Febrero 010, pp. 1-8 63 Polilóblos y competencias básicas Se presenta n ejemplo de desarrollo de las competencias básicas en el almnado de edcación secndaria a través del estdio geométrico de polilóblos. En primer lgar se examina la neva terminología edcativa de tales competencias básicas y posteriormente se formla na propesta didáctica sobre el trazado de polilóblos con referencias de nestro entorno arqitectónico, así como algnas actividades con ennciados y solciones, completándose todo ello con la apertra de caminos para peqeñas investigaciones en torno a esos mismos contenidos geométricos. Palabras Clave: Competencias básicas, geometría, actividades didácticas, polilóblos y arqitectra. Polylobes and basic competences An example of development of the basic competences is presented to the secondary edcation stdents, across the geometric stdy of polylobes. First it is examined the new edcational terminology of sch basic competetences and later a didactic offer is formlated on the tracing polylobes -by references of or architectral environment-, as well as some activities in terms of reference and soltions, all this being completed by the opening way for small researches concerning the same geometric contents. Key words: Basic competences, geometry, didactic activities, polylobes and architectre. I ntrodcción Aprender es aprender a pensar (J. Dewey) La Unión Eropea considera qe el desarrollo de las competencias básicas es n eje fndamental de la enseñanza y clave para el aprendizaje permanente, por ello, la LOE las incorpora como integrantes del crríclo en la Edcación Obligatoria (Anexo I del Real Decreto 1631/006). En este contexto se considera qe na competencia es la capacidad para aplicar conocimientos, habilidades y actitdes en diferentes contextos. Las competencias básicas son aprendizajes imprescindibles desde n planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adqiridos. Las ocho competencias básicas, qe se fijan en la LOE y qe los almnos deberán haber adqirido al finalizar la enseñanza básica son: Competencia en comnicación lingüística. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mndo físico. Tratamiento de la información y competencia digital. Competencia social y cidadana Competencia cltral y artística. Competencia para aprender a aprender. Atonomía e iniciativa personal. Para consegirlo, en los crríclos de todas las materias se deben programar objetivos e introdcir contenidos qe potencien la adqisición de todas las competencias y entre ellas la matemática, lo qe constitye na importante innovación respecto a leyes edcativas anteriores. En los próximos crsos será my interesante analizar estos cambios y ss efectos edcativos Por otro lado, los crríclos de Matemáticas de los catro crsos de la ESO deben elaborarse de forma qe los almnos desarrollen la totalidad de competencias y no sólo, como parece evidente, la competencia matemática. Inmaclada Fernández Benito IES Núñez de Arce. Valladolid 1
Febrero 010 En mi opinión, a este último imperativo de qe el crríclo de Matemáticas contribya a formar a los estdiantes y les permita integrar los aprendizajes cando les sean necesarios en diferentes sitaciones y contextos, se viene dando cmplimiento por bena parte de s profesorado, como preba la existencia de esta revista o los nmerosos congresos, jornadas y seminarios de edcación matemática qe organizan la Federación o las Sociedades de profesores de Matemáticas. El informe PISA 006 menciona en varias ocasiones el término competencia matemática definiéndolo de la sigiente forma: Competencia matemática es na capacidad del individo para identificar y entender la fnción qe desempeñan las matemáticas en el mndo, emitir jicios fndados y tilizar y relacionarse con las matemáticas de forma qe se pedan satisfacer las necesidades de la vida de los individos como cidadanos constrctivos, comprometidos y reflexivos. Competencia en atonomía e iniciativa personal. Bscar solciones