TÉCICAS ATEÁTICAS DE ODELADO DEL COPORTAIETO DE SISTEAS IFORÁTICOS or Rao Pugaer Agoto de 4
TABLA DE COTEIDOS. ITRODUCCIÓ..... PRESETACIÓ GEERAL..... CLASIFICACIÓ DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS...... Proceo etacoaro...... Proceo deedete...3..3. Proceo de arov...3..4. Proceo de aceto-uerte...4..5. Proceo earovao...4..6. Recorrdo aleatoro...4..7. Proceo de reovacó...4. PROCESOS DE ARKOV...7.. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CADEAS DE ARKOV...7... Cadea de arov de teo cotuo (CTC)...8... Dtrbucó teoral...9..3. Clafcacó de lo etado y dtrbucó e rége etacoaro.....4. otacó atrcal..... PROBLEÁTICA DE LAS CADEAS DE ARKOV...3 3. TEORÍA DE COLAS...4 3.. CARACTERÍSTICAS DE U ODELO DE COLAS...4 3.. OTACIÓ...6 3.3. VARIABLES Y RELACIOES FUDAETALES...7 3.3.. Varable fudaetale...7 3.3.. Relacoe fudaetale...7 3.4. EL PROCESO DE POISSO... 3.4.. Dtrbucó de Poo... 3.4.. Dtrbucó exoecal... 3.4.3. Proedade de lo roceo de Poo... 3.4.3.. Suerocó de roceo de Poo... 3.4.3.. Decoocó de u roceo de Poo...3 3.5. PROCESOS ACIIETO-UERTE...3 3.6. COLAS ///B/K...6 3.6.. Cola //...6 3.6.. Cola // (fto úero de ervdore)...8 3.6.3. Cola //...9 3.6.4. Llegada deaada....3 3.6.5. Cola ///B: Alaceaeto fto...3 3.6.6. Cola ////K: Poblacó fta...33 3.6.7. Cola // //K...36 3.6.8. Cola ///B/K...37 3.6.9. Cocluó...38 3.7. COLA /G/...38 3.7.. Deduccó or el clete arcado...39 3.7.. Deduccó or la fucó geeratrz...4 3.8. ODELO DE SKIER...45 3.9. COLAS CO PRIORIDADES...46 3.9.. Cola co rordade terrucó...46 3.9.. Cola co rordade co terrucó...48 3.. SISTEAS ULTI-COLA...5 3... odelo exhautvo...5 3... odelo co uerta...53 3..3. odelo ltado...53 3.. COLAS CO CLASES DE CLIETES...54 3... Cola co ervdor coartdo...54 3... Cola co ervdor terruble....55 3..3. Cola co etratega de u ervdor or clete....55 3..4. Ley de Cox...56
3.. COLAS G/G/: ÉTODO DE DIFUSIÓ...59 3... Efoque baado e el teorea del líte cetral....59 3... Efoque baado e el roceo de retoro tatáeo...6 4. TEORÍA DE REDES DE COLAS...69 4.. ITRODUCCIÓ...69 4.. TIPOS DE REDES...69 4.3. ÉTODOS AALÍTICOS EXACTOS...7 4.3.. Teorea de BCP...7 4.3... Eelo...76 4.3... Eelo...8 4.3.. étodo de cálculo de rede cerrada...83 4.3... Algorto de Buze (Rede FIFO exoecale)...83 4.3... Dtrbucó argal del úero de clete e el tea...88 4.3..3. Productvdad...9 4.3..4. Utlzacó...9 4.3..5. úero edo de clete e el tea...9 4.3..6. Teo edo de reueta...9 4.3..7. Producto de covolucó...9 4.3..8. Aál del valor edo...9 4.4. ÉTODOS APROXIADOS...97 4.4.. étodo de dfuó...97 4.4.. étodo de decoocó-agregacó... 4.4... Cao de ua red BCP co ua ola etacó o-bcp... 4.4... Cao de ua red BCP co ua ub-red o-bcp...3 4.4.3. étodo de decoocó de Courto...3 4.4.3.. Aál del error e el étodo de decoocó de Courto...9 4.4.4. étodo teratvo... 4.4.4.. Iteracó etre el trataeto aalítco de ua red de cola y el trataeto aalítco de ua cola... 4.4.4.. étodo de lo odelo ubordado... 4.4.4.3. étodo de la red auxlar...5 5. SIULACIÓ... 5.. GEERACIÓ DE SECUECIAS DE ÚEROS ALEATORIOS... 5... Geeradore coguecale leale... 5... Eleccó del ódulo... 5... Eleccó del ultlcador... 5...3. El geerador de úero aleatoro ufore del tea 36...3 5...4. Baraado de lo geeradore cogruecale leale...4 5.. COPROBACIÓ DE LAS SECUECIAS DE ÚEROS ALEATORIOS...4 5... Procedeto de tet geerale ara etudar dato aleatoro...4 5... Tet de cuadrado...4 5... Tet de Kologorov-Srov...5 5... Procedeto de tet eírco ara etudar ecueca de úero aleatoro...6 5... Tet de equdtrbucó...6 5... Tet eral...6 5...3. Tet de la lagua...7 5...4. Tet del óer o de la artcoe...7 5...5. Tet del coleccota de croo...8 5...6. Tet de la erutacó...9 5...7. Tet de la ootoía...3 5...8. Tet del áxo de t...3 5...9. Tet de la coloe...3 5... Tet de la correlacó ere...3 5..3. Procedeto de tet teórco ara etudar dato aleatoro...33 5..3.. Tet eectral...33 5.3. GEERACIÓ DE ÚEROS ALEATORIOS O UIFORES...38 5.3.. Traforacó or la tegral de robabldad vera...38 5.3... Ley exoecal...38 5.3... Ley geoétrca...39 5.3..3. Ley de Beroull...39 5.3..4. Ley de Poo...39 5.3.. Coocó...4 5.3... Ley de Erlag...4 5.3... Ley gaa...4
