Cpítulo : LOS NUMEROS REALES VIDEO Sucojutos especiles de los úeros reles Represetció decil de los úeros reles SUBCONJUNTOS DE NUMEROS REALES Los úeros,, so usdos pr cotr Norlete se los cooce coo el cojuto de los úeros turles, dicho cojuto se lo deot co l letr N, sí N {,,} Si se su dos úeros turles el resultdo es otro turl, pero si se rest el resultdo o ecesriete es u úero turl El cojuto de los úeros eteros Z {,,,,0,,, } es cerrdo jo ls opercioes de su, rest y ultiplicció, esto quiere decir que si relizos culquier de ests tres opercioes etre dos úeros eteros el resultdo es u úero etero Pero este cojuto o es cerrdo jo l divisió, es decir que si dividios dos úeros eteros el resultdo o ecesriete es u úero etero El cojuto de los úeros rcioles, Q, fordo por todos los úeros que puede ser epresdos de l for, dode, so úeros eteros co distito de cero, es cerrdo jo ls cutro opercioes Si ergo o cotepl todos los úeros que se preset Por ejeplo que es el períetro de u circufereci de rdio, o es u úero rciol Tpoco es u úero rciol, pues o puede ser represetdo coo el cociete de dos úeros eteros, este úero represet l solució de l ecució h y geoétricete él es l logitud de l hipoteus de u triágulo rectágulo co los dos ctetos igules Estos úeros que o so rcioles, pues o puede ser epresdos de l for, se ll úeros irrcioles U difereci etre los úeros rcioles y los irrcioles está dd e su represetció decil Los úeros rcioles puede ser represetdos por deciles co u epsió fiit ( 0 ) o por úeros deciles que se repite idefiidete ( 0 0, 009090 0090 ) E cio los úeros irrcioles so represetdos por úeros deciles que o teri y que o tiee igu periodicidd es decir que o tiee igu secueci que se repit Podeos proir el úero estido los prieros dígitos de l logitud de l digol de u cudrdo de por L proició de u clculdor que trj co 8 dígitos es, l represetció decil de es ifiit y o periódic El cojuto de los úeros reles es l uió de los úeros rcioles e irrcioles Este cojuto es deotdo por l letr R El úero es u irrciol y por tto rel Ejeplo - Dig cuáles de los siguietes úeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles y reles: ) -; ) ; c) 0 ; d) ; e) 0
Solució: ) - es u úero etero, tié es rciol pues puede ser escrito coo ) es u úero rciol pues puede ser escrito coo Tié es rel c) 0 es u úero rciol pues puede ser escrito coo Tié es rel 0 y es rel d) es irrciol Oserve que coo es irrciol su epsió decil es ifiit o periódic l surles d coo resultdo u úero cuy epsió tié es ifiit o periódic Es u úero rel e) 0 es turl, etero, rciol y es rel Ejercicio de desrrollo- Dig cules de los siguietes úeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles y reles: ) ; ) ; c) - Coetrio: Alguos utores cosider el 0 coo u úero turl Pr evitr cer e poléics os referireos l cojuto { 0,,, } coo el cojuto de los eteros o egtivos y {,, } coo el cojuto de los eteros positivos VIDEO Represetcio de los úeros reles e l rect rel Los úeros reles puede ser represetdos e l rect rel Pr ello se trz u líe rect y se escoge ritrriete u puto e ell, él cul represetrá el úero 0 Se escoge u uidd de edid y prtir del 0 se hce edicioes de u uidd tto l izquierd coo l derech, los putos edidos represet los úeros eteros e el orde ddo e l figur: los putos l derech del 0 represetrá los úeros positivos y l izquierd está represetdos los úeros egtivos L represetció del úero es u puto que está dos tercios uiddes l derech del El úero es Pr represetr geoétricete los úeros rcioles positivos podeos vleros de su for it: co <c y c,, c Z, este úero represet, por ejeplo el c úero puede ser escrito coo, l represetció es rápidete oteid trvés del cociete y residuo de l divisió de etre E geerl, si C es el cociete y R el residuo de l divisió de P D teeos que R P C Ahor es clro que el úero D está represetdo por el puto e l rect rel que está / uiddes de distci l derech del Pr represetr úero egtivos os podeos vler de l sietrí de l 0 rect rel Los úeros y 0 so siétricos so respecto l orige Hy étodos precisos pr represetr lguos úeros irrcioles trvés de costruccioes geoétrics, si ergo e este teto se hrá represetcioes o uy ects de estos úeros trvés de los prieros dígitos de su represetció decil
