Breves apuntes sobre la teoría de errores.

Transcripción

1 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 903 Aexo 6 Breves aputes sobre la teoría de errores. A6.. Itroduccó. Se troduce breveete los coceptos fudaetales de la teoría de errores para esayos experetales. Se trata de errores coetdos e la edda de ua varable y errores coetdos e la edda drecta de ua fucó que depede de varas varables. Las varables eddas puede ser estadístcas o o estadístcas. E el setdo estrcto de la palabra ua varable se cosdera estadístca cuado se ha obtedo u elevado úero de eddas de la sa. Este úero, e geeral, se cosdera que tee que ser superor a 00 (Box, Huter y Huter, 988; Gaberardo, 97?). Alguos autores cosdera ua varable estadístca cuado su valor se ha eddo u úero de veces superor a 30 (Martíez y Macá, 988). E la práctca o se suele realzar ás de 0 ó 0 eddas de cada varable. E este caso los errores estadístcos perde sgfcado y queda coo defcoes covecoales que se utlza para expresar los resultados experetales

2 904 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. (Gaberardo, 97?). Por este otvo, juto co el valor asocado a ua varable hay que dcar el úero de eddas experetales realzado sobre la sa. S el úero de eddas efectuadas es feror a 0 se cosdera que la varable es o estadístca y o se puede teer gua cofaza e los errores estadístcos calculados. Los errores asocados a ua varable puede ser de dferetes tpos: Errores ssteátcos. Se repte e todas las eddas experetales realzadas. Puede estar ocasoados por: - Errores e la calbracó de los struetos de edda. - Codcoes experetales o adecuadas. - Téccas experetales perfectas. - órulas o teorías correctas. Errores casuales. So aleatoros. Está presetes e todas las eddas que se realza. Detro de éstos se cluye: - Los errores de aprecacó que depede de la ía dvsó de la escala del aparato de edda. - Los errores debdos a las codcoes de trabajo. Varacoes e las codcoes del laboratoro (huedad, teperatura, presó atosférca, etc...) puede producr osclacoes e las eddas. - Errores producdos por la falta de defcó de la agtud que se quere edr. Errores legítos. Aquellos que o so casuales y que o se coete de fora ssteátca e el expereto. Se puede agrupar e: - Errores persoales. Ocasoados por u uso correcto de los struetos o por lecturas exactas. - Errores de cálculo. Debdos a eudo a la falta de precsó del strueto o prograa utlzado para el cálculo. - Errores caótcos. Puede ocurrr ua perturbacó que, e uas eddas deteradas geere u error superor al error casual. E

3 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 905 estos casos es ecesaro desestar estas eddas. Puede ocurrr, por ejeplo, e el caso de u cable al coectado, ua sobretesó, u cotacto al hecho, etc... E este aexo se aalza, báscaete, la estacó de errores aleatoros. A6.. Errores de ua varable. A6... Proedo, errores aparetes, errores verdaderos y error sobre el proedo. Cuado se de experetalete ua varable V se realza eddas de su valor, u co,... El valor real de esta varable e u certo U real descoocdo. Se deoa errores verdaderos a la dfereca etre cada ua de las eddas experetales y el valor real de la varable: real ε u U, co,...,. (A6.) Se deoa valor proedo de la varable U a: u u (A6.) Este valor proedo se dce que es el valor ás probable de la varable U. Se cosdera que, para poder teer u valor estadístco de û, ha de ser ayor o gual a 0. El error aparete o resduo es la dfereca etre cada ua de las eddas realzadas y el valor proedo de la varable: e u u co,..., (A6.3)

4 906 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. Estos errores, a dfereca de los errores verdaderos, so ua catdad que se puede calcular. El deoado error sobre el valor proedo es tabé ua catdad descoocda y se defe coo: E real u U (A6.4) A6... Hstograa, dstrbucó oral, t de Studet, c y curva de Gauss. Se deoa hstograa al esquea que uestra e úero de veces que se obtee valores deterados de ua sa agtud. S el úero de eddas realzadas es uy grade y los tervalos cosderados para el hstograa so pequeños se tee ua dstrbucó f(x). La probabldad de que ua sola de las eddas realzadas, toada aleatoraete, esté copredda e el tervalo etre x y x+dx se calcula coo f(x)dx. Coo la probabldad de que ua edda cualquera tega u valor cualquera ha de ser la udad, se cuple que: + f (x)dx (A6.5) Se defe el proedo de ua certa catdad x coo: + x (A6.6) + xf (x)dx f (x)dx La fucó f(x) se puede defr de tal aera que sea depedete de la aturaleza de la edda y de los struetos utlzados. Dferetes defcoes de esta fucó proporcoa dferetes dstrbucoes. Ua de las ás utlzadas es la dstrbucó de Gauss, llaada tabé dstrbucó oral, defda coo: h h x f (x) e (A6.7) π

