Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo es cm, cuál es la razón de semejanza de sus áreas? Como el perímetro del primero es 6 + 8 cm, los rectángulo son iguales, y por tanto la razón de semejanza entre sus lados es y entre sus áreas también es. Un mapa tiene por escala :.00.000. La distancia real entre dos ciudades es de 70 km. Qué distancia las separa en el mapa? 70 km :.00.000 0 km 0, m Dos circunferencias tienen por radios 7 cm y 9 cm. Cuál es la razón de semejanza de sus áreas? La razón de semejanza de sus áreas es: S π r r r 7 S π r r r 9 7 ( ) ( ) 9 La razón de semejanza entre los volúmenes de dos cubos es 7. Cuál es la razón de semejanza entre sus aristas? Y entre sus áreas? La razón entre los volúmenes es V a a 7 V a a siendo a y a las aristas. a La razón de semejanza entre sus aristas es, por tanto, 7. a A a a La razón entre sus áreas es 9 A a a. La arista de un dado de parchís mide cm y la del de la oca mide, cm. Calcula la razón de semejanza entre sus aristas. Cuántas veces es más grande el dado de la oca que el del parchís? Cuántas veces es más grande el área de cada cara del dado de la oca comparado con el de parchís?
, La razón de semejanza entre sus aristas es,. Volumen oca Volumen parchís Área oca Área parchís,,7 veces más grande.,, veces más grande el área de cada cara. 6 La razón de semejanza de los lados de dos cuadrados es 0,6. Cuál es la razón de sus áreas? La razón de semejanza de sus áreas es: S l l S l () l ( 0,6) 0,6 7 Dos circunferencias tienen por radios cm y 9 cm. Cuál es la razón de semejanza de sus longitudes? La razón de semejanza de sus longitudes es: L π r r L π r r 9 8 Calcular cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña si el radio de la familiar es 0 cm y el de la pequeña es cm. Área familiar Área pequeña π 0 600 6 veces. π 6 9 Un polígono tiene por lados segmentos que miden a cm, b6 cm, c9 cm, d cm y e0 cm. Halla los lados de un polígono semejante a él y cuyo perímetro es 00 cm. El perímetro del primer polígono: P + 6 + 9 + + 0 cm 00 La razón de semejanza:,76 Los lados pedidos: a a r a,76 7, cm b a r b 6,76 8,6 cm c a r c 9,76,8 cm d a r d,76,8 cm e a r e 0,76 7,6 cm 0 Un rombo R tiene por lado a y es semejante a otro rombo R de lado a. Si la razón de semejanza es y el área de R es 0 cm, halla el área de R.
La razón de semejanza de dos figuras es igual al cuadrado de la razón de semejanza: S S a S S 0 870 cm S 0 a Un polígono tiene por lados segmentos que miden a cm, b cm, c8 cm y d0 cm. Halla los lados de un polígono semejante a él y cuyo perímetro es cm. El perímetro del primer polígono: P + + 8 + 0 cm La razón de semejanza:, Los lados pedidos: a a r a,,0 cm b a r b,,6 cm c a r c 8,,6 cm d a r d 0,, cm Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón :6. Cuál es la razón de semejanza? Todo polígono se puede descomponer en triángulos P, Q, R..., para los cuales se cumple: a h S a h P Q R r r ; r ; r S a h P Q R a h P r P ; Q r Q ;R r R P+ r S r S S r S 6 r r Q+ R 8 ( P + Q + R ) Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 0 y 0 cm, respectivamente. Cuánto mide el lado del primer polígono homólogo al lado del segundo cuyo valor es 7 cm? Calculamos la razón de semejanza: 0 k,8 7 a,8 0 cm 0 Se quiere dibujar un polígono de perímetro 60 cm, semejante a otro de perímetro 80 cm. Cuánto medirá el lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide metros? La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza. P 60 a 60 900 a cm P 80 80 80
Se quiere dibujar un polígono semejante a otro cuyo perímetro mide 00 cm. Cuánto medirá el perímetro del primer polígono si dos lados homólogos miden respectivamente y 0 cm? Calculamos la razón de semejanza: 0 k,6 00 P,6 P 6, cm 6 Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 0 y 00 cm, respectivamente. Cuánto mide el lado del primer polígono homólogo al lado del segundo cuyo valor es cm? Calculamos la razón de semejanza: 00 k, a, a 6 cm 0 7 Los lados de un cuadrilátero son: a cm, b6 cm, c7 cm y d cm. Se sabe que el área de otro semejante es 6 veces mayor que el área del primero. Determina la medida de los lados del cuadrilátero semejante. S a a 6 r S a a Por tanto: a a cm b b 6 cm c c 7 8 cm d d 6 cm 8 Con un cable de 0 metros se quiere conseguir un polígono semejante a otro de 90 metros de perímetro. Cuánto medirá el lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide metros? La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza. P 0 a 0 0 a,77 m P 90 90 90 9 Un tetraedro mide 8 cm de lado y la razón de semejanza con otro tetraedro más pequeño es. Cuánto mide la arista del segundo tetraedro? Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas? Y entre sus volúmenes? La arista del segundo tetraedro mide 8 cm. La razón de semejanza entre sus áreas es La razón de semejanza entre sus volúmenes es 6. 6.