con creatividad. Detectar necesidades y aplicarlas en la resolción de problemas. Polilóblos Definimos polilóblo como n conjnto de varios arcos de circnferencia qe delimitan na región cerrada. En esta ocasión trabajaremos con polílóblos formados por arcos de circnferencia del mismo radio y dispestos concéntricamente alrededor de n pnto. Según el número de arcos o lóblos qe lo forman, se denominarán: trilóblos (3 lóblos), cadrilóblos (4 lóblos), etc En la figra 1 se mestra n octalóblo en la parte central del rosetón rodeado de ocho cadrilóblos. Propesta didáctica Presentación La propesta didáctica qe sige, trata contenidos de geometría plana qe se peden adecar a prácticamente todos los niveles de la Secndaria Obligatoria. Se inclyen actividades didácticas cyas patas metodológicas se corresponden respectivamente con estas competencias básicas. Competencia matemática: Aplicar estrategias de resolción de problemas. Aplicar procesos matemáticos a sitaciones cotidianas. Comprender elementos matemáticos. Comnicarse en lengaje matemático. Jstificar resltados. Razonar matemáticamente. Competencia en comnicación lingüística: Redactar procesos matemáticos y solciones a problemas. Competencia digital y del tratamiento de la información: Utilizar las tecnologías de la información y la comnicación (TIC) para el aprendizaje y la comnicación. Figra 1. Rosetón formado por polilóblos. Para estdiar geométricamente estas formaciones, vamos a proponer algnos modelos de trazado a partir de polígonos reglares. Trilóblos a partir de n triánglo eqilátero. En las figras y 3 se aprecian distintos ejemplos de trilóblos. Competencia cltral y artística: Analizar expresiones artísticas visales desde el pnto de vista matemático. Conocer otras cltras, especialmente en n contexto matemático. Competencia para aprender a aprender: Ejercitar técnicas de estdio, de trabajo intelectal, Estar motivado para emprender nevos aprendizajes. Hacerse pregntas qe generen nevos aprendizajes. Ser conscientes de cómo se aprende. Figra. Santa María de Piasca (Cantabria).
Febrero 010 Figra 3. Catedral de Brgos. Podemos constrir estos trilóblos según los modelos sigientes, todos ellos diseñados a partir de n triánglo eqilátero (Figra 4). a. Los centros de los tres arcos de circnferencia son los pntos medios de los lados del triánglo base y el radio de cada no de ellos es la mitad del lado de dicho triánglo. b. Los centros son los vértices del triánglo eqilátero y los radios la mitad del lado, como en el modelo anterior. c. Los centros son los vértices del triánglo inicial y los radios son el lado del hexágono reglar qe tiene por vértices los del triánglo inical y los de s girado 60º alrededor del centro. Figra 4. Modelos geométricos de trilóblos: a, b y c. Cadrilóblos a partir de n cadrado. Los cadrilóblos qe se mestran en las figras 5 y 6 peden considerarse formados por catro arcos de circnferencia trazados a partir de n cadrado según se especifica a continación: a. Los centros de las circnferencias son los pntos medios de los lados del cadrado y ss radios la mitad del lado de éste. b. Los centros son los vértices del cadrado y los radios la mitad de s lado. c. Los centros son los vértices del cadrado y los radios la mitad de la diagonal de dicho cadrado. d. Los centros son los vértices del cadrado inicial y los radios el lado del octógono cyos ocho vértices coinciden con los del cadrado de partida y s girado 45º. Figra 7. Ejemplos de trazados de cadrilóblos a, b c, y d. Crvas epicicloides. Algnas crvas epicicloides presentan formas lobladas de apariencia similar a la de los polilóblos formados por arcos de circnferencia. En general la epicicloide es la crva descrita por n pnto P de na circnferencia, de radio r, cando reda sin deslizarse por el exterior de otra circnferencia fija de radio R. S ecación paramétrica es: R+ r xt () = ( R+ r)cost rcos t r yt () = ( R+ r) sent rsen R + r t r donde la variable t es el ánglo qe forma la recta qe ne los centros de ambas circnferencias con la parte positiva del eje de abscisas. En los casos particlares en qe R = 3r y R = 4r las crvas epicicloides adoptan las formas qe aparecen en la figra 8. Figra 5. Catedral de Brgos. Figra 6. Estella (Navarra) y Brjas (Bélgica). Figra 8. Epicicloides de tres y catro hojas. 3
