MODELOS DE SUBASTAS Y SU APLICACIÓN A LOS CONCURSOS

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. MODELOS DE SUBASTAS Y SU APLICACIÓN A LOS CONCURSOS Jan Momparlr, Maro Hdalgo Jam I, UTEM RESUMEN En st trabao ralzamos na ntrodón hstóra a la Toría d sbastas y al Modlo d Rfrna. Nos ntrarmos n l stdo d la sbastas n sobr rrado al prmr pro. Analzarmos las dfrnas ntr l modlo smétro y asmétro. Vrmos omo podmos tlzar stos modlos n l stor d la onstrón, dond s habtal ralzar la addaón d mhos proytos mdant sbastas on sobr rrado al prmr pro. Comntarmos algnos rsltados onodos q nos prmtn abordar la solón dl problma n l aso asmétro. Palabras lav: Sbastas, smlaón, onstrón 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Evolón hstóra d las sbastas Las sbastas omo método d vnta s rmontan a la antga Bablona, pro s a partr dl sglo XVIII ando las sbastas vlvn a obrar mportana y s mpzan a tlzar nvos métodos, omo la sbasta holandsa o dsndnt, s ntrod la tlzaón dl típo martllo para addars l bn nlso s tlzan sbastas on límt d tmpo para prsntar las ofrtas. XIII Jornadas d ASEPUMA 1

Jan Momparlr, Maro Hdalgo En l sglo XX la mportana d las transaons ralzadas por sbastas ha sdo my sgnfatva. Admás s so s ha do xtndndo a nvos bns y srvos y s ha nrmntado d manra notabl l númro d partpants, tanto, dsd l pnto d vsta d la ofrta omo d la dmanda. El stado s no d los agnts más mportants n l dsarrollo d la sbastas, y atúa tanto d omprador omo d vnddor. D hho na part mportant d ss ompras las sl ralzar a través d mansmos d sbastas, prnpalmnt n sobr rrado. En 1956 nos nontramos l prmr trabao aadémo a argo d Frdman sobr sbastas, postrormnt n 1961 Vrky ntrod l onpto d qlbro d la Toría d Jgos, s a partr d 1980 ando toma ag l nfoq d la Toría d Jgos ando s prod na vrdadra xplosón d las pblaons sobr st tma. 1.2. Tpos d sbastas Una sbasta s dfn omo na nsttón d mrado q nta on n onnto xplíto d rglas q dtrmnan la asgnaón d rrsos y dond los pros s basan n las ofrtas prsntadas por los partpants. Dsd l trabao d Vkry (1961) s han onsdrado prnpalmnt atro tpos d sbastas: 1.2.1. Sbasta asndnt o nglsa Est tpo d sbasta s la más tlzada, la aratrísta q la dfn s l hho d q l pro s va nrmntando ssvamnt hasta q qda n n úno omprador, q s l q s adda l bn al pro fnal 1.2.2. Sbasta holandsa o sbasta dsndnt Est tpo d sbasta srá l mansmo nvrso al antror, n st aso l sbastador omnza on n pro my alto q va dsmnyndo ssvamnt hasta q algún omprador lo apt. 1.2.3. Sbasta on sobr rrado al prmr pro Los potnals ompradors prsntan las ofrtas on sobr rrado. El bn, s adda al mor postor y l pro ond on la mor ofrta. 2 XIII Jornadas d ASEPUMA

