datos de menor a mayor. En el caso de que la cantdad de datos sea un número mpar, la medana se obtene ubcando el valor que está en el centro. En el caso de que la cantdad de datos se un número par, la medana se obtene como el promedo de los dos valores centrales. Esta medda tene la ventaja de ser menos sensble que el promedo artmétco a la presenca de valores anómalos, ya que sólo tene en cuenta el orden de los datos y no su magntud. Es decr no se altera mayormente s un valor o dato tene un error grande de medda o de transcrpcón. Al comparar el valor de la medana con el promedo artmétco, s hay mucha dferenca entre ellas, esto es una señal que la dstrbucón de los datos es más ben asmétrca o heterogénea. - 34 -

Mode : Se llama Moda o Modo: Esta medda se conoce tambén con el nombre de Promedo Industral. Está representado por el valor o cantdad que más se repte o tene una mayor frecuenca de aparcón. Geo. Mean : Se llama Meda o Promedo Geométrco: Esta medda corresponde al valor que tomaría la varable s se calculase la meda artmétca de los logartmos de los datos en lugar de los valores drectos. X g = Inv Log { n = =1 ( LogX ) } n Este estadígrafo se utlza prncpalmente en estudos de Economía, tales como dstrbucón de ngresos, cálculo de índces de preco, tasas de nterés promedo dentro de un período. En estudos de crecmento de Poblacón. En caracterzacón de la granulometría promedo de materales partculados. En térmnos generales, donde los valores de la varable representan tasas o porcentajes de varacón relatvos. Comportamento de la varable de forma exponencal. Tambén es necesaro para compararlo con el valor que entrega el promedo artmétco En caso de ser muy smlares, sgnfca que la dstrbucón de los datos en su forma gráfca, tendería a darnos una curva más o menos smétrca. Promedo Armónco : Esta es una medda de resumen de Tendenca Central que no está ncorporado en las rutnas de cálculo de Statgraphcs. Su algortmo de cálculo es: X h = n = =1 1 (1/ n x ) = = n = 1 n (1/ x ) Las aplcacones de esta medda de Tendenca Central que hacen aconsejable su utlzacón, está cuando las observacones o medcones "representan en s msma un promedo". Por ejemplo : Se desea saber cuántas undades en promedo se fabrcan en una undad de produccón, ntegrada por trabajadores, y el dato lo consttuye la cantdad de undades promedo que es capaz de producr cada operaro. Se desea calcular la velocdad promedo a la cual un móvl de desplazó desde un Punto Incal hasta un Punto fnal, pero que durante el trayecto tuvo varas nterrupcones y por lo tanto en cada una de estas nterrupcones se determnó una velocdad meda Se desea saber el ncremento promedo durante el mes, de 10 artículos de prmera necesdad y para ello se toma para cada artículo un certo número de centro de ventas donde son venddos dchos artículos. Por cada artículo tendremos un ncremento promedo, que consttuyen la base para calcular el Incremento Promedo en el mes de los 10 artículos. - 35 -

Esta es la medda de resumen de Tendenca Central que se utlza en cuando se calcula el Indce de Precos al Consumdor, conocdo como I.P.C Entre los tres promedos anterores se produce la sguente desgualdad matemátca X h X g X La gualdad entre ellos se consgue cuando el perfl gráfco de la curva de la dstrbucón de los datos, semeja una "campana" Tambén es de destacar otras Relacones de nterés, de carácter empírco que se dan entre las meddas de Tendenca Central. S la curva presenta un Sesgo Postvo,entonces : Moda < Medana < Promedo Moda S la curva presenta un Sesgo Negatvo, entonces : Promedo < Medana < 2.1.2.- Meddas de Varabldad: Estas meddas de resumen están orentadas a cuantfcar el grado o magntud de cómo los datos se dspersan en torno a una medda de tendenca central. Generalmente se usa como valor de referenca el promedo artmétco. Mucha dspersón es señal de poca unformdad u homogenedad en los datos. Por el contraro poca dspersón, es señal de homogenedad en los datos. Range : Sgnfca Rango Es una medda de varabldad muy fácl de calcular pues es la dferenca entre al mayor valor de la varable se le resta el menor valor de la varable: R = X máxmo -- X mínmo Varance : Sgnfca Varanza. Es el promedo artmétco de los desvíos cuadrátcos de los valores de la varable respecto de su promedo artmétco. ó tambén como n = 2 ( x x ) 2 = 1 σ = (varanza poblaconal ) n = n 2 _ 2 ( x) x = 1 ˆ = σ (varanza muestral ) n 1 Cabe destacar que los desvíos del valor de la varable respecto de su meda artmétca deben de ser elevados al cuadrado, pues s se suman sn hacer esta operacón, el resultado de la suma es cero. - 36 -

Std. Desvaton : Sgnfca Desvacón Estándar Es la raíz cuadrada de la varanza. Tene una gran mportanca pues es la cuantfcacón de la precsón de la medcón de la varable. σ = 2 σ Se utlza, entre otras aplcacones, para construr ntervalos de confabldad, que contendrán los valores límtes extremos (mínmos y máxmos), en torno a los cuales osclará un parámetro de una poblacón en Estudo. S el perfl de la curva que representa a un conjunto de datos y tuvese la forma de una campana, estamos seguros que aproxmadamente un 68,27 % de las veces, la medcón estará en el ntervalo: X ± Desv. Estándar Y con las característca de la curva tpo campana, el ntervalo X ± 2 Desv. stándar contendrá el 95 % de los valores de la varable Std. Error : Sgnfca Error Estándar. Suele representarse por " e.e " y es la desvacón estándar dvdda por la raíz cuadrada del número de datos. e.e = Permte construr ntervalos de confabldad para el promedo artmétco de los datos. A mayor número de datos, "n", menor es el error estándar y por lo tanto más estrecho o precso será el ntervalo de estmacón para EL PROMEDIO. Por ejemplo. en ntervalo formado por X ± 1.96 ee, nos dce que el promedo artmétco de la varable, calculado a partr de una muestra de tamaño "n", estará en un 95 % de las veces, dentro del ntervalo X ± 1.96 ee. σ n Coeff. of Var : Sgnfca Coefcente de Varacón. Es una medda de la varabldad o de la dspersón relatva de una varable, en relacón con su promedo artmétco. Tene la propedad de ser admensonal. Por lo tanto srve para comparar el menor o mayor grado de homogenedad de una varable respecto de otra. Por ejemplo, s medmos en un conjunto de personas su estaturas (cm) y su peso (kg), deseamos saber cuál presente una mayor grado de homogenedad. σ X C.V = *100% Mentras más cercano a cero es el C.V, mayor grado de homogenedad en la varable. Desvacón Meda : Esta es una medda de resumen de Varabldad que no está ncorporado en las rutnas de cálculo de Statgraphcs. Su algortmo de cálculo es : D.M = n = = 1 ( X - 37 - n X )

Podemos decr que la desvacón meda es el promedo artmétco de los valores absolutos de las desvacones de los valores de la varable respecto del promedo artmétco X. (Tambén en otras oportundades suele utlzarse como valor de comparacón, la Medana). S la dstrbucón de los datos presenta un perfl de curva parecdo a una campana, es decr s es Normal, entonces un 57,5 % central de las observacones quedan dentro del ntervalo X ± D.M. Es decr un poco más de la mtad de los datos quedan concentradas dentro de un ntervalo de una undad de la desvacón meda a uno y otro lado del promedo Observacones: Una de las desventajas de la desvacón meda, es que el sgno de las desvacones no se consdera, ya que trabaja con el valor absoluto de ellas. S no se trabajara con el valor absoluto y se usara como valor de referenca el promedo artmétco, la suma de ellas sería cero. S el valor de referenca fuese la medana, el valor de la suma sería próxmo a cero. S se gnoran los sgnos de las desvacones, quta al estmador su carácter algebraco, y así la medda no es adecuada para tratamento matemátco. Lo mportante tal vez, es que el conocer la desvacón meda permte comprender mejor la medda más mportante de dspersón, que es la desvacón típca o estándar. Puntaje Estandarzado : Z La varable o puntaje estandarzado mde la poscón relatva del valor de la varable con respecto al Promedo Artmétco X, expresado en undades de desvacón estándar σ. Su expresón algebraca es : Z = X X σ Esta varable es admensonal, por lo que resulta muy nteresante su utlzacón cuando se desea comparar en que varable o varables una undad de análss se encuentra mejor o peor. Tambén resulta de mucha utldad cuando se necesta transformar valores de una varable expresados en certa escala, en undades de otra escala Igualmente se emplea para comparar resultados de expermentos expresados en certas undades, con otros expresados en otras undades. 2.1.3.- Meddas de Posconamento. Después de hacer un ordenamento de menor a mayor en los datos de la varable en estudo, se proceden a ubcar aquellas poscones porcentuales de la cantdad de datos que dejan entre sí un 25%. Es decr, son tres valores que separaran la totaldad de los datos en cuatro partes que contenen gual cantdad los datos. X mínmo Lower Medan Upper Quartle Quartle 25 % 75 % 50 % X máxmo - 38-75 % 25 %