Febrero 010 En la figra 9 se presenta na vidriera diseñada por el artista alemán Alberto Drero, entsiasta geómetra y conocedor de las crvas y ss aplicaciones, qien pdo tilizar la epicicloide de tres hojas como base para este trabajo. Figra 9. Alberto Drero, Atorretrato y grabado en vidirera Actividades para el ala Actividad 1 Ennciado: Obtén fórmlas generales para calclar el área de n sector circlar de radio R qe abarca n ánglo α y la longitd del segmento circlar correspondiente. Solción: Estableciendo las relaciones de proporcionalidad entre las áreas de las regiones circlares o ss longitdes de arco y las correspondientes amplitdes en grados sexagesimales, se obtienen las expresiones sigientes: A S R R R = α y Ls = α = α 360 360 180 Solción: Utilizando el teorema de Pitágoras se obtiene qe la altra del triánglo base es: El trilóblo del apartado a. (ver figra 10) tiene por área la sma del área del triánglo: y la de tres semicírclos de radio 1: Por tanto se obtiene: 3 h = = 3 A = 3 = T A = 1 = S A= 3 + Teniendo en centa qe el contorno del trilóblo lo forman tres semicircnferencias cyo radio mide na nidad, se tiene qe s longitd es: L= 3 1 = 3 En el caso del trilóblo diseñado en el apartado b. se procede de forma similar al del caso anterior, con la única diferencia de qe, en éste, los sectores y segmentos circlares abarcan ánglos de 300º (Figra 11). Utilizando las fórmlas de la actividad 1, se tendrá: 3 3 Actividad. Ennciado: Calcla el área encerrada por los trilóblos de la figra 4, así como s longitd, según las propestas de trazados indicadas en los apartados a, b y c del epígrafe Trilóblos. Toma el lado del triánglo de partida de dos nidades de longitd Figra 11. Tilóblo b 1 A= AT + 3 AS = 3 + 3 = + 360 300 3 5 1 L= 3 = 180 300 5 y Figra 10. Tilóblo a La última propesta corresponde al trilóblo del apartado c. En primer lgar se debe calclar el lado y la apotema del hexágono determinado por los dos triánglos eqiláteros, para ello, basta observar en la figra 1 qe el centro del hexágono 4
Febrero 010 es el baricentro del triánglo eqilátero inicial y por lo tanto, el radio del hexágono medirá /3 de la altra y a la vez mediana del triánglo, es decir: L= 3/3. La apotema del hexágono reglar mide na nidad, este resltado se pede obtener, o bien, observando en la figra 1 qe la longitd de la misma es la mitad qe la del lado del triánglo (qe mide dos nidades), o bien, tilizando el teorema de Pitágoras de la forma habital cando se conoce el lado y el radio de n polígono reglar. L= 4 1 = 4 El cadrilóblo del apartado b tendrá por área la del cadrado base más la de catro sectores circlares de amplitd 70º, (Fig. 13) es decir: Figra 13. Cadrilóblo b Figra 1. Trilóblo c El área encerrada por el trilóblo será la sma de las áreas del hexágono reglar y el de tres sectores circlares qe abarcan ánglos de 40º, por tanto se tiene: 6 3 4 1 A= AH + 3 AS = 3 + 3 3 = + 360 40 3 83 La longitd del trilóblo c será la sma de las longitdes de tres segmentos circlares qe abarcan ánglos de 40º, es decir: 1 A= AC + 4 AS = + 4 = ( + ) 360 70 4 3 y la longitd será la de catro segmentos circlares de la misma amplitd: 1 L= 4 = 180 70 6 3 L= 3 3 = = 180 40 3 8 3 8 3 9 3 Actividad 3. Ennciado: Calcla el área y la longitd de los tres primeros cadrilóblos de la fgra 7, correspondientes a los trazados propestos en los apartados a, b y c del epígrafe Cadrilóblos. Toma el lado del cadrado de partida de medida dos nidades. Solción: En el diseño del apartado a, el área del cadrilóblo es la sma de las áreas del cadrado de dos nidades de lado y de catro semicírclos cyo radio mide na nidad. Por lo tanto se tiene: 1 A= AC + 4 AS = + 4 = ( 4+ ) La longitd de este cadrilóblo es la de catro semicircnferencias de radio no obteniéndose el sigiente valor: Figra 14. Cadrilóblo c La región determinada por el cadrilóblo del apartado c se pede descomponer, como aparece en la figra 14, en n cadrado de lado x, y en catro semicírclos de radio x. Para calclar el valor de x se aplica el teorema de Pitágoras, se obtiene: x = x = x= Una vez calclada la medida del lado del nevo cadrado,, y la del radio de los círclos,, se pede determinar el área del cadriloblo: 5
