27 Congro Naconal d Eadíca Invgacón Oprava Llda, 8-11 d abrl d 2003 LOCALIZACIÓN DE UN SERVICIO NO DESEADO EN REDES USANDO EL CRITERIO ANTI-CENT-DIAN M. Colbrook, J.M. Guérrz, J. Scla Dparamno d Eadíca, Invgacón Oprava y Compuacón Unvrdad d La Laguna, av. Arofíco F. Sánchz /n, 38271 La Laguna, Tnrf, Epaña E-mal: mcolan@ull., jmgrrz@ull., jcla@ull. RESUMEN S uda l problma d localzacón d un rvco no dado n una rd no drgda y conxa, condrando l crro an-cn-dan. E crro rprna la combnacón convxa dl cnro no dado (maxmzar la mínma danca) y d la mdana no dada (maxmzar la uma d danca). S prna un procdmno fcn para drmnar l puno d localzacón dado. Palabra y fra clav: Localzacón no dada, problma an-cn-dan. Clafcacón AMS: 90B85, 05C12, 05C85, 05C90. 1. Inroduccón Lo problma d localzacón n rd con n nodo y m ara raan d bucar la pocón corrca dond uno o má rvco dbrían r mplazado, d forma qu opmc una funcón objvo qu á rlaconada con la danca dd l rvco a lo puno d dmanda. Hakm (1964) nrodujo lo problma dl cnro (mnmzar la máxma danca) y d la mdana (mnmzar la uma d danca). Porormn, oro auor han darrollado o modlo orgnal aporando nuva olucon (Karv y Hakm, 1979; Mnka, 1981). Normalmn, l rvco a localzar condra dabl para lo poncal cln, como por jmplo, rvco d mrgnca (polcía/bombro/ambulanca), grand almacn/uprfc, colgo, c. Sn mbargo, xn oro rvco qu no on an agradabl (ndabl) para la poblacón crcundan, como pudn r pron, ba mlar, baurro, plana dpuradora, c. Alguno rvco pudn llgar a r haa plgroo, como por jmplo racor nuclar, cnral químca, o plana ndural alamn conamnan. Lo problma d localzacón d rvco no dado n rd furon nroducdo por Church y Garfnkl (1978), qun dfnron y rolvron l problma 1
1-maxum (maxan) n mpo O( mnlog n ). Mnka (1983) propuo lo problma ancnro (maxmax) y anmdana (maxum). Porormn, Tamr (1991) ugró brvmn qu l problma maxan podía r rulo n O( mn ). Tng (1984) darrolló un algormo lnal n O( n ) para l problma maxum n árbol. Oro problma condrado ambén n la lraura obr localzacón no dada l problma dl cnro no dado (maxmn). Tamr (1988) ndcó cuamn qu problma podía r rulo n mpo O( mn ). Porormn, Mlachrnoud y Zhang (1999) y Brman y Drznr (2000) aporaron ndo procdmno para rolvr l problma n mpo O( mn ). La rfrnca má rcn d problma dbda a Colbrook al (2002b). Para un udo má amplo y acual obr localzacón d rvco no dado rm al lcor a Erku y Numan (1989) y Cappanra (1999). En rabajo va a combnar l problma dl cnro no dado con l d la mdana no dada para obnr l crro d localzacón dnomnado an-cn-dan. El modlo an-cn-dan n rd condra la combnacón convxa d lo crro maxmn y maxum. Morno-Pérz y Rodríguz-Marín (1999) darrollaron do algormo qu calculan, rpcvamn, la localzacón ópma para un valor λ fjo aocado a la combnacón convxa, y l conjuno d localzacon ópma para oda la combnacon convxa. Ambo pon una compljdad n mpo O( mnlog n ). En la gun ccon moramo qu la compljdad dl prmr algormo pud r rducda a O( mn ). 2. Noacón y formulacón Sa N = G( V, E ) una rd mpl, no drgda y conxa con n nodo (vérc) V = { v1, v2,, v n}, y m ara E = {( v, v ) : v, v V }, con E = m. Para cada nodo v V dfnmo una funcón w : V, w( v ) = w 0, la cual rprna l númro d cln uado n v qu harán uo dl rvco. Obvamn, aummo qu no odo lo w = 0. Por oro lado, obr cada ara E dfnmo una funcón l : E +, l( ) = l > 0 qu ndca la longud d la ara. Por ano, un puno x n un rango [0, l ]. Dado un par d nodo v, v V, dfn la danca d( v, v ) nr o do nodo j como la longud l camno má coro nr v y v j. D modo, para cualqur ara = ( v, v ) E y dado un puno nror x, la danca nr x y un nodo v d( x, v ) = mn{ x + d( v, v ), l x + d( v, v )}. El puno obr dond d( x, v ) alcanza u qulbro, o x + d( v, v ) = l x + d( v, v ), llama un puno cullo d bolla, y dnoa por b = ( d( v, v ) d( v, v ) + l) / 2. La funcón d( x, v ) lnal y cóncava con al mno un puno cullo d bolla. j 2
