La fució zeta de ua curva completa o sigular Alberto Castaño Domíguez * Departameto de Álgebra Uiversidad de Sevilla Resume E el siguiete texto se preseta diversas series de Dirichlet, llamadas fucioes ζ o zeta (depediedo del caso, hasta llegar a la fució zeta asociada a ua curva completa o sigular sobre u cuerpo fiito, lo que da lugar al euciado y estudio prelimiar del resultado aálogo a la hipótesis de Riema para estas últimas fucioes. 1. Itroducció Las fucioes zeta asociadas a curvas se defiiero siguiedo los patroes de las fucioes ζ de Riema y Dedekid, como veremos e los siguietes apartados. El matemático austríaco Emil Arti (1898-1962 cojeturó ya e el semiario de su tesis doctoral (alrededor de 1920 el aálogo de la hipótesis de Riema para curvas sobre cuerpos fiitos, pero o fue capaz de probarlo. Se tuvo que apreder a traducir e cierto modo las propiedades de las fucioes ζ de Riema y Dedekid (que veremos si demostració para poder coseguir resultados co curvas. De hecho, e 1931, el matemático alemá Friedrich Karl Schmidt (1901-1977 probó e [10] la ecuació fucioal de la fució zeta, y el tambié alemá Helmut Hasse (1898-1979 demostró la cojeturada hipótesis e el caso de curvas elípticas e [7]. El caso geeral fue demostrado por el matemático fracés Adré Weil (1906-1998 e 1948 (ver [12]. Es más, * Escribí las presetes otas durate el período de disfrute de ua Beca-Colaboració otorgada por el Miisterio de Educació y Ciecia para el curso 2007-2008, bajo la direcció del profesor D. Luis Narváez Macarro. 1
Weil cojeturó ua serie de asertos relacioados co las fucioes zeta asociadas a variedades de dimesió arbitraria (cf. [6], apédice C. Estas cojeturas resultaro ciertas, auque hubo que esperar hasta 1974, cuado el matemático fracés Pierre Delige (1944 demostró la cojetura correspodiete al aálogo de la hipótesis de Riema e [5]. A pesar de este éxito sobre cuerpos fiitos, la hipótesis de Riema (y su geeralizació a cuerpos de úmeros sigue siedo u problema abierto (de los más importates de las matemáticas actuales y auque umerosos matemáticos ha itetado resolverla durate el último siglo, sigue si demostrarse. Este texto está basado fudametalmete e el capítulo VII de [1]. 2. Fucioes ζ de Riema, Dedekid y de u domiio de Dedekid Defiició. Sea {a : N} ua sucesió ifiita e C. Ua serie de Dirichlet es ua serie formal del tipo a s. =0 Sea r R, y sea H r el semiplao de C co Re(s > r. Si existe u s 0 para el que la la serie =0 a s 0 coverge, etoces la serie coverge e todo el semiplao H Re(s0. De hecho, coverge uiformemete e cualquier compacto de dicho semiplao, y la fució es holomorfa. Defiició. La serie de Dirichlet ζ(s := griega dseda de Riema. =0 1 s se llama fució zeta, o ζ (la letra Esta fució tiee gra importacia e teoría de úmeros, y a cotiuació se expoe alguos resultados si demostració. Para más detalles, cosultar por ejemplo [11], ua referecia muy completa. Teorema. La fució ζ defie ua fució holomorfa ζ : H 1 C, que se puede exteder a ua meromorfa e todo C, co u úico polo, simple, e s = 1. Además, lím s 1 ζ(s(s 1 = 1. 2
Defiició. Sea z H 0. Se defie la fució Γ (Gamma de Euler como: Γ(z = 0 e t t z 1 dt. Esta fució se puede exteder aalíticamete al plao complejo salvo los eteros o positivos, dado lugar a ua fució meromorfa si ceros y co polos e dichos putos. La fució Gamma de Euler cumple que Γ(z + 1 = zγ(z, y e particular, Γ( = ( 1! si N. Teorema. (Ecuació fucioal Sea Γ(s la fució Gamma de Euler. Etoces, la fució ζ verifica la ecuació: ( s π s/2 Γ ζ(s = π 2 (s 1/2 Γ ( 1 s 2 ζ(1 s. Si defiimos ξ(s = 1 2 s(s 1π s/2 Γ(s/2ζ(s, la ecuació fucioal se vuelve más secilla: ξ(s = ξ(1 s. Como ya se ha dicho e la itroducció, el siguiete aserto es ua de las cojeturas más importates de las matemáticas y a pesar del trabajo de grades matemáticos durate el