Inferencia estadística - Estimación puntual

Transcripción

1 Iereca estadístca - stacó ptal a estadístca provee téccas qe perte obteer coclsoes geerales a partr de cojto ltado pero represetatvo de datos. Cado eros o teeos garatía de qe la coclsó qe obteeos sea eactaete correcta. S ebargo la estadístca perte catcar el error asocado a la estacó. a ayoría de las dstrbcoes de probabldad depede de certo úero de paráetros. Por ejeplo: P N B p etc. Salvo qe estos paráetros se coozca debe estarse a partr de los datos. l objetvo de la estacó ptal es sar a estra para obteer úeros qe e algú setdo sea los qe ejor represeta a los verdaderos valores de los paráetros de terés. Spogaos qe se seleccoa a estra de taaño de a poblacó. Ates de obteer la estra o sabeos cál será el valor de cada observacó. Así la prera observacó pede ser cosderada a v.a. la segda a v.a. etc. Por lo tato ates de obteer la estra deotareos... a las observacoes y a vez obteda la estra los valores observados los deotareos.... Del so odo ates de obteer a estra calqer có de ella será a v.a. por ejeplo: ~ S a... etc. Ua vez obteda la estra los valores calclados será deotados ~ s a... etc. Decó: U estador ptal de paráetro es valor qe pede ser cosderado represetatvo de y se dcará. Se obtee a partr de alga có de la estra. jeplo: Co el de estdar s dado es o o eqlbrado se arroja el dado veces e ora depedete obteédose ases. Qé valor podría tlzarse e base a esa oracó coo estacó de la probabldad de as? Parece razoable tlzar la receca relatva de ases. este caso s llaaos p a la probabldad qe qereos estar p. Métodos de estacó ptal Cóo obteer estadores para problea dado? stdareos dos étodos qe proporcoa estadores ptales: el étodo de oetos y el étodo de áa verosltd. Método de oetos: a dea básca cosste e galar certas característcas estrales co las correspodetes característcas poblacoales. Recordeos la sgete decó. 58

2 Decó: Sea a v.a. co có de probabldad ptal p e el caso dscreto o có de desdad e el caso coto. Se deoa oeto de orde k k N o oeto poblacoal de orde k a k es decr k - k k p d e el caso dscreto e el caso coto s esas esperazas este. Coo ya heos vsto cado estdaos có geeradora de oetos de a varable aleatora los oetos está relacoados co los paráetros de la dstrbcó asocada. Dada a estra aleatora... el oeto estral de orde k es k Decó: Sea... a.a. de a dstrbcó co có de probabldad ptal o có de desdad qe depede de paráetros.... os estadores de oetos de... so los valores... qe se obtee galado oetos poblacoales co los correspodetes oetos estrales. geeral se obtee resolvedo el sgete sstea de ecacoes k k k... jeplos: Sea... a.a. de a dstrbcó epoecal de paráetro. Coo hay solo paráetro a estar basta platear a ecacó basada e el prer oeto. 59

3 6 Sea... a.a. de a dstrbcó Γα. Coo hay dos paráetros a estar plateaos sstea de ecacoes basadas e el prer y e el segdo oeto. Usado qe s ~ Γα α y α V y la relacó: V α α α Reeplazado α e la segda ecacó se obtee: y despejado : Falete reeplazado el estador de e la prera ecacó obteeos el estador de : α α 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. Coo hay úco paráetro a estar plateaos a ecacó basada e el prer oeto.

4 4 Veaos por últo ejeplo qe os estra qe o sepre podeos tlzar los oetos e el orde atral. Sea... a.a. de a dstrbcó U-. Coo hay úco paráetro a estar parece atral platear a ecacó basada e el prer oeto. S ebargo s lo haceos Observaos qe el prer oeto poblacoal o depede de y por lo tato o podeos despejar a partr de esta ecacó el estador del paráetro. este caso es ecesaro platear a ecacó basada e el segdo oeto: 3 3 Método de áa verosltd: ste étodo e trodcdo por Fsher e la década de 9. Se basa e la dea de dada a estra hallar los valores de los paráetros qe hace qe la probabldad de obteer dcha estra sea áa. jeplo: Se realza a ecesta de opó a a.a. de persoas. Se les orla a úca pregta qe será respodda por S o por NO. Sea... las v.a. correspodetes a la respesta tales qe s s la persoa respode SI la persoa respode NO para... y sea p P. Observeos qe las v.a. so depedetes y cada a de ellas tee dstrbcó... es Bp. toces la có de probabldad cojta del vector p... p p p p... p p 6

