Estimación de proporciones multinomiales

Transcripción

1 Estacó de proporcoes ultoales Jaro Alfoso Clavjo Médez Uversdad del Tola Abrl de 005 E esta cofereca hareos alguas cosderacoes acerca del taaño de uestra ecesaro para estar proporcoes bajo uestreo aleatoro sple. E partcular el tea se cetrará e el caso de dstrbucoes ultoales, el ás utlzado e la práctca y, a la vez, el ás descoocdo. Coezareos recordado alguos coceptos báscos coo so las dstrbucoes boal y ultoal y la fórula para el cálculo del taaño de uestra para proporcoes boales.. La dstrbucó boal: Supógase que p es u valor e el tervalo [0, ], el cual puede ser terpretado coo la probabldad co la cual se da u éxto e u expereto de Beroull (cualquer expereto que tega sólo dos resultados, éxto y fracaso, recbe este obre). Supógase ahora que el expereto se repte veces e fora depedete (es decr, el resultado obtedo e u deterado oeto o depede de los resultados obtedos aterorete). S p es la probabldad de éxto e ua realzacó del expereto etoces q = p es la probabldad de fracaso. A partr de la coocda fórula para calcular ua poteca de cualquer boo, se obtee: k k p q p q k= k! ( + ) = dode = 0 k ( k)! k! Puesto que p + q = se cocluye que la sua ateror vale. Esto perte defr ua fucó de desdad, edate la fórula: x p q f ( x) = x 0 x S x = 0,,,, E cualquer otra parte Es claro que la fucó ateror puede ser terpretada coo la fucó que de la probabldad de que se de x éxtos e las repetcoes del expereto de Beroull.

2 La fucó de desdad defda segú la fórula ateror, tee coo propedad teresate el ser sétrca e el caso e que p = q = 0.5 y ser asétrca e los deás casos. Pero, al ser tercabables los papeles de p y q, cada caso de asetría zquerda tee ua age especular de asetría derecha. Cada par de valores y p da orge a ua dstrbucó de probabldad, deoada boal de paráetros y p, coúete sbolzada coo b(,p) S se cooce p se puede calcular los valores de f (x) y los de su acuulada (fucó de dstrbucó), defda coo F ( x) = f ( t). Estos valores correspode respectvaete a la probabldad de que ocurra exactaete x éxtos e los esayos y la probabldad de que el úero de éxtos sea a lo ás x. La gráfca correspode a la fucó de desdad boal co p = 0.3 y = 8. Coo se ve, ella preseta ua asetría de tpo postvo, correspodedo su áxo al caso x = éxtos, cuya probabldad es t x Gráfca. Ua dstrbucó boal

3 3 S ua varable aleatora dscreta X tee dstrbucó boal de paráetros y p, se cuple E( X) = p y V( X) = p( p) = pq dode q = p es la probabldad de fracaso e cada expereto.. Dstrbucó ultoal La edata geeralzacó de las varables boales que de el úero de éxtos y, por tato de fracasos, e experetos de dos resultados, so las varables ultoales que de el úero de ocurrecas de cada resultado e experetos dferetes cada uo co posbles resultados (categorías). U ejeplo de tales experetos es la observacó de la luz de u seáforo e fucoaeto. El expereto tee tres posbles resultados a saber: aarllo, rojo, verde (A,R,V). El seáforo sepre estará e alguo de estos tres estados co certas probabldades, dgaos pa, pr, p V, tales que pa + pr + pv =. Ua varable aleatora -troal e este caso- cotará el úero de veces A que el seáforo esté e aarllo, el úero de veces R que esté e rojo y el úero de veces V e que se ecuetre e verde, al ser observado veces. Por supuesto A + R + V =. La fucó de desdad para la dstrbucó de ua varable aleatora X ultoal depede de los paráetros p,, p,, p dode p es la probabldad de que el resultado del expereto se ecuetre e la -ésa categoría, co =,,, y! x x p =. Se tee e tal caso f ( x, x,, x) = p p p x! x! x! = x co x =. = E este caso es posble cosderar varables aleatoras X, cada ua de las cuales cueta la catdad de resultados que clasfca e la -ésa categoría. Es claro que etoces X bp (, ) y, por tato, E( X ) = p, V( X ) = p ( p ), s ebargo, tales varables o so depedetes pues sepre estará lgadas por la restrccó x =. = El ejeplo de varable ultoal ás teresate para esta cofereca correspode a las pregutas de ua ecuesta e las cuales hay ás de dos alteratvas de respuesta. Claraete, s se hace ua preguta co posbles respuestas exhaustvas y utuaete excluyetes, el ecuestado escoge solo ua alteratva de respuesta y, e cosecueca, es gual que realzar u expereto de posbles resultados de los cuales se observa solaete uo de ellos.