último siglo sigue si estar resuelta. Hipótesis de Riema. Los úicos ceros de la fució ζ situados e la bada crítica 0 Re(s 1 está e la líea crítica Re(s = 1/2. Geeralicemos u poco lo aterior. Cosideremos u cuerpo de úmeros K, y para cada N, sea j el úmero de ideales I de O K, el aillo de eteros de K, tales que I OK este úmero es fiito para todo : Lema 1. := O K /I =. El siguiete lema os muestra que Sea A o bie Z o bie F q [x], y B la clausura ítegra de A e determiada extesió fiita y separable de cuerpos. Sea λ R. Etoces, existe u úmero fiito de ideales e B tales que I B λ. Además, B es de cocietes fiitos. 3
Demostració Como la orma es multiplicativa y toma valores positivos, y B es u domiio de Dedekid basta verlo para los ideales maximales m Max(B. m B = B/m = A/m A f m/m A = m A f m/m A A, así que basta co teer el resultado e A, pues cada maximal de B está coteido e fiitos maximales de A. Si A = Z es obvio, así que vamos a cosiderar A = F q [x], caso tampoco muy difícil: Los maximales de F q [x] so aquellos de la forma (f(x, siedo f u poliomio irreducible. La orma de uo de esos ideales es F q [x]/(f(x = q gr(f. Por otro lado, es fácil ver que a lo sumo hay qλ ideales maximales (poliomios de orma meor o igual que λ (o, equivaletemete, de grado meor o igual que l λ/ l q, por lo que el lema se cumple tambié co F q [x]. Defiició. Sea K u cuerpo de úmeros. La serie de Dirichlet ζ(k, s := llama fució ζ de Dedekid del cuerpo K. j s se E particular, la fució ζ de Dedekid de Q es la fució ζ de Riema. Los siguietes teoremas geeraliza a los ateriores sobre la fució ζ de Riema: Teorema. Sea K u cuerpo de úmeros. La fució ζ de Dedekid ζ(k, s defie ua fució holomorfa ζ(k, s : H 1 C, que puede ser extedida a ua fució meromorfa e C co u úico polo, simple, e s = 1. Además, dode: lím s 1 ζ(k, s(s 1 = 2r 1 (2π r 2 h K R K µ K dk, h K = Cl(O K es el úmero de clases de K. d K es u geerador del discrimiate. µ K es el úmero de raíces de la uidad coteidas e K. r 1 es el úmero de imersioes reales de K y r 2 el de pares de imersioes complejas cojugadas. R K es el regulador del cuerpo K (cf. def. VIII.9.6 e [1]. 4 =0
Teorema. (Ecuació fucioal La fució ζ de Dedekid de u cuerpo de úmeros K verifica la siguiete ecuació fucioal: ζ(k, s = d 1 2 s K ( π s 1/2 Γ ( 1 s 2 Γ(s/2 r1 ( (2π 2s 1 r2 Γ(1 s ζ(k, 1 s. Γ(s Esta ecuació resulta más simple si defiimos ( Γ(s/2 r1 ( Γ(s r2 ( s χ(k, s := ζ(k, s dk. (2π s π s/2 Etoces, la ecuació fucioal adopta la expresió χ(k, s = χ(k, 1 s. Como veremos, la fució ζ(k, s se puede determiar coociedo úicamete los ideales maximales del aillo de eteros O K, y por el peúltimo teorema, la fució determia a su vez varias propiedades del aillo de eteros e el residuo del polo. Si embargo, o determia totalmete al cuerpo de úmeros (cf. [9]. Tambié se cojetura que las fucioes ζ de Dedekid verifica el aálogo a la Hipótesis de Riema, y, como ocurría co la fució ζ de Riema, este hecho o está probado y tiee multitud de cosecuecias e teoría de úmeros. Geeralizado aú más, defiiremos y estudiaremos ahora la fució ζ de u domiio de Dedekid arbitrario A co cocietes fiitos, es decir, que todos los ideales sea de orma (la defiida ates fiita. Defiició. Sea A u domiio de Dedekid co cocietes fiitos, y sea M(A el mooide de los ideales o ulos de A (co la multiplicació. La fució ζ de A se defie como la expresió formal ζ(a, s := 1 I s. I M(A Si j represeta, como ates, al úmero de ideales de M(A de orma, y este es fiito para todo, podemos reordear los sumados para escribir j ζ(a, s = s. E particular, si A = O K, ζ(a, s = ζ(k, s. 5