5 S e la estra obteda se observa 7 NO s y 3 SI s sería 3 7 p... p p a pregta es: qé valor de p hace qe los valores estrales obtedos sea los ás probables? s decr bscaos el valor de p qe hace áa p... o eqvaleteete l p... ya qe l es a có oótoa crecete. Debeos azar la sgete có de p g p l p... 3 l p 7 l p Para ello coo esta có es dervable respecto de p bscaos los posbles ptos crítcos galado a la dervada prera. g p p 7 p 3 p 3- p p p p p p p p p ste valor es e eecto el qe aza gp pes 3 g p p 3 7 p p p 3 / p 3 / < Decó: Sea... v.a. co có de probabldad cojta p r... o có de desdad cojta r... qe depede de k paráetros.... Cado... so los valores observados y la có de probabldad o de desdad cojta se cosdera có de los paráetros... se deoa có de verosltd y se deota.... os estadores de áa verosltd MV de... so los valores... qe aza la có de verosltd o sea los valores tales qe ~ ~ ~ ~ ~ ~... a ora geeral de los MV se obtee reeplazado los valores observados por las v.a.. jeplos: Sea... a.a. de a dstrbcó epoecal de paráetro. 6

6 63 e e... por lo tato la có de verosltd es e Observeos qe o clos los dcadores porqe dado qe el rago de la v.a. o depede del paráetro a estar podeos spoer qe todas las observacoes so o egatvas. l l l Vercar qe el pto crítco obtedo es e eecto áo. Observeos qe e este caso el MV cocde co el de oetos. Sea... a.a. de a dstrbcó N.... π e e π Por lo tato la có de verosltd es y azarla eqvale a azar s logarto l l l π e π

7 64 l l 3 y reeplazado el valor estado de e la segda ecacó se obtee los MV de los paráetros 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. I I... y la có de verosltd es I Observeos qe e este caso o es posble toar logarto dervar porqe el paráetro argeto de la có de verosltd detera el soporte de la desdad. Aalceos cóo es esta có a hallar s áo < < < e caso cotraro s e caso cotraro s a

8 s > a s a Graqeos coo có de. Coo se pede observar el áo de la có de verosltd se alcaza e a y por lo tato el MV del paráetro es a Propedad de Ivaraza de los MV: Sea el MV de y sea h a có yectva co doo e el rago de valores posbles de etoces el MV de h es h. Por ejeplo e el caso de a.a. de a dstrbcó N heos vsto qe el MV de es etoces el MV de es pes la có h es yectva s s doo se restrge a los reales postvos es decr s h :R R. 65

9 geeral sea... los MV de... y sea a có h : R k R bajo qé codcoes el MV de h... es h...? sta propedad deoada propedad de varaza de los MV se cple s la có h pede ser copletada a a có yectva. Propedades de los estadores y crteros de seleccó Observeos qe dada a estra obtedo e base a ella es a v.a.. a dereca... estador ptal del paráetro es el error de estacó y a estacó será ás precsa cato eor sea este error. ste error es tabé a v.a. dado qe depede de la estra obteda. Para algas estra será postvo para otras egatvo. Ua propedad deseable es qe la esperaza del error sea es decr qe e proedo el error obtedo al estar a partr de deretes estras sea cero. Decó: U estador ptal del paráetro es sesgado s S o es sesgado se deoa sesgo de a b. Por lo tato estador es sesgado s s dstrbcó tee coo valor esperado al paráetro qe se desea estar. Decó: U estador ptal del paráetro basado e a estra astótcaete sesgado s... es jeplos: Sea : úero de étos e repetcoes de epereto boal co probabldad de éto gal a p. toces ~ Bp y heos vsto qe el MV de p es p / o sea la receca relatva de étos. Verqeos qe este estador es sesgado. p p p p y por lo tato es sesgado. Sea... a.a. de a dstrbcó N. os MV de y so 66

10 67 Coo este estador es sesgado. Verqeos qe el estador de la varaza o lo es. [ ] [ ] V V Por lo tato el MV de la varaza o es sesgado pero es astótcaete sesgado ya qe s esperaza tede a cado el taaño de la estra tede a to. jercco: Vercar qe la varaza estral S es estador sesgado de la varaza poblacoal calqera sea la dstrbcó. 3 Sea... a.a. de a dstrbcó U. l estador de oetos de es y el MV es a. l estador de oetos es sesgado. eecto Vercareos qe el MV o lo es. Para ello ecestaos obteer la desdad de la v.a. a U.