Lower Quartle : Sgnfca Cuartl Inferor o Prmer Cuartl. Es un valor que lmta o separa el 25 % Inferor de los valores de la varable del 75 % Superor. Para el 25 % nferor, representa el Máxmo valor de ese tramo. Para el 75 % superor, representa el Mínmo valor de ese sector. Upper Quartle : Sgnfca Cuartl Superor o Tercer Cuartl. Es un valor que lmta o separa el 75 % Inferor de los valores de la varable del 25 % Superor. Para el 75 % nferor, representa el Máxmo valor de ese tramo. Para el 25 % superor, representa el Mínmo valor de ese sector. Entre el Lower Quartle y el Upper Quartle se produce un ntervalo, cuya dferenca produce el denomnado Rango Intercuartílco ( Interquartle Range), que es una medda de varacón del 50 % central de los valores de la varable. Percentles : Los Percentles en Statgraphcs, consttuyen una ventana de opcón aparte dentro de la "Tabular Optons". Se procede a un ordenamento de los datos de la varable de menor a mayor proporconan valores límtes que separan los datos, de manera tal que el Percentl 10. Por ejemplo: Nos ndca que un 10% de los valores de la varable está por debajo de dcho valor y un 90 % delos datos está por sobre el valor del percentl 10. El Percentl 80, nos ndca que un 80 % de los valores de la varable están por debajo de dcho valor, y el 20% restante está por sobre el valor del percentl 80. Tambén pulsando el sector derecho del mouse, puede acceder a otras opcones de cálculo de percentles. Los Percentles en Statgraphcs, consttuyen una ventana de opcón aparte dentro de la "Tabular Optons".,según se puede aprecar en la fgura nº 46.- X mínmo X máxmo P 10 P 90 Los valores correspondentes los Percentles 10 y 90, producen un ntervalo que contene el 80% Central de todos los valores de la varable. 2.1.4.- Meddas de Deformacón: Son meddas de resumen que cuantfcan fundamentalmente dos elementos de la dstrbucón de los datos : El Sesgo (Skewness) y la Curtoss (Kurtoss). El Sesgo : Cuantfca el grado de asmetría de una dstrbucón, es decr, cuánto se aparta de la Smetría. Cuando este valor es "cero, sugere que los datos están smétrcamente dstrbudos en torno a una medda de Tendenca Central, que generalmente es el Promedo Artmétco o la Medana. Valores postvos para el Sesgo, ndcan que la "cola superor" o derecha de la curva que representa a los datos,es más larga. Presenca de datos "anómalamente" altos. - 39 -

0,16 0,12 0,08 0,04 0 0 4 8 12 16 20 24 Por el contraro., valores negatvos ndcan que la "cola nferor" o lado zquerdo de la curva es más larga. presenca de datos "anómalamente" bajos. Sesgo > 0, curva sesgada a la derecha o sesgo postvo. Sesgo <0, curva sesgada a la zquerda o sesgo negatvo. Exste una varada gama de algortmos para cuantfcar el grado de asmetría de la dstrbucón de los datos : El estadístco Alemán Karl Pearson cuantfcar el Sesgo. propone dos fórmulas empírcas para 1º coefcente de Sesgo de Pearson : ( X Moda ) σ 2º coefcente de Sesgo de Pearson : 3( X Medana) σ Otra medda del Sego en térmnos de Cuartles es : (Cuartl Superor - Medana) - (Medana - Cuartl Inferor ) Cuartl Superor - Cuartl Inferor Otra medda del Sesgo en térmnos de Percentles - 40 -

( Percentl 90 - Medana ) - (Medana - Percentl 10 ) Percentl 90 - Percentl 10 Otra mportante medda del Sesgo de una dstrbucón de los Datos de una varable es el llamado coefcente momento de sesgo "a 3 ". a 3 n = = 1 ( X X ) 3 = n s n 150 3 σ 3 = n = 1 3 n (X X ) = 3 (n -1)(n - 2) σ a s 4 n 149 Otra medda a veces utlzada es b 1 = (a 3 ) 2. Para curvas perfectamente smétrcas, tal como una campana, b 1 y a 3 valen cero. Std. Skewness : Sgnfca Sesgo Estandarzado. Cuando la cantdad de datos colectados para la varable en estudo es gual o superor a 150, se puede asumr "normaldad estadístca". Resulta de vtal mportanca saber que tan alejado o próxma está el Sesgo de la varable con respecto de la Dstrbucón Normal Estándar. A veces el supuesto de normaldad estadístca smplfca y ayuda enormemente el análss e nterpretacón estadístca de los datos. Cuando el valor del Sesgo Estandarzado queda fuera del ntervalo -2, +2 sgnfca que el Sesgo de los datos colectados es sgnfcatvamente dferente de un Sesgo Normal. Valores negatvos, son ndcadores de una "Cola" más grande haca el lado zquerdo, respecto de una medda de Tendenca Central. Por el contraro, un valor postvo ndcaría una "cola" más larga haca el lado derecho de la curva. El valor del Sesgo estandarzado se obtene dvdendo el valor del sesgo por el factor 6 n Kurtoss : Sgnfca Curtoss Esta medda de resumen cuantfca el grado de "alargamento" o "achatamento ". En otros térmnos, cuan aguzada o puntaguda es la curva de la dstrbucón de los datos, en general por referenca a la normal. Mentras más alargada o aflautada es la curva, se dce leptocútca. Mentras más aplastada o achatada es la curva, se dce platcúrtca Este coefcente se calcula medante el sguente algortmo: b 2 = n ( 2 4 1) = n n ( X X ) = 1 4 ( n 1)( n 2)( n 3) σ 3( n 1) ( n 2)( n 3) La curtoss suele denotarse por b 2-41 -

Para una curva cuyo perfl sea semejante al de una campana, el valor de este coefcente es 3 Cuando b 2 > 0, la curva es Leptocúrtca Cuando b 2 < 0, la curva es Platcúrtca Std. Kurtoss : Sgnfca Curtoss Estandarzada. Este coefcente que srve para comparar el grado de apuntamento de la curva de los datos, con respecto a este msmo coefcente en caso de Dstrbucón Normal. Cuando este valores está fuera del ntervalo -2 y +2 ndcan un sgnfcatvo ncumplmento con la normaldad estadístca, con lo cual se tende a nvaldar el resultado de aquellos test que requeren del supuesto de normaldad. El valor de la Curtoss Estandarzada Κ se obtene dvdendo el valor de la Curtoss por 24 n Otra medda de curtoss que suele utlzarse para el 80 % central de los valores de la varable, es el coefcente κ (Kappa), denomnado Coefcente Percentl de Curtoss ( Percentl75 Percentl25 ) = 2( Percentl Percentl ) Este coefcente, en el caso de la Dstrbucón Normal vale 0,263 Para ejemplfcar un lstado con todos las Meddas de Resumen analzadas, se mostrará la forma de obtenerlas: 1. Recupere su archvo de datos "Cardata" 2. Procese la varable "mpg" 3. Sga todo el procedmento ndcado en las Fg. 44 hasta la Fg. 48. 4. En la pantalla que obtendrá en la Fg. 48, seleccone la opcón "All" 90 10-42 -