5 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 907 Sedo h u paráetro de precsó que detera lo aguda que es la curva sétrca defda por esta fucó. Ua edda de la varable U es tato ás precsa cuato ayor es el valor de h, lo que equvale a que los errores aparetes de las eddas so pequeños, por lo que estas eddas se cocetra alrededor del su valor proedo. Valores elevados de h proporcoa ua curva aguda. Para obteer la fucó de Gauss se cosdera la probabldad de obteer ua certa edda detro de u tervalo etre x y +x : + x x + x x + x h h x h h x f (x)dx e dx e dx (A6.8) π π 0 Realzado el cabo de varables: t hx (A6.9) La ecuacó 6.8 queda coo: θ (z) e dt (A6.0) π t z A la expresó 6.0 se le cooce coo tegral de Gauss y se evalúa edate étodos uércos o por aproxacoes. Sus valores está tabulados (ver, por ejeplo, Gaberardo, 97?). No sepre los datos experetales se ajusta a ua dstrbucó oral. Se cosdera etoces otros odelos, coo el defdo por la dstrbucó t de Studet: + + Γ x f (x) + (A6.) π Γ

6 908 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. Dode es el úero de grados de lbertad de la varable x porque ésta es la sua de varables aleatoras depedetes etre las que o exste gú tpo de relacó que restrja su capo de varabldad. Cada ua de estas varables puede toar u valor cualquera etre - e (Martez y Macà, 986). Γ es la fucó gaa. Otra dstrbucó bastate coú es la χ. Sea u co,...,, varables aleatoros co dstrbucó oral. Se cosdera ua ueva varable aleatoro defda coo: χ u (A6.) Esta ueva varable sgue ua dstrbucó χ probabldad se defe por: s su fucó de desdad de f (x) 0 Γ x e x para 0 < x para x < 0 (A6.3) Sedo el coefcete, coo e la ecuacó 6., el úero de grados de lbertad y Γ la fucó gaa. A6..3. Error cuadrátco edo y error estádar. Error cuadrátco edo. El error cuadrátco edo de ua sere de eddas de la varable U represeta el error que se supoe se ha coetdo sobre cada ua de las eddas u k. Se defe coo: µ c k e k (A6.4)

7 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 909 Sedo el úero de eddas de la varable U realzadas y e k el error aparete de u k. Cuado se detfca el paráetro h de la fucó de Gauss ua fucó del error cuadrátco dada por: h (A6.5) µ c Etoces la probabldad de que el error sobre la edda de U esté copreddo etre dos valores x y x+dx vee dado por: f (x)dx µ c e π x µ c dx (A6.6) Aalzado esta expresó se llega a que la probabldad de que ua edda u k dfera del valor proedo û e ás de 3µ c es de u 0.7%. Error estádar. Se calcula el error cuadrátco edo del proedo: - Se detera los proedos û, û,..., û. - Se costruye la curva de Gauss de los proedos, que resulta sétrca a u valor u. Se cosdera que la dfereca etre u proedo cualquera y u proedo de proedos se dstrbuye segú la ley de Gauss. - Co estas cosderacoes el error cuadrátco edo o error estádar vee dado por:

8 90 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. µ c µ c σ (A6.7) Esta expresó es certa para eddas estadístcas, es decr aquellas para las cuales el valor (repetcó de eddas) es uy elevado. Idetfcado el paráetro h de la dstrbucó de Gauss por: h (A6.8) σ Se tee que la fucó de dstrbucó de probabldad A6.6 puede escrbrse coo: f (x)dx e σ x σ dx (A6.9) Que represeta la probabldad de que el proedo de ua cualquera de esta sere de eddas efectuadas dfera del valor proedo de todas ellas, cosderado uy próxo al valor verdadero de la varable, e ua catdad copredda etre x y x+dx. El valor del error defdo e la ecuacó A6.7 resulta ser la catdad ás adecuada porque da ua dea de la probabldad de que el proedo û de ua sere de eddas dfera del valor verdadero U real de la varable U. A su vez, la expresó A6.7 es equvalete a: σ k e k ( ) (A6.0) Sedo σ el error coocdo coo estádar, que tabé recbe el obre de desvacó típca, sedo ua edda de la dspersó de los datos.