0 Dado el segmento AB, divídelo en partes proporcionales a otros tres segmentos dados a, b y c. A B a b c La construcción se muestra en la siguiente figura: a b c A m n ñ B Un triángulo tiene por lados cm, cm y 6 cm. El lado correspondiente al pequeño, en otro triángulo semejante, es 8 cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente. Triángulo semejante de lados a, b y c. a b c Proporcionalidad 6 8 b c a 8 cm 9 r 6 b 9 b 6 cm c 9 c cm 6 Dado un segmento cualquiera AB, divídelo en cuatro partes iguales. A B La construcción se muestra en la siguiente figura: a a a a A m m m m B
Sabiendo que los lados DE y AB son paralelos, averigua cuánto mide EC. Aplicando el teorema de Tales, EC 6 8 EC cm. 6 6 Dos triángulos isósceles tiene el mismo ángulo, 0º, en el vértice donde se unen sus lados iguales. Podemos asegurar que dichos triángulos son semejantes? Sí, porque si ambos tienen el mismo ángulo desigual, también tendrán los mismos ángulos iguales. Dos triángulo rectángulos tienen uno de sus ángulos de 0º. Podemos asegurar que dichos triángulos son semejantes? Sí, pues ambos tienen los tres ángulos iguales: 0º, 90º y 0º. 6 Un triángulo tiene por lados cm, cm y cm. El lado correspondiente al mayor, en otro triángulo semejante, es 9, cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente. Triángulo semejante de lados a, b y c. a b c Proporcionalidad a b 9, c 9, cm, r b, b cm c, c 6, cm 7 Los lados de un triángulo miden, y, cm. El perímetro de otro triángulo semejante es. Cuál es la razón de semejanza? Cuánto miden los lados del segundo triángulo? La razón de semejanza es la razón entre los perímetros. + +,, Los lados del segundo triángulo miden: 6 cm, 8 cm y, 9 cm. 6
8 Para calcular la altura de una farola, ponemos un palo vertical cerca y medimos la sombra del palo y de la farola. Hemos obtenido 0,7 y 6 m respectivamente y que el palo mide m. Cuánto mide la farola? Los triángulos formados por la farola y su sombra y por el palo y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol x son paralelos. Por tanto, si x es la altura de la farola, x 8 m. 0,7 6 9 Calcula x en cada caso: a) b) c) En todos los casos los triángulos verifican el teorema de Tales. x 8 6 a) x, cm. + 6 x 9 7 9 b) x, cm. + x 0 c) + x x cm. 0 0 Se consideran dos triángulos semejantes. Del primero conocemos un ángulo, º, y del segundo sabemos que uno de sus ángulo es º. Con estos datos, qué podemos averiguar de los triángulos? Como los ángulos de dos triángulos semejantes deben ser iguales, ambos triángulos tienen un ángulo de º y otro de º, por lo que el tercero debe ser de 90º. Por tanto, los triángulos son rectángulos. Son semejantes los triángulo MON y PQR si m cm, n cm, o 8 cm, p 6 cm, q cm y r 7 cm? Si lo son, qué lados son homólogos? m n o Como, los triángulos MON y PQR son semejantes, siendo lados homólogos m y r, n y p, o y q. r p q 7
Calcula x e y en los siguientes triángulos: a) b) c) a) Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales, por lo que: x x cm. + b) Los triángulos ABC y ABD son semejantes, pues comparten el ángulo B y ambos tienen un ángulo recto. Por 8, 8 tanto, x,86 m. x 0 7 c) Los dos triángulos son semejantes, pues el ángulo opuesto por el vértice es igual y las bases son paralelas. x y Entonces, x 0 cm y x 0 cm. La base de un triángulo mide el doble que la de otro triángulo, y su altura también. Podemos afirmar siempre que son triángulos semejantes? No, puede que no sean semejantes. Por ejemplo, el primero puede ser un triángulo rectángulo de base un cateto de 0 cm y altura el otro cateto de cm, y el segundo triángulo puede ser isósceles de base 0 cm y altura 0 cm. Si dos triángulos rectángulos son semejantes y las hipotenusas miden, respectivamente, 6 y 9 cm, y el menor de los catetos del primer triángulo mide 0 cm, cuánto miden los otros lados en ambos triángulos? Por el teorema de Pitágoras, si x es el cateto mayor del primer triángulo: x + 0 6 x cm. a b 9 Por otro lado, si a y b son los catetos del segundo triángulo: a cm y b 6 cm. 0 6 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 cm y uno de los catetos 6 cm. Halla el otro cateto y los lados de otro triángulo semejante al anterior con razón de semejanza,. Por el teorema de Pitágoras, si el otro cateto es x: Los lados del otro triángulo son:, 8 cm. 6, cm. 0, 0 cm. x + 6 0 x cm. 8
