Inferencia estadística - Estimación puntual
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- Juan Herrera Revuelta
- hace 8 años
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1 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 Ifereca estadístca - stacó tal La estadístca rovee téccas qe erte obteer coclsoes geerales a artr de cojto ltado ero reresetatvo de datos. Cado feros o teeos garatía de qe la coclsó qe obteeos sea eactaete correcta. S ebargo la estadístca erte catfcar el error asocado a la estacó. La ayoría de las dstrbcoes de robabldad deede de certo úero de aráetros. Por ejelo: P N B etc. Salvo qe estos aráetros se coozca debe estarse a artr de los datos. l objetvo de la estacó tal es sar a estra ara obteer úeros qe e algú setdo sea los qe ejor rereseta a los verdaderos valores de los aráetros de terés. Sogaos qe se seleccoa a estra de taaño de a oblacó. Ates de obteer la estra o sabeos cál será el valor de cada observacó. Así la rera observacó ede ser cosderada a v.a. la segda a v.a. etc. Por lo tato ates de obteer la estra deotareos... a las observacoes y a vez obteda la estra deotareos... a los valores observados. Del so odo ates de obteer a estra calqer fcó de ella será a v.a. or ejelo: ~ S a... etc. Ua vez obteda la estra los valores calclados será deotados ~ s a... etc. Defcó: U estador tal de aráetro es valor qe ede ser cosderado reresetatvo de y se dcará. Se obtee a artr de alga fcó de la estra. jelo: Co el f de estdar s dado es o o eqlbrado se arroja el dado veces e fora deedete obteédose ases. Qé valor odría tlzarse e base a esa foracó coo estacó de la robabldad de as? Parece razoable tlzar la frececa relatva de ases. este caso s llaaos a la robabldad qe qereos estar. Métodos de estacó tal Cóo obteer estadores ara roblea dado? stdareos dos étodos qe roorcoa estadores tales: el étodo de oetos y el étodo de áa verosltd. Método de oetos: La dea básca cosste e galar certas característcas estrales co las corresodetes característcas oblacoales. Recordeos la sgete defcó. 6
2 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 Defcó: Sea a v.a. co fcó de robabldad tal e el caso dscreto o fcó de desdad f e el caso coto. Se deoa oeto de orde k k N o oeto oblacoal de orde k a k es decr k - k k f d e el caso dscreto e el caso coto s esas eserazas este. Coo ya heos vsto cado estdaos fcó geeradora de oetos de a varable aleatora los oetos está relacoados co los aráetros de la dstrbcó asocada. Defcó: Dada a estra aleatora de orde k a... se deoa oeto estral k Defcó: Sea... a.a. de a dstrbcó co fcó de robabldad tal o fcó de desdad qe deede de aráetros.... Los estadores de oetos de... so los valores... qe se obtee galado oetos oblacoales co los corresodetes oetos estrales. geeral se obtee resolvedo el sgete sstea de ecacoes k k k... jelos: Sea... a.a. de a dstrbcó eoecal de aráetro. Coo hay solo aráetro a estar basta latear a ecacó basada e el rer oeto. 6
3 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 63 Sea... a.a. de a dstrbcó Γα. Coo hay dos aráetros a estar lateaos sstea de ecacoes basadas e el rer y e el segdo oeto. Usado qe s ~ Γα α y α V y la relacó: V α α α Reelazado α e la segda ecacó se obtee: y desejado : Falete reelazado el estador de e la rera ecacó obteeos el estador de : α
4 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 α 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. Coo hay úco aráetro a estar lateaos a ecacó basada e el rer oeto. 4 Veaos or últo ejelo qe os estra qe o sere odeos tlzar los oetos e el orde atral. Sea... a.a. de a dstrbcó U-. Coo hay úco aráetro a estar arece atral latear a ecacó basada e el rer oeto. S ebargo s lo haceos Observaos qe el rer oeto oblacoal o deede de y or lo tato o odeos desejar a artr de esta ecacó el estador del aráetro. este caso es ecesaro latear a ecacó basada e el segdo oeto: 3 3 Método de áa verosltd: ste étodo fe trodcdo or Fsher e la década de 9. Se basa e la dea de hallar los valores de los aráetros qe hace qe la robabldad de obteer a estra dada sea áa. jelo: Se realza a ecesta de oó a a.a. de ersoas. Se les forla a úca regta qe será resodda or S o or NO. Sea... las v.a. corresodetes a la resesta tales qe 64