Coetrio: Oserve que l prte frcciori de u úero ito es escrit ás pequeñ que l prte eter, pr distiguirlo de u ultiplicció de u etero co u frcció Ejercicio de desrrollo: Represete los úeros ddos e l rect rel: ) ; ) - ; c) 7 EJERCICIOS ) Dig cuáles de los siguietes úeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles y reles: ) ) ; ) ; ) 0; ) ; ) ) Represete proidete los siguietes úeros e l rect rel ) -; ) ; ) - ; ) ; ) ; ) ; 7) ; 8) 7 ) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so verdders: ) ( ) L difereci de dos úeros irrcioles puede ser rciol ( ) El cociete de dos úeros irrcioles es siepre irrciol ) ( ) U úero irrciol o se puede escriir coo u cociete de eteros ) ( ) L difereci etre dos úeros rcioles es u úero rciol VIDEO Propieddes de los úeros reles ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES A cotiució eucios ls propieddes ás iporttes de los úeros reles Asu que,, c y d so úeros reles, teeos etoces: - Propiedd couttiv de l su Propiedd couttiv de l ultiplicció Ejeplo - Propiedd socitiv de l su Propiedd socitiv del producto ( ) c ( c) ( c) ( ) c Ejeplo ( ) 7 ( 7) ( ) ( ) Coetrios E os csos d E os csos d 0, pero es ás rápido el cálculo de l prier El eleeto eutro es quél que co l operció que cosidereos dej ilterle el úero Esto es: *(eleeto eutro del operdor)= - Eleeto eutro de l su: Eleeto eutro de l ultiplicció: 0 es el eleeto eutro es el eleeto eutro 0 El iverso de u úero es quél que l operrlo co el úero, co l operció que estos cosiderdo, os produce el eleeto eutro de l operció: * (el iverso)=eleeto eutro
CAPITULO : EXPONENTES Y RADICALES VIDEO Epoetes: Defiicioes, otcioes y covecioes EXPONENTES L potecició o otció epoecil se us pr revir l escritur de productos co los isos fctores: Notció:, pr u etero positivo y 0 veces Se lee coo elevdo l o ás revido: l El úero es lld l se y el epoete o poteci e idic el úero de veces que se repite el fctor Presetos cotiució vrios ejeplos ilustrtivos Ejeplo - ) 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) d) e) ( ) ( ) ( ) Oservcioes: - Si es egtivo etoces es positivo si es pr y egtivo si es ipr, coo podeos precir e el ejeplo terior e y d - U epresió coo o sipleete es u escritur revid de ( ), de quí se puede deducir que l coveció estlece que se reliz priero l poteci y luego l ultiplicció por - () L epresió represet ( ) y es equivlete ( ) ( ) Si se clcul ls epresioes y e u clculdor se podrá cofirr que so distits Coveció: L poteci es l prier operció que se ejecut frete ultipliccioes, divisioes, sus, rests o cios de sigos Ejeplo - Evlur ) ; ) ; c) ( ) Solució: ) 7 ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 APLICACIÓN Ejeplo - U copñí pretede uetr su producció e los próios ños, duplicdo l producció co respecto l ño terior Eprese l producció ul detro de ños, si este ño se h producido 00 rtículos, usdo l otció epoecil? Solució: Oserve que después de u ño l producció es 00 A los dos ños se tedrá el dole del prier ño ( 00) 00 00 A los tres ños se tedrá el dole del segudo ño ( 00) 00 A los cutro ños se tedrá el dole del tercer ño ( 00) 00 rtículos
DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO Los csos co epoetes egtivos o cero se defie coo sigue: Coetrio: 0 0 o está defiido Ejeplo - ) 8 ; ) 0 ; c) ) ( 0 ; d) ) ( ) ( ; e) ) ( 0 Ejercicio de desrrollo- Coplete l iguldd: ) 0 ) ( ) ) ( PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES E l siguiete tl se preset ls propieddes ás iporttes de epoetes Propiedd Ejeplo Justificció (del - sólo pr el cso turl) Producto de potecis de igul se Se coloc l is se y se su los epoetes veces veces veces ) ( Poteci de u poteci 8 ) ( Se dej l is se y se ultiplic los epoetes veces ) ( Poteci de u producto 8 Es el producto de ls potecis veces ) ( ) ( ) ( Poteci de u cociete 9 0 9 Ejercicio 7 / / 8 Ejercicio Defiició: Si 0 se defie 0 y si es u etero positivo: VIDEO Propieddes de los epoetes L defiició de 0 es cosistete co ls propieddes de epoetes Por ejeplo 0
