Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems. Estudiremos sobre todo el método llmdo de eliminción gussin o de Guss, porque es l bse de los procedimientos que se utilizn pr resolver un sistem con el ordendor y simismo pr el estudio de los tems que siguen, Espcios Vectoriles y Aplicciones Lineles. 2.-INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES El término linel proviene de líne rect que es l expresión más simple de un ecución y que puede escribirse de l form x + 2 y b donde, 2 (coeficientes) y b (término independiente) son ctes. tl que y 2 no son simultánemente cero. Dich ecución se llm ecución linel de incógnits x e y. En generl un ecución linel es culquier de l form x + 2 x 2 +...+ n x n b donde ls vribles x, x 2,... x n (incógnits) precen elevds l primer potenci y no son funciones trscendentes (lnx, cosx, e x etc. ) ni existen productos, ni ríces de ls vribles. A menudo tenemos necesidd de resolver vris ecuciones lineles l mismo tiempo, un colección finit de m ecuciones lineles con n incógnits x, x 2,... x n se llm un sistem de ecuciones lineles o sistem linel de m ecuciones con n incógnits: x + 2 x 2 +...+ n x n b 2 x + 22 x 2 +... + 2n x n b 2 3 x + 32 x 2 +... + 3n x n b 3........... m x + m2 x 2 +.....+ mn x n b m donde los coeficientes y términos independientes pertenecen en nuestro cso. Ejemplo 2-3x + 2x 2 5x 3 4 x 2x 2 + 5x 3 2 Sistem linel de dos ecuciones con tres incógnits, donde ls vribles vienen relcionds con operciones de sum y rest. Ejemplo 2-2 3x lny 2x + 4 e y 2 Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
2 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Sistem no linel, y que ls ecuciones tienen funciones trscendentes (lny, e y ), es un sistem de ecuciones sin más. Ejemplo 2-3 x y + 2z 0 3x + y 3z 0 2x + 3y 4z 0 Sistem linel de tres ecuciones con tres incógnits, términos independientes todos nulos (sistem homogéneo). Ejemplo 2-4 2x y + 3z 2 3x + y 2 z y + 2z 4 No es un sistem linel, pues precen incógnits multiplicds. Los sistems dmiten un ecución de mtrices: A X B x 2 3... n b x2 2 22 23... 2n b2 x 3 A XB................... m m2 m3... mn b m x n L mtriz 2 3... n 2 22 23... 2n A............... m m2 m3... m n se llm mtriz de los coeficientes x b x 2 X b x 3 mtriz de ls incógnits y B.... x b n Tmbién se utilizrá 2 3... n b 2 22 23... 2n b2 A.................. m m2 m3... mn b m 2 mtriz de términos independientes. m mtriz mplid. Tod mtriz represent un sistem linel y todo sistem linel se puede representr por su mtriz mplid. Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
3 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Ejemplo 2-5 0 3 5 y 3z 5 Dd l mtriz D 4 0 el sistem socido es x 4y 3 2 7 2 3x + 2y 7z En form mtricil: 0 3 x 5 4 0 y A X B 3 2 7 z 2 Ejemplo 2-6 El sistem 3x + 2y 4z 7 3 2 4 l mtriz socid es F 2x 5y + z 5 2 5 x 3 2 4 2 5 7 y A X B 5 z 7 5 Se llm solución de un sistem linel un colección de vlores que sustituidos en ls incógnits stisfcen simultánemente ls ecuciones (comprobción). Ejemplo 2-7 2x 3y x 2 () 3 (7) Solución únic x + 2y 3 y 7 + 2 (7) 3 x 7α 2x 3y + z 0 infinits soluciones y 5 α {(x, y, z) (7,5,) α α R x 2y + 3z 0 z α 2 (7) 3 (5) + 0 Pr α (x, y, z) (7, 5, ) 7 2 (5) + 3 () 0 Resolver un sistem linel signific encontrr tods ls posibles soluciones. En orden ls soluciones podemos clsificr los sistems en: determindo si tiene un únic solución Comptibles: si tienen solución indetermindo si tiene inf inits soluciones Incomptibles: si no tienen solución. Antes de resolver un sistem podemos verigur si es comptible o no, pr ello utilizmos el Teorem de Rouché-Fröbenius Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