11 68 Recordeos qe s... es a.a. de a dstrbcó U etoces < < F F U s s s etoces I U. Calcleos la esperaza del MV. a d d U toces el MV o es sesgado pero es astótcaete sesgado. Cado hay ás de estador sesgado para so paráetro cóo decdos cál covee sar? Por ejeplo sea... a.a. de a dstrbcó N. s edato vercar qe los sgetes so todos estadores sesgados de : 3 S ebargo las varazas de estos estadores so 3 V V V y parece atral elegr el estador ás precso es decr el de eor varaza. Prcpo de estacó sesgada de ía varaza: tre todos los estadores sesgados de elegr el de eor varaza. l estador resltate se deoa IMVU

12 sesgado de ía varaza oreete. ste a etodología qe perte hallar estadores IMVU e chas stacoes. Teorea: Sea... estador IMVU de. a.a. de a dstrbcó N. toces es A partr de este resltado dedcos qe s se tee evdeca de qe la.a. provee de a dstrbcó Noral parece coveete sar coo estador de. S ebargo s los datos o so Norales este estador podría llegar a ser a pésa eleccó. jeplo: Sea las sgetes dstrbcoes sétrcas alrededor del paráetro a N : e π b Cachy de paráetro : π c U - : I a dstrbcó de Cachy tee ora de capaa coo la dstrbcó Noral pero tee colas ás pesadas qe ésta. a dstrbcó Uore o tee colas por lo tato podríaos decr qe tee colas ás lvaas qe la Noral. Cosdereos los sgetes estadores de : ~ a 3 el caso a es IMVU y por lo tato es la eleccó correcta. el caso b y 3 so alos porqe abos so y sesbles a la preseca de observacoes atípcas y la dstrbcó Cachy prodce a portate proporcó de ellas. Por lo tato la ejor eleccó etre estos tres estadores sería. Tabé podríaos tlzar a eda podada. el caso c el ejor estador es 3 porqe la dstrbcó o tee colas. rror stadard de estador: Al orar el resltado de a estacó ptal es ecesaro brdar oracó sobre la precsó de la estacó. Decó: l error stadard de estador es s desvacó stadard es decr 69

13 V S el error stadard depede de paráetros descoocdos éstos se reeplaza por estador y se obtee el error stadard estado. jeplo: Sea... MV de y s error stadard es a.a. de a dstrbcó N. toces es el V Coo depede del paráetro podeos reeplazarlo por la varaza estral y obteeos el error stadard estado S Decó: Sea estador de s error cadrátco edo es CM S el estador es sesgado el error cadrátco edo es gal a la varaza del estador. CM V b sedo b el sesgo del estador. Proposcó: [ ] De: CM [ ] Usado qe la esperaza de a v.a. es a costate y la esperaza de a costate es gal a ésta se obtee 7

14 b CM V CM V b coo qeríaos deostrar. y por lo tato [ ] Prcpo de estacó de eor error cadrátco edo: Dados dos o ás estadores del paráetro elegr el de eor CM. ste prcpo se redce e el caso de estadores sesgados al de ía varaza etre los sesgados ecoado ás arrba ya qe el error cadrátco edo se redce a la varaza cado estador es sesgado. S ebargo os perte adeás seleccoar por ejeplo etre estador sesgado y otro qe o lo es e base a la varaza y al sesgo. S el estador sesgado tee a varaza cho eor qe el sesgado podría ser preerble s so. Decó: Sea y sea... a.a de a dstrbcó qe depede de paráetro estador ptal de basado e esa estra. Dreos qe { } scesó cosstete o ás breveete qe es decr s > P > ε jeplo: Sea p ε.... es a es estador cosstete de s a.a de a dstrbcó co y V < etoces es estador cosstete de. eecto aplcado la desgaldad de Chebyshev P V > ε ε > ε ε jercco: Vercar qe e este ejeplo o es cosstete de. Proposcó: Sea paráetro y sea... a.a de a dstrbcó qe depede de estador de basado e la estra de taaño. S a o sea s el estador es astótcaete sesgado b V 7

15 etoces es cosstete de. De: a deostracó es edata a partr de la desgaldad de Chebyshev s el estador es sesgado. No dareos la deostracó e el caso geeral. jeplos: Sea... a.a de a dstrbcó co y V < etoces es estador cosstete de. eecto y V. Por lo tato se satsace las dos codcoes de la Proposcó. Sea... a.a. de a dstrbcó U. Heos deostrado ates qe el MV de a es astótcaete sesgado pes. Para probar qe es cosstete vercareos qe s varaza tede a cero cado el taaño de la estra tede a to. Pero V [ ] etoces debeos calclar la esperaza del cadrado de la v.a. U a recordado qe s desdad está dada por U I U d d toces V Por lo tato el MV es cosstete. 3 ste últo ejeplo lstra coo deostrar la cossteca de estador a partr de la ey de los Grades Núeros y de las propedades de la covergeca e probabldad. prer lgar recordeos qe s e Y... Y Y... so scesoes de p p v.a. tales qe a e Y b etoces: p a ± Y a b ± 7

16 p b Y ab p a c s b Y b p d g g a s g es a có cota e a. e s c es a scesó érca tal qe c p c etoces c ca?? Sea... a.a de a dstrbcó co y V < deostrareos qe la varaza estral S es estador cosstete de la varaza poblacoal. S Por la ey de los Grades Núeros p etoces por la propedad d p. Por otra parte aplcado evaete la ey de los Grades Núeros p [ ] V Coo adeás se obtee S p y por lo tato la varaza estral es estador cosstete de. 73