Dfnmo ahora la funcón cnro no dado y no pado (maxmn) y la funcón mdana no dada (maxum/maxan). Dado cualqur puno x n la rd N, dfnmo f ( ) mn (, ) mn x = d x v como la mínma danca no pada dd l puno x al ro d v V nodo d la rd. Un puno y N N un cnro no dado (uncnr: undrabl cnr) fmn ( yn ) = max fmn ( x). Cuando odo lo po d lo nodo w on gual, x N l puno y N localza n la mad d la ara má larga. Enonc, l puno uncnr para cualqur ara = ( v, v ) y = l / 2, y por ano f ( ) / 2 mn y = l. D modo, l puno ópmo local pud r obndo n O(1). Por oro lado, dada la uma oal d po d lo nodo W = w y un puno x N, dfnmo ahora f um ( x) = w d( x, v ) / W como la uma promdo d la danca v V pada dd l puno x al ro d nodo d la rd. Un puno z N N un puno mdana no dada (maxan) f ( z ) = max f ( x). El puno maxan local obr la um N um x N ara dnoa por z. Fnalmn, la funcón an-cn-dan dfn como: mn um v V f ( λ, x) = λ f ( x) + (1 λ) f ( x) (1) y cualqur puno x N N qu maxmza f ( λ, x) para un valor parcular d λ, 0 λ 1, dnomna puno λ-an-cn-dan. En parcular, λ = 0, l puno an-cn-dan gual al maxan, mnra qu para λ = 1, obnmo l puno uncnr. La Fgura 1 mura la gráfca d la funcón f (, x) λ obr la ara. Para λ = 0, la funcón an-cn-dan f ( x ), con [, ] um z a b. A mdda qu l parámro λ crc, la funcón an-cn-dan va ranformando n la funcón f ( x ). mn Combnando la propdad d lo problma uncnr y maxan, pudn obnr propdad pcal para l problma λ-an-cn-dan. Dcha propdad furon orgnalmn ablcda n Morno-Pérz and Rodríguz-Marín (1999). Ammo, como la funcon maxmn y maxum on amba cóncava, podmo drvar una nuva propdad concrnn al conjuno d puno canddao dnro d una ara. Dado un valor d λ, 0 λ 1, l problma (1) pud r formulado obr cada ara como gu: y un puno xn f ( λ, x) = λ f ( x) + (1 λ) f ( x) (2) mn um N un puno λ-an-cn-dan f (, ) max (, ) λ x = f λ x. Un méodo para drmnar odo lo puno λ-an-cn-dan para cualqur valor d λ [0,1] n mpo O( mnlog n ) fu propuo por Morno-Pérz y Rodríguz-Marín (1999). Dcho méodo drva d un algormo n mpo O( mnlog n ) darrollado por Hann al (1991). Ea compljdad no pud r rducda dado qu l algormo N E 3
á baado n l cálculo d la nvolura convxa d O( mn ) puno, lo cual llva a cabo n mpo O( mnlog n ) (vr Hrhbrgr, 1989). f ( x) um f ( x) mn y a b λ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 v l v Fgura 1: Gráfca d la funcón f (, x) λ para dfrn valor d λ. Por oro lado, Morno-Pérz and Rodríguz-Marín (1999) ambén prnaron un procdmno n O( mnlog n ) para obnr l puno an-cn-dan cuando λ fja a una valor parcular. Sn mbargo, n cao í podmo alcanzar un algormo n mpo O( mn ), como dcrbrmo porormn. 3. Anál dl problma y nuva coa upror Sa = ( v, v ) E una ara. A connuacón vamo a caracrzar la olucón a (2). Obvamn, cuando λ = 1, la olucón a (2) x = y, y ará localzado n la mad d la ara. Por oro lado, λ = 0 nonc x = z. Por ano, l anál ará cnrado n l cao n l qu 0 < λ < 1. Para odo lo nodo v V, condramo ahora la dfrnca d = d( v, v ) d( v, v ) y lo gun conjuno: A = { v V : l < d l } B = { v V : d = l } C = { v V : l d < l } D = { v V : d = l } 4