5.3..3. Ley boal...4 5.3.3. Rechazo-Acetacó...4 5.3.3.. Ley oral...43 5.3.4. Caracterzacó...43 5.3.4.. Ley de Poo...43 5.3.4.. Ley oral...44 5.3.4.3. Ley beta...45 5.3.5. Decoocó...45 5.3.5.. Ley de Cauchy...46 5.3.6. Coaracó...47 5.4. ORGAIZACIÓ DE LOS SIULADORES...48 5.4.. Cotrol del teo e u ulador...48 5.4... Teorzacó ícroa o avace or udade de teo...48 5.4... Teorzacó aícroa o avace or acoteceto...49 5.4.. Etructura de dato e u ulador...49 5.5. AÁLISIS ESTADÍSTICO DE LA SIULACIÓ Y DE SUS RESULTADOS...49 5.5.. Codcoe cale, tratoro y equlbro...49 5.5.. Eleccó de lo taaño de uetra...5 5.5... uetra deedete...5 5.5... uetra correlada...5 5.5.3. étodo ara uetra deedete...54 5.5.3.. étodo de la reetcoe...54 5.5.3.. étodo de la eda de lo lote (batch ea)...55 5.5.3.3. étodo regeeratvo...56 5.5.4. étodo ara uetra correlada...57 5.5.4.. étodo autoregrevo...57 5.5.4.. étodo eectral...6 5.6. VALIDACIÓ Y COPROBACIÓ DE ODELOS DE SIULACIÓ...64 5.7. HERRAIETAS DE COSTRUCCIÓ DE ODELOS...65 5.7.. odelo de ulacó...65 5.7.. Leguae de odelzacó...65 v v
. ITRODUCCIÓ.. PRESETACIÓ GEERAL Qué forátco o e ha ecotrado algua vez eerado a que u ltado alera or la reora ocuada e etr lo terable reultado de ua exlotacó o de otro rograador? Qué que e haya etado e u teral ara trabaar e teo coartdo e u ordeador o ha tedo que eerar a que u rograa etrara e eora o utlzara ufceteete la CPU? Qué efe de exlotacó o e ha vto e la ecedad de hacer eerar rograa que o odía eecutare or falta de cta o dco? Exte, coo e ve, ueroa crcutaca e que la evaluacó del coortaeto de u tea forátco o de coucacoe debe efectuare edate la cotruccó de u odelo. Ello erá aí ere que o exta alguo de lo eleeto hardware o oftware que lo cooe, coo o lo cao de: - Italacó de u uevo tea o de recofguracó (cabo de cofguracó hardware, coderacó de ua carga futura, etc.) de uo extete. - Ilatacó de ueva alcacoe e u tea extete. - Deño de u uevo coutador. - Deño de u tea de coucacoe (hardware o rotocolo). - etc. E todo eto cao lo odelo de evaluacó de retacoe retede oer de afeto lo retardo y cotecoe que e roduce cuado á de u clete (rograa, eae, acceo, etc.) retede hacer uo de u o ervdor (CPU, líea, dco, etc.). La evolucó de eto dotvo uede alare, e geeral, a u roceo etocátco oetdo a deterada etrada. E or ello e que eezará aalzado lo dtto to de roceo etocátco deededo de la relacoe que exte e todo tate etre lo ucevo etado... CLASIFICACIÓ DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS Se codera que u roceo etocátco e ua fala de varable aleatora X(t), que etá dexada or el aráetro t. Se uede agar coo ua artícula que evolucoa a lo largo del teo toado dtto valore. Su clafcacó deede de tre catdade: - el eaco de etado - el aráetro ídce (oralete el teo) - la deedeca etadítca etre la varable aleatora X(t) ara dtto valore del ídce t. El couto de oble valore (o etado) que uede toar X(t) e deoa u eaco de etado. S la ocoe que la artícula uede ocuar o fta y cotable, e drá que e tee u roceo de etado dcreto, al cual tabé e hará refereca coo a ua cadea. Por el cotraro la ocoe ertda de la artícula etá obre u tervalo cotuo fto o fto, etoce e drá que e tee u roceo de etado cotuo.