Summary Statstcs for mpg Count = 154 Average = 28,7935 Medan = 28,9 Mode = 36,0 Geometrc mean = 27,8219 Varance = 54,4232 Standard devaton = 7,37721 Standard error = 0,594473 Mnmum = 15,5 Maxmum = 46,6 Range = 31,1 Lower quartle = 22,4 Upper quartle = 34,3 Interquartle range = 11,9 Skewness = 0,112657 Stnd. skewness = 0,570747 Kurtoss = -0,832997 Stnd. kurtoss = -2,11008 Coeff. of varaton = 25,6211% Sum = 4434,2 2.2.- Tablas de Frecuenca (Frecuency Tabulaton) El propósto de una Tabla de Frecuencas, es resumr o cuantfcar la cantdad de valores de la varable que están contendos en cada uno de los nveles de medcón de la varable. Produce un resumen más compacto o vsón más global de los datos,y con ello aprecar certa "tendenca" en el comportamento de ellos. A esta dsposcón de los datos por nveles de medcón, junto a sus correspondentes frecuencas, se le denomna Dstrbucón de frecuencas o Tablas de Frecuencas. 2.2.1.- Varable Cuanttatva Dscreta : Cuando la varable en estudo entrega como respuesta una "cuenta" o valor numérco entero, y el rango de varacón de la respuesta es relatvamente pequeño y se desea resumrlos en una tabla de frecuenca undmensonal.,como es el caso de la varable "cylnders" del archvo "Cardata" y queremos saber de la cantdad de coches venddos, clasfcados por el número de clndros, procedemos de la sguente forma: 1. Posconar el cursor en Descrbe 2. Selecconar Categorcal Data Tabulaton 3. Colocar en Campo "Data" de la pzarra de dálogo la varable clndres y presonar "Ok". - 43 -

Frequency Table for cylnders ------------------------------------------------------------------------ Relatve Cumulatve Cum. Rel. Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency ------------------------------------------------------------------------ 1 3 1 0,0065 1 0,0065 2 4 104 0,6710 105 0,6774 3 5 3 0,0194 108 0,6968 4 6 30 0,1935 138 0,8903 5 8 17 0,1097 155 1,0000 ------------------------------------------------------------------------ La Tabla anteror compuesta por las sguentes columnas: "Value" sgnfca el valor que toma la varable, en este caso el nº de clndros de los coches. "Frequency", contene la cantdad de coches venddos que tenen esa cantdad de clndros. Por ejemplo, hay 104 coches venddos cuyo número de clndros es 4.- "Relatve Frequency", ndca la proporcón de coches, respecto del total (155), que tenen esa cantdad de clndros. Por ejemplo, el 19,35 % de los coches venddos tenen 6 clndros. "Cumulatve Frequency", ndca la cantdad acumulada de coches (de menos a más) que tenen hasta ese número de clndros. Por ejemplo, hay 108 coches cuyo número de clndros fluctúa entre 3 y 5 nclusve. "Cum. Rel. Frequency", ndca la proporcón acumulada de coches (de menos a más) que tenen hasta ese número de clndros. Por ejemplo, el 69,68 % de los coches venddos tenen entre 3 y 5 clndros, nclusve. 2.2.1.1.- Gráfcos Asocados a esta Tabla de Frecuenca 80 Coches venddos según número de clndros percentage 60 40 20 0 3 4 5 6 8 Son los msmos que vmos anterormente : Barras (Barchart ) y Sectoral (Pechart) - 44 -

19,35% Autos según Nº de clndros 10,97% 0,65% cylnders 3 4 5 6 8 1,94% 67,10% 2.2.2.- Varable Cuanttatva Contnua. Al resumr una gran cantdad de datos Cuanttatvos Dscretos con un Rango de varacón más o menos amplo o datos Cuanttatvos Contnuos, resulta útl dstrburlos en clases o categorías denomnadas Intervalos y determnar el número de observacones que pertenecen a cada clase, llamando a esta cantdad "Frecuenca Absoluta" o "Frecuenca de Clase". El número de ntervalos o categorías a determnar para clasfcar los datos, por reglas más ben práctcas oscla entre 5 y 20. Douglas Montgomery en su lbro "Control Estadístco de la Caldad", aconseja una regla empírca : Señala que la cantdad de ntervalos a determnar debe ser gual a la "Raíz Cuadrada del número de datos". De forma muy general los pasos que se deben segur para tabular los datos en una tabla de frecuenca, son los sguentes. 1. Ubcar en el conjunto de datos los valores máxmos y mínmo. 2. Determnar el rango de varacón de los datos "R" = X máxmo - X mínmo 3. Determnar la ampltud o ancho de los ntervalo "A " : Consste en dvdr el rango por un valor entero "k" que ndca un número adecuado de ntervalos a construr, que generalmente fluctúa entre 5 y 20. Tambén puede ser gual al número entero nferor más próxmo a la raíz cuadrada del número de datos. A = k R Una manera comúnmente usada para determnar "A " es : A = k = n A 1 + A 2 2 R R Donde A 1 = ; A 2 = 20 5 El valor de A se debe aproxmar a la décma de la undad medda con que se regstra el dato. 4.- Los ntervalos o categorías se determnan de la forma sguente: Intervalo 1 : [ X mn ; X mn + A ) - 45 -

Intervalo 2 : [ X mn + A ; X mn + 2 A ).. Intervalo : t : [ X mn +(t-1)a ; X mn + t A ) 5.- Preparar un formato para la tabla de frecuencas,el cual debe contener : una columna con los puntos medos o marcas de clase de los ntervalos, otra columna para regstrar la cantdad de valores que están dentro de cada ntervalo (frecuenca absoluta), etc.- 6.- Lea cada valor regstrado y vaya asgnándolo al únco ntervalo donde debe estar contendo. Construremos a modo de ejemplo una Tabla de Frecuenca rendmento en mllas por galón mpg, del archvo cardata. para la varable 1. Poscone el cursor en Descrbe. 2. Seleccone Numercal data One-varable análss 3. Ingrese en el campo Data de la pzarra de dálogo la varable mpg y pulse "Ok" 4. Actve el ícono Tabular Optons y seleccone Frecuency Tabulaton y pulse "Ok" Obtendrá la sguente Tabla propuesta por el software Frequency Tabulaton for mpg -------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relatve Cumulatve Cum. Rel. Class Lmt Lmt Mdpont Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------- at or below 13,0 0 0,0000 0 0,0000 1 13,0 17,4444 15,2222 6 0,0390 6 0,0390 2 17,4444 21,8889 19,6667 30 0,1948 36 0,2338 3 21,8889 26,3333 24,1111 21 0,1364 57 0,3701 4 26,3333 30,7778 28,5556 29 0,1883 86 0,5584 5 30,7778 35,2222 33,0 36 0,2338 122 0,7922 6 35,2222 39,6667 37,4444 23 0,1494 145 0,9416 7 39,6667 44,1111 41,8889 6 0,0390 151 0,9805 8 44,1111 48,5556 46,3333 3 0,0195 154 1,0000 9 48,5556 53,0 50,7778 0 0,0000 154 1,0000 above 53,0 0 0,0000 154 1,0000 -------------------------------------------------------------------------------- Mean = 28,7935 Standard devaton = 7,37721 Una vez dentro de esta pantalla y actvando el sector derecho del mouse, tendrá una ventana que ofrece varas opcones, para : 1. Cambar el número de clases o ntervalos 2. Cambar el límte nferor, (dar un número entero menor más próxmo al valor mínmo) 3. Cambar el límte superor, (dar un número entero mayor más próxmo al valor máxmo) Construremos una Tabla de Frecuenca para el Rendmento en mllas por Galón de los coches, que tenga : 1. 10 ntervalos 2. El límte nferor sea 15 ( puesto que 15,5 es el menor valor de la varable) - 46 -