6 Los lados de un triángulo ABC son a cm, b 7 cm y c 9 cm. Halla los lados del triángulo semejante A B C, sabiendo que su perímetro es 0 cm. Lados de A'B'C': a x;b 7 x; c 9 x x+ 7 x+ 9 x 0 cm x 0 x Lados de A'B'C': a cm; b cm; c cm 7 La sombra de una torre eléctrica mide 0 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide, m. Si el joven tiene una altura de,8 m, cuál es la altura de la torre? Los triángulos formados por la torre y su sombra y por el joven y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol,8 x son paralelos. Por tanto, si x es la altura de la torre, x m., 0 8 Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 9 cm. El lado más corto de un triángulo semejante al anterior mide cm. Cuánto miden los otros lados? Razón de semejanza,. 6 Por tanto, los otros lados miden, 8 0 cm y, 9, cm. 9 Un ciclista tiene que subir una cuesta que tiene una inclinación de º. Qué altura habrá subido cuando haya recorrido 00m? La hipotenusa del triángulo es 00 m y la altura es el cateto opuesto a los º, por lo que h sen º h 00 senº 00 0,079,8 m. 00 0 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 9º ; b) 8º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen 9º b) sen 8º sen 9º 0,6 ; cos 9º 0,9877 ; cos 8º cos 8º ; cos 9º 0,9877 ; tg9º 0,8. 0,6 ; tg8º 6,8. sen 8º porque 9º + 8º 90º. En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tgb, y b cm, cuánto mide c? 9
b tgb, c, cm c c, Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 9º ; b) º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen 9º b) sen º sen 9º 0,77 ; cos 9º 0,66 ; cos º cos º ; cos 9º 0,66 ; tg 9º,0. 0,77 ; tg º 0,869. sen º porque 9º + º 90º. Halla el seno y el coseno de los ángulos B y C del dibujo. Qué relación encuentras? Por el teorema de Pitágoras, x + 6 0 x 8 cm. Por tanto, 6 6 8 8 6 6 senb,cosb, senc,cosc. 0 0 0 0 Observamos que senb cosc y que cosb senc. Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 7º ; b) 6º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen 7º b) sen 6º sen 7º 0,0 ; cos 7º 0,890 ; cos 6º cos 6º ; cos 7º 0,890 ; tg 7º 0,09. 0,0 ; tg 6º,966. sen 6º porque 7º + 6º 90º. Trabajando con ángulos agudos, es cierto que a mayor ángulo le corresponde mayor seno? Y para el coseno? Cuando los ángulos son agudos, el seno es creciente, es decir, a mayor ángulo, mayor seno, pero el coseno es decreciente, esto es, a mayor ángulo, menor coseno. 6 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 8º ; b) 6º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? 0
a) sen 8º b) sen 6º 0,69 ; cos 8º 0,889 ; cos 6º 0,889 ; tg 8º 0,7. 0,69 ; tg 6º,8807. sen 8º cos 6º ; cos 8º sen 6º porque 8º + 6º 90º. 7 Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a cos a 0,990 0, 0,0 9,999. 0,99 0,990; 8 Si a es un ángulo agudo y tg a 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? cosa + tg a + tg a 0,7. 0,89; 9 En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a 8 m y b 6m. Cuánto mide c? Calcula las razones de los ángulos B y C. Por el teorema de Pitágoras: 8 6 + c c 8 7 m. Por tanto: 6 7 7 6 7 7 7 7 senb, cosb, tgb, cotgb, secb, cosecb. 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 7 7 6 7 7 senc, cosc, tgc, cotgc, secc, cosecc. 8 8 6 7 7 7 7 0 Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a sen a 0, 0,9798 0,0 0,0. 0,96 0,9798; Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden, y cm? En caso afirmativo determina el seno, coseno y tangente de los dos ángulos agudos.
