Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del primer eamen parcial del curso Cálculo de una variable Grupos: Uno y Cinco Período: Inicial del año 00 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. a. Encuentre la función F sabiendo que F 0) y que el gráfico de F, su derivada, es la recta de la siguiente figura: b. Se muestra la gráfica de una función f. Trace la gráfica de la antiderivada F sabiendo que F 0)0y que F )8/. a. Como la recta que aparece en la figura tiene pendiente m / y pasa por el origen, su ecuación debe ser y, por tanto, llamando f a la función que constituye dica recta, podemos escribir: f) Por la regla de la potencia para que f sea la derivada de una función F se requiere que F sea de la forma: F ) + c donde c es una constante) ) De que la función F debe cumplir F 0), como se establece en la ipótesis, se desprende entonces: F 0)0 + c 0+c c c De lo cual se concluye que la fórmula ) para la antiderivada F se transforma en: F ) + b. Los datos más destacados que muestra la gráfica de la función f con implicaciones importantes en el comportamiento de la antiderivada F se pueden resumir en la siguiente tabla: F ) f) + Intervalo, 0 0,, +
En ella se muestra que: Como la derivada f es negativa en el intervalo, 0 ), la antiderivada F es decreciente en dico intervalo. Como la derivada f es positiva en el intervalo 0, ), la antiderivada F es creciente en dico intervalo. Como la derivada f es negativa en el intervalo, + ), la antiderivada F es decreciente en dico intervalo. Toda esta información sobre el comportamiento de la antiderivada F junto con los puntos de F suministrados: F 0) 0 y F )8/ /, nos permite bosquejar un gráfico aproimado de la función F,éste es: - - - PUNTO. Respecto de la siguiente curva: t, y +t, 0 t a. Grafique la curva usando ecuaciones paramétricas para situar los puntos. Indique con una fleca la dirección en que se traza la curva al aumentar t. b. Elimine el parámetro para allar una ecuación cartesiana de la curva. a. Para dibujar once puntos de la curva, ordenados de acuerdo al crecimiento del parámetro t, dividimos el segmento [ 0, ], de recorrido de t, en diez partes iguales para construir la siguiente tabla cuyos sucesivos valores de y y permiten situar dicos puntos. Para dibujar la curva se unen estos puntos, dos a dos, con líneas que formen un trazo sin esquinas. t 0 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8 0 0. 0.48.08.9 4..88 7.68 9.7 y 4 6 7 8 9 0 0 8 6 4 4 6 8 0
b. Despejando el parámetro t de la segunda ecuación que define la curva, se sigue: y +t t y t y Introduciendo este valor del parámetro t en la primera de dicas ecuaciones se obtiene: y t [ ] y En la ecuación para y que define la curva, cuando el parámetro t valor 0 la y vale y + 0+0y cuando el parámetro t valelay vale y + +0. Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: [ ], y y PUNTO. Para qué valor de la constante a la función f es continua sobre el intervalo, )? f) { a + cuando + a cuando > Como los trozos que definen la función son ambos funciones continuas porque se trata de polinomios los cuales son continuos en todas partes, el único punto de posible discontinuidad es donde se unen dicos trozos, o sea en. Entonces, para asegurarnos de que no aya discontinuidad en ningún punto, como lo eige el ejercicio, debemos garantizar la continuidad en el punto, lo cual requiere que se cumpla: Calculemos el límite por la izquierda: Calculemos el límite por la dereca: lim f) lim f) ) + lim f) lim a + a +9a + lim f) 9a + ) lim f) lim + a ) + a 8+a lim f) a + ) + + Entonces, de ) y ) por ) se concluye: 9a +a + 6a a 6 a PUNTO 4. Si f) +, utilizando la definición de derivada encuentre f ) y use este resultado para allar la ecuación de la recta tangente a la parábola y +, en el punto, ). a. Empleando la definición de derivada se obtiene: f f + ) f) + + + + ) ) lim lim lim 4+4 + ) 0 + +0 7 + lim lim 7+ lim + + lim 7+ 7+ 07+07
Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: f )7 b. Como la derivada de la función f) evaluada en el punto es la pendiente m de la tangente a la curva de f en el punto, ), utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de la tangente, se tiene: y y 0 m 0 y 7 )7 4 7 y 0 PUNTO. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones: a. f) e b. y +4 + a. Para facilitar el cálculo de la derivada epresemos la función f) de la siguiente manera: f) / e Como se trata del producto de las funciones / y e, debemos emplear la regla del producto que a la letra dice: la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera por la segunda más la derivada de la segunda por la primera, el resultado es: f ) / e + e / / e + e / f ) e + e + e e + ) b. Para facilitar el cálculo de la derivada epresemos la función y de la siguiente manera: y +4 + / Como se trata del cociente de las funciones +4 +y /, debemos emplear la regla del cociente que a la letra dice: la derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador dividido todo por el cuadrado del denominador, el resultado de la aplicación de dica regla es: d +4 ) / / +4 + ) / ) +4 ) / +4 + / / +4 ) +4 + ) 6 + 4 +8 4/ +/ / Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: d +8 4
PUNTO 6. Respecto de la siguiente curva: y cos + sen, 0 π encuentre los puntos en los cuales la tangente a la curva es orizontal. Después de aplicar la regla del cociente para calcular la derivada de la ecuación dada y la identidad trigonométrica fundamental para simplificarla, se obtiene: d sen + sen cos cos sen sen cos sen sen + cos ) + sen + sen + sen sen d + sen Como se trata de encontrar los puntos, y) de la curva donde la tangente es orizontal, la pendiente de tales tangentes debe ser nula, lo cual significa que la derivada en tales puntos debe ser nula, por tanto: 0 sen d 0 sen sen sen ) + sen Para resolver esta última ecuación trigonométrica podemos utilizar el triángulo de apoyo que aparece a la dereca de la siguiente figura en la que aparece también la curva de la función seno sobre el intervalo [0, π] como lo requiere el punto. 0. π π -0. - En el triángulo de apoyo o triángulo notable de la dereca de la figura conocemos que el ángulo vale 0 grados o sea π 6 y, como se aprecia en dico triángulo, sen sen π 6. Delagráfica de la función seno, que aparece a la izquierda en la figura, se desprende que en el intervalo [0, π] las soluciones de la ecuación ) son: π + π + π 6 6π + π 7π 6 6.669 π π π 6 π π π 6 6.799 Los correspondiente valores de y son entonces: y cos cos 7π/6 + sen + sen 7π/6 0.77, y cos cos π/6 + sen + sen π/6 0.77 Entonces, la respuesta a este punto es: ) 7π Los puntos de la curva dada donde la tangente es orizontal son P 6, y P π 6, )