Proposició. Demostració I M(A 1 I s = m Max(A ( 1 1 1 m s Como A es u domiio de Dedekid, todo ideal o ulo I se puede factorizar de maera úica e u producto de maximales. Numerémoslos. Formalmete, teemos el desarrollo (1 x 1 = 1+x+x 2 +x 3 + = i=0 xi. Por tato, 1 I s = 1 m 1 a 1s m r a rs = = m Max(A I M(A ( 1 + 1 m s + 1 m 2s + = m Max(A ( 1 1 1 m s. La expresió aterior se deomia Producto de Euler, por aalogía al que halló Euler origialmete: =0 1 = ζ(s = ζ(z, s = s p primo ( 1 1 p s 1. Esta última igualdad o es sólo formal, sio que ambas expresioes so fucioes meromorfas idéticas. 3. La fució zeta de ua curva o sigular Sea ahora f F q [x, y] u poliomio absolutamete irreducible, es decir, irreducible e F q [x, y] y F q [x, y], y supogamos que Z f (F q es ua curva o sigular. Etoces, el aillo C f = F q [x, y]/(f es u domiio de Dedekid co cocietes fiitos: Lema 2. Sea k u cuerpo fiito y f k[x, y] u poliomio irreducible y o sigular. Cosideremos el homomorfismo de aillos ϕ (a,b : C f k tal que ϕ (a,b (g(x, y = g(a, b, para cada (a, b Z f ( k. Etoces, todo maximal m de C f = k[x, y]/(f es el úcleo de cierto ϕ (a,b. E cosecuecia, C f es u domiio de Dedekid co cocietes fiitos. 6
Demostració Sea los homomorfismos ψ (a,b : k[x, y] k co ψ (a,b (g(x, y = g(a, b, y ψ (a,b la restricció de este último a k, siedo (a, b k k e ambos casos. A la vista de las defiicioes, ϕ (a,b es la aplicació iducida por ψ (a,b e el aillo cociete. Vamos a probar primero que sea cual sea el maximal m de k[x, y], este es el úcleo de algú ψ (a,b : Sea m = m k[x, y]. Por el lema de Nakayama, m k[x, y], así que existe u maximal = (x a, y b = ker(ψ (a,b de k[x, y] que lo cotiee. Como m es maximal, m = (x a, y b k[x, y] = ker(ψ (a,b. Ahora podemos probar que todo maximal m (cuidado co la otació del aterior párrafo de C f es el úcleo de u ϕ (a,b, co (a, b Z f ( k. Sea π la proyecció caóica de k[x, y] e C f. π 1 (m = ker(ψ (a,b, pues es maximal. Como f(x, y π 1 (m, teemos que (a, b Z f ( k. ker(ϕ (a,b (0, pues π 1 (0 = (f(x, y debería ser etoces maximal y o lo es. Por tato, ker(ϕ (a,b es u maximal tal que cotraído por π es π 1 (m. E coclusió, m = ker(ϕ (a,b. Todo esto era idepediete del cardial del cuerpo k. Ahora es cuado lo vamos a usar. Como C f /m = C f /ker(ϕ (a,b = k(a, b, k es fiito y a y b so algebraicos, C f tiee cocietes fiitos. Sea ζ(z f /F q, s := ζ(c f, s = m Max(C f ( 1 1 1 m s. Sea b d el úmero de maximales m de C f tales que [C f /m : F q ] = d. Lema 3. E las codicioes ateriores, b d <. Demostració Sea F q la clausura algebraica de F q, y sea F q la úica extesió del aterior de grado e dicha clausura. Para cada (a, b Z f (F q, sea ϕ (a,b el homomorfismo de aillos del lema 2. 7
Cosideremos la aplicació siguiete: σ : Z f (F q d {m Max(C f : [C f /m : F q ] = d} (a, b ker(ϕ (a,b Si probamos que σ está bie defiida y es sobreyectiva, habremos termiado, pues Z f (F q q 2. Sea m = ker(ϕ (a,b, y sea d = [C f /m : F q ]. Como F q (a, b = C f /m es u subcuerpo de F q, ecesariamete d. Por tato, σ está bie defiida. Sea ahora m Max(C f co d = [C f /m : F q ] y d. Etoces, C f /m = F q d. Ya que d, existe ua imersió ι : C f /m F q. Sea (a, b = (ι(x, ι(y. ι(f(x, y = f(a, b = 0, luego (a, b Z f (F q. Ahora, como m = ker(ϕ (a,b, σ es sobreyectiva. Si [C f /m : F q ] = d, m = q d, por lo que ζ(z f /F q, s = d N ( 1 1 bd q sd. Haciedo el cambio de variable T := q s, se defie la fució Z(Z f /F q, T = d N(1 T d b d, y se deotará tambié por Z(T. Puede escribirse como ua serie de potecias, de coeficietes N, auque para ello ecesitamos los siguietes coceptos: Defiició. Sea k u cuerpo, y sea k[[t ]] el aillo de series formales co coeficietes e k. Defiimos ua topología e k[[t ]], llamada (T -ádica, dado los etoros del cero, {(T : N}. Co esta topología, ua serie a coverge si y sólo si a tiede a 0, es decir, para todo N existe u atural 0 tal que si 0, a (T N. Si a es ua serie covergete, (1 + a es u producto covergete. Esto es porque agrupado los productos parciales, obteemos ua suma fiita, que tiede a ua serie covergete. 8