Febrero 010 ( ) A= AC + 4 AS =( ) + 4 = ( 8+ 4) La longitd total es la de catro semicircnferencias de radio, resltando por tanto: L= 4 = 4 Nótese qe para la sigiente actividad los almnos precisan conocimientos de Trigonometría, siendo por ello más apropiada para los qe crsan Matemáticas I de 1º de Bachillerato. Actividad 4. Ennciado: Calcla el área y la longitd del cadrilóblo sitado a la derecha de la figra 7, cyo trazado está propesto en el apartado d del epígrafe Cadrilóblos. Toma el lado del cadrado de partida con medida na nidad. Si tenemos en centa qe el ánglo central del octógono reglar es 45º, se calcla la apotema de éste, aplicando qe: x tg, 5º= a Utilizando la fórmla de la tangente del ánglo mitad y sstityendo en la expresión anterior reslta: x a tg, 5º + Finalmente el área encerrada por el cadrilóblo será: + 8 A= AO + 4 AS = + 4 5 = 360 5 ( ) = + 4 La longitd del cadrilóblo es la de catro segmentos circlares de ánglo 5º y radio = + Figra 15. Cadrilóblo d Solción: En la figra 15 se observa qe el área del cadrilóblo es la sma del área del octógono generado de lado x, y de la de catro sectores circlares de radio también x. Para calclar el valor de x aplicamos el teorema del Coseno al triánglo isósceles de lados x, x, 1, teniendo en centa qe el ánglo interior de n octógono reglar α mide 135º. Resltando así: 1 = + 135 = x x xxcos º x x = x + de donde, x = x= ( ) Al mismo resltado se llega a partir del valor del cos 5º (ánglo mitad de 45º) en el triánglo rectánglo qe reslta al trazar la altra en el triánglo isósceles anteriormente considerado. Por tanto: L= 4 x = 180 5 5 = Actividad 5. En el trazado del trilóblo a, propesto en el epígrafe Trilóblos, se prodce na división del triánglo eqilátero de partida en catro triánglos semejantes a él y de lado la mitad de s lado. En el centro de la figra se ha determinado n triánglo crvo (ver Figra 16), conocido como triánglo de Releax. En el contexto del estdio de polilóblos podemos considerar qe el triánglo de Releax es n trilóblo, al estar formado por tres arcos de circnferencia. En la figra 17 se pede apreciar el espléndido triánglo de Releax del hastial norte de la Catedral de León. 6
Febrero 010 Investigaciones Figra 16. Triánglo de Releax. En este apartado se proponen ennciados más abiertos y creativos qe los de las actividades anteriores cya resolción reqiere el empleo de programas informáticos de geometría dinámica. Estas actividades, qe podrían considerarse peqeñas investigaciones y realizarse en grpos de dos o tres almnos, son las más adecadas para el desarrollo de las competencias básicas porqe, para llevarlas a cabo, los almnos deben incorporar todos los conocimientos aprendidos, a la vez qe detectan la necesidad de adqirir otros nevos, fomentando n aprendizaje donde se consoliden al mismo tiempo actitdes positivas y se profndize en el vínclo existente entre los conocimientos teóricos y ss aplicaciones prácticas. Propesta 1. Los cadrilóblos estdiados anteriormente están trazados a partir de n cadrado y catro circnferencias centradas en los vértices o pntos medios de los lados de dicho cadado. En los modelos de la figra 7, los radios de las circnferencias están determinados en fnción del lado o de la diagonal del cadrado. Figra 17. Catedral de León. Ennciado: Calcla el área y la longitd del triánglo de Releax sponiendo, como en la Actividad, qe el triánglo eqilátero de partida mide dos