VIDEO Opercioes y siplificcioes etre productos, cocietes y potecis de potecis Etedereos que u epresió que cosiste e productos, cocietes y potecis de vriles está siplificd cudo prece u sol vez cd vrile y u sol vez cd se uéric que o tiee fctores coues co tods ls deás ses uérics Por ejeplo: es l epresió siplificd de L epresió l pudios siplificr porque est escrit coo u producto E geerl podreos siplificr u epresió dode u se se repite si ell está escrit coo u producto o cociete usdo ls propieddes, o de l tl de propieddes de epoetes Ejeplo - Siplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos ) y y y ; ) ; c) y Solució: Pr siplificr epresioes dode hy potecis co ses que so productos y cocietes podeos plicr ls propieddes de l poteci de u cociete o del producto fi de trsforr l epresió e u cociete o producto de ses secills que podreos grupr ) y y y y Se plicó l propiedd de l poteci de u producto y y y y Se grup los fctores co l is se fi de siplificr y Se su los epoetes de igul se 7 y ) Priero plicreos l propiedd de l poteci de u cociete, fi de llevr l epresió u cociete y y ( y ) () ( y ) Aplicos l propiedd de l poteci de u poteci Al psr y l uerdor y grupr ls ses, el sigo del epoete quedó de u vez positivo 8 y Se reliz el producto de frccioes y 8 y y Flt siplificr, epresdo cd fctor co epoete positivo Pr ello grupos ls iss ses y 8 y Eiste vrios procediietos pr siplificr u epresió, escriiedol si usr epoetes positivos c) Se usó l propiedd 7 y hor se plic l propiedd de l poteci de u cociete Al ultiplicr y luego siplificr se otiee el resultdo
Ejercicio de desrrollo- Siplifique l siguiete epresió Eprese su respuest usdo y epoetes positivos y El lector hrá podido drse cuet trvés de los ejeplos de l siguiete: Etesió de ls propieddes y : k k k k k k k k k k k k k ( ) ( ) Ejercicio U de ls utiliddes de los epoetes es que ellos se us pr represetr ctiddes uy grdes usdo l otció cietífic EJERCICIOS ) Escri l epresió uéric si usr epoetes: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ) Siplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos ; ) ; ) 0 ) ; ) ) Siplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos y y y ) ( ) ( ) ; ) y y ; ) ; ) y ; y ) y ; ) ; 7) ) Cosidere l epresió, ) Eprésel coo u cudrdo ) Eprésel coo u cuo ) Epresr coo u poteci: ) 9 ; ) ; c) 7 / Dig e cd cso cuál es l poteci k l ) Reescri l epresió c coo u cociete Cóo oper el epoete etero e este cso?
VIDEO Rdicles Defiició, Notcioes RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS Recordeos lo siguiete Defiició: Se dice que es u ríz -ési de si De l defiició veos que es u ríz curt de pues Es clro que l ríz -ési de 0 es 0, esto se deot coo: 0 0 Pr los otros vlores de teeos que hcer cosidercioes cerc del sigo de y l pridd del ídice, ls cules so ostrds e l siguiete tl: pr (ejeplo =) 0 Hy dos ríces reles: U positiv y otr egtiv L positiv se deot por y se ll l ríz pricipl L egtiv se deot por 8 y 8 so ls ríces curts de 8 Oserve que ( ) 8 0 No eiste ríces reles: Por ejeplo si, veos que o eiste tl que Oserve que el sigo de es positivo ipr(ejeplo =) Hy u sol ríz rel Se deot por y siepre es positiv 7 es l ríz cúic de 7 pues () 7 Hy u sol ríz rel Se deot por y siepre es egtiv 7 es l ríz cúic de -7 porque ( ) 7 Notció: Si = etoces colocos Oservcioes: -, es l ríz positiv, el sigo se oite es sipleete - pr ipr - Pr pr teeos Por ejeplo ( ) ( ) si 0 si 0 Ejeplo - Clcule cd u de ls siguietes ríces Copruee su respuest ) 8 ; ) ; c) Solució: ) 8 pues 8 ; ) o es u úero rel; c) pues