Defiició. Sea k ahora u cuerpo de característica 0, y sea U 1 k[[t ]] el subgrupo de series co térmio idepediete igual a 1 y M el ideal maximal de k[[t ]]. Se defie el logaritmo y la expoecial como: log : U 1 M α +1 (α 1 ( 1 exp : M U 1 β Se puede probar que trasforma sumas e productos o viceversa y que ua es la iversa de la otra, como habitualmete. Además, si el producto (1 + α es covergete, log ( (1 + α = log(1 + α. =0 β! Volvamos co la fució Z(T. Es u producto covergete e Q[[T ]], así que log(z(t = d N Lema 4. b d log(1 T d = d N b d r=1 T dr Sea N = card(z f (F q. Etoces, N = d db d. Demostració Sea p = (a, b Z f (F q tal que [F q (p : F q ] = d. r = db d T d Sea G p el estabilizador de p por la acció del grupo de Galois Gal(F q F q. La órbita de p tedrá los mismos elemetos que Gal(F q F q /G p. Por otro lado, G p = Gal(F q F q (p = {ϕ Gal(F q F q : ϕ Fq(p = id Fq(p} por defiició. F q (p/f q es, por ser F q perfecto, ua extesió fiita y separable, así que por teoría de Galois F q (p = F G p q y [F q (p : F q ] = Gal(F q F q /G p. Por tato, la órbita de p cotiee a d putos distitos. La extesió F q /F q es de Galois, así que la órbita de p está coteida e Z f (F q, pues se puede probar ([3], secció V.2, teorema 2.8 que todo automorfismo de Galois de F q es la restricció de alguo de F q. Etoces, la curva afí Z f (F q es uió disjuta de las órbitas por la acció de Gal(F q F q 9
que cotiee. Sea σ la aplicació del lema aterior. Ésta es iyectiva sobre las órbitas ([1], Proposició VII.3.2, así que para cada d, Z f (F q cotiee b d órbitas de cardial d. E coclusió, N = d db d. Defiició. La serie de potecias Z(Z f /F q, T = exp ( T N se llama fució zeta de la curva afí Z f (F q sobre F q. Ejemplos. 1 Sea A 1 la recta afí. Como A 1 (F q = q, su fució zeta es ( Z(A 1 /F q, T = exp q T 1 = exp( log(1 qt = 1 qt. 2 Sea q = p r, co p 2, y sea f(x, y = x 2 +y 2 1 F q [x, y]. Cosideremos F (x 0, x 1, x 2 = x 2 1 + x2 2 x2 0, el homogeeizado de f. Sabemos que la cóica proyectiva asociada X F (F q = P 1 (F q es o sigular y más abajo veremos que X F (F q = q + 1. Sea i ua raíz cuadrada de 1 e F q. Etoces, X F (F q = Z f (F q {(0 : 1 : i, (0 : 1 : i}, viedo a Z f (F q imersa e P 2 (F q. Vamos a distiguir dos casos: i F q. Por tato, N = Z f (F q = q 1. La fució zeta de Z f (F q sobre F q queda: ( ( Z(Z f /F q, T = exp (q 1 T = exp q T T = 1 T 1 qt i / F q. Etoces, i F q 2, luego N = q + 1 si 2 y N = q 1 si = 2. E este caso: Z(Z f /F q, T = exp (q + 1 T + (q 1 T = 2 = 2 = exp ( q T (T + T 2 2 + T 3 3 = 1 + T 1 qt 10
Defiició. Sea F F q [x 0, x 1, x 2 ] u poliomio homogéeo, y sea N el úmero de putos de la curva proyectiva asociada sobre F q, X F (F q. Se defie la fució zeta de X F (F q sobre F q como: ( T Z(X F /F q, T = exp N Ejemplo. Sea F F q [x 0, x 1, x 2 ] u poliomio homogéeo de grado 2. Si F es reducible, o bie existe u poliomio de grado 1 L tal que F = L 2 o bie F = LM, co L M y ambos de grado 1. Vamos a distiguir casos: F = L 2 E este caso X F (F q = X L (F q es ua recta, luego N = q + 1. Etoces, ( Z(X F /F q, T = exp (q + 1 T = 1 (1 T (1 qt F = LM Aquí X F (F q so dos rectas distitas y por tato N = X L (F q + + X M (F q X L (F q X M (F q = 2q + 1. La fució zeta resulta: ( Z(X F /F q, T = exp (2q + 1 T 1 = (1 T (1 qt 2 F es irreducible Etoces X F (F q es ua cóica o sigular, y se sabe que si X F (F q, X F (F q = P 1 (F q y N = q + 1. Ahora bie, el teorema que veremos a cotiuació os lo garatiza, teiedo el isomorfismo e cualquier extesió. Así ( Z(X F /F q, T = exp (q + 1 T = Lema 5. Sea i 1,..., i eteros o egativos. Etoces, a i1 1 a i = 0 F q (a 1,...,a (F q a o ser que todos los i j sea múltiplos o ulos de q 1. Demostració 1 (1 T (1 qt Supogamos primero que = 1. Si i = 0, a F q a 0 = q = 0. 11