9 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 9 S se tee ua sere de eddas de ua certa varable U: u, u,..., u, el valor verdadero de esta varable, U real tee ua probabldad de estar copreddo etre: ) (û - σ) y (û + σ) del 68.3%. ) (û - σ) y (û + σ) del 95.45%. 3) (û - 3σ) y (û + 3σ) del 99.73%. Esto dca que el proedo û tee ua probabldad de eos del 0.7% de dferr e ás de 3σ del valor verdadero de la varable U real. Este error estádar, que o se escrbe co ás de dos cfras decales, se puede cosderar coo el error absoluto cuado la varable aalzada es estadístca, es decr, que este trataeto es váldo cuado el úero de veces que se ha repetdo ua sa edda es elevado. Se suele cosderar que todo lo expuesto hasta este puto es váldo cuado 00. A6..4. Evaluacó del error cuado es pequeño. Varables o estadístcas. E la práctca o se suele efectuar ás de 0 ó 0 eddas de ua sa varable. Cuado esto ocurre, los errores troducdos hasta este puto perde su sgfcado y queda úcaete coo defcoes covecoales que geeralete se utlza para expresar los resultados experetales (Gaberardo, 97?). S el úero de eddas es feror a 0 se observa que el error que afecta al error estádar es ta grade coo su propo valor, lo que dca que o se puede teer cofaza algua e los errores estadístcos. Por este otvo se utlza las expresoes estadístcas para los casos e los que >0, teedo e cueta que para valores eores a 00 (Box, Huter y Huter, 988) o a 30 (Martíez, Macá y Pérez, 988) estas expresoes o proporcoa el error estadístco y se coverte e uas defcoes utlzadas covecoalete.

10 9 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. S el úero de eddas es <0 la varable edda o se puede cosderar estadístca. Para trabajar co ella se sgue e sguete procedeto: ) Se obtee u valor de eddas de ua certa varable U, co <0. ) Se calcula el valor proedo de las eddas (ecuacó A6.). 3) El error presutaete coetdo se calcula coo la dfereca etre los dos valores ás extreos de las eddas realzadas dvdda etre : u áx u í u M (A6.) 4) El valor de la varable U se da coo: U u ± (A6.) u M 5) No se toa uca u error feror al u M. E el caso que las eddas u k realzadas tega u error propo asocado u k ayor que u M se toa el prero coo error de la varable. A6.3. Errores e ua fucó de varas varables. E uchas ocasoes el paráetro calculado,, se obtee drectaete coo ua fucó de varables experetales (z, z,..., z ). Se dce e este caso que este paráetro es ua edda drecta: (z, z,..., z ). Las varables utlzadas para obteer la fucó puede ser estadístcas (catdades eddas coo ío 0 veces) o o estadístcas (eddas eos de 0 veces). El error coetdo al estar la fucó se evalúa a partr de las varables eddas que tervee. Puede darse tres stuacoes: ) Las agtudes eddas so estadístcas.

11 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 93 ) Ngua de las agtudes es estadístca. 3) Alguas z k so estadístcas y las deás o lo so. A6.3.. Trataeto estadístco. Este trataeto se realza cuado la varables so estadístcas. Para trabajar co ellas se procede de la sguete aera: ) Se calcula los proedos de las varables z, z,..., z, a partr de todas las eddas efectuadas estarlas (co >0). ) Se obtee los errores cuadrátcos edos asocados co cada ua de las varables estadístcas: µ c, µ c,..., µ c. 3) Se calcula los errores estádar de cada ua de las varables: σ, σ,..., σ. 4) Co los errores cuadrátcos de cada ua de las varables se esta el error cuadrátco de la fucó coo: µ j f µ j z j (A6.3) 5) Co los errores estádar de cada varable se calcula el error estádar de la fucó : σ j f σ j z j (A6.4) 6) La fucó que represeta la probabldad de que el error del paráetro buscado (z, z,..., z ) esté copreddo etre x y x+dx es:

12 94 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. (x)dx µ e π x µ dx (A6.5) Las ecuacoes A6.3 y A6.4 da lugar a la ley de propagacó de errores estadístcos. El error cuadrátco edo y el error estádar de la fucó tee el so sgfcado que el que presetaba para ua varable, por lo que el resultado fal el paráetro se suele escrbr coo: ± 3σ (A6.6) Al aalzar los errores cuadrátco edo y estádar se preseta dos stuacoes extreas: ) Cuado los dferetes errores σ, σ,..., σ (o los errores µ c, µ c,..., µ c ) o tee gua relacó etre ellos. Se dce etoces que so estadístcaete depedetes. E este caso se calcula a partr de la expresó A6.6 y sus errores asocados co las ecuacoes A6.3 y A6.4. ) Cuado varas de las varables z k puede depeder uas de otras y sus errores asocados puede estar relacoados etre sí. E este caso los errores estádar de estas varables so estadístcaete o depedetes. Cuado los errores so estadístcaete depedetes se supoe que se produce ua copesacó de errores ya que éstos so totalete aleatoros de ua varable a otra. La desvacó típca de se calcula a partr de la ecuacó A6.4. Cuado los errores so estadístcaete depedetes se supoe que o se produce copesacó y las cotrbucoes de los σ k se sua algebracaete. Por lo tato, e este caso, el error asocado a se expresa coo: σ σ σ σ + Lj j z j z z j (A6.7)