3. El límte superor sea 47 ( puesto que 46,6 es el mayor valor de la varable ) Los ntervalos construdos por el software son del tpo ( ], es decr abertos por la zquerda y cerrados por la derecha, lo cual sgnfca que este ntervalo contene aquellos datos que son mayores al límte nferor del ntervalo y menores o guales que el límte superor del ntervalo tabla: Resulta de enorme nterés aprender a nterpretar los valores que entrega la sguente Por ejemplo: Frequency Tabulaton for mpg -------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relatve Cumulatve Cum. Rel. Class Lmt Lmt Mdpont Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------- at or below 15,0 0 0,0000 0 0,0000 1 15,0 18,2 16,6 13 0,0844 13 0,0844 2 18,2 21,4 19,8 21 0,1364 34 0,2208 3 21,4 24,6 23,0 17 0,1104 51 0,3312 4 24,6 27,8 26,2 19 0,1234 70 0,4545 5 27,8 31,0 29,4 20 0,1299 90 0,5844 6 31,0 34,2 32,6 25 0,1623 115 0,7468 7 34,2 37,4 35,8 21 0,1364 136 0,8831 8 37,4 40,6 39,0 9 0,0584 145 0,9416 9 40,6 43,8 42,2 5 0,0325 150 0,9740 10 43,8 47,0 45,4 4 0,0260 154 1,0000 above 47,0 0 0,0000 154 1,0000 -------------------------------------------------------------------------------- Mean = 28,7935 Standard devaton = 7,37721 1. El 6º ntervalo con su frecuenca absoluta : Hay 25 coches que tenen un rendmento susperor o gual a 31 mpg e nferor a 34,2 mpg 2. La marca de clase del 6º ntervalo con su frecuenca absoluta : Hay 25 coches que tenen un rendmento promedo de 32,6 mpg 3. El 4º ntervalo con su frecuenca relatva : Un 12,34 % de los coches tenen un rendmento superor o gual 24,6 e nferor a 27,8. 4. La marca de clase del 4º ntervalo con su frecuenca relatva Un 12,34 % de los coches tenen un rendmento promedo de 26,2 mpg 5. La frecuenca absoluta acumulada hasta el 5º ntervalo Hay 90 coches cuyo rendmento es superor o gual a 15 mpg e nferor a 31 mpg. 6. La frecuenca relatva acumulada hasta el 7º ntervalo. Un 88,31 % de los coches tenen un rendmento superor o gual a 15 mpg e nferor a 37,4 % mpg 2.2.2.1.- Gráfcos Asocados a una Tabla de Frecuenca, con Escala de Intervalos. - 47 -

Una de las maneras de presentar datos estadístcos es la presentacón gráfca. El análss de los datos tabulados en cualquera de las formas establecdas anterormente, resulta cas mposble, debdo a las múltples comparacones que se tenen que hacer con las cfras y el escaso tempo que a veces se dspone para ello. Tenendo en consderacón de que los gráfcos en Estadístca resultan de vtal mportanca para explcar stuacones presentadas o resumdas en Tablas con Informacón resumda,( puesto que nos permten : Tener una vsón global y condensada del comportamento de la varable, observar posbles tendencas, aprecar su campo de varacón,etc.), debemos tener un especal cudado en saber construrlos y luego analzarlos. En térmnos muy generales, un gráfco debe ser: Sencllo y auto-explcatvo; Escalas adecuadas en los ejes de coordenadas a objeto de evtar las dstorsones y con ello evtar malas nterpretacones. Tal ejemplo lustratvo será desarrollado al fnal del presente capítulo. 2.3.- Hstograma de Frecuenca : Los datos obtendos de una muestra srven como base para decdr sobre la poblacón de la cual provenen. Mentras más grande sea la muestra, más nformacón obtendremos sobre la poblacón. Aumntar el tamaño de la muestra tambén mplca un aumento en la cantdad de datos, y esto puede llegar a hacer dfícl comprender la poblacón a partr de esos datos, aún cuando se organcen en tablas. En ese caso necestamos un método que nos permta comprender la poblacón de un vstazo. Un hstograma responde a esta necesdad. La organzacón de un buen número de datos en un hstograma nos permte comprender la poblacón de manera objetva. Es tal vez uno de los gráfcos más utlzados. Se construye en un sstema coordenado formado por dos rectas perpendculares entre s, que se denomna Plano Cartesano. La recta o Eje Horzontal se denomna EJE "X ",y la recta o Eje Vertcal se denomna EJE "Y" Está formado por barras que nacen desde el eje X,con un ancho gual a la ampltud del ntervalo y de altura en el eje Y gual a la frecuenca absoluta del ntervalo (o su frecuenca relatva). Para obtener el hstograma de la Tabla de la Frecuenca anteror, debemos: 1º. Poscone el cursor en Descrbe. 2º. Seleccone Numercal data One-varable análss 3º. Ingrese en el campo Data de la pzarra de dálogo la varable mpg y pulse "Ok" 4º. Actve el ícono Tabular Optons y seleccone Frecuency Hstogram y pulse "Ok" Obtendrá la sguente pantalla: Fg. 48-48 -

Pulsando OK obtendremos el Hstograma de Frecuenca de acuerdo con un dseño básco que puede entrar a modfcarse, utlzando el sguente procedmento: 1º. Obtenga el Hstograma de Frecuenca 2º. Haga doble clc dentro del gráfco para que este aumente de tamaño 3º. Pulse el sector derecho del mouse y seleccone pane optons para confgurar el Hstograma número de ntervalos, valor mínmo, valor máxmo. Fg. 49 Defna usted un hstograma que tenga las sguentes característcas: 10 ntervalos o clases El límte nferor sea 15 El límte superor sea 47 En el eje vertcal lleve porcentaje (cantdad relatva) - 49 -

De acuerdo con los datos, que provenen de una varable en estudo, el hstograma nos entrega una espece de radografía del comportamento de la varable. De forma general se pueden encontrar dversos tpos de hstogramas: 2.3.1.- Clasfcacón según las formas de Hstogramas de frecuenca. 30 25 frequency 20 15 10 5 0-2,5-1,5-0,5 0,5 1,5 2,5 Tpo general: La mayor frecuenca está en el centro y dsmnuye gradualmente haca los extremos. La forma es smétrca. Tpo con sesgo postvo: Forma asmétrca. La frecuenca dsmnuye de manera más ben brusca haca la zquerda, pero gradualmente haca la derecha. La máxma frecuenca está más cerca del valor mínmo de la varable. Este tpo de hstograma se presenta cuando el límte nferor se controla teórcamente o por un valor de especfcacón nferor. Tpo con sesgo negatvo: Forma asmétrca. La frecuenca dsmnuye de manera más ben brusca haca el lado derecho, pero gradualmente haca la zquerda. La máxma frecuenca está más cerca del valor máxmo de la varable. Este tpo de hstograma se presenta cuando el límte superor se controlan teórcamente o por un valor de especfcacón superor. - 50 -

40 Frecuenca 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 Tpo de precpco a la zquerda (de precpco a la derecha) : Forma asmétrca. El valor del promedo esta localzado el extremo zquerdo ( derecho ) lejos del centro del Rango, la frecuenca dsmnuye bruscamente a la zquerda (derecha), y gradualmente haca la derecha.(zquerda). 100 Frecuenca 80 60 40 20 0-5 15 35 55 75 95 115 Es una forma que se presenta frecuentemente cuando se ha realzado una seleccón al 100% debdo a una baja capacdad del proceso, y se necesta cumplr con un lmte de especfcacón nferor (superor). Tpo Plance : Las frecuencas forman una plance, porque las clases tenen más o menos la msma frecuenca excepto aquellas de los extremos. Esta forma se presenta cuando la varable presenta un comportamento heterogéneo debdo a problemas de estratfcacón o segmentacón producendo una mezcla de varas dstrbucones que tenden a tener valores promedos dferentes. Tpo de doble cúspde ( bmodal ) : Exsten dos ntervalos ( o valores ) que presentan máxmas frecuencas pero no se encuentran contguas. Esta forma se presenta cuando se mezclan dos dstrbucones que tenen valores de promedo dferentes. O cuando la varable presenta un comportamento heterogéneo debdo a problemas de estratfcacón o segmentacón producendo una mezcla de dos dstrbucones que tenden a tener valores promedos dferentes. - 51 -

40 Frecuenca 30 20 10 0 1700 2200 2700 3200 3700 4200 4700 Tpo cúspde aslada : Presenta una pequeña cúspde aslada que se encuentra aslada de un hstograma de tpo general. 24 Frecuenca 20 16 12 8 4 0 15 25 35 45 55 Esta forma se presenta cuando se ncluye una pequeña cantdad de datos de una dstrbucón dferente, como en el caso de anormaldad en el proceso, error de medcón o nclusón de nformacón de un proceso dferente. 2.3.2.- Aplcacón de los Hstogramas a problemas relaconados con caldad: Un aspecto muy nteresante es utlzar los hstogramas que entregan los datos de la varable con los límtes de especfcacón que le han sdo asgnados a la varable en estudo. S exste una especfcacón, dbuje sobre el hstograma, con líneas vertcales, los límtes de la especfcacón, para comparar la dstrbucón de los datos con la respectva especfcacón. Luego observe s el hstograma está localzado razonablemente dentro de los límtes. Cuando el Hstograma de los datos, acusa que se satsfacen las especfcacones - 52 -