Supogamos ahora que i 0, y sea α u geerador del grupo multiplicativo F q. Si (q 1 i, q 2 a i = α ji = (αi q 1 1 α i 1 a F q j=0 = 0. Por otro lado, si i es u múltiplo de (q 1, a (q 1k = 1 para todo a F q, así que la suma vale q 1 0. El caso geeral se puede deducir del aterior, pues a i1 1 a i = a i1 1 (a 1,...,a (F q a 1 F q a i a F q que se aulará salvo que todos los expoetes i j sea múltiplos o ulos de (q 1. Teorema. Sea f F q [x 1,..., x ] u poliomio de grado g <, co q = p r, y sea N el úmero de raíces de f. Etoces, p N, y e particular, si f es homogéeo, N 2. Demostració Sea h = 1 f q 1 F q [x 1,..., x ]. Este poliomio se aula e todo (F q salvo e las raíces de f, e dode vale 1, así que N = (a 1,...,a (F q h(a 1,..., a. Esta suma o es más que N veces el 1 de F q, que es u elemeto de F p (visto como subcuerpo de F q. Como el grado de h es g(q 1 < (q 1, e cualquier moomio de h de la forma x i 1 1 x i al meos uo de los i j será meor que q 1, cuado o ulo. Por tato, como la suma es la clase de N módulo p, el lema os dice que dicha clase es cero, es decir, p N., Sea X F (F q ua curva o sigular. El grado de u puto p de la curva es el cardial de la órbita de p por la acció de Gal(F q F q. A dicha órbita le asigamos tambié u grado, que es el de u puto cualquiera de ella (es decir, su cardial. Co esto, podemos euciar el siguiete lema: 12
Lema 6. Sea F F q [x 0, x 1, x 2 ] u poliomio homogéeo absolutamete irreducible, y sea f(x, y = F (1, x, y su deshomogeeizado. Etoces, deotado a las órbitas por la acció de Gal(F q F q de los putos del ifiito de Z f (F q por o 1,..., o r, se tiee que Demostració Z(X F /F q, T = Z(Z f /F q, T r (1 T gr(o 1 i Sea b d el úmero de órbitas de grado d. Veremos que N = d db d, por lo que siguiedo u desarrollo aálogo al de la fució zeta para curvas afies, teemos que Z(X F /F q, T = exp = ( o X F /Gal(F q F q i=1 T N = ( 1 T d b d = d (1 T gr(o 1 Separado ahora los factores de las órbitas de putos del ifiito del resto, es claro el resultado. Poco a poco hemos ido geeralizado o adecuado el mismo cocepto a u caso determiado. Éste será el último paso: Defiició. Sea k u cuerpo. Ua curva completa o sigular es u par (X, k(x/k, siedo k(x ua extesió fiitamete geerada y de grado de trascedecia 1 sobre k y X u cojuto idetificado co las valoracioes discretas, sobreyectivas de k(x y triviales sobre k como sigue. Cada elemeto p X se llama puto, y k(x es el cuerpo de fucioes (de grado de trascedecia 1 de X. A cada puto (valoració p le correspode su aillo de valoració discreta, O p, cosistete e las fucioes defiidas e p. Además, O X (X = p X O p = k, es decir, las úicas fucioes defiidas e todo X so las costates. Si k es perfecto, al grado de la extesió [k(p : k] se lo llama grado de p. Dicho cuerpo k(p es O p /m p = kg p, siedo G p el estabilizador de p bajo la acció de Gal( k k, dode la image por σ Gal( k k de u puto q, σ(q, es el puto cuyo domiio de valoració discreta asociado es σ(o q k(x. 13
Defiició. Sea X/F q ua curva completa o sigular. La fució zeta de esta curva es Z(X/F q = (1 T gr(p 1 p X Sea, para cada d N, b d el úmero de órbitas de grado d, y sea, para cada N, N = X(F q. Lema 7. N = db d <. E particular, esto tambié es cierto para curvas plaas d proyectivas o sigulares. Demostració U puto p X(F q está e X(F q si y sólo si su cuerpo de defiició F q (p F q. Sea O p el domiio de valoració discreta asociado a u p X, y sea O p = O p F q (X. Sea y u geerador del ideal maximal m p de O p. Etoces, σ(y = y σ(o p, así que la valoració asociada a y es positiva e todos los aillos σ(o p, pero eso sólo puede ocurrir ua catidad fiita de ocasioes, así que la órbita de p es fiita. Es más, como F q es perfecto y la órbita de p tiee r = Gal(F q F q /G p putos, por teoría de Galois la extesió F q (p/f q tambié es fiita y de grado r. Como F q (p es ua extesió fiita de F q, ecesariamete