E el resto del cpítulo, eos que se dig lo cotrrio, supodreos que tods ls vriles represet úeros positivos Así pues, cudo el rdicdo es u poteci co epoete igul l ídice de l ríz vle l siplificció Ejeplo - Siplifique Solució: E este cso, podeos reescriir el rdicdo coo u poteci cúic fi de siplificr No siepre se puede Pr ello se plic l propiedd de poteci de u producto: Coo el rdicdo es u cuo, se siplific el epoete co l poteci VIDEO Epoetes rcioles EXPONENTES RACIONALES Se quiere eteder el cocepto de poteci epoetes frcciorios de tl er de preservr ls propieddes de los epoetes Cosidere el úero / Si e l defiició cosiderr sigue vliedo l propiedd de l poteci de u poteci etoces / tedríos que Los úeros que elevdo l so igules so, por defiició, ls ríces de Esto otiv l siguiete defiició: Defiició- Se úero etero, > Si eiste, etoces se defie / / Por ejeplo Si toos e cuet que / tiee stte setido l cosiderr l siguiete defiició Hy que restrigir l defiició e el cso e que se egtivo frccioes reducids Oserve que Pero 8 8 El ldo izquierdo es igul - y el derecho vle Ejeplo - Eprese los siguietes rdicles coo poteci de epoetes rcioles ) ; ) 8 Solució: / ) ) Defiició- Se / 8 8, úeros eteros, > Si eiste, etoces se defie / Se eceptú de l defiició el cso e que es egtivo y cero Si es egtivo l frcció / dee estr siplificd Ejeplo - Evlúe l epresió / Solució: U ltertiv pr evlur l epresió dd es psrl otció co rdicles y etoces clculr l ríz /, pues Ejercicio de desrrollo- ) Eprese los siguietes rdicles coo potecis de epoetes rcioles: ) 8 ; ) / ) Evlúe l epresió 8
7 VIDEO Propieddes PROPIEDADES DE LOS RADICALES L siguiete tl es u resue de ls priciples propieddes de los rdicles Se h colocdo e el ldo derecho l propiedd escrit e otció co epoete rciol Ls deostrcioes so oitids, ells hce uso de l defiició de l ríz de u úero Propiedd Ejeplo Escritur e epoete frcciorio ) 8 9 9 / L ríz de u producto es el producto de ls ríces 8 8 Si es pr y es egtivo l propiedd o es válid ) 8 7 8 7 8 7 / / / / / 7 / / ( ) 8 / / ( ) De l tl y co lgú pso diciol se puede deostrr que ls propieddes de los epoetes se sigue cupliedo e el cso de epoetes frcciorios L últi propiedd se us pr evlur epresioes coo Oserve coo l poteci puede slir fuer del rdicl L riz de u poteci es l poteci de l ríz / ( ) Ejeplo - Evlúe ls siguietes ctiddes: ) 8000) 0, Solució: Pr relizr este ejercicio ás fácilete podeos itetr epresr los rdicdos coo producto o cociete de potecis últiplos del ídice de l ríz Si l epresió tiee epoetes egtivos, recuerde deshcerse del sigo del epoete o ie plicdo l defiició o lgu propiedd ) Descopoeos 8000 8 000 / ( 8000) ( 0 () / ( / ) / ) (0 / ) Se itet epresr cd fctor coo potecis co epoete últiplo del ídice de l ríz VIDEO 7 Cálculo de epresioes uérics co rdicles 0 0 0 ) Priero usos l defiició de epoetes egtivos 0, Escriios 0,, es u cociete de cudrdos perfectos 0, 00 Se us l propiedd del cociete de l ríz 00 00
8 Se siplific l frcció 0 8 L otció co epoete frcciorio os puede yudr evlur o siplificr epresioes co rdicles, vliedoos de ls propieddes de los epoetes E el ejeplo c se tiee u producto de ríces co distitos ídices Usdo ls propieddes de los epoetes podeos escriir l epresió co u solo rdicl Ejeplos - - l psrlo otció de epoetes frcciorios qued - se puede siplificr el ídice co el epoete Así pues c- se puede socir e u sólo riz otció co rdicles teeos que Ejercicio de desrrollo- Evlúe ls siguietes ctiddes: / ) 00 ; ) / 0, 07 ; c) 900 / / /, recuerde 0 / / / / / l psr VIDEO 8 Siplificció de epresioes co rdicles Se dice que u epresió co rdicles está siplificd si cotiee u solo rdicl y el rdicdo o cotiee fctores co epoetes yores o igules l ídice de l ríz Pr epresr el úero de er úic lguos utores cosider l for siplificd de u epresió si deás el rdicdo o cotiee frccioes y o hy rdicles e los deoidores Recuerd si el úero es u producto o cociete este dee teer u solo sigo rdicl E el siguiete ejeplo ostros coo usdo ls propieddes de los rdicles podeos siplificr l epresió Ejeplo 7- Usdo propieddes de rdicles, eprese cd u de ls siguietes coo u epresió co rdicles siplificd ) y ; ) 8 ; c) 8 Solució: ) El rdicdo o es u poteci, o podeos siplificr Aplicos l propiedd de l ríz de u producto: y y Ahor si podeos siplificr el segudo fctor y Se ció el orde de los fctores ) Descopoeos el epoete del rdicdo ídice de l ríz y el otro que coplete 8 8 coo u su de u tério igul l 8 Se plic l propiedd de l ríz de u producto Se siplific el ídice co el epoete e el prier rdicl