4 4 Los dferetes forularos de ua ecuesta e la que se cotesta ua preguta de tpo ultoal puede verse coo ua uestra aleatora de taaño co la cual se esta las probabldades p, p,, p para cada categoría de la preguta. Volvereos sobre este tea ás adelate. 3 Estacó de ua proporcó boal Cosdereos calete el caso de ua varable aleatora boal, la cual represeta ua poblacó de taaño N dvdda e dos clases (por ejeplo, poblacoes aales dvddas e achos y hebras). Estas clase se deotará A y A. Se defe la proporcó A de A coo el úero P = dode A es el úero de dvduos e la clase A. Nótese N que la proporcó ultplcada por 00 es gual al porcetaje de dvduos que se ecuetra e la clase A y que P es la probabldad de que al seleccoar aleatoraete u eleeto de la poblacó, dcho eleeto perteezca a la categoría A.. Por supuesto que A Q = P= dode A es el úero de eleetos que hay e la categoría A de la N poblacó. s A Cosdereos ua varable de Beroull defda por X = Esta varable aota 0 s A' u éxto s el eleeto seleccoado es de la clase A y u fracaso s es de A. Cosdereos ahora ua uestra aleatora X, X,, X } de tales varables y sea S su { sua, esto es: S = X + X + + X. Se tee etoces que S tee dstrbucó boal de paráetros P y. De aquí que E( S ) = P y V ( S ) = PQ. Se cuple X = S y de aquí E ( X ) = E( S) = P y ( X ) = V( S) = V PQ Lo ateror sugere utlzar X coo estador sesgado de P. Resulta evdete, s a ebargo, que X = dode a es el úero de eleetos de la clase A que aparece e a la uestra. Utlzareos la expresó p = para el estador de P. Co lo dcho aterorete, el estador propuesto es sesgado.

5 5 La costruccó de tervalos de cofaza para P preseta probleas de tpo teórco o fácles de resolver debdo a que se debe teer e cueta la dstrbucó del estador a X =, dstrbucó que o es fácl de deterar ya que correspode a la dstrbucó de ua cobacó leal de varables aleatoras boales. Por esta razó e la práctca se utlza ua aproxacó oral a la boal, edate la varable aleatora S E( S) S P Z = =, aproxacó es que válda sepre que sea grade. V( S) PQ E la expresó ateror se puede dvdr uerador y deoador etre lo que X P p P produce Z = = varable que, tedrá ua dstrbucó astótca oral PQ PQ estádar. E otras palabras, p se puede cosderar coo u estadístco co dstrbucó oral de eda P y varaza PQ PQ sepre que sea grade. Esto es: p ~ N( P, ) lo que os perte costrur tervalos de cofaza para la proporcó P edate la PQ PQ fórula: ( p zα, p + zα ) La deduccó ateror se hace bajo el supuesto de que la poblacó es fta. S ebargo e la práctca se debe hacer dos correccoes: ua por tratarse de poblacoes ftas y la otra es ua correccó por cotudad debdo a que ua dstrbucó dscreta (la boal) se está aproxado por ua cotua (la oral). De esta aera la fórula para los tervalos de cofaza de la proporcó es realete: N PQ N PQ ( p zα, p + zα + N N Los valores P y Q = P ecesaros para el cálculo del tervalo so valores poblacoales descoocdos. Más aú, se está utlzado el so valor P que se quere estar lo que parece u círculo vcoso. Por esta razó, e cabo de P se utlza la estacó suya obteda co la uestra, pero este cabo altera lgeraete la fórula, de la sguete aera: ) N pq N pq ( p zα, p + zα + N N )