con B C, D A y A B = C D = V. Sa W la pndn drcha d la funcón f um ( x ) n l nodo v, y a zqurda con gno opuo d f ( x ) n um v, o, W = w w = W 2 w = 2 w W v A v B v B v A W = w w = 2 w W = W 2 w v C v D v C v D W la pndn Como la funcón an-cn-dan una combnacón convxa d la funcon f ( x ) y mn f ( x ), la pndn drcha zqurda d f ( λ, x) n lo nodo um v y v dbría r, rpcvamn, W = λ + (1 λ) W / W y W = λ + (1 λ) W / W Como W, W W, nonc W, W 1. S W 0 o W 0, l problma (2) pud rolvr fáclmn. En l cao d qu W y W on ambo rcamn povo, l problma (2) no an fácl d analzar. An d dcrbr l méodo para rolvr l problma (2) vamo a mjorar la gun coa upror propua por Morno-Pérz y Rodríguz-Marín (1999): mn UB( λ, ) = λub ( ) + (1 λ) UB ( ) (3) con UBum ( ) = ( fum( v) + fum( v ) + l) / 2 y UBmn ( ) = ( fmn ( v ) + fmn ( v ) + l ) / 2. Ea coa calcula n mpo O( n ), aunqu pud r mjorada n la mma compljdad d mpo. Aummo ambo W y W rcamn povo. S calcula l puno d nrccón x al qu f ( λ, v ) + xw = f ( λ, v ) + W ( l x), y u valor d ordnada y( x ). f (, v ) f (, v ) W l f (, v ) W f (, v ) W WWl x λ λ +, y( x) λ + λ + = = W + W W + W um La funcón an-cn-dan n lo xrmo d la ara gual a (1 λ) f ( x). Enonc, rmplazando f (, ) λ v y f ( λ, v ) por, rpcvamn, (1 λ) fum ( v ) (1 λ) f ( v ) obnmo um y x (1 λ )( f ( v ) W + f ( v ) W ) + WWl W + W um um ( ) = Sa NUB( λ, ) = y( x) la nuva coa upror. Dado qu f ( λ, x) una funcón cóncava, obvamn f ( λ, x) NUB( λ, ), x, 0 λ 1. S pud dmorar qu la nuva coa upror al mno an buna como (3). A parr d la dfncón d a coa, y omando como ba l algormo dado n Colbrook al (2002a) para rolvr l problma maxan, pud obnr un um y 5
algormo n O( mn ) qu rulv l problma dl an-cn-dan (2) para un valor parcular d λ, 0 < λ < 1, cuando W > 0 y W > 0. 4. Agradcmno E rabajo ha do parcalmn fnancado por un proyco d nvgacón d la Unvrdad d La Laguna, númro 180221024. Rfrnca Brman, O., Drznr, Z. (2000): A no on h locaon of an obnoxou facly on a nwork. Europan Journal of Opraonal Rarch 120(1), 215-217. Cappanra, P. (1999): A urvy on obnoxou facly locaon problm. Tchncal Rpor 11, 1-34. Church, R.L., Garfnkl, R.S. (1978): Locang an obnoxou facly on a nwork. Tranporaon Scnc 12(2), 107-118. Colbrook, M., Guérrz, J. and Scla, J. (2002a): A nw bound and an O(mn) algorhm for h undrabl 1-mdan problm (maxan) on nwork. DEIOC Workng Papr 02(1), 1-18. Colbrook, M., Guérrz, J., Alono, S., Scla, J. (2002b): A nw algorhm for h undrabl 1-cnr problm on nwork. Journal of h Opraonal Rarch Socy 53(12), 1357-1366. Erku, E., Numan, S. (1989): Analycal modl for locang undrabl facl. Europan Journal of Opraonal Rarch 40(3), 275-291. Hakm, S.L. (1964): Opmum locaon of wchng cnr and h abolu cnr and mdan of a graph. Opraon Rarch 12(3), 450-459. Hann, P., Labbé, M., Th, J.-F. (1991): From h mdan o h gnralzd cnr, Rchrch Opraonll/Opraon Rarch 25(1), 73-86. Hrhbrgr, J. (1989): Fndng h uppr nvlop of n ln gmn n O(n log n) m. Informaon Procng Lr 33(4), 169-174. Karv, O., Hakm, S.L. (1979): An algorhmc approach o nwork locaon problm. I: Th p-cnr. SIAM Journal on Appld Mahmac 37(3), 513-538. Karv, O., Hakm, S.L. (1979): An algorhmc approach o nwork locaon problm. II: Th p-mdan. SIAM Journal on Appld Mahmac 37(3), 539-560. Mlachrnoud, E., Zhang, F.G. (1999): An O(mn) algorhm for h 1-maxmn problm on a nwork. Compur and Opraon Rarch 26(9), 849-869. Mnka, E. (1981): A polynomal m algorhm for fndng h abolu cnr of a nwork. Nwork 11(4), 351-355. Mnka, E. (1983): Ancnr and anmdan of a nwork. Nwork 13(3), 359-364. Morno-Pérz, J.A., Rodríguz-Marín, I. (1999): An-cn-dan on nwork. Sud n Locaonal Analy 12, 29-39. Tamr, A. (1988): Improvd complxy bound for cnr locaon problm on nwork by ung dynamc daa rucur. SIAM Journal on Dcr Mahmac 1(3), 377-396. Tamr, A. (1991): Obnoxou facly locaon on graph. SIAM Journal on Dcr Mahmac 4(4), 550-567. Tng, S.S. (1984): A lnar-m algorhm for maxum facly locaon on r nwork. Tranporaon Scnc 18(1), 76-84. 6