5 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 s s la ersoa resode SI la ersoa resode NO ara... y sea P. Observeos qe las v.a. so deedetes y cada a de ellas tee dstrbcó... es B. toces la fcó de robabldad cojta del vector S e la estra obteda se observa 7 NO s y 3 SI s sería La regta es: qé valor de hace qe los valores estrales obtedos sea los ás robables? s decr bscaos el valor de qe hace áa... o eqvaleteete l... ya qe l es a fcó oótoa crecete. Debeos azar la sgete fcó de g l... 3 l 7 l Para ello coo esta fcó es dervable resecto de bscaos los osbles tos crítcos galado a la dervada rera. g ste valor es e efecto el qe aza g es 3 g / 3 / < Defcó: Sea... v.a. co fcó de robabldad cojta r... o fcó de desdad cojta f r... qe deede de aráetros.... Cado... so los valores observados y la fcó 65
6 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 de robabldad o de desdad cojta se cosdera fcó de los aráetros... se deoa fcó de verosltd y se deota L.... Los estadores de áa verosltd MV de... so los valores... qe aza la fcó de verosltd o sea los valores tales qe L ~ ~... L... ~ ~ ~ ~... La fora geeral de los MV se obtee reelazado los valores observados or las v.a.. jelos: Sea... a.a. de a dstrbcó eoecal de aráetro. f... f e e or lo tato la fcó de verosltd es L e Observeos qe o clos los dcadores orqe dado qe el rago de la v.a. o deede del aráetro a estar odeos soer qe todas las observacoes so o egatvas. l L l l L Verfcar qe el to crítco obtedo es e efecto áo. Observeos qe e este caso el MV cocde co el de oetos. Sea... a.a. de a dstrbcó N. f... f e π 66
7 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 67 e π Por lo tato la fcó de verosltd es y azarla eqvale a azar s logarto L l l l π l l 3 L L y reelazado el valor estado de e la segda ecacó se obtee los MV de los aráetros 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. e L π
8 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 f... f I I y la fcó de verosltd es L I Observeos qe e este caso o es osble toar logarto dervar orqe el aráetro argeto de la fcó de verosltd detera el soorte de la desdad. Aalceos cóo es esta fcó ara hallar s áo L s < < e caso cotraro s a < e caso cotraro s > a s a Grafqeos L coo fcó de. Coo se ede observar el áo de la fcó de verosltd se alcaza e a y or lo tato el MV del aráetro es a 68
9 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 Proedad de Ivaraza de los MV: Sea el MV de y sea h a fcó yectva co doo e el rago de valores osbles de etoces el MV de h es h. Por ejelo e el caso de a.a. de a dstrbcó N heos vsto qe el MV de es etoces el MV de es es la fcó h es yectva s s doo se restrge a los reales ostvos es decr s h :R R. geeral sea... los MV de... y sea a fcó h : R R bajo qé codcoes el MV de h... es h...? sta roedad deoada roedad de varaza de los MV se cle s la fcó h ede ser coletada a a fcó yectva. Proedades de los estadores y crteros de seleccó Observeos qe dada a estra... dode ~ F tal del aráetro obtedo e base a ella es a v.a.. La dfereca estador es el error de estacó y a estacó será ás recsa cato eor sea este error. ste error es tabé a v.a. dado qe deede de la estra obteda. Para algas estras será ostvo ara otras egatvo. Ua roedad deseable es qe la eseraza del error sea es decr qe e roedo el error obtedo al estar a artr de dferetes estras sea cero. Defcó: U estador tal del aráetro es sesgado s 69
10 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 S o es sesgado se deoa sesgo de a b. Por lo tato estador es sesgado s s dstrbcó tee coo valor eserado al aráetro a estar. Defcó: U estador tal del aráetro basado e a estra astótcaete sesgado s... es jelos: Sea : úero de étos e reetcoes de eereto boal co robabldad de éto gal a. toces ~ B y heos vsto qe el MV de es / o sea la frececa relatva de étos. Verfqeos qe este estador es sesgado. P P P y or lo tato es sesgado. Sea... a.a. de a dstrbcó N. Los MV de y so Coo este estador es sesgado. Verfqeos qe el estador de la varaza o lo es. 7
11 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 7 [ ] [ ] V V Por lo tato el MV de la varaza o es sesgado ero es astótcaete sesgado ya qe s eseraza tede a cado el taaño de la estra tede a fto. jercco: Verfcar qe la varaza estral S es estador sesgado de la varaza oblacoal calqera sea la dstrbcó. 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. l estador de oetos de es y el MV es a. l estador de oetos es sesgado. efecto Verfcareos qe el MV o lo es. Para ello ecestaos obteer la desdad de la v.a. a U. Recordeos qe s... es a.a. de a dstrbcó U etoces < < F F U s s s etoces I f U. Calcleos la eseraza del MV.