18 15 LSL = 15,0, Nomnal = 35,0, USL = 55,0 frequency 12 9 6 3 0 15 25 35 45 55 mpg frequency 24 20 16 12 8 4 0 LSL = 33,5, Nomnal = 36,5, USL = 39,0 Pp = 0,67 Ppk = 0,32 Ppk (upper) = 1,03 Ppk (lower) = 0,32 K = -0,62 30 32 34 36 38 40 Lo que se necesta es mantener el estado actual, puesto que el hstograma de los datos satsface la especfcacón. Se satsface la especfcacón, pero no hay margen extra. frequency 24 20 16 12 8 LSL = 32,0, Nomnal = 35,0, USL = 38,0 Pp = 0,73 Ppk = 0,68 Ppk (upper) = 0,78 Ppk (lower) = 0,68 K = -0,07 4 0 30 32 34 36 38 40 Ptje_Algodon Es necesaro reducr la varabldad para poder quedar con un margen extra de toleranca. - 53 -

Cuando el hstograma de los datos, no satsface las especfcacones frequency LSL = 33,5, Nomnal = 35,5, USL = 37,0 24 Pp = 0,43 20 16 12 8 Ppk = 0,32 Ppk (upper) = 0,54 Ppk (lower) = 0,32 K = -0,40 4 0 30 32 34 36 38 40 frequency LSL = 33,5, Nomnal = 36,5, USL = 39,0 24 Pp = 0,67 20 16 12 8 Ppk = 0,32 Ppk (upper) = 1,03 Ppk (lower) = 0,32 K = -0,62 4 0 30 32 34 36 38 40-54 -

frequency LSL = 30,5, Nomnal = 33,0, USL = 35,5 24 Pp = 0,61 20 Ppk = 0,17 16 12 8 4 0 30 32 34 36 38 40 2.3.3.- Estratfcacón de Hstogramas. Ppk (upper) = 0,17 Ppk (lower) = 1,05 K = 0,72 Cuando los valores observados se dvden en dos o más sub-poblacones según la condcón que exstía en el momento de recoger los datos, esas sub-poblacones se llaman estratos, y la dvsón de los datos en estratos se llama estratfcacón. Los valores observados sempre van acompañados de alguna varacón. Por tanto, cuando los datos se estratfcan según los factores que se cree puedan causar la varacón, las causas de la varacón se hacen más fáclmente detectables. Este método puede usarse de forma muy efectva para mejorar la caldad del producto al reducr la varacón y mejorar el promedo del producto. Por lo general, la estratfcacón se hace según los materales, las máqunas, las condcones de operacón, de los turnos, trabajadores, etc. (usualmente se denomnan Factores) 2.3.3.1.- Polígono de frecuenca Este gráfco muestra un perfl de la curva asocada a la dstrbucón de los datos. Consste en representar puntos (x, y ) en el Plano de manera que en el eje horzontal (X ) ubquemos la marca de clase o punto medo del ntervalo, y en el en eje vertcal (Y) la frecuenca absoluta o relatva correspondente a la marca de clase. Luego se une los puntos con segmentos de recta. Para construrlo usando Statgraphcs, debemos estar dentro de una pantalla como la fgura Número 50, y en el campo Plot Type, selecconar Polygon. frequency LSL = 30,5, Nomnal = 34,5, USL = 36,5 24 Pp = 0,73 20 16 12 8 Ppk = 0,42 Ppk (upper) = 0,42 Ppk (lower) = 1,05 K = 0,10 4 0 30 32 34 36 38 40-55 -

18 15 Polgono de Frecuenca para "mpg" percentage 12 9 6 3 0 15 25 35 45 55 mpg 2.3.3.2.- Ojva o Curva de Concentracón Consste en la representacón de una curva (con segmentos de recta ), cuyas ordenadas tenen tantas undades como elementos exstan de la dstrbucón hasta el punto determnado. Para su construccón se emplea colocando en el eje horzontal, los ntervalos ; el eje vertcal, las frecuencas acumuladas o relatva. Hacendo uso de statgraphcs, debemos estar en una pantalla como la Fg. 50, y actvar en el campo counts la opcón cumulatve Nota : La OJIVA es un gráfco que permte obtener de manera muy aproxmada el valor de cualquer Percentl. Se debe trazar una línea perpendcular al eje vertcal (Percentage) que pase por un porcentaje deseado, y prolongarla hasta que corte la curva de las frecuencas acumuladas. Desde aquí, bajar una perpendcular que corte el eje horzontal (mpg). Este punto representa el valor del percentl. 100 Ojva para "mpg" percentage 80 60 40 20 0 15 25 35 45 55 mpg 2.3.3.3.- Box -and-wsker Plot : ( Caja y bgotes). - 56 -

Es un dagrama de caja que presenta los tres cuartles, y los valores mínmo y máxmo de los datos sobre un rectángulo, alneado horzontal o vertcalmente. El rectángulo delmta el rango ntercuartílco con la arsta zquerda (o nferor) ubcada en el prmer cuartl (lower Quartl), Q 1, y la arsta derecha (o superor) en el tercer cuartl (Upper Quartl), Q 3,. Se dbuja una línea a través del rectángulo en la poscón que corresponde al segundo cuartl (medana).de cualesquera de las arstas del rectángulo se extende una línea, o bgote, que va haca los valores extremos. Estas son observacones que se encuentran entre cero y 1.5 veces el rango ntercuartílco a partr de las arstas del rectángulo. Cuando están entre 1.5 y 3 veces el rango ntercuartílco a partr de las arstas del rectángulo se llaman valores atípcos (outlers). Box-and-Whsker Plot 0 4 8 12 16 (X 1000) Preco (U$) Las observacones que están más allá de 3 veces el rango ntercuartílco a partr de las arstas del rectángulo, recben el nombre de valores atípcos extremos. Para representarlos, el software utlza unos cuadradtos, tal como se ve en la sguente fgura: (al hacer clck sobre ellos aparece en la pantalla el número o línea del archvo, en que están regstrados. Para acceder a este grafco debe estar en una pantalla, tal como lo muestra la Fg. 48 Estando dentro del gráfco anteror y pulsando el sector derecho del mouse, accederá a una ventana que tene un pane optons que permte confgurar a sus necesdades el gráfco Box-and- Wsker Plot y obtendrá la sguente pantalla : Fg. 50-57 -

2.3.3.4.- Normal Probablty Plot : (Gráfco de Probabldad Normal ). Los métodos gráfcos resultan muy útles cuando se elge una dstrbucón de probabldad para descrbr una poblacón (varable) partendo de datos colectados (muestra) con ese propósto. La gráfca de probabldad es un método gráfco para determnar s los datos muestrales se ajustan a una dstrbucón propuesta con base en un examen vsual subjetvo de los datos. En este caso se trata de observar s los datos colectados nos ndcan cuan posble es de que la varable pueda asumr el modelo de Probabldad Normal. En caso, que la dstrbucón normal descrba de manera adecuada los datos, los puntos de la gráfca, se ubcarán de aproxmadamente a lo largo de una línea recta. S los puntos se desvían de manera sgnfcatva de una línea recta, entonces el modelo propuesto no es el apropado. La determnacón de, s la gráfca corresponde o no a una línea recta, es subjetva. El procedmento de obtencón se lustra con un ejemplo: Veremos s la varable mpg se comporta como una Dstrbucón Normal.Debe obtener una pantalla tal como lo ndca la Fg.49 y en ella selecconar la opcón Normal Probablty Plot Gráfca de Probabldad Normal para MPG percentage 99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1 15 25 35 45 55 mpg 2.3.3.5.- Symmetry Plot: Este gráfco muestra la smetría de la varable en estudo. Ordena los datos de menor a mayor. Se selecconan los datos que están a la zquerda o a la derecha del - 58 -