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. En st tpo d sbasta dstaan dos aratrístas q ontrastan on lo q orrrá on la sbasta nglsa: n l momnto d prsntar las ofrtas lo potnals ompradors no onon al s las ofrta d los dmás y ada omprador sólo pd prsntar na úna ofrta. 1.2.4. Sbasta on sobr rrado al sgndo pro Esta sbasta srá gal a la antror pro on la dfrna q l pro a pagar no srá la dl ganador, sno q sría la sgnda ofrta más alta prsntada. Estas atro formas básas d sbastas admtn mhas varants, omo por mplo, s pd nlr n pro mínmo q podría sr n hho públo o no, s pdn mponr tasas por l drho a aptar, tambén l tmpo para prsntar las ofrtas podría sr fo, t. En las sbastas al prmr pro n sobr rrado, a los ompradors s ls prsnta l onodo dlma d q las ofrtas mayors tnn más probabldad d ganar pro al msmo tmpo rdn l xdnt n aso d ganar. La obtnón d la stratga d qlbro d los ompradors ya no s n prodmnto tan drto omo n los otros asos. Hay q tnr n nta q ya no stán dsponbls stratgas laras y, por lo tanto, ada omprador tndrá q ralzar na ontra sobr l omportamnto d los dmás. S pd dmostrar q la solón a st problma d optmzaón onsst n prsntar na ofrta q sría la valoraón más alta ntr ss omptdors, asmndo q s propa valoraón s la más lvada, s dr, s omo s n omprador n l momnto d allar s ofrta asm q va sr l ganador y ntons, dado st spsto, alla al sría la spranza d la valoraón más alta ntr l rsto d los ompradors y prsnta na ofrta gal a st valor. S todos los ompradors s omportan d sta manra ntons l ganador srá l q tnga na valoraón más alta y l pro srá s propa ofrta. Conodos stos antdnts stdarmos l aso d la sbasta n sobr rrado al prmr pro. 2. SUBASTA AL PRIMER PRECIO EN SOBRE CERRADO La ompra d n bn s podría dsrbr d la sgnt manra: 1.- Todos los ompradors adoptan ss aons smltánamnt. 2.- Cada no rb ss gananas n fnón d las aons tomadas por todos los ompradors. XIII Jornadas d ASEPUMA 3

Jan Momparlr, Maro Hdalgo En n problma d sbasta n sobr rrado al prmr pro, los ompradors prsntan ss ofrtas, l ganador rb l bn y paga l pro nldo n s propa ofrta, l rsto d los ompradors no rb nada y no paga nada. Para analzar la pa q hay q prsntar n na sbasta, s db tnr prsnt q s lo q sabn los ompradors n l momnto d tomar s dsón, als son ss aons fatbls y als srían ss fnons d gananas. S spon q los potnals ompradors onon las rglas d la sbasta, atúan on la rtza d s aplaón y valoran l obto q s sta sbastando. Esta valoraón s dsgnará por para l omprador, q srá l máxmo pro q staría dspsto a pagar, n gnral srá dfrnt para ada partpant. El spsto d la nformaón omplta sgnfa q todos los ompradors onon xatamnt omo ss omptdors valoran l bn n vnta. En rlaón a ss aons fatbls s spon q no s prsntan ofrtas ngatvas, dond la ofrta dl omprador s dsgnará por b. 2.1. El modlo d rfrna. Sbasta al prmr pro n sobr rrado Es l modlo más xtnddo n la ltratra y mhos trabaos s han dsarrollado a partr d la modfaón o rlaaón d los spstos básos. Para n modlo d na sbasta n sobr rrado al prmr pro s nsaro ralzar prsons sobr los spstos dl modlo: 1) El númro d partpants s dsgnará por N. D sta manra, on l sbínd = 1,...N s dsgnará n omprador gnéro. 2) Las ofrtas s sponn ontnas prtnnts al onnto d los númros rals no ngatvos, s dr, b [ 0, ) 3) Las valoraons d los ompradors s dstrbyn n l ntrvalo [ ], y ompartn la msma fnón d dstrbón F ( ), q s spon q s ontna y dfrnabl n dho ntrvalo y admás tnn na fnón d dnsdad dsgnada por f ( x). Por lo tanto [, ], sndo F ( ) = 0 y F ( ) = 1. 4 XIII Jornadas d ASEPUMA