Sí es rectángulo, pues +. sena, cosa, tga. sena, cosa, tga. Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a sen a 0, 0,99 0,09 0,. 0,9 0,99; Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a sen a 0, 0,990 0,0 0,00. 0,99 0,990; Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a 0,9798 0, 0,0,8990. 0,96 0,9798; Si a es un ángulo agudo y tg a 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? + tg 0,86 a + 0,6 tg a 0,98 0, 0,7. 0,86 0,98; 6 Si a es un ángulo agudo y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a 0,96 0, 0,6,9. 0,8 0,96; 7 Si a es un ángulo agudo y tg a, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
+ tg cosa 0,96; a + 6 tg a 0,9806. 6 6 8 Si a es un ángulo agudo y 0,6, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a 0,6 0,8. 0,6 0,6 0,8; 9 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) º ; b) º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen º b) senº senº 0,6 ; cos º 0,6 ; cosº sen º ; cosº 0,906 ; tgº 0,66. 0,906 ; tgº 0,66. cos º porque º 80º º. 60 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 9º ; b) 99º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen 9º b) sen 99º sen 99º 0,6 ; cos 9º 0,9877 ; cos 99º cos 9º ; cos 99º 0,9877 ; tg9º 0,8. 0,6 ; tg99º 6,8. sen 9º porque 99º 90º + 9º. 6 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 8º ; b) 79º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos? a) sen 8º 0,9877 ; cos 8º 0,6 ; tg8º 6,8. b) sen 79º 0,9877 ; cos 79º 0,6 ; tg 79º 6,8. sen 79º sen 8º ; cos 79º cos 8º porque 79º 60º 8º. 6 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 79º ; b) 9º. Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
a) sen 79º 0,986 ; cos 79º b) sen 9º 0,986 ; cos 9º 0,908 ; tg 9º,6. sen 9º sen 79º ; cos 9º 0,908 ; tg79º,6. cos 79º porque 9º 80º + 79º. 6 Si sabemos que sena, que cosa y que A está en el primer cuadrante, calcula las siguientes razones trigonométricas sabiendo que A está expresados en grados: a) tg(90 - A) b) sen(90 - A) c) cos(80 + A) sen(90 A) cosa a) tg(90 A) cos(90 A) sena b) sen(90 A) cosa c) cos(80 + A) cosa 6 Si sabemos que cosa y que A está en el primer cuadrante, calcula las siguientes razones trigonométricas sabiendo que A está expresados en grados: a) sena b) tg(90 + A) c) cos(90 A) a) sena 9 sen(90 + A) b) tg(90 + A) cos(90 + A) c) cos(90 A) sena 9 cosa sena 6 Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de otra equivalente de un ángulo del primer cuadrante: a) sen(-90º) b) cos 80º c) sen 70º d) cos(-00º) e) sen 0º f) cos 0º
a) sen(-90º) -sen 90º b) cos 80º sen 0º sen(80º-0º)sen 0º c) sen 70º sen 0º d) cos(-00º) cos 60º e) sen 0º sen 80º sen 0º f) cos 0º cos 0º 66 Si a es un ángulo del segundo cuadrante y -0,0, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? tg a cosa 0,00 0,9987 9,970. 0,0 0,997 0,9987; 67 Si a es un ángulo del tercer cuadrante y - 0,9, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? 0,8 0,9 tg a,067. 0,9 0,9 0,9; 68 Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 0 y π radianes se verifica que sena ; cosb ; tgc. π π A arcsen rad ó rad. 6 6 π π B arccos rad ó rad. π 7 π C arctg( ) rad ó rad. 69 Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? 0,09 0,99 tg a,798. 0, 0,9 0,99; 70 Si a es un ángulo convexo y tg a /7, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Como tg a es positivo, a está en el primer o tercer cuadrante, y como a es convexo, está en el primer o segundo cuadrante, por lo que a sólo puede estar en el primer cuadrante. 9 7 0,99; + tg a 9 8 + 8 9 7 tg a 0,99. 8 7 8 7 Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y tg a -/, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? 9 0,; + tg a + 9 tg a 0,87. 7 Si a es un ángulo obtuso y 0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? Como es positivo y a es obtuso, a debe estar en el segundo cuadrante. tg a 0, 0,96 0,6 0,6. 0,8 0,96; 7 Si a es un ángulo entre -90º y 90º y 0,7, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? Como es positivo, a está en el primer o segundo cuadrante, y como -90º<a<90º, entonces a está en el primer cuadrante. tg a 0,7 0,7 0,9 0,980. 0, 0,7; 7 Si a es un ángulo obtuso y 0,7, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? Como es positivo y a es obtuso, a debe estar en el cuarto cuadrante. tg a 0,9 0,7,00. 0,7 0, 0,7; 7 En el sistema centesimal, un ángulo recto tiene 00º centesimales. Sabrías decir cuántos grados centesimales son π radianes? 6
π π Como rad º sexagesimales, es decir, medio ángulo recto, entonces rad 0º centesimales. 76 Si a es un ángulo del segundo cuadrante y tg a -0,, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? 6 0,970; + tg a 7 + 7 6 tg a 0,. 7 7 77 Si a es un ángulo obtuso y tg a, cuánto valen las otras dos razones trigonométricas? Como tg a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el tercer cuadrante. 0,7; + tg a + tg a 0,89. 7