4 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Un sistem puede ser: determindo rg(a) rg(a') nº de incógnits Comptible rg(a) rg(a') indetermindo rg(a) rg(a') < nº de incógnits Imcomptible rg(a) rg(a') 2.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES I) Método de Guss (Eliminción gussin) Antes de encontrr ls soluciones de un sistem, observmos que ciertos sistems de form tringulr o csi tringulr (l mtriz mplid del sistem está esclond por fils) son más sencillos de resolver que otros, por ejemplo x + 4y 2z 3 y + 2z 0 3z 2 Con el proceso de sustitución hci trás, en el cul, primero se resuelve l últim 2 ecución en z: z 4 y después subiendo l nteúltim, sustituyendo los vlores 3 encontrdos en l ecución nterior, se hll y: y 0 2z 0 2 (4) 2, y sí, llegmos l primer ecución que resolvemos en x: x 3 4y + 2z 3 4(2) + 2(4) 3 Nuestro objetivo es por lo tnto, convertir un sistem linel generl l form tringulr o csi tringulr, pr después resolver con l sustitución hci trás. Un sistem linel puede reducirse l form tringulr o csi tringulr (form esclond) plicndo operciones elementles sobre ls ecuciones, ls cules corresponden operciones elementles sobre ls fils en l mtriz mplid, de form que ests operciones no influyen en l solución del sistem (estos sistems que tienen ls misms soluciones se llmn sistems equivlentes) Ls correspondencis serín: Operción elementl en un mtriz Cmbir dos fils Operción elementl en un sistem Cmbir dos ecuciones Multiplicr un fil por un cte. K 0 Multiplicr un ecución por un cte. K 0 Sumr un fil multiplicd por un cte. K 0 otr fil Sumr un ecución multiplicd por un cte. K 0 otr ecución Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
5 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Ejemplo 2-8 Se el sistem 2x y + 3z 2x + 4y 2z 5 Sistem equivlente 2x + 4y 2z 5 2x y + 3z 2 3 2 4 2 5 2 4 2 5 2 3 Hemos cmbido ls ecuciones de lugr. 2x y + 3z 2x+ y 3z Se el sistem Sistem equivlente 2x + 4y 2z 5 2x + 4y 2z 5 2 3 2 3 2 4 2 5 2 4 2 5 Hemos multiplicdo por ( ) l primer ecución. 2x y + 3z 2x y + 3z Se el sistem Sistem equivlente 2x + 4y 2z 5 5y 5z 6 2 3 2 3 2 4 2 5 0 5 5 6 Hemos sumdo l 2ª ecución l ª multiplicd por ( ) El orden de elección de ls operciones elementles sobre los sistems es el que mrc l sencillez de ls operciones y un determindo rzonmiento del trbjo de ess operciones en l búsqued del resultdo. I) Cso comptible determindo: Ejemplo 2-9 Resolver por eliminción gussin el sistem 3x + 3y + 8z x + 4y 4z 3 3y + 2z 7 En principio el cmbio de ecuciones serí l ª por l 2ª pr empler como pivote el 3 3 8 4 4 3 x + 4y 4z 3 4 4 3 F,2 3 3 8 3x + 3y + 8z 0 3 2 7 0 3 2 7 3y + 2z 7 hcemos ceros debjo del primer pivote, el 4 4 3 4 4 3 x + 4y 4z 3 3 3 8 F2 3 F 0 9 20 8 9y + 20z 8 0 3 2 7 0 3 2 7 3y + 2z 7 cmbimos l 2ª fil por l 3ª pr fcilitr hcer ceros en l 2ª column 4 4 3 4 4 3 0 9 20 8 F2,3 0 3 2 7 0 3 2 7 0 9 20 8 x + 4y 4z 3 3y + 2z 7 9y + 20z 8 Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
6 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 hcemos ceros en l 2ª column 4 4 3 4 4 3 x + 4y 4z 3 0 3 2 7 F3 + 3 F2 0 3 2 7 3y + 2z 7 0 9 20 8 0 0 3 26 26z 3 rg(a) rg( A )nº de incógnits Sistem comptible determindo plicndo l sustitución hci trás ( x, y, z) ( 3, 2, 2 ) II) Cso comptible indetermindo: Ejemplo 2-0 Resolver el sistem x + y + z + t 7 x + y + + 2t 8 2x +2y + 3z 0 x y 2z + 2t 0 Cogemos el primer pivote en l mtriz mplid (procurndo que se un uno) y hcemos ceros debjo de él. En generl cundo no es un uno el primer pivote, pr nulr los i correspondientes elementos de l column, se multiplic por ( ) l fil del pivote, donde i es el elemento que queremos nulr y se sum l fil correspondiente. 7 7 F2 F 0 2 8 0 0 A F3 2 F 2 2 3 0 0 0 0 2 4 F4 F 2 2 0 + 0 0 3 7 x + y + z + t 7 z + t z 2t 4 z + 3t 7 Cogemos el 2º pivote y hcemos ceros debjo de él 7 7 0 0 F3 F + 2 0 0 0 0 2 4 F4 F 2 0 0 0 3 0 0 3 7 0 0 0 2 6 x + y + z + t 7 z + t t 3 2t 6 Cogemos el 3 er pivote y hcemos ceros debjo de él 7 7 x + y + z + t 7 0 0 2 0 0 2 E 4,3(2) z + t 2 A ' 0 0 0 3 0 0 0 3 t 3 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 0 3 rg(a) rg( A ) nº de incógnits 4 Sistem comptible indetermindo Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