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. El vtor q ontn las ofrtas d todos los anddatos a xpón dl anddato, s dsgnará por b y a la ofrta más alta d las nldas n b s llamará b, s dr, b = max[ b ] srá la ofrta más alta sn tomar n nta a b. La ganana dl omprador srá: b = 0 dónd la tldad sprada dl omprador s: b b > b < b = ( ) (( > b P b b (1) En st aso los ompradors prsntaran ss ofrtas ntntarán maxmzar la tldad sprada tnndo n nta la nformaón d q dsponn y ss ontras d ómo s omportan los dmás ompradors. S spon q l omprador ralza la ontra d q todos ss omptdors van a prsntar ss ofrtas d ardo a na rgla d dsón arbtrara, b = B ) h. Esta rgla d dsón sría arbtrara pro db mplr dos rqstos fndamntals: sr ontna y sr monótona rnt [, ] )) h ( h. Estas propdads son mportants por q asgrar sn ambgüdad q a mayor valoraón mayor srá la ofrta prsntada y l hho d sr monótona rnt asgra la fnón nvrsa n l ntrvalo fatbl para las valoraons, s dr: = B 1 ( ) h b h h. Dond B 1 ( ) b h srá la valoraón q da lgar a la prsntaón d na ofrta gal a b h. Antrormnt s omntó q la mayor ofrta ntr los omptdors d s llama b ntons b = B( ). Sa * la valoraón q haría q l omprador prsntara na ofrta gal * a la dl omprador dond = B 1 ( ), ntons la probabldad d ganar q tn l b omprador on la ofrta b srá gal a la probabldad d q todas las valoraons dl rsto d los ompradors s stún por dbao d *. A s vz, la probabldad d q la valoraón d n omprador s stú por dbao d fnón d dstrbón d las valoraons, s dr, ( ) * vndrá dada prsamnt por la F. XIII Jornadas d ASEPUMA 5

Jan Momparlr, Maro Hdalgo Como xstn N 1 omptdors dl omprador, para obtnr la probabldad d q todas las valoraons s nntrn por dbao d s valor, s tndría q mltplar N 1 vs por s msma. Por lo tanto: P * N 1 1 1 [ ] [ ( )] ( ) N b > b = P b > B = F = F( B ( b )) Rmplazando st valor n la aón (1) s tn: 1 Max = ( b ) F( B ( b )) (2) En sta xprsón s han lmnado las rfrnas a la máxma ofrta d ss omptdors o a ss valoraons, datos ambos no onodos por l omprador ando prsnta s ofrta. D sta manra la aón antror aparn sólo varabls onodas omo l númro d partpants N, la fnón d dstrbón d las valoraons d los otros ompradors F y s propa valoraón. Por lo tanto, n sta formlaón d la tldad sprada ya s podría afrontar l problma d s maxmzaón, n l ontxto d los rqstos xgdos por l Eqlbro Baysano d Nash. Para maxmzar habrá q lgr b tal q s mpla la ondón d prmr ordn = 0. S s drva b ntrod la ondón d prmr ordn n sta drvada, s tn: on rspto a y s s d d db = + * b d = d Por lo tanto, la ofrta óptma b db satsfar: d d = d = F ( B ( b )) 1 N 1 Hasta ahora solo s ha fado n l omprador y s ha spsto na rgla d dsón arbtrara B () q tlzarían ss rvals. Todos los ompradors dbn star maxmzando smltánamnt s tldad, y por tanto, l so d la fnón B () por part d los omptdors d dbn sr onsstnt on (3) llos msmos s stán atando raonalmnt. S a stas ondons, s l agrga, l spsto d smtría ntr los ompradors, ntons la ofrta óptma dl omprador ( b ) dbría sr la q dtrmn la propa rgla d dsón B () para la valoraón. Es dr, para 6 XIII Jornadas d ASEPUMA