será isomorfo a u F q d. Por tato, los putos de X(F q so exactamete aquellos tales que d. Como los estabilizadores G p de putos e la misma órbita so cojugados, sus cuerpos de defiició será isomorfos, así que X(F q es la uió disjuta de las órbitas de los putos que cotiee. E coclusió, N = d db d. El úmero aterior es fiito: Como F q (X es u cuerpo de fucioes, podemos escoger u elemeto x tal que la extesió F q (x F q (X sea fiita y separable (es decir, x es ua base de trascedecia separable. Sea U X el domiio de x. Se sabe que U es u abierto de Zariski de X, y O X (U es la clausura ítegra de F q [x] e el cuerpo de fucioes. Por el lema 1, existe ua catidad fiita de putos tal que su cuerpo asociado O p /m p 14
tiee u grado determiado sobre F q. Como e el complemetario de U hay sólo fiitos putos, e total e X(F q habrá ua catidad fiita de putos. Al igual que co las curvas afies o proyectivas, podemos razoar usado el lema para llegar a la expresió usual: Z(X/F q, T = exp ( T N E este caso geeral estamos tratado co cuerpos y valoracioes, y al igual que ocurría co los cuerpos de úmeros, existe curvas o isomorfas co igual fució zeta (cf. [8]. Sea F q (X la clausura algebraica del cuerpo F q (X. Sea k primo co p, y sea F q k el subcuerpo de F q F q (X de grado k sobre F q. Etoces, si llamamos F q k(x a la extesió de escalares F q kf q (X F q (X, aquél es u cuerpo de fucioes sobre F q k, de grado k sobre F q (X ([1], lema VII.4.14 tal que podemos cosiderar la curva completa o sigular asociada. Es más, se puede relacioar las fucioes zeta de ambas curvas de la maera siguiete: Proposició. Sea X Fq k /F q k la curva completa o sigular asociada a la extesió F q k(x/f q k, y sea ξ k ua raíz k-ésima primitiva de la uidad. Etoces, Demostració Z(X Fq k /F q k, T k = k Z(X/F q, ξk i T. i=1 Sea N = X (F Fq k q k. Obviamete, N = N k. ( k ( k log Z(X/F q, ξk i T = i=1 i=1 N ξ i k T La serie es covergete, así que podemos cambiar los ídices de sumació si problema. Teiedo e cueta que k i=1 ξi k vale k si k y es ula e otro caso, ( k ( k log Z(X/F q, ξk i T = N ξ i T k = T k N k, i=1 i=1 ( que o es más que log Z(X /F Fq k q k, T k. 15
4. La racioalidad, la ecuació fucioal y la hipótesis de Riema Vamos a probar primero que la fució zeta asociada a ua curva completa o sigular es ua fució racioal. Para ello ecesitaremos el importate teorema de Riema-Roch. Auque o lo euciaremos rigurosamete, establece lo siguiete: Existe u etero g, llamado géero de la curva (cuado X es proyectiva y viee dada por u poliomio de grado d, g = (d 1(d 2/2, y ua clase K Pic(X/F q de grado 2g 2, tales que h 0 (L = gr(l+1 g +h 0 (K L, dode h 0 (L = dimh 0 (L, siedo H 0 (L = {α F q (X : div(α + D 0} y D u divisor de la clase de L. E particular, se obtiee u corolario: E L = qh0 (L 1, q 1 siedo E L cierto espacio vectorial que defiiremos, y si gr(l 2g 1, etoces h 0 (L = gr(l g + 1. Teorema. (Racioalidad de la fució zeta Sea X/F q ua curva completa o sigular de géero g. Etoces, Z(X/F q = dode f Z[T ], de grado 2g a lo sumo. f(t (1 T (1 qt, Es más, la fució zeta tiee u polo simple e T = 1 de residuo h = Pic 0 (X/F q es el úmero de clases de la curva. h q 1, dode Demostració Z(X/F q, T = ( p X 1 T gr(p 1. Desarrollado e serie de potecias cada factor y agrupado térmios, Z(X/F q, T = D Eff(X/F q T gr(d = L Pic(X/Fq gr(l 0 ( D Eff(X/Fq cl(d=l T gr(d Sea, para cada L Pic(X/F q, E L = {D Eff(X/F q : cl(d = L}. Por el teorema de Riema-Roch, si gr(l 2g 1, etoces E L = qgr(l+1 g 1 q 1. 16