9 L epresió y está siplificd, oserve coo el epoete del rdicdo es eor que el ídice de l ríz c) Se plic l propiedd de l ríz de u producto de derech izquierd 8 8 Recuerd que cudo l epresió tiee rdicles, veces result uy cóodo psrlos otció co epoete frcciorios y siplificr l epresió usdo ls propieddes de epoetes Ejeplo 8- Siplifique ls epresioes dds Evite rdicles e su respuest, use epoetes positivos y y ; ) y Solució: Podeos, priero, psr ls epresioes co rdicles otció de epoete frcciorio ) y ) y ( y) y Se plic l propiedd de l poteci de u producto y y y Recuerde que este tipo de epresioes de productos, cocietes o potecis está siplificd si prece u sol vez cd fctor Pr siplificr est epresió se grup ls iss ses sudo los epoetes, pues es u producto ) y y / y / y y y El rdicl sólo fect l vrile Se plicó l propiedd de l poteci de u cociete Oserv coo se distriuye el epoete itero ultiplicdo etre los epoetes iteros Los epoetes so positivos coo pedí el ejercicio Ejercicio de desrrollo- Siplifique ls epresioes dds Evite rdicles e su respuest, use epoetes positivos: ) y / y ; ) ( y ) y E Cálculo, u discipli que se estudi e ls Mteátics uiversitris, es ecesri l reescritur de epresioes co epoetes y rdicles L siguiete ipulció es frecuete e Cálculo r Ejeplo 9- Escri coo c dode c es u úero rel y r u rciol Solució: U er de relizr el ejercicio es iterpretr l epresió coo el resultdo de u producto de u frcció uéric por u epresió que sólo depede de l vrile E este cso es clro que
0 Ahor se reescrie el rdicl e otció de epoete frcciorio Se ps l vrile l otro ldo de l frcció co epoete cido de sigo / / EJERCICIOS ) Clcule ls siguietes ríces Copruee su respuest ) ; ) ) Evlúe ls siguietes epresioes uérics: ) 7 ; ) ; ) ; 9 8 ) 0, 07 ; / ) ( 00) ; / ) ( 7000) ; 7) ( ) / ; 8) ; / 9) () ; / 0) (0,09) ; / ) ( 8000) ) Siplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos Evite rdicles 7 7 ) ; ) ; ) y y ; y ) 7) y y ; ) ; 8) 0) ) y ( ; ) y y ; ) ; y ; 9) ; ) y y ; y y ; y ) y ) y y y ) Usdo propieddes de rdicles, eprese cd u de ls siguietes coo u epresió co rdicles siplificd 9 ) y ; ) ; ) 8 7 y y ; ) ; ) y r ) Escri cd u de ls epresioes dds coo c dode c es u úero rel y r u úero rciol ) ; ) ; ) ; )
MANIPULACION DE EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS ORDEN DE JERARQUIA EN LAS OPERACIONES VIDEO 9 Orde de jerrquí de ls opercioes Evlució de epresioes uérics Ateriorete se estleció el orde de jerrquí de ls opercioes cudo e l epresió hy deliitdores, productos, cocietes, sus y rests E el cso que eist deás epoetes y rdicles estos se ejecut priero que los productos y cociete pero siepre se cosider priero los deliitroes ás iteros ORDEN DE JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ero - Se resuelve ls opercioes deliitds por los prétesis ás iteros do - Se ejecut ls potecis y rdicles de izquierd derech ero - Se cosider ls ultipliccioes y divisioes de izquierd derech to - Se resuelve ls sus y rests de izquierd derech Ejeplo - Evlur ls siguietes epresioes uérics: ) ; ) ; c) 7 Solució: ) Resolveos priero el prétesis plicdo l propiedd de l poteci de u cociete: 7 = 7 Se reliz ls potecis 8 = 7 7 Se reliz etoces l ultiplicció 8 7 7 Se procede co l difereci de frccioes Se siplificó 7 7 9 ) L epresió es u cociete Se clcul siultáeete el uerdor y el deoidor de cuerdo l orde de jerrquí E cd prte de l frcció se clcul priero ls potecis idicds, luego se ps resolver ls ultipliccioes 9 8 Se reliz ls diferecis de cd prte de l frcció 7 Se siplificó 0 c) L epresió es u cociete Podeos trjr siultáeete ls opercioes del uerdor y deoidor E el uerdor se reliz priero l rdicció, pr ello deeos resolver l operció idicd e el rdicdo de cuerdo l orde de jerrquí de ls opercioes