12 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 7 a d d U toces el MV o es sesgado ero es astótcaete sesgado. Cado hay ás de estador sesgado ara so aráetro cóo decdos cál covee sar? Por ejelo sea... a.a. de a dstrbcó N. s edato verfcar qe los sgetes so todos estadores sesgados de : 3 Las varazas de estos estadores so 3 V V V y arece atral elegr el estador ás recso es decr el de eor varaza. Prco de estacó sesgada de ía varaza: tre todos los estadores sesgados de elegr el de eor varaza. l estador resltate se deoa IMVU sesgado de ía varaza foreete. ste a etodología qe erte hallar estadores IMVU e chas stacoes. Teorea: Sea... a.a. de a dstrbcó N. toces es estador IMVU de. A artr de este resltado dedcos qe s se tee evdeca de qe la.a. rovee de a dstrbcó Noral arece coveete sar coo estador de. S ebargo s los datos o so Norales este estador odría llegar a ser a ésa eleccó. jelo: Sea las sgetes dstrbcoes sétrcas alrededor del aráetro a N : π e f
13 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 b Cachy de aráetro : f π c U - : f I La dstrbcó de Cachy tee fora de caaa coo la dstrbcó Noral ero tee colas ás esadas qe ésta. La dstrbcó Ufore o tee colas or lo tato odríaos decr qe tee colas ás lvaas qe la Noral. Cosdereos los sgetes estadores de : ~ a 3 el caso a es IMVU y or lo tato es la eleccó correcta. el caso b y 3 so alos orqe abos so y sesbles a la reseca de observacoes atícas y la dstrbcó Cachy rodce a ortate roorcó de ellas. Por lo tato la ejor eleccó etre estos tres estadores sería. Tabé odríaos tlzar a eda odada. el caso c el ejor estador es 3 orqe la dstrbcó o tee colas. rror stadard de estador: Al forar el resltado de a estacó tal es ecesaro brdar foracó sobre la recsó de la estacó. Defcó: l error stadard de estador es s desvacó stadard es decr V S el error stadard deede de aráetros descoocdos éstos se reelaza or estador y se obtee el error stadard estado. jelo: Sea... a.a. de a dstrbcó N. toces es el MV de y s error stadard es V 73
14 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 Coo deede del aráetro odeos reelazarlo or la varaza estral y obteeos el error stadard estado S Defcó: Sea estador de s error cadrátco edo es CM S el estador es sesgado el error cadrátco edo es gal a la varaza del estador. CM V b sedo b el sesgo del estador. Prooscó: [ ] De: CM [ ] Usado qe la eseraza de a v.a. es a costate y la eseraza de a costate es gal a ésta se obtee CM b V y or lo tato [ ] CM V b coo qeríaos deostrar. 74
15 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 Prco de estacó de eor error cadrátco edo: Dados dos o ás estadores del aráetro elegr el de eor CM. ste rco se redce e el caso de estadores sesgados al de ía varaza etre los sesgados ecoado ás arrba ya qe el error cadrátco edo se redce a la varaza cado estador es sesgado. S ebargo os erte adeás seleccoar or ejelo etre estador sesgado y otro qe o lo es e base a la varaza y al sesgo. S el estador sesgado tee a varaza cho eor qe el sesgado odría ser referble s so. Defcó: Sea y sea... estador tal de basado e esa estra. Dreos qe { } a.a de a dstrbcó qe deede de aráetro es a scesó cosstete o ás breveete qe es estador cosstete de s ε. es decr s > P > ε jelo: Sea... a.a de a dstrbcó co y V < etoces es estador cosstete de. efecto alcado la desgaldad de Chebyshev P V > ε ε ε > ε jercco: Verfcar qe e este ejelo o es cosstete de. Prooscó: Sea... a.a de a dstrbcó qe deede de aráetro y sea estador de basado e la estra de taaño. S a o sea s el estador es astótcaete sesgado b V etoces es cosstete de. De: S el estador es sesgado la deostracó es edata a artr de la desgaldad de Chebyshev. No dareos la deostracó e el caso geeral. 75
16 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 jelos: Sea... a.a de a dstrbcó co y V < etoces es estador cosstete de. efecto y V. Por lo tato se satsface las dos codcoes de la Prooscó. Sea... a.a. de a dstrbcó U. Heos deostrado ates qe el MV de a es astótcaete sesgado es. Para robar qe es cosstete verfcareos qe s varaza tede a cero cado el taaño de la estra tede a fto. Pero V [ ] etoces debeos calclar la eseraza del cadrado de la v.a. U a. Recordado qe s desdad está dada or f U I U d d. toces V Por lo tato el MV es cosstete. 3 l últo ejelo qe vereos lstra coo deostrar la cossteca de estador a artr de la Ley de los Grades Núeros y de las roedades de la covergeca e robabldad. rer lgar recordeos qe s e Y Y... Y... so scesoes de v.a. tales qe a e Y b etoces: a ± Y a ± b b Y ab 76
![Para robar qe es cosstete verfcareos qe s varaza tede a cero cado el taaño de la estra tede a fto. Pero V [ ] etoces debeos calclar la eseraza del cadrado de la v.a. U a.](/docs-images/46/12455833/images/page_16.jpg "Recordado qe s desdad está dada or f U I U d d. toces V Por lo tato el MV es cosstete.")
17 Probabldades y stadístca Cotacó Facltad de Cecas actas y Natrales. Uversdad de Beos Ares Aa M. Baco y lea J. Martíez 4 a c s b Y b d g g a s g es a fcó cota e a. e s c es a scesó érca tal qe c c etoces c ca Sea... a.a de a dstrbcó co y V < deostrareos qe la varaza estral S es estador cosstete de la varaza oblacoal. S Por la Ley de los Grades Núeros. etoces or la roedad d Por otra arte alcado evaete la Ley de los Grades Núeros V [ ] Coo adeás se obtee S y or lo tato la varaza estral es estador cosstete de. 77
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