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. q ada ofrta ( b ), pda formar part d n qlbro d Nash db mplr q b = B ), ssttyndo sta xprsón n (3) s tn: ( d d = F( B 1 ( b )) = F 1 [ B ( B( )] = F( ) Por lo tanto, para allar la tldad sprada s tn: ( ) = [ F ) d] A + ( (4) Para dtrmnar l valor d A s rrr a la sgnt ondón lmt, l tpo d omprador q l orrspondría a la valoraón más baa ntr todas las posbls tndría na tldad sprada por partpar n la sbasta d ro, sta ondón q ga n papl rlvant n l modlo d rfrna, tambén s podría ddr d la raonaldad d los spstos ralzados q qval a q la ofrta q ralza n omprador on la valoraón más baa sría B ( ) =. Por lo tanto, st tpo d omprador gan o prda la sbasta, smpr rbría na ganana gal a ro. Utlzando sta ondón s obsrva q l valor d la onstant A s ro, porq la ntgral s anla ando =. Entons, aplando la ondón d Nash d q b = B ) galando (2) y (4) s tn la fnón d ofrta B ( ) : ( [ F ) d] Dspando B ) s tn: ( ( = ( B( )) F( ) b = B( ) = - [ F( ) ] F( ) d En na sbasta al prmr pro, la ombnaón d stratgas q onsst n q todos los ompradors tlzan la fnón d ofrta B ) onstty n qlbro baysano d Nash. Esta fnón d ofrta, s rnt, por lo tanto n l ontxto dl modlo n rfrna la sbasta al prmr pro sría fnt dbdo a q l ganador srá l omprador on la valoraón más alta. ( (5) XIII Jornadas d ASEPUMA 7

Jan Momparlr, Maro Hdalgo 3. EJEMPLO DEL MODELO ASIMÉTRICO 3.1. El Modlo Asmétro Spongamos q N mprsas onstrtoras partpan n na sbasta para addars n proyto. La mprsa ono s propo ost pro no l dl rsto d partpants n la sbasta. El ost stmado para ada mprsa s na varabl alatora ada na. C ya ralzaón la dnotamos por y s lgdo ndpndntmnt por La varabl alatora fnón d dnsdad d probabldad f ( ; θ ) ( θ θ, θ,... ) θ N C tn na fnón d dstrbón F ( ; θ ), sndo y na θ n parámtro. Sa θ =., l vtor d los parámtros spífos d todas las mprsas. 1, 2 3 Sponmos q l ost d d todas las mprsas [, ]. Spongamos tambén q ada mprsa onstrtora tn dfrnt loalzaón y por tanto dfrnts osts d transport: = os t _ fo+ β 1 dsta + ε Tndrmos l onst stmado n fnón d trs térmnos. La prmra part afta a todas las mprsas por gal, por mplo, los klómtros d atovía han d sr asfaltados, o las tonladas d mnto q s nstan para onstrr n nvo dfo. El sgndoβ 1 dsta, s dfrnt para ada frma ps afta a s loalzaón. Por últmo l térmnoε, s na varabl ndpndnt q srv para modlar la nformaón prvada, omo l ost d matrals o d mano d obra. típa S sponmos q ε stá normalmnt dstrbdo, on mda ro y dsvaón σ, ntons θ ( t _ fo, β,, σ ) = os 1 dsta. Sa b la pa d la frma, omo n st aso la addaón s ralza a la ofrta más onóma, podrmos dfnr s tldad omo sg: ( b b, b,..., b, ) 1, 2 3 N b = 0 b < b n otro aso 8 XIII Jornadas d ASEPUMA