valor medano o medana (Separa el conjunto de datos en dos mtades o 0% ) y cada punto es grafcado mostrando su respectva dstanca de la medana. S la dstrbucón de los datos es smétrca (sesgo cero), los puntos estarán muy cerca de la línea recta dagonal en el gráfco. S la dstrbucón tene sgno postvo, los puntos estarán desvados por sobre la línea dagonal. S tene sesgo negatvo, habrá puntos desvados por debajo de la línea dagonal. Para acceder a este gráfco deberá estar presente la pantalla, tal como lo ndca la Fg.49 y en ella actvar la opcón Symmetry Plot, y tendrá el sguente gráfco para la varable mpg. Gráfco de la Smetra para MPG Dstanca sobre la Medana 18 15 12 9 6 3 0 0 3 6 9 12 15 18 Dstanca bajo la Medana 2.4.- Desarrollo de Ejerccos de Aplcacón (Meddas de resumen asocadas a una tabla de frecuenca, con escala de ntervalos) Statgraphcs en su versón 4.0 para ambente wndows, calcula todas las Meddas Estadístcas de Resumen a partr de datos no tabulados. Sn embargo es necesaro poner énfass que tambén las podemos calcular a partr de una tabla de frecuencas. Es más, hay algunas meddas que adqueren más comprensón a partr de la tabla de datos, como puede ser el caso de la Moda, la Medana. 2.4.1.- Ejemplo Ilustratvo: A modo de ejemplo, presentaremos a contnuacón una Tabla de Frecuenca para la Potenca de los Automóvles del Archvo Cardata. Tabla de Frecuenca para La Potenca de los Automóvles del Archvo Cardata Nº Interv Lmte Intervalos Marca de Clase (X ) Frecuenca Absoluta f X *f 1 45 60 52,5 9 472,5 2 60 75 67,5 47 3172,5 3 75 90 82,5 43 3547,5 4 90 105 97,5 19 1852,5 5 105 120 112,5 15 1687,5 6 120 135 127,5 8 1020,0 7 135 150 142,5 8 1140,0 8 150 165 157,5 2 315,0 Total 151 13207,5-59 -

Las característcas y propedades de estas Meddas Estadístcas ya fueron comentadas de forma extensa en párrafos anterores, por lo que ahora sólo se hará énfass en el algortmo de cálculo. Meddas de Tendenca Central Promedo Artmétco X = = t = 1 = t X = 1 f f = = t = 1 X n f Es decr, debemos sumar los productos de las marcas de clase de los "t" ntervalos por el valor de la frecuenca absoluta respectva, y luego dvdr por la cantdad "n" de datos Promedo Geométrco Nº Interv Lmte Marca de Clase Logartmo Frecuenca Intervalos (X ) de X Absoluta f 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 (Log X )* f X g = Inv Log [ t = =1 ( LogX ) * f n ] = Promedo Armónco Nº Interv Lmte Intervalos Marca de Clase (X ) ValorRecíproco Marca de Clase (1/X ) Frecuenca Absoluta f 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 (1/X )*f En la planlla anteror debemos realzar el cálculo ndcado, para cada ntervalo. - 60 -

X h = t = = 1 (1/ X n ) * f Modo o Moda En la tabla de frecuenca ncal, debemos ubcar el o los ntervalos de mayor frecuenca absoluta. A este ( o estos) ntervalo(s) se le(s) denomna ntervalo modal, pues aquí se encuentra el valor de la moda. Luego se deben determnar los valores 1 = Frecuenca Absoluta del ntervalo Modal - Frecuenca Absoluta del ntervalo anteror al Intervalo modal 2 = Frecuenca Absoluta del ntervalo Modal - Frecuenca Absoluta del ntervalo sguente al ntervalo modal Nº Interv Lmte Intervalos Marca de Clase (X ) Frecuenca Absoluta f 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 Modo = [ Límte Inferor del ntervalo Modal] + [ ( 1 / 1 + 2 ) ] * a Medana : Donde "a " es la ampltud del ntervalo modal En la tabla de frecuenca ncal, debemos ubcar la columna de frecuencas absolutas acumuladas. Entrando por esta columna, ubcar hasta que ntervalo tenemos acumuladamente el 50 % de los valores de la varable. A este ntervalo le llamaremos ntervalo medano. Nº Interv Lmte Marca de Clase Frecuenca Frecuenca Intervalos (X ) Absoluta f Absoluta Acumulada 1 45 60 52,5 9 9 2 60 75 67,5 47 56 3 75 90 82,5 43 99 4 90 105 97,5 19 118 5 105 120 112,5 15 133 6 120 135 127,5 8 141 7 135 150 142,5 8 149 8 150 165 157,5 2 151 Total 151 El ntervalo medano sería el nº 3, pues hasta aquí ya está acumuladamente el 50 % de los datos - 61 -

Med = Límte Inferor del Intervalo Medano + [ n 2 ( F 1 f ) * a Donde: F 1 es la frecuenca absoluta acumulada hasta el ntervalo anteror al ntervalo medano ] f es la frecuenca absoluta del ntervalo medano. a es la ampltud del ntervalo medano Cabe destacar que tanto la Moda como la Medana, en el caso de que los datos estén tabulados y que ya sea el prmer ntervalo, el últmo ntervalo o ambos sean ntervalos abertos, son las úncas Meddas de Tendenca Central que pueden calcularse. Un ntervalo es aberto cuando decmos " menos de 45 ", "más de 150 ", por ejemplo. Meddas de Varabldad Varanza : σ 2 t = = 1 = ( x n x ) 2 * f 2 σ t 1 = = = ( x x) n 1 2 * f Desvacón Estándar Como ya se djo anterormente, es la raíz cuadrada de la varanza. A partr de la tabla sguente, haremos el cálculo de la varanza y de la desvacón estándar Nº Interv Lmte Marca de Frecuenca Intervalos Clase (X ) Absoluta f 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 (X - X ) 2 * f Calcule: La varanza, la desvacón estándar, el coefcente de varacón, error Estándar, el prmer y Segundo coefcente de sesgo de Pearson, de la tabla anteror. Desvacón Meda : - 62 -

D.M = t = = 1 ( X X ) * f n Determne la Desvacón Meda en la sguente tabla: Nº Interv Lmte Marca de Frecuenca Intervalos Clase (X ) Absoluta f 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 ( X X ) * f Meddas de Posconamento Percentles : El cálculo de cualquer Percentl, a partr de una Tabla de Frecuencas, es muy smlar al procedmento explcado para calcular la medana. A partr de la tabla ncal, se debe ubcar la columna de Frecuencas Absolutas Acumuladas. Estando dentro de esta columna, determnar el ntervalo que contene el Percentl buscado. Por ejemplo, para determnar P 20, es decr el percentl 20, se debe determnar hasta que ntervalo se tene acumulado, de menor a mayor, el 20 % de los datos. n ( * j) F 1 P j = Lm. Inferor nterv. que contene percentl "j" + 100 * a f Donde: J: es s el valor del percentl deseado F -1 es la frecuenca acumulada hasta en ntervalo anteror al que contene el percentl "j" f es la frecuenca absoluta del ntervalo que contene a el percentl "j" A modo de ejemplo calcule el percentl 20 y el percentl 80 de la sgte tabla de datos - 63 -

Lmte Intervalos Marca de Clase (X ) Frecuenca Absoluta f 1 45 60 52,5 9 9 2 60 75 67,5 47 56 3 75 90 82,5 43 99 4 90 105 97,5 19 118 5 105 120 112,5 15 133 6 120 135 127,5 8 141 7 135 150 142,5 8 149 8 150 165 157,5 2 151 Nº Interv Frecuenca Absoluta Acumulada Total 151 El Percentl 20, está contendo en el ntervalo nº 2 puesto que hasta dcho ntervalo está Acumulado el 20% de 151, cuyo valor es de 30,2 151* 20 9 P 20 = 60 + 100 * 15 47 = El Percentl 80, está contendo en el ntervalo nº 5 puesto que hasta dcho ntervalo está acumulado el 80% de 151, cuyo valor es de 120,8. 151* 80 ( ) 118 P 80 = 105 + 100 * 15 15 = Meddas de Deformacón: Coefcente de Sesgo : a 3 t 3 = ( X X ) * f 1 = 3 n = t (X X ) * f = n = 1 s n > 149 3 3 = 3 σ a s 4 < n < 150 (n -1)(n - 2) σ Marca de Frecuenca Nº Interv Lmte Intervalos Clase (X ) 1 45 60 52,5 9 2 60 75 67,5 47 3 75 90 82,5 43 4 90 105 97,5 19 5 105 120 112,5 15 6 120 135 127,5 8 7 135 150 142,5 8 8 150 165 157,5 2 Total 151 X X * f Absoluta f (X - X ) 2 * f ( ) 3 El sesgo estandarzado se consgue dvdendo el valor del sesgo por Coefcente de Curtoss : - 64-6 n