9 = Se to ríz e el uerdor y se reliz l rest e el deoidor 9 Ejercicio de desrrollo- Evlur l siguiete epresió uéric: 7 Tipificció de errores Error Coetrios / / / L propiedd o es co l su sio co l ultiplicció Los epoetes de igul se se su, o se ultiplic L poteci es l prier operció cosiderr, fect sólo Pr poder siplificr el rdicdo dee ser u poteci -ési ( ) ( ) VIDEO 0 Su de térios co rdicles Rciolizció L epresió es u su lgeric de rdicles o seejtes No se puede siplificr SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES NUMERICAS CON RADICALES Pr sur térios que cotiee rdicles hceos uso de l defiició de rdicles seejtes Se dice que dos rdicles so seejtes si tiee el iso ídice y el iso rdicdo Por ejeplo y 8 so dos rdicles seejtes Los úeros y 8 so coocidos coo los coeficietes de cd epresió Si teeos plted u su etre ellos podeos surlos, vliedoos de l propiedd distriutiv plicd e setido iverso, por ejeplo 8 8 Se dice que se scó riz de cico de fctor coú Coo se oservrá e el ejeplo, el proceso lo podeos siplificr sudo lgericete los coeficietes de los térios y colocdo l prte rdicl El proceso de siplificció de u epresió co rdicl yud e u su idetificr rdicles seejtes Recuerde que u epresió uéric co rdicles coo 0 está siplificd si o hy fctores cudráticos e el rdicdo Pr oteer l for siplific de 0 se puede fctorizr el rdicdo de tl er que prezc l eos u fctor cudrático e el
rdicdo: 0 Est últi es l for siplificd de ríz de 0 Si teeos ríces cúics etoces está fctorizd si o hy fctores cúicos e el rdicdo Otr ltertiv pr deterir l for fctorizd de u rdicl es fctorizr el rdicdo coo producto de fctores prios y epresr cd epoete coo u su de u tério igul u últiplo del ídice de l ríz ás otro úero que coplete el epoete, eor que el ídice Por ejeplo 7 8 Si os pide siplificr u su de térios co rdicles etoces priero siplificos cd tério co rdicl y luego suos térios co rdicles seejtes E el siguiete ejeplo preteete o hy rdicles seejtes, luego de l siplificció de los térios co rdicl prece rdicles seejtes que se puede grupr Oserve coo se reliz l su de térios co el iso rdicl: Se su lgericete los coeficietes, es decir el úero que ultiplic l rdicl y se escrie el rdicl Ejeplo - Siplificr l siguiete epresió uéric: 00 0 0 Solució: Siplificos cd terio co rdicl, coo so ríces cudrds, scos fctores cudráticos fctorizdo los rdicdos 00 0 0 = Se usc productos co l eos u fctor cudrático = 00 0 0 Se plic l propiedd de l ríz de u producto 00 0 0 = 0 0 0 Se reliz los productos idicdos = 0 0 0 Se su rdicles seejtes 0 RACIONALIZACION L epresió origil er u su de térios, hor está escrit coo u su de térios Si teeos u frcció dode e el deoidor prece u rdicl evetulete se puede reescriir l epresió si rdicles e el deoidor El proceso e que u frcció co rdicles e el deoidor se reescrie coo u epresió equivlete pero si rdicles e est prte de l frcció se deoi rciolizr el deoidor Si el deoidor es u ooio, es decir tiee u solo tério, el proceso de rciolizció es uy secillo U er es ultiplicr l frcció por, pero ese uo escrito coo el rdicl co el iso ídice sore ese iso rdicl El rdicdo es l poteci de l se co epoete u úero que coplete l epoete del otro rdicdo pr oteer u últiplo del ídice de l ríz Ejeplo - Rciolizr el deoidor e ls epresioes uérics dds: ) ; ) 9 7 Solució: ) Se usc copletr el ídice de l ríz 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ) El epoete del rdicdo del deoidor le flt pr copletr el siguiete últiplo del ídice de l ríz que es 9 9 9
/ / Oserv que e el deoidor quedó, el epoete se uscó pr quedrá etero positivo Ejeplo - Siplificr ls siguietes epresioes uérics: 7 8 ) ; ) Solució: ) Lo priero que se hrá es siplificr cd rdicl del uerdor, fi de idetificr térios seejtes Lo hreos descopoiedo e fctores prios 7 8 = = Se epres cd epoete coo u producto dode el epoete de uo de los fctores es últiplo del ídice = 0 = E el uerdor, suos rdicles seejtes = Este tipo de epresioes se suele epresr co el deoidor rciolizdo Recuerde que e el cso que eist u solo tério e el deoir se ultiplic y divide por u úero que coplete l poteci del ídice Así = Al ultiplicr oserv l ecesidd de prétesis ( ) = ( ( ) ) ) Podeos rciolizr el deoidor del segudo tério e pr idetificr clrete los rdicles seejtes Ahor se soci los dos prieros, pues result seejtes Tié se pudo relizr l su de frccioes y luego rciolizr el deoidor