Se codera ahora el aráetro ídce (teo). S lo tate e que e roduce lo cabo de ocó de la artícula o fto o cotable, etoce e drá que e tee u roceo de teo dcreto. S lo cabo de ocó e roduce e cualquer tate detro de tervalo fto o fto, etoce e drá que e tee u roceo de teo cotuo. E el rer cao e ecrbrá co frecueca X e vez de X(t) y e deoará ecueca aleatora o etocátca e vez de roceo aleatoro o etocátco. Ahora be el uto realete dferecador de lo dtto to de roceo etocátco e la relacó de la varable X o X(t) co lo valore aterore o oterore. Para ello e reco eecfcar la fucó de dtrbucó couta de la varable (o vectore) aleatora X [X(t ), X(t ),...], e decr F X (x, t) P[X(t ) x,..., X(t ) x ] ara toda x (x, x,..., x ), t (t, t,..., t ) y. E cualquer cao e la fucó F X (x, t) la que decrbe eta relacó etre la varable del roceo etocátco. A cotuacó e decrbe alguo to caracterzado or dtto to de relacoe de deedeca etre la varable aleatora. La fgura. reue lo dtto to de roceo etocátco coderado. Proceo e-arovao arbtraro f( t) arbtraro Proceo de arov arbtraro f( t) eora Proceo de aceto-uerte ara - > f( t) eora Recorrdo aleatoro q( - ) f( t) arbtraro Proceo de reovacó q a () f( t) arbtraro Fgura..... PROCESOS ESTACIOARIOS Se drá que u roceo etocátco X(t) e etacoaro F X (x, t) e varate a lo delazaeto de teo ara todo lo valore de u argueto; eto e, dada cualquer cotate t, debe culre
F X (x, t t) F X (x, t) dode la otacó t te defe coo el vector (t t, t t,..., t t). Ua ocó aocada, la de etacoardad e etdo alo, e detfca co el roceo aleatoro X(t) olaete el rer y el egudo oeto o deedete de u ocó e el ee del teo, eto e E[X(t)] e deedete de t y E[X(t)X(t t)] deede olo de t, ero o de t. Se oberva que todo lo roceo etacoaro lo o e etdo alo, ero o al revé. Evdeteete, la teoría de lo roceo etacoaro e á eclla que la de lo o etacoaro.... PROCESOS IDEPEDIETES El á ecllo y trval de lo roceo etocátco e la ecueca aleatora e que {X } fora u couto de varable aleatora deedete, eto e la fucó de dtrbucó de robabldad del roceo etocátco uede decooere e roducto de factore de cada cooete f X, X,..., X X, ( X t) f ( X,..., X, t,..., t ) f ( X t ) E ete cao e lleva al extreo la coa al llaar roceo aleatoro a tal ecueca, ueto que o hay etructura deedeca etre la varable aleatora. E cao de u roceo aleatoro cotuo uede defre y hacere refereca a él coo "rudo blaco" (u eelo e la dervada reecto al teo del oveto browao)...3. PROCESOS DE ARKOV Cottuye ua fora eclla y útl de deedeca etre la varable aleatora que fora el roceo etocátco. U roceo de arov co u eaco de etado dcreto e deoa cadea de arov. La cadea de arov de teo dcreto e la á fácl de cocetualzar y coreder. U couto de varable {X } fora ua cadea de arov la robabldad que el uevo etado ea x deede olo del etado actual x y o de lo etado aterore; e decr la deedeca e extede haca atrá olo ua udad de teo o be la htora del roceo que afecta a u futuro queda reuda e u etado actual. E el cao de ua cadea de arov de teo dcreto, lo tate e que el tea uede cabar de etado e uede alar a lo etero,,,...,,. E el cao de cadea de arov de teo cotuo, la tracoe etre etado uede roducre e cualquer tate. Por lo tato e etá oblgado a coderar la varable aleatora que decrbe durate cuato teo el tea eraecerá e u etado (dcreto) actual ate que e roduzca ua tracó a otro etado. Pueto que la roedad de arov exge que toda la htora aada e reua e el etado actual, ello oe ua fuerte retrccó e la dtrbucó del teo de roceo redual que el tea eraecerá e el etado actual. De hecho, coo e verá, e exge que la dtrbucó ea eora, lo cual cule la dtrbucó exoecal ara teo cotuo y la geoétrca ara teo dcreto. Aalítcaete la roedad de arov uede ecrbre coo P[X(t ) x X(t ) x, X(t - ) x -,..., X(t ) x ] P[X(t ) x X(t ) x ] dode t < t <... < t < t y x etá cluda e algú eaco de etado dcreto. 3 3