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. La mprsa s d q tn valoraón prvada, ya q s tldad dpnd únamnt d y no d la nformaón prvada d las otras frmas. Los dfrnts osts d matrals y d mano d obra para ada mprsa mplarán la valoraón prvada. 2.1.1. Ganana sprada En l modlo la stratga d la mprsa s na fnón ( ;θ) b =. L Brn (1994) y Martn y Rly (1996) han dmostrado q n qlbro, las fnons d pa b = ( ;θ) son strtamnt rnts y dfrnabls. Lo al mpla q xst fnón nvrsa d pa φ ( b; θ) b 1 ( b; θ) = s tambén strtamnt rnt y dfrnabl. b b La mprsa spra n bnfo d la pa dnotarmos π ( ;θ) Sndo: b q vrfa:, ( b, ; b, θ) = ( b ) Q ( bθ) π ; Q ( b; ) = 1 F φ ( b; θ) [ ( θ ) ] θ ; b on l ost stmado q la probabldad q la frma ral la ofrta más baa. 2.1.1. Dfnón Un qlbro n stratga pra s na olón d fnons q [, ], b b ( ) = maxmza π (, ; b,θ) b. b... 1 b2 b N tals La ondón d prmr ordn para q la mprsa maxm l bnfo sprado s: π b ' ( b, ; θ) = ( b ) Q ( b ; θ) + Q ( b ; θ) = 0 En qlbro tndrmos sta xprsón para ada mprsa π b S drvamos tndrmos b π ' ( b, ; θ) = ( b ) Q ( b ; θ) + Q ( b ; θ) = 0 = 1,... N ( b, ; θ) = 1 F φ ( b ) = 1,...N ' [ ( )] ( b ) f ( φ ( b) ) φ ( b) 1 Fk φk( b) k [ ( )] = 0 XIII Jornadas d ASEPUMA 9

Jan Momparlr, Maro Hdalgo φ : ' S agrpamos térmnos y rordnamos l sstma n térmnos d ( b) φ ' ( b) 1 F( φ( b) ) ( N 1) f ( φ ( b) ) ( N 2) 1 + φ ( b) b φ ( b) = b = 1,...N (6) Lgo podmos aratrzar la nvrsa d las fnons d pa omo n sstma d N aons dfrnals ordnaras. Vamos dos rsltados lav q nos srvrán para garantzar la xstna d qlbro y aratrzar las nvrsas d las fnons d pa. 2.1.2. Sposón 1 Para todo, ( ;θ) ( ;θ) F tn soport [ ] f s ontnamnt dfrnabl. [, ]. 2.1.3. Sposón 2,. La fnón d dnsdad d probabldad Para todo, la fnón d dnsdad d probabldad ( ;θ) 2.1.4. Torma1 (LBrn, Maskn y Rly) f stá aotada n S s dan las sposons 1 y 2 ntons xst n qlbro d stratga pra. Admás las fnons d pa son strtamnt rnts y dfrnabls. 2.1.4. Torma2 (LBrn, Maskn y Rly) Sponndo q s vrfan las sposons 1 y 2. Sa φ ( b) φ ( b)... φ ( b) las nvrsas d las pas d qlbro. Entons: φ 1. Para todo, ( ) = 2. Exst na onstant β tal q para todo, φ ( β) 3. Para todo y para todo b [ β,] = s vrfa la aón (6) 1 2 N Las ondons 1 y 2 dl Torma 2 nos dan 2N ondons d frontra para l onnto d N aons dfrnals d (6). La ondón 1 d q las mprsas q tnn l ost más alto l valor d la pa q ralzan s. La sgnda ondón d q n l ost más bao, todas las mprsas paránβ. 10 XIII Jornadas d ASEPUMA

Modlos d sbastas y s aplaón a los onrsos. Para dmostrar la ndad d la solón on las ondons d frontra spfadas, nstaríamos q l sstma vrfq las ondons d Lpshtz. Sn mbargo por la ondón 1 dl Torma 2 ando φ ( ) y por la ondón d 1 F( ( ) = 0 = φ tndrmos q b, ntons ( ) 0 b φ = 0. Por lo tanto l sstma tnd a 0 y por sa razón no s vrfan las ondons d Lpshtz n las proxmdads d. La nsdad d dar solons a las fnons d pa n los asos más omplos rqr l dsarrollar ténas spífas para la rsolón dl sstma d aons dfrnals, omo s pd obsrvar n varos trabaos. 3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAJARI, P. (2001). Comparrng omptton and ollson: a nmral approah. Eonom Thory 18, pp.187-205 DURÁ, P. (2002), Toría d sbastas y prvatzaons: n modlo d rptaón dl vnddor. Tss Dotoral. MASKIN, E. Y RILEY, J. (2000). Asymmtr Atons. Rvw of Eonom Stds 67, pp. 413-438. XIII Jornadas d ASEPUMA 11