El úcleo del homomorfismo grado gr : Pic(X/F q Z es Pic 0 (X/F q, de orde h. Por tato, los cojutos Pic d formados por las clases de divisores de grado d será o vacíos o de cardial h. Sea k tal que gr(pic(x/f q = Zk. Si g = 0, E L = 1 + q + + q gr(l para toda clase L de grado o egativo. Etoces, Z(X/F q, T = L Pic(X/Fq gr(l 0 ( D E L T gr(d = h T k qk+1 1. q 1 U fácil cálculo usado los desarrollos e serie de potecias os da que Z(X/F q, T = h (1 T k (1 q k T k. Supogamos ahora que g > 0. Podemos descompoer la suma e dos, segú si el grado de las clases de divisores es mayor o igual o meor que 2g 1 1: Z(X/F q, T = L Pic(X/Fq 0 gr(l 2g 2 E L T gr(l + =0 L Pic(X/Fq gr(l 2g 1 E L T gr(l Si e el primer sumado hacemos el cambio de variable T k = x, obteemos u poliomio e x de grado 2g 2 a lo sumo. E el segudo sumado, gracias a la fórmula para E L que teemos y trabajado aálogamete a cuado g = 0, se deduce que L Pic(X/Fq gr(l 2g 1 E L T gr(l p(t k = h (1 T k (1 q k T k, siedo p(x Z[x] de grado 2g como mucho. Sumado los dos miembros obteemos ua expresió muy parecida a la tesis del teorema: Z(X/F q, T = f(t k (1 T k (1 q k T k. Si probamos que k = 1, habremos termiado, pues la fórmula que cuatifica el residuo es bie clara teiedo la expresió de la fució zeta. Cosideremos la curva X Fq k /F q k obteida al cambiar de base, y sea ξ k ua raíz k-ésima primitiva de la uidad. Hemos probado que Z(X Fq k /F q k, T k = = k i=1 Z(X/F q, ξk i T Gracias a la expresió que hemos hallado, el primer miembro tiee u polo ( f(t simple e T = 1, y el segudo es k k, (1 T k (1 q k T que tiee e T = 1 k 17
u polo de orde k. Por tato, k = 1. E particular, el homomorfismo gr : Pic(X/F q Z es sobreyectivo y hemos demostrado la racioalidad de la fució zeta. Z(X/F q, 0 = e 0 = 1, luego f(0 = 1. Etoces, como f(t es u poliomio ω 2g i etero, existirá 2g úmeros ω i tales que f(t = 2g i=1 (1 ω it. Como f(1/ω i = 0 y x 2g f(1/x Z[x], los ω i so eteros algebraicos. E particular, Pic 0 (X/F q = h = f(1 = (1 ω i. Además, log(z(x/f q = = 2g i=1 log(1 ω i T log(1 qt log(1 T = ( 2g i=1 ω i + q + 1 T. Pero etoces, si igualamos la aterior expresió a la que ya coocíamos para el logaritmo de la fució zeta, N = q + 1 ω i. Aquí es cuado etra e juego la hipótesis de Riema para curvas sobre cuerpos fiitos para hallar cotas a los N. Si trasladamos literalmete el euciado de la hipótesis de Riema a la fució zeta de ua curva completa o sigular, teemos el siguiete aserto: Si Re(s [0, 1] y Z(q s = 0, etoces, Re(s = 1/2. Vamos a ver qué sigifica esto cuado trabajamos co ua curva. Como e uestro caso Z(X/F q, T es racioal, sus úicos ceros será los iversos de los ω i. Etoces, el euciado de arriba es equivalete a que ω i = q, para todo i. Esto sí es lo que se cooce por aálogo de la hipótesis de Riema e curvas sobre cuerpos fiitos, y como ya se mecioó e la itrodució, fue probada por el matemático fracés Adré Weil (1906-1998 e 1948. E particular, por la expresió de los N y la hipótesis de Riema, se tiee que N q 1 2g q. Tambié obteemos ua cota para el úmero de clases de X/F q, h. Como ω i = q, (1 ω i [1 q, 1 + q], luego (1 q 2g h = f(1 = (1 ω i (1 + q 2g. 18
Ejemplo. Sea F (x 0, x 1, x 2 = x 4 0 + x4 1 + x4 2 F 3[x 0, x 1, x 2 ]. La curva X F (F 3 es o sigular, y su géero es g = (4 1(4 2/2 = 3. E F 3, todas las potecias cuartas vale 1, así que cosiderado las combiacioes posibles, X F (F 3 = {(1 : 1 : 1, (2 : 1 : 1, (1 : 2 : 1, (1 : 1 : 2}. E este caso, N 1 = 4, y 4 3 1 < 6 3. El grupo multiplicativo F 9 tiee orde 8 y es cíclico, así que hay 4 raíces cuartas de -1 y otras cuatro raíces cuartas de 1. Cosideremos los putos de la forma (α : β : 1, co α y β dos raíces cuartas de la uidad y los putos (a : 1 : 0, (1 : b : 0, (0 : 1 : c, siedo a, b, c raíces cuartas de -1. Todos esos 28 putos está e X F (F 9, y por la hipótesis de Riema, N 2 9 + 1 + 6 9 = 28. Por tato, X F (F 9 costa de esos putos, y lo que es más digo de ateció, la cota superior para los N que da la hipótesis de Riema se alcaza. A cotiuació probaremos la ecuació fucioal de la fució zeta. Al igual que ocurría co las fucioes ζ de Riema y Dedekid, aquella verificará