b 2 = t ( 2 4 1) = n n ( X X ) * f = 1 4 ( n 1)( n 2)( n 3) σ 3( n 1) ( n 2)( n 3) El valor de la Curtoss Estandarzada se obtene dvdendo el valor de la Curtoss por: 24 n 2.5.- Ejercco de Aplcacón. 2.5.1.- La sguente Base de Datos contene nueve varables para N = 200 empleados fctcos de una Compañía o Empresa. Cada fla representa los valores de las nueves varables para un solo empleado. El número en la prmera columna (1 ---200) es el número de empleado. Cada columna subsecuente representa los valores de una varable para los 200 empleados. Las nueve varables se defnen como sgue: X 1 : Número de años en la empresa X 2 : Número de horas sobretempo (extras) trabajadas durante los últmos ses meses X 3 : Sexo ; 1 = mujer ; 2 = hombre X 4 : Número de cursos de Educacón Contnua termnados (capactacón) X 5 : Número de días con lcenca médca tomados en los últmos ses meses X 6 : Calfcacón en la prueba de apttud de la Compañía X 7 : Nvel Escolar ; 0 =Enseñanza Meda ; 1 = Estudos Unverstaros ncompletos ; 2 = Título Unverstaro ; 3 = Postgrado. X 8 : Salaro Base mensual X 9 : Edad del empleado Construya esta Base de Datos para utlzarla más adelante en Ejerccos de aplcacón y guardela en un dsket de 3,5 o en el dsco "C" de su computador personal Actvdades a Desarrollar: 1.- Obtenga una tabla de dstrbucón de frecuenca para la varable X 3 y las meddas de resumen 2.- Analce la nformacón entregada por dcha tabla de frecuencas, según los apuntes de clases. 3.- Construya una Gráfco de Barras a partr de la tabla anteror, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 4.- Construya un Gráfco Sectoral a partr de la tabla generada, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 5.- Obtenga una tabla de dstrbucón de frecuenca para la varable X 4. y las meddas de resumen 6.- Analce la nformacón entregada por dcha tabla de frecuencas, según los apuntes de clases. 7.- Construya una Gráfco de Barras a partr de la tabla anteror, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 8.- Construya un Gráfco Sectoral a partr de la tabla generada, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 9.- Obtenga un conjunto de conclusones, respecto de la varable en estudo - 65 -

5.- Obtenga una tabla de dstrbucón de frecuenca para la varable X 7. y las meddas de resumen 6.- Analce la nformacón entregada por dcha tabla de frecuencas, según los apuntes de clases. 7.- Construya una Gráfco de Barras a partr de la tabla anteror, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 8.- Construya un Gráfco Sectoral a partr de la tabla generada, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 9.- Obtenga un conjunto de conclusones, respecto de la varable en estudo X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 11 125 1 4 9 121,89 2 230650 44 24 225 2 2 2 114,2 1 271800 50 17 115 2 3 5 134,11 1 348750 48 9 117 1 1 1 113,95 1 236850 53 15 26 1 2 0 151,41 2 335500 62 6 43 1 4 8 96,65 1 226350 45 4 124 2 2 4 98,43 2 195750 26 2 71 2 1 1 110,06 1 204300 28 17 166 2 2 5 101,98 1 189550 33 17 158 1 3 2 101,01 1 255950 40 15 182 2 4 4 103,42 2 349750 63 21 81 2 3 6 106,88 2 268000 55 4 58 1 2 5 99,36 2 224000 50 12 203 1 2 3 105,66 2 312000 33 23 144 1 2 4 100,91 1 247500 41 20 179 1 3 5 73,76 2 304950 53 19 96 2 1 5 83,39 0 339650 58 12 96 2 4 7 88,41 1 304400 51 5 157 2 4 8 98,19 1 255450 39 11 27 2 2 4 101,72 1 239600 30 11 88 1 0 6 92,63 1 306300 45 8 177 2 4 6 92,59 1 387900 61 20 211 1 3 1 110,34 2 417050 68 1 125 1 0 9 102,91 2 197750 30 6 58 2 0 7 110,39 2 376000 57 18 178 1 4 3 124,5 1 342500 49 21 166 1 3 5 116,35 1 361950 48 7 155 1 3 4 118,64 1 280900 31 21 45 2 2 6 115,64 2 356000 60 27 157 2 2 5 113,16 2 399750 67 20 99 2 0 4 96,92 2 371000 57 11 140 1 5 7 94,82 0 275000 32 11 101 1 3 9 102,62 1 244500 27 3 22 1 4 4 78,89 1 231500 37 16 93 1 3 5 83,88 1 350000 37 2 3 2 2 5 78,42 0 220250 25 12 142 1 4 9 98,67 1 265000 32 16 11 2 3 0 86,52 1 364750 53 9 124 2 1 5 87,65 2 272000 27 15 55 2 3 5 81,4 1 339750 37 3 6 2 9 3 107,87 2 190000 23 17 12 1 1 6 106,6 1 286500 35 17 112 1 3 0 117,57 1 385000 41-66 -

23 71 2 3 7 96,15 2 404000 63 6 28 2 1 3 107,97 1 389000 54 1 20 2 5 4 104,72 2 270500 31 7 43 1 3 3 85,54 0 262750 33 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 4 113 1 2 4 123,67 1 300000 40 22 77 2 5 4 80,55 0 409000 63 18 152 2 3 5 91,02 1 370000 54 22 0 1 1 4 105,08 1 422500 62 25 112 2 3 7 116,61 1 473000 63 15 103 1 2 1 120,9 1 305000 39 24 215 1 0 7 95,35 0 261800 41 15 50 1 3 6 95,94 0 279400 39 2 169 2 1 9 118,4 1 156250 26 17 92 2 1 3 82,45 0 236500 42 7 132 2 1 7 99,18 1 419100 41 8 48 1 1 7 107,17 1 389500 56 11 200 2 4 9 97,1 0 436500 70 10 149 2 4 4 92,41 0 314500 39 10 79 1 0 5 101,16 1 246500 40 8 48 1 1 8 93,92 0 262500 37 15 202 1 1 8 103,45 1 372250 57 8 74 1 1 3 103,89 1 231000 29 23 74 2 5 4 110,25 1 403700 65 24 138 2 5 4 103,6 1 424500 63 22 66 1 3 3 109,1 2 383000 65 6 68 1 2 5 87,58 1 395000 57 3 184 1 1 7 96,21 0 314000 29 16 123 2 1 4 101,75 1 326700 39 4 105 2 3 7 110,08 2 331100 47 12 0 2 6 8 104,85 1 358500 61 23 52 1 3 4 93,91 0 471000 61 13 121 2 4 8 103,45 1 416000 46 11 90 2 5 2 101,69 2 407000 42 4 31 2 0 3 110,25 1 287500 29 3 52 2 3 1 103,51 1 352000 35 9 79 2 3 4 109,97 1 385000 45 12 136 2 5 4 113,17 2 418000 42 3 169 2 2 3 118,46 1 236000 28 16 70 2 2 8 126,34 1 420000 46 23 26 2 2 7 108,45 1 431750 54 2 187 2 3 4 121,46 2 251500 29 18 198 2 2 5 106,49 1 373000 42 3 171 2 2 9 102,15 2 251000 27 7 132 2 5 7 126034 1 282150 31 25 211 2 2 9 106,38 1 470250 65 2 112 1 2 1 102,35 2 405000 44 17 118 2 1 3 98,12 0 404250 45 22 204 2 3 2 96,82 0 428500 51 6 24 2 0 3 100,03 1 275000 20-67 -