..4. PROCESOS DE ACIIETO-UERTE Cottuye ua clae uy ortate detro de lo roceo de arov y la codcó uleetara que reeta tato e teo cotuo coo dcreto e que la tracoe e roduce ólo etre etado veco. Eto e, e elge el couto de lo etero coo eaco de etado dcreto ( érdda de geeraldad), etoce el roceo de acetouerte requere que X, etoce X -, ó y gú otro...5. PROCESOS SEIARKOVIAOS E ete cao lo que e hace e relaar la exgeca de falta de eora e la dtrbucoe que defía lo tervalo etre tracoe de lo roceo de arov hacedo que ahora ueda er cualquer to de dtrbucó. Se oberva, ebargo que e lo tate de tracó etre etado, el roceo e coorta exactaete coo u roceo de arov ordaro y e drá que lo roceo earovao tee u roceo de arov cludo e lo tate de tracó...6. RECORRIDOS ALEATORIOS E el etudo de lo roceo etocátco e ecuetra a eudo roceo deoado recorrdo aleatoro, que e uede coderar coo el que realza ua artícula ovédoe etre lo etado de algú eaco de etado (or eelo, dcreto). El teré cote e detfcar la tuacó de la artícula e el eaco de etado. El aecto obrealete de u recorrdo aleatoro e que la guete ocó de la artícula e gual a la recedete á ua varable aleatora extraída de ua dtrbucó arbtrara y que o caba co el etado del roceo. Eto e, e drá que ua ecueca {S } e u recorrdo aleatoro (cado e el orge) S X X... X ara,,,. dode S y X, X, e ua ecueca de varable aleatora co ua dtrbucó coú. El ídce cueta olaete el úero de tracoe de etado que e ha roducdo. E cualquer cao u recorrdo aleatoro o e á que u cao artcular de roceo earovao. E el cao e que la dtrbucó de X ea dcreta, e tee e u recorrdo aleatoro de etado dcreto e cuyo cao la robabldad de r del etado al deede olo de la dfereca de ídce - (y que e deoará q( )). U eelo de recorrdo aleatoro e teo cotuo e el oveto browao y e teo dcreto e el del úero total de cara obtedo al lazar ua oeda al are...7. PROCESOS DE REOVACIÓ Lo roceo de reovacó cottuye ua clae artcular de lo recorrdo aleatoro e lo que el teré cote e cotar la tracoe que e ha roducdo, á que e aber dode e halla la artícula e u tate cualquera. Eto e, e codera u ee de teo real e el cual e ha tuado la ecueca de uto correodedo a lo tate de tracó. La dtrbucó de lo teo etre uto coecutvo gue ua fucó arbtrara. Se uoe que el roceo eeza e el etado (eto e, X() ) y que aueta de ua udad e cada tracó; eto e, X(t) e gual al úero de tracoe que e ha roducdo e el erodo t. E ete etdo e u cao eecal de recorrdo aleatoro e que q y q ara. Por otro lado e uede coderar que la ecuacó que decrbe u roceo de reovacó e que S e la varable aleatora que rereeta el tate e que e roduce la -éa 4 4
tracó. Coo ate la ecueca {X } e u couto de varable aleatora deedete dtrbuda détcaete, dode X rereeta ahora el teo etre la tracoe - y. Hay que er cudadoo co la terretacó de la ecuacó que decrbe u roceo de reovacó ya que cuado e alca a u roceo de reovacó decrbe el tate de la -éa tracó, etra que cuado e refere a u recorrdo aleatoro decrbe el etado del roceo y el teo etre tracoe e algua otra varable aleatora. 5 5
. PROCESOS DE ARKOV E ete caítulo e va a troducr alguo coceto obre Proceo de arov, rofudzar deaado e u aecto ateátco. S ebargo, í que e tereate u utlzacó coo herraeta ara valdar lo tea tolerate a fallo y ara cotrur odelo de retacoe de tea forátco y teleforátco, y or ello terea u cooceto... PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CADEAS DE ARKOV Lo roceo etocátco cottuye u área de gra ortaca detro de la etodología etadítca, edo la herraeta fudaetal ara el aál de feóeo aleatoro dáco. E decr, ara el etudo de varable que fluctúa aleatoraete e el teo. Su cao de alcacó abarca dede la redccó, (e área coo la ecooía, la clatología, etc.), al cotrol etadítco de roceo (de gra ortaca e la dutra) y a la otzacó de tea aleatoro dáco. El etudo de roblea de garatía de fucoaeto y retacoe de tea forátco requere ua herraeta aalítca uy otete. ucha de eta herraeta tee u fudaeto, recaete, e la teoría de roceo etocátco y á cocretaete e lo roceo y cadea de arov. U roceo etocátco e ua fala de varable aleatora {X(t), t T}, defda e u eaco robablítco, dexada or el aráetro t, dode t varía detro de u couto de ídce T. Lo valore que toa la varable aleatora X(t) e llaa etado, y el couto de todo lo oble valore fora el eaco de etado, S, del roceo. S el eaco de etado de u roceo etocátco e dcreto, etoce e llaa roceo de etado dcreto o cadea. E ete cao el eaco de etado uele er el couto de lo úero aturale {,,, }, o u ubcouto de él. Alteratvaete, el eaco de etado e cotuo, etoce e tee u roceo de etado cotuo. Del o odo, el couto de ídce t e dcreto, etoce e tee u roceo de aráetro dcreto; e cao cotraro e tee u roceo de aráetro cotuo, dode oralete T [, ). Lo roceo etocátco co eaco de etado dcreto y aráetro cotuo o lo que e ua á frecueteete e lo odelo de retacoe y de toleraca a fallo. Por ello e el reto de ete aartado ólo e tratará ete to de roceo etocátco. Auque todo lo dcho ara éto e exteble ara roceo etocátco de aráetro dcreto. U roceo de arov e u roceo etocátco cuyo coortaeto dáco e tal que la dtrbucoe de robabldad ara u dearrollo futuro deede ólo del etado actual y o de cóo el roceo llegó a ee etado. E decr, ara t < t < t < < t < t, co t y t r (r,,, ), u fucó de dtrbucó de robabldad codcoal atface la guete relacó, coocda coo la roedad de arov: [ X () t x X ( t ) x, X ( t ) x,..., X ( t ) x ] P[ X ( t) x X ( t ) x ] P S e codera que el eaco de etado, S, e dcreto (fto o cotableete fto), etoce el roceo de arov e cooce coo cadea de arov. S adeá e codera que el eaco araétrco, t, e cotuo, etoce e tee ua cadea de arov de aráetro cotuo (CTC). Eto gfca que la tracoe dede u etado dado a otro tee lugar e cualquer tate de teo. 7 7
S el coortaeto del roceo o deede del tate de obervacó, e uede elegr de fora arbtrara el orge del ee de teo. Por lo tato e uede afrar que [ X () t x X ( t ) x ] P[ X ( t t ) x X ( ) x ] P Ua cadea de arov e dce que e hoogéea cule la ateror codcó. E ete caítulo ólo e tratará cadea de arov hoogéea. Ua lcacó ortate de la roedad de arov e que la dtrbucó del teo de eraeca e cualquer etado debe carecer de eora. E realdad, la evolucó futura deede ólo del etado actual, o uede deeder de la catdad de teo que el roceo ya ha coudo e ee etado. Eto, eareado co la obervacó que ara ua varable aleatora cotua W la úca fucó de dedad que atface la roedad de aueca de eora e la exoecal egatva, [ W t τ W t] P[ W τ] P f W aw ( w) ae, w, lleva a la cocluó que lo teo de eraeca e lo etado de ua CTC debe er varable aleatora dtrbuda exoecalete.... CADEAS DE ARKOV DE TIEPO COTIUO (CTC) Cocretado la roedad de arov ara teo cotuo y eaco dcreto e obtee la defcó de ua CTC: El roceo etocátco {X(t), t } e ua CTC cule la codcó: P [ X ( t ) x X ( t ) x, X ( t ) x,..., X ( t ) x ] P[ X ( t ) x X ( t ) x ] ara t t... t y todo, todo x S, y toda la ecueca {t, t,, t }. La exreó de la arte derecha de la ecuacó ateror e la robabldad de tracó de la cadea, y deota la robabldad que el roceo vaya dede el etado x al etado x. Se utlzará la guete otacó: ( t, Θ ) P[ X ( Θ) X ( t) ] ara detfcar la robabldad que el roceo eté e el etado e el tate Θ, etaba e el etado e el tate t, uoedo Θ > t. Cuado Θ t e uede defr ( t, t),, e cao cotraro S la CTC e hoogéea, la robabldade de tracó ólo deede de la dfereca τ Θ - t, or lo que e uede lfcar la otacó ecrbedo: ( τ ) P[ X ( t τ) X ( t) ] 8 8
ara dcar la robabldad que el roceo eté e el etado deué de u tervalo de logtud τ, dado que actualete etá e el etado. La ua de todo lo (τ) ara todo lo oble etado e el eaco de etado S vale ara todo lo valore de τ.... DISTRIBUCIÓ TEPORAL La robabldad que el roceo e ecuetre e u etado e u tate dado t: π ( t) P[ X ( t) ] uede calculare a artr de la robabldade de tracó y de la dtrbucó cal del roceo. Utlzado el teorea de la robabldad total, e obtee: π ( t) ( t) π ( ) S Por lo tato, el coortaeto robablítco del roceo queda deterado coocedo la dtrbucó cal y la robabldade de tracó. Utlzado la roedad de arov, e uede obteer la ecuacó de Chaa-Kologorov ara ua CTC hoogéea que relacoa la robabldade de tracó a lo largo del teo: ( t) ( t Θ) ( Θ) S E el cao de teo cotuo, ara obteer la robabldade de tracó e ecearo reolver u tea de ecuacoe dferecale que e derva de la ecuacó de Chaa- Kologorov. Se defe: q l t q l t ( t) t, ara ( t) Puede deotrare que tale líte exte bao certa codcoe de regulardad. La terretacó tutva de eta do catdade e la guete. Dado que el tea etá e el etado e algú tate de teo t, la robabldad que e roduzca ua tracó al etado e u tervalo de logtud t e q t. La taa co la que el roceo e ueve dede el etado al etado e gual a q. Del o odo, -q t e la robabldad que el roceo e ueva dede el etado haca cualquer otro etado e u tervalo de duracó t. E coecueca, -q e la taa co la que el roceo abadoa el etado. Se uodrá que q e fto ara todo, S. Obérvee que: t S q, S De la exreó de (t) e uede ecrbr 9 9