nidades de lado. Solción: La sperficie del plano delimitada por el triánglo de Releax central (Figra 16), está formada por n triánglo eqilátero de lado 1 y de altra 3/, y por tres regiones como la sombreada en oscro. El área de esta región A R se calcla restando el área triánglo eqilátero anterior a la de n sector circlar de radio 1 y de ánglo 60º. Por tanto, finalmente, reslta: a. Con n programa de geometría dinámica (CABRI o GEO- GEBRA) constrye n cadrado de lado L y diagonal D y catro circnferencias centradas en ss vértices, investiga las diferentes constrcciones qe se generan al ir variando el radio R de las circnferencias. Preba, por ejemplo, con: R L R L = < R = L R = D R= L 4,,,,... Constrúyelo de forma qe al ir desplazando el pnto P sobre el lado del cadrado (ver Figra 18) se obtengan los catro modelos. Bsca algnos elementos geométricos qe se generan en estos trazados y realiza cálclos a partir de ellos. A= A + 3 A = A + 3( A A )= 3A A = T R T S T S T = 3 160 1 3 = 360 3 Figra 18. Modelos de círclos con centros en los vértices de n cadrado. La longitd del triánglo de Releax es la de tres segmentos circlares de radio 1 y de ánglo 60º, siendo s valor: 1 L= 3 = 180 60 Figra 19. Modelos de círclos con centros en los pntos medios de los lados de n cadrado. 7
Febrero 010 b. Investiga los posibles trazados qe resltan al tomar, como centros de las circnferencias, los pntos medios de los lados del cadrado y radios variables. Realiza la constrcción dinámica de la misma forma qe en el apartado anterior. Observa la figra 19 y calcla el radio de las circnferencias en los tres casos mostrados y determina otros posibles elementos geométricos qe aparecen. Figra 0. Diseño de pavimento. c. Bsca diseños cotidianos y artísticos qe pedan ajstarse a los modelos descritos anteriormente, como el de la figra 0. Propesta. En la figra 1 aparece n rosetón con polilóblos de varios tipos (catro ocho lóblos). A partir de polígonos reglares de diferente número de lados, traza polilóblos con los criterios expestos en la propesta 1. En al figra 1 se mestran diseños para el pentágono y hexágono reglares. Para terminar Figra 1. Pentalóblos y hexalóblos. Dada la importancia qe el nevo sistema edcativo reserva a las competencias básicas, entendiéndolas no como simples constrctos teóricos, sino como aprendizajes qe capacitan para adaptar dinámicamente lo qe se sabe al contexto en qe el almno estdia y vive, se han presentado en estas páginas algnas líneas de trabajo concreto desde el campo de la geometría, con elementos qe peden insertarse tanto en el crríclo de Matemáticas de ESO como en el de Bachillerato. Si en realidad el aprendizaje es, como decía Dewey, aprender a pensar bien se pede conclir qe en el lento proceso de la constrcción del pensamiento, en el qe las matemáticas siempre han desempeñado n relevante papel, el estdio de la geometría aplicada a las cosas de la vida real constitye na aportación interesante a lo qe hoy entendemos por desarrollo de las competencias básicas en la edcación secndaria. Este artíclo fe recibido en SUMA en Noviembre de 008 y aceptado en Jlio de 009 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOE (4/5/06): LOE, Ley orgánica de Edcación de 3 de mayo de 006. BCyL (3/5/07): Decreto 5/007, crríclo ESO de Castilla y León. Chamoso, J., Fernández, I. y Reyes, E. (009): Brbjas de Arte y Matemáticas. Tres cantos (Madrid): Nivola. Fernández Benito, I. (003):La matemática del entorno: números y proporciones. En Premios Nacionales 001 a la innovación edcativa. Madrid: Ministerio de Edcación, Cltra y Deporte. Fernández, I., Reyes, E. (003): Geometría con el hexágono y el octógono. Granada: Proyecto Sr de Ediciones. Fernández, I. Reyes, E. (005): Polígonos y formas estrelladas, Sma nº 49, 7-14. Fernández Benito, I. (006): Formas estrelladas y de otros tipos en elementos artísticos. En Enfoqes actales en la didáctica de las matemáticas. Madrid: Ministerio de Edcación y Ciencia. 8