7 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 L nteúltim ecución tiene solución, por lo que empezrímos l sustitución hci trás despejndo l incógnit correspondiente, en este cso l t. Por regl generl se despejn ls incógnits que definen los pivotes en función de ls otrs, quedndo l solución en prmétrics t 3 x α z 5 y α x 7 y 5 3 z 5 t 3 x y 0 Soluciones indeterminds + α, α z 5 0 t 3 0 0 El vector se llm solución prticulr, que sle pr el prámetro igul cero (el vlor 5 3 más sencillo) de form que 7 0 2. 0 8 2 2 3 0 5 0 2 2 3 0 Al vector α. 0 0 se le llm solución homogéne, es un vector del espcio nulo, es decir 0 0 2. 0 2 2 3 0 0 0 2 2 0 0 III) Cso incomptible: Ejemplo 2- Resolver el sistem x + y + z + t 7 x + y + 2t 5 2x + 2y + 3z 0 x y 2z + 2t 0 Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
8 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Cogemos el primer pivote y hcemos ceros debjo de él 7 7 x + y + z + t 7 F2 F 0 2 5 0 0 2 z + t 2 F3 2 F 2 2 3 0 0 0 0 2 4 z 2t 4 F4 + F 2 2 0 0 0 3 7 z + 3t 7 Cogemos el 2º pivote y hcemos ceros debjo de él 7 7 0 0 2 F3 F + 2 0 0 2 0 0 2 4 F4 F 2 0 0 0 6 0 0 3 7 0 0 0 2 9 Cogemos el 3 er pivote y hcemos ceros debjo de él x + y + z + t 7 z + t 2 t 6 2t 9 7 7 0 0 2 0 0 2 F4 2 F + 3 A 0 0 0 6 0 0 0 6 0 0 0 2 9 0 0 0 0 3 L últim ecución no tiene solución, luego el sistem es incomptible. ' x + y + z + t 7 z + t 2 t 6 0 3 Por Rouché-Fröbenius el rg(a) 3 y rg(a ) 4, luego el sistem es incomptible. Cundo hy un ecución de l form (0, 0,...0, b) con b 0 l hllr l mtriz esclond de l mtriz mplid, el sistem es incomptible. Ejemplo 2-2 Resolver el sistem x y + 3z 2t 3 Nº de incógnits(4) menos nº de ecuciones() igul nº de prámetros(3) A ( - 3 2 3) x µ 3λ + 2δ 3 y µ Solución prmétric: x y 3z + 2t 3 z λ t δ x 3 3 2 y 0 0 0 + µ + λ + δ z 0 0 0 t 0 0 0 Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
9 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Sistems homogéneos Los sistems en los que todos los términos independientes son nulos se llmn sistems homogéneos. Siempre tienen l solución (0,0,...0) llmd trivil, por lo tnto siempre son comptibles determindos. Como l column de los términos independientes no port nd l rngo de l mtriz mplid, se puede prescindir de es column y sólo estudirímos el rngo de l mtriz A, luego el teorem de Rouché-Fröbenius se convierte pr los sistems homogéneos en: determindo rg(a) nº de incógnits Pr A cudrd A 0 Comptible indetermindo rg(a) < nº de incógnits Pr A cudrd A 0 Nuestro interés es encontrr soluciones distints de l trivil, es decir resolver sistems homogéneos comptibles indetermindos. Ejemplo 2-3 Resolver el sistem x - y + z 0 x - y - z 0 2x - y + z 0 y + z 0 Cogemos el primer pivote y hcemos ceros debjo de él 0 0 x y + z 0 0 F2 F 0 0 2 0 2z 0 2 0 F3 2 F 0 0 y z 0 0 0 0 0 y + z 0 Cmbimos l 2ª ecución por l ª 0 0 0 0 2 0 0 0 F 2,3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 Hcemos ceros debjo del 2º pivote x y + z 0 y z 0 2z 0 y + z 0 0 0 0 0 0 0 F4 F 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 Hcemos ceros debjo del 3 er pivote x y + z 0 y z 0 2z 0 2 z 0 Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