6 6 Expresó que e la práctca se usa para estar ua proporcó boal, es decr de dos categorías, co uestras grades e poblacoes ftas. S se trata de estar proporcoes boales e poblacoes ftas desaparece el N factor de correccó por ftud, ya que éste puede cosderarse gual a. N Podeos ahora calcular el taaño ío de uestra ecesaro para hacer ua estacó de ua proporcó boal. PQ E prer lugar, e ua poblacó fta, se tee e = zα de dode se deduce z PQ z PQ =, expresó que coúete se deota: = e e Para el cálculo de este valor es ecesaro teer cooceto de cuál puede ser el valor de P, lo que parece u círculo vcoso pues precsaete P y Q se va a estar. Teedo e cueta que la varaza del estador p es V( p) = pq = p ( p ) se cocluye que dcha z varaza es áxa cuado p = q =. E cosecueca, = es u valor que 4e garatza ua uestra sufcete para la estacó de P. Esta stuacó, p = q =, correspode al peor caso pues exagera u poco el taaño de uestra debdo a que correspode a la stuacó de áxa varaza. N PQ Cuado la poblacó es fta, de taaño N, se tee e = z α o, lo que es N Nz PQ equvalete: ( N ) e = ( N ) z PQ de dode se cocluye que = ( N ) e + z PQ y, dvdedo uerador y deoador por Ne, se obtee falete la expresó: = + N Esta es la fórula práctca para el cálculo del taaño de uestra bajo M.A.S: prero se calcula y luego, s es ecesaro, se corrge para poblacoes ftas.

7 7 4. Estacó y taaño de uestra para los valores de probabldad e dstrbucoes ultoales Coo se djo ates, s X tee dstrbucó ultoal co categorías, se puede toar ua uestra aleatora de taaño e la poblacó defda por X y, de ua aera a slar al caso dvarado, toar p = coo el estador de P, la probabldad de la categoría A dode a es el úero de eleetos de la categoría A presetes e la uestra. Las estacoes putuales así obtedas so correctas pero o resulta secllo costrur tervalos de cofaza para ellas, ya que, coo se vó ates, auque las varables X que hace coteos por categoría so boales -y, e cosecueca, la dstrbucó de cada p podría aproxarse por ua oral, coo se hzo e el caso boal-, las varables X o so depedetes y, por tato, tapoco lo será los estadores lgados por la restrccó = p, los que está p =. Esto hace que la costruccó de u tervalo de cofaza para p afecte los tervalos de cofaza para los otros p j. Más coplejo aú es deterar el taaño de uestra ío para estar las proporcoes de las dferetes categorías. Ua aproxacó al problea es agrupar las categorías e dos grupos: de ua parte cosderar la categoría de terés para la que se desea estar la proporcó y de otra reur las categorías restates e ua sola categoría co lo cual el problea ha sdo forzado a parecerse a ua stuacó boal y aplcar luego la teoría de vsta aterorete para varables boales. Esto, por supuesto, o es ás que ua salda de eergeca pues o sepre proporcoa ua correcta solucó, prero porque o perte costrur tervalos de cofaza para cada P y, segudo, porque exgría u taaño de uestra calculado específcaete para la proporcó de terés, lo que usualete o se hace. Mucho ás realsta, auque tabé ltado, sería cosderar ua stuacó tpo Boferro, dode se costruya tervalos sultáeos para todas las probabldades P. Es decr, dado α, obteer u cojuto de tervalos ( ) P ( p J ) ( p J ) ( p J ) = α J para los cuales se cupla que Los tervalos que cuple las codcoes aterores se obtee solucoado u coplejo sstea de ecuacoes del tpo:

8 8 π = ( ) χ + ( ± χ χ + 4 ( N )/ N ( N + χ ) dode probabldades verdaderas de cada categoría ver [*] χ y los π so las χ, α Los valores π so descoocdos, así que co frecueca se toe guales (esto ya troduce correccoes!) adeás que fucoa ejor para pequeños valores de (cuado ucho 4) Ate las aterores dfcultades se ha propuesto varas solucoes epírcas, uchas de ellas basadas e la propuesta de Cochra de agrupar las odaldades e dos grupos y hacer u trataeto boal. Por ejeplo, Yarold(970), basádose e estudos de sulacó, propoía que el taaño de uestra para poder aplcar esta etodología debería satsfacer p 5q para todo =,,, co 3 sedo q la proporcó de categorías para las cuales p < 5. Ya e 964 Queesbury y Hurst presetaro u étodo de costruccó sultáea de tervalos basádose e la dstrbucó J cuadrado aproxada de la sua de valores observados eos valores estados al cuadrado dvdda etre valores estados. Gooda e 965 costruyó tervalos ás cortos basádose e aproxacoes orales y la desgualdad de Boferro para poer ua cota a la probabldad de que todos los tervalos fuese sultáeaete correctos.. E 974 Agers, basádose e el étodo de Gooda presetó u étodo gráfco para fjar el taaño de uestra usado valores coocdos a pror de los paráetros. Tortora e 978, troduce la dea del peor caso para dstrbucoes ultoales, por aalogía co el peor caso de proporcoes boales. El étodo de Tortora fue crtcado por Agers que establecó que dcho étodo era ás coservatvo de lo ecesaro y propuso revsarlo usado u valor de 0.5 para cada paráetro. Este étodo es coputacoalete tedoso e geeral pero puede splfcarse s se supoe tervalos de gual logtud para todos los paráetros. Este últo supuesto ha sdo adoptado e cas todas las stuacoes para estar el taaño de uestra, sguedo cas sepre el étodo propuesto por Cochra. Presetareos etoces el étodo propuesto ya ecoado que ha sdo revsado por S Thopso, co el supuesto de que todos los tervalos so de gual logtud y usado el cocepto de peor caso (áxa varaza) e dstrbucoes ultoales coo ua geeralzacó del peor caso e dstrbucoes boales. E la práctca o exste razoes fuertes para creer que alguos tervalos sea ás cortos que otros. El objetvo es ecotrar el eor taaño de uestra para ua uestra aleatora extraída de ua poblacó ultoal de odo que la probabldad de que todas las proporcoes estadas esté sultáeaete detro de uas dstacas especfcadas de las verdaderas

9 9 proporcoes sea al eos α. Esto es: Pr p π d α dode π es la = proporcó poblacoal e la -ésa categoría, etras p es la proporcó observada e dcha categoría. Asureos que la poblacó es lo sufceteete grade coo para poder gorar las correccoes que se hace por ftud al utlzar aproxacó oral cuado se eplea uestreo aleatoro sple s reeplazaeto. El procedeto geeral cosste e ecotrar el ás pequeño tal que α α para = todos los posbles valores del vector ( π, π,, π ) sedo α el vel de sgfcaca para cada paráetro, valores que, e prcpo, asureos guales. E la práctca lo ateror se logra edate el sguete algorto:. Para cada valor posble de los paráetros del vector escoja u valor de y calcule d α dode α ( ( )) = Φ z sedo z =. S α < α etoces repta = π( d) = el procedeto toado u valor de eor que el ateror. Por el cotraro, s α > α toe u valor de ayor que el ateror. =. Repta el paso ateror co todos los posbles valores que puede toar el vector de paráetros para deterar el vector de paráetros π 0, correspodete al peor caso, el cual proporcoa el ayor. Toe este coo el taaño de uestra. Puede verse que el peor caso para cada valor del vector de paráetros correspode a la stuacó e que el correspodete valor de paráetro es etras que los deás valores vale 0. Ate esto, el taaaño de uestra correspodete estará dado por z k k = ax k d α sedo z el percetl superor correspodete a 00 % bajo la oral estádar, d el k valor coú de todos los d, y k u etero eor o gual que el úero de categorías. La versó 8. de ESM-plus corpora ua ruta para calcular el taaño de uestra sguedo el últo procedeto descrto para cualquer úero de categorías etre 3 y

10 0 9, co α = 0.05 y errores de 0.0, 0.0, 0.03,, La gráfca uestra que para estar proporcoes co ua varable ultoal de 5 categorías, co u error del 3% y u vel de sgfcaca del 95%, so ecesaras 47 observacoes bajo uestreo aleatoro sple. Gráfca. Taaño de uestra para proporcoes ultoales. ESM v8. Referecas:. Clavjo M, Jaro A (005); Métodos Estadístcos. Uversdad del Tola. Ibagué. Keepg, E.S (995).; Itroducto to Statstcal Iferece. Dover Publcatos. N.J. U.S.A 3. Queseberry C y D.Hurst; Large Sple Sultaeous Cofdece Itervals for Multoal Proportos. Techoetrcs. Vol 6. No. Mayo Tortora, R.; A ote o Sple Sze Estato for Multoal Populatos. The Aerca Statstca. Vol 3 No 3. Agosto de Eato P.W.; Yarold s Crtero ad Mu Sple Sze. The Aerca Statstca. Vol 3 No 3. Agosto de Thopso, S.; Sple Sze for Estatg Multoal Proportos. The Aerca Statstca. Vol 4 No. Febrero de 987