Ejercicio de desrrollo- Siplificr ls siguietes epresioes uérics: 7 ) 8 ; ) ; c) 8 8 E cálculo es ie iportte llevr distits epresioes co rdicles otció co epoete frcciorio El proceso iverso tié se requiere E los siguietes ejeplos ostros coo psr de us fors otrs Ejeplo - Eliie los epoetes egtivos y los rdicles e ls siguietes epresioes: ) y ; ) y ; c) ( y) Solució: / / ) y (y) ; ) c) y y y ( y y y) ( / / y / y y) y / El prétesis e o se puede oitir, este idic y que l ríz se v plicr l epresió Se puede dejr coo e l prier lie o cotiur Al plicr l dole C se otiee el resultdo Ejeplo - Escri ls fors epoeciles dds e otr for co rdicles: / / ) ; ) ( ) Solució: / ) E l epresió, es l epresió que está elevd l ½ Así que covertios est epresió co epoetes frcciorios e u co rdicles / ) E este cso es ( ) que está elevdo l -/ Priero eliios el sigo eos, psdo l epresió l deoidor: / ( ) Ahor se escrie l poteci co epoete frcciorio ríz / ( ) Ejercicio de desrrollo- / ) Escri l for epoecil dd e otr for co rdicles: ; ) Escri l for dd e otr que use epoetes positivos, evite rdicles y epoetes egtivos:
EJERCICIOS ) Escri ls fors epoeciles e otr for que ivolucre rdicles / / ) ; ) / ; / ) ( ) ; / ) / ; / / / ) ( ) ; ) ; / / 7) ; 8) / ; / 9) ( ) ) Escri ls fors dds e otr que use epoetes positivos, evite rdicles y epoetes egtivos: ) ; ) ; ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; ) ; 7) ( ) ; 8) ; 9) ; 0) 0) ; ) ) Evlúe ls siguietes epresioes its: / 7 ) ; ) ; ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; ) 9( ) ; / 7) ( ) ; 8) 8 ; 9) ; 7 9 ; ) 9 ; ) ) Pr cd u de ls epresioes dds, rciolizr los deoidores Epresr l respuest siplificd ) 8 0 ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) 8 7 ) Siplificr ls siguietes epresioes uérics: 08 ) 8 7 ; ) ; ) 8 8 ( 8 ) ) 8 ; ) 8 ; ) 7) 000 08 ; 8) 8 ) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so verdders Justifique ) ( ) 9 ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; ) ( ) 8 ; ) ( ) ; 7) ( ) y y ; ; 8) ( ) 9
7 9) ( ) ( y) ( y) ; 0) ( ) 9 ; ) ( ) 8 ; ) ( ) 0 ; ) ( ) pr egtivo; ) ( ) / / / / ( ) 8 PRUEBA AUTOEVALUATIVA DE LOS CAPITULOS Y ) Pr los siguietes úeros ) Dig cuáles so turles, eteros, irrcioles, rcioles y reles ) Represete proidete e l rect rel i) ; ii) 7 ) Evlúe l epresió uéric: Eprese su respuest de er 7 siplificd ) Evlúe l epresió uéric: 00009 er siplificd / 7 Eprese su respuest de ) Siplifique l siguiete epresió No use rdicles i epoetes egtivos e su respuest y y ) Siplifique l siguiete epresió: 0 ) Evlúe 7) Escri l epresió co el deoidor rciolizdo 7 8) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so cierts y cules so flss Justifique 8) ( ) ( ) ; 7 8) ( ) / 8) ( ) 00,0 ; 8) ( ) Si 0 etoces 0 y 0 y y 8) ( ) 9) Escri coo r c dode c es u úero rel y r u rciol
8 PRUEBA AUTOEVALUATIVA DE DE LOS CAPITULOS Y ) Escri l siguiete epresió e otr for que ivolucre rdicles, o use epoetes / egtivos i frcciorios: ) Escri l for dd e otr que use epoetes positivos, o use rdicles o epoetes egtivos e su respuest: ) Evlúe l siguiete epresió uéric: siplificd 9 7 Eprese su respuest de er 7 ) Siplifique l epresió dd No use rdicles i epoetes egtivos e su respuest / ) Evlúe l siguiete epresió uéric Eprese su respuest de er siplificd 8 / 8 / ) Evlúe 80000 7) Siplifique l siguiete epresió: 8 8) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so cierts y cuáles so flss Justifique 8) ( ) es u uero irrciol 8) ( ) ; 8) ( ) ( y) ( y) ; 8) ( ) ( y) ( ) y 8) ( ) / 9) Siplifique l epresió: 8 Eprese l respuest co el deoidor rciolizdo
9 VIDEO TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE MATEMÁTICO Ls pliccioes de ls Mteátics requiere que el estudite eje l trducció del leguje verl l leguje lgerico usdo vriles E est secció dreos lgus estrtegis y ejeplos de cóo llevr est trducció Recuerde que l vrile represet u vlor: uchs veces u vlor cite, otrs veces u vlor descoocido que hy que deterir Se us u letr pr represetr l vrile E ocsioes, vereos, coo u ctidd es cid o se d u relció etre est ctidd y otr L iforció o descripció de los cios de u ctidd o l relció eistete co otr dee trducirse u leguje teático E los siguietes ejeplos se d epresioes verles que so llevds u epresió teátic Se tiee que