0 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 0 0 x y + z 0 0 0 0 0 F4 F y z 0 + 3 0 0 2 0 0 0 2 0 2z 0 0 0 2 0 0 0 0 0 rg(a) nº de incógnits Comptible determindo 3 rg(a) nº de incógnits 3 Comptible determindo L sustitución hci trás nos d l solución: (x, y, z) (0, 0, 0) llmd solución trivil y que tienen todos los sistems homogéneos. Ejemplo 2-4 Resolver el sistem x + y + z 0 x y z 0 2x y z 0 y + z 0 Hcemos ceros debjo del er pivote x + y + z 0 F2 F 0 2 2 2y 2z 0 2 F3 2 F 0 3 3 3y 3z 0 0 0 y + z 0 Cmbimos l fil 4ª por l 2ª x + y + z 0 0 2 2 0 F y + z 0 4,2 0 3 3 0 3 3 3y 3z 0 0 0 2 2 2y 2z 0 Hcemos ceros debjo del 2º pivote x 0 F3 3 F + 2 0 0 3 3 F4 + 2 F 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 + y + z 0 y + z 0 0 0 0 0 Rg(A) 2 < nº de incógnits 3 Comptible indetermindo (Solución homogéne) x 0 y z Resolviendo por sustitución hci trás y α x y z 0 z α Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
Sistems de ecuciones lineles Tem 2 x 0 0 y 0 + α solución prticulr + solución hom ogéne z 0 Aplicción en l eliminción de prámetros x b + δ + 2θ +... + nλ y b2 + 2δ + 22θ +... + 2nλ Se el sistem......... z bm + mδ + m2θ +... + mnλ Eliminr los prámetros δ, θ,...λ es lo mismo que obtener l condición que deben verificr los vlores (x, y,...z) pr los que el sistem: δ + 2θ +... + nλ x b δ + θ +... + λ y b............... δ + θ +... + λ z b 2 22 2n 2 n n2 mn m se comptible, es decir: 2 3... n 2 3... n x b 2 22 23... 2n 2 22 23... 2n y b2 rg rg....................................... z b m m2 m3 m n m m2 m3 m n m Ejemplo 2-5 Eliminr los prámetros en el sistem: α + β x β + γ y α +2β + γ z En form mtricil 0 α x 0 β y 2 γ z Mtriz mplid 0 x 0 y 2 z Hllmos su form esclond: hcemos ceros debjo del er pivote Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
2 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 0 x 0 x 0 y F3 F 0 y 2 z 0 z x Hcemos ceros en l 2ª column debjo del 2º pivote 0 x 0 x 0 y F3 F2 0 y 0 z x 0 0 0 z x y Evidentemente pr que el sistem se comptible en l últim fil se tiene que verificr que z -x - y 0 (Ecución en implícits) que es l condición buscd. Sistems ml condiciondos Vmos ver que hy sistems en ls que un pequeño error de redondeo puede producir un error grnde en los resultdos finles; estos sistems se les llm ml condiciondos. Ejemplo 2-20 Se el sistem x + 2y 0.x + 2y 0.4 Restmos l ª de l 2ª 0,x 0,4 x 4 y 3 Si hcemos un pequeño cmbio en el sistem x + 2y 0.05 x + 2y 0.4 Restmos l ª de l 2ª 0,05 x 0,4 x 8 y Es decir un error de 5 centésims ocsion un cmbio totl en ls soluciones. Estos sistems son muy difíciles de mnejr y lo que podemos hcer es reconocer cundo estmos nte un sistem ml condiciondo. Cómo reconocemos un sistem ml condiciondo? En principio cundo el determinnte de los coeficientes se proxim cero. El problem es especificr cunto de proximdo cero tiene que estr el determinnte, puesto que un determinnte puede cmbir su vlor, multiplicndo un o más ecuciones por un fctor esclr, mientrs que no lter l solución del sistem: Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl
3 Sistems de ecuciones lineles Tem 2 Ejemplo 2-2 Se el sistem 3 2 2 3x + 2y 8 -x + 2y 2 8 bien condiciondo Se el sistem x + 2y 0,x + 2y 0,4 2 0, 2 ml condiciondo, 2 Si en este sistem multiplico ls dos ecuciones por 0, el sistem no vrí ni l solución ni el estdo de condicionmiento, pues estrímos nte un sistem equivlente. En cmbio si hor clculmos su determinnte, obtenemos 0 20 20 bien condiciondo?? 20 no está bien condiciondo, pues el sistem sigue siendo el mismo, luego con el determinnte no podemos segurr su condicionmiento del todo. Fundmentos Mtemáticos I C. Hoyl