( t t) ( t) [ ( t t Θ) ( t Θ) ] ( Θ) Dvdedo abo lado or t y toado el líte ara t y Θ t S d dt ( t) S q () t, e obtee: Eta ecuacó e cooce coo ecuacó oteror de Kologorov. Del o odo, e uede dervar la ecuacó ateror de Kologorov: d dt ( t) S Eto reultado, uto co la roedad que la ua de la robabldade e todo tate e gual a, da u tea de ecuacoe dferecale cuya olucó roorcoa la dtrbucó del roceo obre el eaco de etado S e u tate t arbtraro: dπ dt ( t) S E ucho cao, la olucó exlícta de ete tea de ecuacoe dferecale e dfícl de obteer. E eto cao e debe recurrr a la tegracó uérca. A vece, o e ecearo obteer la dtrbucó teoral, ya que cuado exte la olucó e rége etacoaro, que uede er útl ara ucha alcacoe ráctca...3. CLASIFICACIÓ DE LOS ESTADOS Y DISTRIBUCIÓ E RÉGIE ESTACIOARIO La codcoe ara la exteca de la dtrbucó e rége etacoaro deede de la etructura de la cadea y de la clafcacó de lo etado. Se defe h coo el tate de la rera vta al etado, e decr, el tate e que el roceo etra or rera vez e el etado, deué de abadoar el etado actual. Adeá, e defe: q q π () t () t [ < X ( ) ] f P h coo la robabldad de vtar el etado e u teo fto artedo del etado. Se dce que u etado e tratoro (o o recurrete) y ólo hay ua robabldad otva de que el roceo o vuelva al etado deué de abadoarlo; e decr, f <. U etado e dce que e recurrete y ólo, artedo del etado, el roceo vuelve e u teo fto al etado co robabldad : e decr, f. U etado e dce que e aborbete q ara todo, or tato q. U etado e dce que e alcazable dede el etado ara algú t >, (t) >. U ubcouto A del eaco de etado S e dce que e cerrado A A q
E ete cao (t) ara todo A, todo A, y todo t >. De ete odo, lo etado de A o o alcazable dede etado de A. Deué de defr la roedade de lo etado dvduale, e va a defr ua ortate roedad de ua cadea de arov coderada coo u todo. Ua cadea de arov e dce que e rreducble S e cerrado y gú ubcouto roo de S e cerrado. E decr, cada etado de S e alcazable dede cualquer otro etado. Se defe la robabldade líte {π, S } coo π lt Puede deotrare que ara toda CTC rreducble y hoogéea lo líte aterore exte y o deedete de la dtrbucó cal {π (t), S }; or otra arte, cuado exte lo líte: d π ( t) ( t) π l t dt e obtee guete el tea de ecuacoe leale de odo que: S q π Ya que éte e u tea hoogéeo, ua oble olucó e π ara todo S. S éta e la úca olucó del tea, etoce o exte la dtrbucó etacoara ara la CTC. S, e cabo, exte otra olucoe, etoce la úca dtrbucó líte de la CTC e obtee oedo la codcó de oralzacó: S π E ete cao lo etado de la CTC o recurrete, o ulo y ergódco, de odo que e dce que la roa cadea e ergódca. La robabldade líte de ua cadea de arov ergódca atface la relacó π l t ( t) La dtrbucó líte de ua CTC ergódca e llaa tabé dtrbucó e equlbro o e rége etacoaro. El teo edo de recurreca ara u etado,, e defe coo el teo edo tracurrdo etre do tate ucevo e lo que el roceo etra e el etado. Puede deotrare que: π q
..4. OTACIÓ ATRICIAL Se va exrear e otacó atrcal alguo de lo reultado á ortate troducdo hata aquí. Se utlza eta otacó rcalete or la cooddad de aeo que roorcoa. Se defe la atrz de robabldade de tracó P(t) coo [ ], P( ) I ( ) ( t) P t y e defe π(t) coo el vector de robabldade de etar e cada etado e el tate t π(t) {π (t), π (t), } La ecuacó que decrbe la evolucó del etado del tea uede ecrbre e fora atrcal coo: y la ecuacó de Chaa-Kologorov coo: Se uede, tabé, defr la atrz: π(t) π()p(t), P(t) P(t - Θ)P(Θ) Q [q ] que e deoa tato geerador fteal de la atrz de robabldade de tracó P(t) coo atrz de taa de tracó. La ecuacoe oteror y ateror de Kologorov uede ecrbr e fora atrcal, obteédoe, reectvaete: dp dt dp dt ( t) ( t) QP () t P( t)q Eta ecuacoe adte la olucó geeral guete: Qt ( t) e P que e á elegate dede u uto de vta foral, ero co la a dfcultad de evaluacó. La ecuacoe dferecale que decrbe la robabldade de etar e deterado etado e u tate t e uede reecrbr coo: dπ π dt ()Q t Falete, la ecuacó atrcal que defe la dtrbucó e rége etacoaro de ua CTC ergódca e:
dode π {π, π, }. πq.. PROBLEÁTICA DE LAS CADEAS DE ARKOV El rcal roblea que reeta la cadea de arov e el de u deó. Debdo a la exloó de etado, lo odelo de tea coleo e coverte e tratable aalítcaete. Se ha dearrollado algua técca ara reducr la coledad del roblea. La olucó á coú, coo e etudará e el aartado 4.4.3. cote e dvdr el tea e u couto de ubtea eore, reolver eto ubtea earadaete, y cobar eta olucoe arcale ara obteer la olucó del tea global. Eta técca e cooce coo decoocó etructural. Ua alteratva a éta e la decoocó fucoal, que e uede alcar cuado lo teo etre eveto gue dáca de velocdade dtta, que, e alguo cao, uede llegar a er varo órdee de agtud ayore. ucho de lo odelo que e etudará e lo aartado que gue uede rereetare or cadea de arov. o obtate, atededo a la artculardad de u etructura doe de étodo que erte hallar u olucó e rége etacoaro co u efuerzo de cálculo otableete feror. 3 3
3. TEORÍA DE COLAS E lo coutadore e frecuete ecotrar a dvero trabao coartedo u úero ltado de recuro, tale coo la CPU, lo dco u otro dotvo. Geeralete, ólo uo (o uo oco) de lo trabao uede utlzar el recuro etra que lo deá eera e cola. La teoría de cola de eera e ua herraeta ateátca que erte cuatfcar el feóeo de foracó de cola. A travé de ella e tetará calcular el teo que aa u trabao e cada ua de la cola que e fora e u tea (y or tato, el teo total que aa u trabao detro del tea o teo de reueta), la logtud eda de eta cola y otra ere de aráetro que ayudará a deterar la retacoe del tea. o e or tato orredete que la teoría de cola ea ta oular etre lo que e dedca a evaluar la retacoe de lo tea de coutacó. 3.. CARACTERÍSTICAS DE U ODELO DE COLAS Se uede agar u gruo de etudate de forátca eerado e la ala de terale del cetro de cálculo. Exte u úero deterado (y ltado) de terale a docó de lo aluo. S cuado llega u etudate todo lo terale etá ocuado, éte aa a eerar e la cola. E téro de teoría de cola, lo etudate uele llaare clete. Para abordar el etudo de la foracó de cola de eera, e utlzará u odelo abtracto que e deoará etacó de ervco. La etacó de ervco etá coueta or u ervdor o couto de ervdore que rereeta al recuro y ua cola de eera, que e cada oeto cotedrá a aquello clete que a u llegada a la etacó de ervco ecuetra al ervdor o ervdore ocuado (fgura 3.). Fgura 3.. E el eelo de lo etudate, la etacó de ervco e el cetro de cálculo, lo ervdore o lo terale y lo etudate que llega cuado todo éto etá ocuado fora la cola de eera. Para aalzar ete tea e ha de que eecfcar la guete caracterítca: - Proceo de llegada. S e deoa t, t,, t a lo tate e lo que e roduce la llegada de lo etudate, la varable T t - t - rereetará lo teo etre llegada. El roceo de llegada á le correode al cao T T T cotate, que e deoa roceo de llegada regulare o deterta. S ebargo, ara ucha alcacoe e trata de u odelo oco realta y que, adeá, o tee u trataeto ateátco ecllo. E geeral, e uodrá que la T fora ua ecueca de varable aleatora détca e deedeteete dtrbuda (IID). El roceo de llegada que e utlzará co ayor frecueca e el roceo de Poo que correode al cao e el que lo teo etre llegada tee ua dtrbucó exoecal. E algua ocaoe e utlza otro roceo, coo lo que correode al cao de teo etre llegada co ua dtrbucó de Erlag o herexoecal. De hecho hay ucho reultado de la teoría de cola que o váldo ara toda la dtrbucoe del teo. E eto tea e utlzará lo téro "clete'', "trabao'' o "tarea'' egú covega ara hacer refereca a lo que crcula a travé de la etacoe de ervco, eerado e la cola y recbedo ervco e lo ervdore 4 4
