DISEÑO ÓPTIMO DE DIAGRAMAS EWMA.

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1 Saber, Uversdad de Orete, Veeuela.Vol. 2. Nº 2: (2000) DISEÑO ÓPTIMO DE DIAGRAMAS EWMA. NELSON BRACHO Departaeto de Estadístca Uversdad de Orete. RESUMEN E este artículo se descrbe el esquea de Crowder para dseñar u dagraa EWMA y se preseta alguas tablas co resultados de logtud eda de corrda que perte el dseño del so. PALABRAS CLAVES: Dseño Ópto, Dagraa EWMA, LMC. ABSTRACT Ths paper descrbes Crowder s outle for the desg of a EWMA chart, ad presets soe tables wth the results of average ru legth whch allow ths EWMA chart desg. KEY WORDS:Optal Desg, EWMA Chart, ARL. INTRODUCCIÓN El dagraa de cotrol Proedo Móvl Expoecalete Poderado (dagraa EWMA) fue troducdo e el cotrol estadístco de la caldad por Roberts (959), coo ua herraeta, para cotrolar la eda de u proceso de produccó. El autor asuedo u proceso depedete e détcaete dstrbudo oral, presetó curvas de Logtud Meda de Corrda (LMC) basadas sobre sulacoes y cocluyó, que el dagraa EWMA es ejor que el dagraa X para detectar pequeños cabos (cabos etre y 2.0 ) e la eda de procesos. S ebargo, el dagraa EWMA, propuesto por Roberts, o ha sdo utlado e la práctca coo se esperaba, esto es debdo báscaete a que la seleccó de la costate suavadora ( 0 < ) y la apltud k de los lítes de cotrol para dseñar el dagraa se hace de aera arbtrara. Crowder (989) propoe u esquea de dseño ópto del dagraa EWMA, basado sobre la LMC, que resuelve el problea de la escogeca de y los lítes de cotrol; adeás preseta alguas gráfcas de LMC para el dseño del dagraa. Obteer (, k) de las gráfcas de LMC es u poco egorroso, por lo que el propósto de este artículo es presetar alguas tablas de LMC del dagraa EWMA, que haga ás fácl el dseño del so. PROMEDIO MÓVIL EXPONENCIALMENTE PONDERADO (EWMA). Los valores sucesvos de u EWMA geerados por el estadístco uestral Y t vee expresado por: Z t = ( )Z t- + Y t co 0 < y t =, 2,... Z t es el valor del EWMA e el tepo t, Yt es ua observacó dvdual o ua eda uestral e el tepo t, asuda co dstrbucó oral, y es ua costate suavadora. Nótese que para =, el valor del EWMA depede úcaete de la observacó ás recete coo es el caso del dagraa, etras que para valores de cercaos a cero la observacó ás recete recbe poco peso, coo es el caso del dagraa CUSUM. LÍMITES DE CONTROL DEL DIAGRAMA EWMA E lo que sgue, se asue que las Y t so edas uéstrales dstrbudas depedeteete N(µ, 2 /), co µ y 2 coocdas. Bajo estos supuestos Roberts (959) uestra que: () Recbdo: Julo 999. Acep. Mayo del dode µ y 2 so la eda y la varaca del EWMA 44

2 Dseño ópto de dagraas EWMA respectvaete. Por cosguete, los lítes de cotrol del dagraa EWMA de apltud k-sga vee dados por: LSC = µ y (2) LIC = µ DISEÑO ÓPTIMO DEL DIAGRAMA EWMA. La estratega del dseño está basada e seleccoar (, K) de tal aera que dada la logtud eda de corrda (LMC) bajo cotrol, la LMC del dagraa de u cabo D e la eda (e udades de / ) sea ía. La cobacó (, K) es ópta e el setdo de que para ua LMC bajo cotrol elegda, producrá ua LMC fuera de cotrol ía. Para el dseño del dagraa EWMA co estas codcoes, Crowder (989) recoeda las sguetes etapas: Etapa : Elegr la eor LMC aceptable cuado el cabo e la eda es D = 0. La Seleccó de la LMC está basada foralete sobre codcoes, tales coo el costo asocado a ua falsa alara y el tepo del proceso. Etapa 2: Decdr qué agtud del cabo e la eda debe ser detectada lo ás rápdo posble. Etapa 3: + k k = µ + k 2 = µ k 2 Ua ve que se tega la LMC de la Etapa y la agtud del cabo de la Etapa 2, e la tabla correspodete a la LMC de la Etapa, se escoge los valores de y K que hace ía la LMC para el cabo especfcado e la Etapa 2. PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA LMC DEL DIAGRAMA EWMA. Crowder (987a y b), uestra que la LMC del dagraa EWMA puede ser expresada coo la solucó de la ecuacó tegral: /2 /2 L(D) = + dode D es la agtud del cabo, f es la fucó de de- sdad de probabldad N(0,) y h = k. Usado cuadratura de Gauss de putos, la ecuacó (3) pue- 2 de ser expresada uércaete coo L(D) = + = W L(P ) f /2 {[ P - (- )D] /} Evaluado L(D) e el cabo D = d y los putos P, =, 2,...,, se obtee el sguete sstea de ecuacoes leales L(d) = + = W L(P ) f {[ P - (- )d] /} L(P ) = + W L(P )f... L(P ) = + = = W L(P )f {[ P - (- )P ]/} {[ P - (- )P ]/} Asgádoles valores a y k, el sstea de ecuacoes leales, se puede resolver y obteer la LMC del cabo D = d (L(d)). Se elaboraro tablas para LMC bajo cotrol de,,,, resolvedo el sstea de ecuacoes leales co ayuda de u prograa e FORTRAN, utlado cuadratura de Gauss de 24 putos. EJEMPLO DE UN DISEÑO ÓPTIMO DE DIAGRAMA EWMA. Supógase que se quere dseñar u dagraa EWMA, co LMC =, cuado D = 0, y que detecte rápdaete u cabo e la eda de. Etapa : La LMC bajo cotrol (D = 0) es. Etapa 2: h h L(y) f {[ y ( )D] /} El cabo e la eda que debe ser detectado lo ás dy 45

3 NELSON BRACHO rápdo posble es, es decr, D =.0. Etapa 3: De la tabla 2 correspodete a la LMC bajo cotrol de, se tee que los valores de y k que hace ía la LMC para D =.0 so: = 0.5 y K = 2.654; susttuyedo estos valores de y K e la expresó dada e (2) se tee que los lítes de cotrol del dagraa EWMA so. LSC = µ y LIC = µ /2 /2 = µ + 6 = µ 6 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CROWDER, S. V. 987a. A sple ethod for studyg ru legth dstrbutos of expoetally weshted ovg average chart. Techoetrcs. (29): CROWDER, S. V. 987b. Average legths of expoetally weshted ovg average cotrol charts. Joural Quelty Techology. (9): CROWDER, S. V Desg of expoetally wghted ovg average schees. Joural Qualty Techology. (2): ROBERTS, S. W. 959 Cotrol chart test based o geoetrc ov average. Techoetrcs. (): TABLA N Logtud Meda de Corrda Bajo Cotrol para

4 47 TABLA N 2 Logtud Meda de Corrda Bajo Cotrol para = D k = Dseño ópto de dagraas EWMA

5 48 TABLA N 3 Logtud Meda de Corrda Bajo Cotrol para NELSON BRACHO

6 49 TABLA N 4 Logtud Meda de Corrda Bajo Cotrol para Dseño ópto de dagraas EWMA