13 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 95 Dode los coefcetes L j so los deoados factores de correlacó etre las varables y j (sedo,,..., ; j,,..., ). E el caso de que todas las eddas sea estadístcaete depedetes, los coefcetes de correlacó so ulos, y la ecuacó A6.7 se trasfora e la ecuacó A6.4. Cuado todas las eddas so o depedetes, la correlacó etre varables es áxa y los coefcetes de correlacó so la udad. E este caso la expresó A6.7 se splfca quedado: σ σ z (A6.8) Cuado los coefcetes de correlacó está etre 0 y se aplca la expresó A6.7. El error que proporcoa la ecuacó A6.8 es ayor que el de A6.7 que, a su vez tabé es ayor que el obtedo por la expresó A6.4. Los coefcetes de correlacó se puede estar a partr de la expresó: L j z k z jk zz j (A6.9) ( ) σσ j k Dode es el úero de veces que se ha realzado la edda de las varables z y z j, que tee que ser el so para abas. A6.3.. Trataeto o estadístco. Cuado las eddas realzadas para algua de las varables so pocas (covecoalete se cosdera pocas para <0), el trataeto estadístco ya o es correcto y toda aquella varable que sea o estadístca tee u error asocado que o es la desvacó típca. Se preseta tres stuacoes:

14 96 Aexo6. Breves aputes sobre la teoría de errores. ) Todas las varables se de varas veces s superar e gú caso las 9 eddas. ) Todas las varables plcadas se de ua úca vez. 3) Parte de las varables se de ua úca vez (varables o estadístcas), otras se de u úero de veces feror a 0 (varables o estadístcas) y el resto se de u úero de veces superor a 0 (varables estadístcas). Para cosderar el error de la fucó hay que teer e cueta el valor de cada ua de las varables plcadas y su error absoluto asocado, estado a partr de: ) Los errores estádar (s la varable es estadístca). ) Los errores áxos (s la varable o es estadístca). 3) Los errores de aprecacó (s se realza ua úca edda o s el error de lectura o sesbldad del aparato es ayor que los errores áxos). Todas las varables se de varas veces s superar e gú caso 9. E este caso o se puede producr gua copesacó etre los errores y el error asocado co la fucó se esta a partr de la ecuacó A6.8. Por lo tato se obtee coo: z z + z z + K + z z (A6.30) z z Coo las varables z k o so estadístcas, su error se evalúa a partr de la ecuacó A6. coo: k áx k í z k (A6.3) O be utlzado el error de precsó(de lectura o sesbldad del aparado) de la varable z k s este es ayor que el resultate de A6.3.

15 Radar de subsuelo. Evaluacó para aplcacoes e arqueología y e patroo hstórco-artístco 97 S de ua deterada varable z k se hace ua úca lectura, el error utlzado para esta varable e la ecuacó A6.30 es el asocado co la lectura o sesbldad del aparato, z 0. El utlzar las dervadas parcales para estar los errores es uy práctco porque los dferecales puede cosderarse coo los errores co la codcó de que estos últos sea pequeños y se pueda realzar la aproxacó x dx. Todas las varables se de ua úca vez. E este caso los errores de cada ua de las varables plcadas so los de sesbldad o lectura del aparato. No se puede producr gua copesacó etre los errores, de aera que el error de la fucó se esta utlzado la ecuacó A6.30, dode cada uo de los z k so errores de sesbldad del aparato de edda. Meddas ezcladas de varables. E este caso parte de las varables se esta a partr de ua úca edda. Otra parte edate u úero de eddas feror a 0, etras que el resto so varables estadístcas (>0). Este caso es el ás coplejo de tratar. El error justo correspodete a la varable sería * tal que estaría copreddo etre los proporcoados por las expresoes A6.4 y A6.30, cuplédose que: σ j σ f z j j < * < z z (A6.3) De tal aera que * se tee que calcular edate la ecuacó A6.7, calculado los coefcetes de correlacó a partr de la ecuacó A6.9. S ebargo es dfícl que se pueda estar estos coefcetes y, e caso de cosegurlo, el valor de * solo tedría setdo s las varables estadístcas se hubera estado a partr de u úero de eddas uy elevado (>00). Por ello se cosdera correcto el cosderar que *.