etre llegada. E eto cao, e dce que el reultado e váldo ara ua dtrbucó geeral. - Dtrbucó del teo de ervco. Se eceta coocer cuál e el teo que cada etudate aa e u teral. Eto e lo que e deoa teo de ervco. Geeralete e uodrá que el teo de ervco e ua varable aleatora IID. La dtrbucó á exteaete utlzada e la exoecal, auque ocaoalete e utlza la de Erlag, la herexoecal y la geeral. De uevo, u reultado obtedo ara ua dtrbucó geeral e váldo ara toda la dtrbucoe. - úero de ervdore. Pueto que la ala de terale uede coteer uo o varo terale, e uodrá que todo lo terale o détco y que fora arte del o tea de cola. De eta fora cualquer teral uede er agado a cualquer etudate. - To de ervdore. Hace refereca al coortaeto de lo ervdore reecto de lo clete. Puede, or eelo, actuar bucado e la cola edataete deué de la alda de u clete o eerar u teo ate de hacerlo y o ecuetra gú clete eerado dear aar u uevo tervalo ate de volver a rar e la cola. - Caacdad del tea. E el áxo úero de clete que uede eraecer e la etacó de ervco: hacedo uo de lo ervdore o eerado. Eta retrccó uede urgr debdo a ltacoe de eaco o ara evtar la foracó de larga cola. Cuado la caacdad del tea e grade, uoer ua caacdad fta faclta el aál ateátco. ótee que la caacdad del tea cluye a lo que etá recbedo ervco y a lo que etá eerado e la cola. - Taaño de la oblacó. El úero total de clete que uede llegar a la etacó de ervco e el taaño de la oblacó. E la ayoría de tea reale el taaño de la oblacó e fto. S ebargo, la oblacó fta reeta ayor coledad ateátca ya que, e u tate deterado, el úero de clete que ya etá e la etacó de ervco afecta al úero de clete que otecalete uede llegar a la etacó. Por tato, la oblacó e grade, e faclta el aál uoédola fta. - Polítca de ervco. E la fora de eleccoar cuál de lo clete que eera e cola aará a utlzar u ervdor, e el oeto que uo de ello quede lbre. Hay vara etratega: * Frt Coe, Frt Served (FCFS) o FIFO, lo clete e rve e el orde de llegada. * Lat Coe, Frt Served (LCFS) o LIFO, lo clete e rve e el orde vero al de llegada. * Roud-Rob (RR), e ofrece ua catdad de ervco fa y equeña a cada clete, de fora crcular. * Proceador coartdo (Proceor Sharg, PS), e el líte de la RR cuado e dedca teo de ervco ftealete equeño a cada clete. * Al azar (Servce I Rado Order, SIRO), lo clete que eera e cola e atede e orde aleatoro. * Prordad, ara que e ueda alcar ua olítca rortara, debe er oble dtgur dtta clae de clete. Se otorga refereca a ua clae obre otra. Se uede uoer tabé que hay ua cola ara cada rordad ordeada egú la olítca correodete. Cuado el clete que llega uede teer rordad obre el que etá recbedo ervco (ocurre e la LCFS o cuado tee dtta rordade) e deberá 5 5
dcar el equea de rordade afecta úcaete a lo clete que etá e cola o a todo (cluyedo lo que recbe ervco), dado lugar a tre odaldade:. o exulva, (o reetve): lo clete que etá e el ervdor o o afectado.. Exulva co reaudacó, (Preetve-reue): el equea de rordade e extede a lo clete que etá recbedo ervco. Por lo tato, u clete que llega tee ayor rordad que alguo de lo que etá recbedo ervco, uo de éto e dealoado or el recé llegado. Cuado el clete dealoado llega de uevo al ervdor, reerede el ervco e el uto dode lo deó.. Exulva co recalzacó, (Preetve-retart): coo la ateror, ero cuado u clete dealoado llega de uevo al ervdor debe coezar u ervco coo uca ate lo hubera recbdo. 3.. OTACIÓ Para eecfcar u odelo de cola e deberá eecfcar e aráetro de lo que e ha ltado e el aartado ateror. Para hacerlo de ua fora coacta e uele utlzar ua otacó abrevada troducda or Kedall. La fora geeral e la guete: A/S/ [/B/K/DS] Lo tre últo aráetro, o e exlcta, toa u valor or defecto, dode, - A e la dtrbucó del teo etre llegada, - S e la dtrbucó del teo de ervco, - e el úero de ervdore, - B e la caacdad del tea (valor or defecto: fto), - K e el taaño de la oblacó (valor or defecto: fto), - DS e la olítca de ervco (valor or defecto: FCFS). Tato A coo S bolza dtrbucoe de robabldad y e rereetará edate ua úca letra co el guete gfcado: - Exoecal (o arovaa), - E Erlag co aráetro, - H Herexoecal co aráetro, - D Deterta, - G Geeral. E eta dtrbucoe e uodrá que la llegada e roduce dvdualete y que cada ervdor atede a olo u clete e cada tate. Puede dare e la realdad roceo de llegada o de ervco que e roduzca e gruo. E eto cao, el taaño de eto gruo, e uoe cotate, e dca edate u uerídce. Por eelo ua llegada de Poo e gruo e rereeta or x, edo x el taaño del gruo. DS rereeta la olítca de ervco y uele eecfcare or ua de la de la guete gla: FCFS, LCFS, PS, cuyo gfcado e ha vto e el aartado ateror. 6 6