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 27 11 1 3 2 112,69 1 451000 65 12 100 1 3 8 93,77 0 419000 49 14 193 1 3 4 121,96 1 424500 57 24 74 2 0 6 99,7 1 453750 68 14 61 1 1 3 93,21 0 345500 39 14 96 2 2 1 117,27 1 361000 38 11 138 2 3 7 103,46 1 279500 34 4 15 2 2 1 106,38 1 245250 28 3 13 2 0 7 102,35 1 271750 26 12 149 2 2 3 98,12 0 327750 38 12 158 2 2 5 122,27 1 358750 46 19 209 1 3 5 123,64 1 418000 52 12 180 2 0 4 134,53 1 415750 55 4 200 1 2 3 100,87 2 323500 31 5 182 2 1 7 124,09 1 349000 35 23 59 2 4 5 109,13 1 479500 66 9 28 1 3 8 102,32 1 236000 31 24 112 2 1 4 119,55 1 348750 47 21 169 1 1 4 113,04 1 320000 49 19 121 2 2 0 103,75 2 350000 46 14 28 1 2 8 103,89 1 330000 41 3 111 1 3 7 110,25 1 306000 38 3 132 2 4 1 93,18 1 276000 25 8 24 2 0 9 109,11 2 299000 36 15 160 1 4 7 87,58 2 372000 41 18 44 1 5 5 96,2 1 362000 51 7 79 2 2 8 89,71 1 320000 34 11 187 2 4 0 108,64 1 352000 49 5 107 1 0 9 113,15 2 246500 28 18 182 1 5 8 104,37 1 361000 46 12 48 1 4 3 111,36 1 281500 35 2 217 1 2 0 123,07 1 345500 31 26 167 1 2 9 99,7 2 453750 67 26 33 1 3 2 93,21 0 416000 63 11 22 2 1 6 106,27 2 395000 47 11 44 2 3 4 102,83 1 376000 44 0 81 2 3 7 104,18 1 339000 31 7 123 1 0 2 107,48 2 343250 31 19 13 1 5 3 119,13 2 383000 40 5 189 2 4 0 92,42 0 395000 44 26 59 2 0 6 101,15 1 265000 58 1 147 2 2 5 93,91 0 265000 28 8 50 2 3 8 78,26 0 290000 35 3 70 2 1 2 97,98 0 275000 28 3 198 1 1 9 100,03 1 251000 25-68 -

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 14 193 1 1 3 120,54 1 320000 38 11 77 1 0 3 120,93 1 377500 45 22 125 2 4 5 125,95 2 440000 56 12 160 1 1 5 100,73 1 377500 44 17 28 2 0 3 105,08 2 376750 42 20 39 2 5 2 123,37 1 439450 62 11 154 1 0 1 119,53 3 438000 44 14 129 1 1 9 116,61 1 381700 40 22 204 2 2 7 119,69 1 405000 49 2 90 1 5 6 103,46 1 232250 25 14 37 2 4 3 106,38 2 316250 32 5 173 2 2 4 110,17 1 343250 35 19 6 1 2 4 105,01 1 405000 50 22 83 2 1 9 100,02 2 392750 52 26 125 1 1 9 135,22 1 438500 58 8 169 1 5 4 87,79 2 316250 34 16 55 2 4 3 103,14 1 393750 41 25 217 2 2 7 112,55 2 472000 66 7 19 1 1 1 109,11 1 281500 33 23 173 2 0 3 87,58 0 469000 63 7 173 2 4 4 92,91 0 291000 28 16 105 1 2 5 89,73 1 394000 41 2 11 1 1 8 108,57 1 231000 25 22 52 2 1 9 113,15 2 416500 46 13 103 2 0 5 104,36 1 358500 40 19 143 2 1 4 111 1 373500 41 7 123 2 4 2 111 1 315750 34 4 114 1 1 9 87,71 0 273500 28 24 37 1 5 4 99,12 1 471250 64 11 100 2 2 7 128,72 1 436750 55 8 100 2 2 6 107,85 2 400000 41 9 198 2 5 3 107,85 1 315700 44 22 198 2 1 9 122,66 0 417500 40 25 136 1 0 4 93,35 0 437800 52 14 0 2 4 2 115,46 1 436500 38 18 17 2 3 8 125,59 1 397500 44 8 103 2 0 9 92,37 0 295000 30 22 15 1 1 3 99,17 1 411500 44 8 107 2 0 3 102,84 1 330000 35 13 129 1 5 4 104,18 1 383000 38 27 167 2 0 8 107,75 1 461000 69 27 118 2 0 8 119,13 2 440000 66 3 209 2 5 3 92,42 0 236000 22 2 125 2 4 4 101,16 1 248500 29 23 22 1 2 5 91,35 1 450000 62 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 9 151 1 1 4 96,82 0 438500 52-69 -

15 11 2 4 2 96,82 0 400500 47 17 39 2 4 1 89,03 1 438000 58 5 193 2 0 5 112,67 2 353000 35 26 217 2 2 5 121,96 1 465500 68 27 189 1 3 7 104,5 2 458000 69 12 209 2 2 3 117,48 1 314500 34 1 70 2 5 4 96,38 0 200000 20 3 52 2 1 6 107,32 1 273000 29 0 138 2 0 4 121,36 1 200000 21 16 35 2 3 4 94,02 0 348500 47 3 9 1 1 3 129,13 1 418000 41 5 173 2 2 8 122,14 2 290000 29 1 11 2 1 4 93,86 3 302000 30 7 129 2 3 6 104,59 1 344500 35 2 162 1 3 3 107,85 1 235500 25 2 5 2 1 1 101,68 1 220000 26 5 74 2 3 6 111 1 330000 34 2.5.2.- La tabla sguente presenta la Dstrbucón de la Edad de 200 empleados, sn dferencacón de sexo, de la "Compañía XXX" (Págna 48 ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relatve Cumulatve Cum. Rel. Class Lmt Lmt Mdpont Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 19,0 23,0 21,0 5 0,0250 5 0,0250 2 23,0 27,0 25,0 13 0,0650 18 0,0900 3 27,0 31,0 29,0 27 0,1350 45 0,2250 4 31,0 35,0 33,0 22 0,1100 67 0,3350 5 35,0 39,0 37,0 17 0,0850 84 0,4200 6 39,0 43,0 41,0 23 0,1150 107 0,5350 7 43,0 47,0 45,0 25 0,1250 132 0,6600 8 47,0 51,0 49,0 13 0,0650 145 0,7250 9 51,0 55,0 53,0 13 0,0650 158 0,7900 10 55,0 59,0 57,0 11 0,0550 169 0,8450 11 59,0 63,0 61,0 15 0,0750 184 0,9200 12 63,0 67,0 65,0 10 0,0500 194 0,9700 13 67,0 71,0 69,0 6 0,0300 200 1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Obtenga una tabla de frecuenca como la anteror para que pueda acceder a la sguente nformacón estadístca: 1.- Analce la nformacón y redacte las nterpretacones que surgen de los dstntos componentes de la tabla. 2.- Construya una Hstograma a partr de la tabla anteror, y ponga un nombre en Castellano a su gráfco. Haga un comentaro respecto de la "forma" que presenta. 3.- Construya un polígono de frecuenca a partr de la tabla generada, donde el eje vertcal contenga porcentajes. Ponga un nombre en Castellano a su gráfco. 4.- Construya un polígono de frecuencas relatvas acumuladas a partr de la tabla generada con eje vertcal expresado en porcentajes. Ponga un nombre en Castellano a su gráfco. - 70 -

5.- Usando la ventana Percentles de Tabular Optons, determne el ntervalo numérco contenen el 50 % central de los datos? 6.- Cuál es el coefcente de varacón de los datos?, cuál es su opnón al respecto? 7.- Escrba el valor de las meddas de Tendenca Central : Promedo Artmétco, Promedo Geométrco, Medana y Moda. Qué conclusón se puede obtener al comparar dchos valores? 8.- A partr de la Medana, determne los ntervalos que contenen el 50% nferor y el 50 % superor de los datos? 9.- Usando la ventana Percentles de Tabular Optons, determne el valor máxmo del 15 % nferor de sus datos y el valor mínmo del 10% superor de sus datos. Exprese lo anteror en un ntervalo numérco 10.- Determne el o los ntervalos modales (A partr de su tabla de frecuenca ) e nterprete la moda con su respectva frecuenca absoluta. 11.- Obtenga a partr de su tabla de frecuenca, el valor de la medana,. 12.- Utlzando el promedo, la desvacón estándar, y los valores de la medana y moda antes calculados, obtenga las meddas de sesgo de Pearson y comente que tpo de Smetría presenta la varable. (estandarce dchos valores) 13.- Obtenga para esta varables los gráfcos "Box-Plot", "Probabldad Normal ", "Grafco de la Smetría ". Analce estos gráfcos y obtenga conclusones. 14.- Utlzando el campo "Select", del procedmento selecconado al comenzo, fltre por separado los datos de hombres y mujeres para saber: a) Promedo y la Medana de Hombres y Mujeres b) Cuál de los dos sexos presenta un mayor grado de homogenedad?. Justfque con valores. c) Entre que Rango fluctúan los valores de la varable en las mujeres? En los hombres? d) Comente los coefcentes de Sesgo y de Curtoss de la varable, según sexo 15.- Obtenga un conjunto de conclusones, respecto de la varable en estudo. - 71 -