cierta relació etre Z(q s y Z(q (1 s, o equivaletemete, etre Z(T y Z(1/qT. Supogamos que los ω i o ulos so aquellos co i = 1,..., c 2g. Veamos qué expresió tiee esta última: ( c Z(1/qT = qt 2 i=1 1 ω ( i c ( c qt (1 qt (1 T = ( 1c ω i q 1 c T 2 c i=1 1 q ω i T (1 qt (1 T i=1 Teorema. (Ecuació fucioal de la fució zeta Sea X/F q ua curva completa o sigular de géero g. Etoces, gr(f = 2g, y se cumple las dos siguietes codicioes equivaletes: 1 Z(1/qT = (qt 2 1 g Z(T. 2 ω i = q g, y la aplicació ω i q/ω i de {ω i : i = 1,..., 2g} e sí mismo está bie defiida y es biyectiva. Demostració Supogamos que se cumple la primera codició. Por la expresió que hallamos ates, si T = ω i /q, sea cual sea ω i 0, Z(1/qT = 0, luego Z(T = 0, así que todos los q/ω i so raíces o ulas de f, co i = 1,..., c. Por tato, la aplicació ω i q/ω i de {ω i : i = 1,..., c} e sí mismo 19
está bie defiida y es biyectiva. Teemos que ver que c = 2g (de mometo sabemos que es par. Como ( c i=1 1 q ω i T = f(t, teemos que ( c i=1 ω i q 1 c T 2 c = (qt 2 1 g, luego ecesariamete c = 2g y ω i = q g. Además, como los ω i so o ulos, f es de grado 2g. Si se cumpliera la seguda codició, es obvio que se tedría la primera por la expresió de Z(1/qT y porque c = 2g. Nos basta co probar etoces que se cumple la primera codició. Sea Z (T = (q 1Z(T. Etoces, usado el corolario al teorema de Riema-Roch que vimos podemos descompoer Z (T como sigue: Z (T = (q 1 + L Pic(X/Fq gr(l 0 L Pic(X/Fq gr(l 2g 1 E L T gr(l = q h0 (L T gr(l L Pic(X/Fq 0 gr(l 2g 2 L Pic(X/Fq gr(l 0 T gr(l q h0 (L T gr(l + Llamemos al primer sumado α(t y a los otros dos β(t. Usado de uevo dicho corolario, β(t = h d 2g 1 q d+1 g T d h d 0 T d = hq 1 g (qt 2g 1 1 1 qt h 1 T De este modo, β(1/qt = (qt 2 1 g β(t. Nos queda ver lo mismo para α(t. Sea K Pic(X/F q la clase caóica que os da el teorema de Riema- Roch. La aplicació L K L es ua biyecció etre las clases de grado meor o igual que 2g 2 y o egativo. Usado este cambio de variable, = α(t = L Pic(X/Fq gr(l 2g 2 = q g 1 T 2g 2 L Pic(X/Fq 0 gr(l 2g 2 L Pic(X/Fq 0 gr(l 2g 2 q h0 (K L T gr(k L = q h0 (L gr(l 1+g T 2g 2 gr(l = q h0 (L (qt gr(l = (qt 2 g 1 α(1/qt Etoces, como Z (1/qT = (qt 2 1 g Z (T, tambié lo cumplirá Z(T, termiado la demostració. 20
4.1. La fució zeta de ua cúbica plaa o sigular Termiaremos la secció tratado el caso particular de las cúbicas proyectivas plaas. So lo suficietemete simples como para poder trabajar co ellas y a la vez so muy útiles y proporcioa bueos ejemplos de lo que hemos visto ates. Proposició. Sea F F q [x 0, x 1, x 2 ] u poliomio de grado 3, homogéeo y o sigular. Etoces, Z(X F /F q, T = 1 + (N 1 q 1T + qt 2. (1 T (1 qt E este caso, se verifica la ecuació fucioal Z(T = Z(1/qT, y las raíces de 1+(N 1 q 1T +qt 2 so cojugadas o q es etero y ω 1 = ω 2 = ± q. Demostració El géero de la curva es 1, así que el umerador de la fució zeta es f(t = (1 ω 1 T (1 ω 2 T. Ahora bie, N 1 = q +1 ω 1 ω 2 y, por otro lado, por la ecuació fucioal, ω 1 ω 2 = q. Por tato f(t tedrá la forma que aparece e el euciado. Como g = 1, Z (T = Z (1/qT. Sabemos que la hipótesis de Riema se cumple para esta curva. Etoces, como ω i = q y ω 2 = ω 1 2 /ω 1, los ω i so complejos cojugados. Si ω 1 R, o queda más remedio que ω 1 = ω 2 = ± q. Ahora bie, como f(t = (1 ω 1 T 2 Z[T ], ecesariamete q es u cuadrado perfecto. Corolario. Sea X F (F q ua cúbica plaa proyectiva o sigular. Etoces, X F (F q. Demostració N 1 = X F (F q = f(1 = Pic 0 (X/F q 0. Ejemplo. Sea X F (F q ua cúbica plaa proyectiva o sigular tal que N 1 = q + 1. E este caso, ω 1 + ω 2 = 0 y ω 1 ω 2 = q, luego ω 1 = ± q. Ua curva de este tipo alcaza las cotas iferior y superior para los N : N 2 = q 2 + 1 ω 2 1 ω2 2 = q2 + 2q + 1, así que N 2 q 2 1 = 2g q 2 = 2q. Por otro lado, N 4 = q 4 + 1 ω 4 1 ω4 2 = q4 2q 2 + 1. 21