reclcr que o se plte igu ecució, l epresió lgeric puede ser prte de u forul y l vrile e est situció es u vlor cite o puede ser tié prte de u ecució, dode podeos estr iteresdos e deterir el vlor de l vrile que hce ciert l iguldd, e este cso l vrile recie el ore de icógit Dreos cotiució u list de plrs o frses que so cruciles pr l trducció l leguje teático dode está evuelts ls opercioes de su, rest, producto y cociete SUMA: U úero uet e El uevo úero es + A se le ñde 8 El uevo úero es +8 L epresió ás que se trduce coo + RESTA: L difereci de co 0: El uevo úero es -0 A 0 se le quit El uevo úero es 0-0 eos que, se trduce coo -0 El úero disiuye e El uevo úero es - Si es yor que 00 El úero -00 es el ecedete de 00 PRODUCTO: El dole de se trduce coo veces El uevo úero es Tres quitos de u úero se epres e leguje lgerico coo DIVISIÓN: El cociete o rzó de etre : El úero dividido etre El uevo úero es Recuerd que el porcetje es todo sore u ctidd Por ejeplo el 0% de L ctidd e este cso es l vrile Pr clculrlo podeos plter u regl de tres y deducir 0 que el 0 % de es igul 0, 0 Norlete cudo teeos que clculr el % de y 00 relizos de u vez el producto 0, y El % de C se epres e terios lgericos coo 0,0C Recuerd siepre ultiplicr por l ctidd Heos ddo lgus trduccioes l leguje teático, e los ejeplos estrá ésts y otrs epresioes que so propis de l situció plted Ejeplo - Pr cd uo de los prtdos de este ejeplo escriireos u ctidd epresd e plrs coo u epresió lgeric e térios de l vrile p, dode p es el precio ctul de u rtículo ) El precio se uet e uiddes El uevo precio es p+
0 ) El precio se uet u % El ueto es p 0 p El uevo precio es 00 p 0p p ) L itd del precio es p / ) Al rtículo se le hce u rej de UM El uevo precio es p- c) U perso teí 0UM y copr el rtículo u precio de p Ahor le qued 0-p d) El triple del precio: p Veite veces el precio: 0p e) Se copr u doce de rtículos El vlor de los rtículos es p E el siguiete ejeplo vereos tié coo podeos epresr u ctidd descoocid e térios de otr Ejeplo - Se h l ltur de u rectágulo Escri cd u de ls siguietes ctiddes dichs e plrs e u epresio lgeric e térios de l vrile h: ) El cho es uiddes ás grde que l ltur El cho es etoces: h+ ) L ltur disiuye u % Etoces l ltur disiuye 00h L uev ltur es h 00h 0 9h c) L itd de l ltur es h / d) El cho es dos veces l ltur: h e) L ltur tiee dos uiddes ás que el cho: h El re, A, puede ser epresd e A h h terios de h Recuerde que Are=(lto)cho; sustituyedo qued h f) L rzó (el cociete) etre l ltur y el cho es Etoces De quí h Ejeplo - U perso v ivertir u ctidd de cpitl e u oo que pg el 9% de iterés ul y el dole de diero e otro oo que pg el % Escri e térios de ) El eeficio totl l co de u ño; ) El cpitl totl l co del prier ño de iversió Solució: ) El prier oo otedrá l co del ño por cocepto de itereses 0 9, el segudo oo otedrá 0 y el eeficio etre los dos oos será de 09 0 0 ) El cpitl totl l co de u ño es el cpitl iicil ás el iterés totl l co de u ño, e térios lgerico esto es 0 Ejercicio de desrrollo- ) U orero trj 8 hors e u serrdero De ese tiepo se dispodrá hors e pelr trocos Eprese el tiepo restte e térios de ) L ctidd de kilos de tote que produce u fic es q Otr fic produce % eos que l prier ) Eprese l producció e kilos de l segud fic e térios de l prier ) Eprese l producció totl e kilos de ls dos fics e térios de q c) L producció de u truchicultur es q kilos seles L de otr truchicultur es veces ás que l prier ) Eprese l producció sel e kilos de l segud truchicultur e térios de q ) Eprese l producció totl e kilos e térios de l prier MAGIA O MATEMÁTICAS? Piese u úero: Súele Clcule el triple de ese resultdo Réstele Quítele el úero origil que pesó Clcule l itd del úero terior Si le rest otedrá el úero origil que pesó
Veos l justificció Si represet el úero que se pies etoces ls opercioes so: Súele : El triple : Réstele : Quítele el úero origil que pesó: 9 8 8 L itd Si le rest otedrá el úero origil que pesó: EJERCICIOS ) Epresr e u leguje lgerico ) L distci etre dos ciuddes A y B es 0 k Se quiere costruir u estció de servicio etre ls dos ciuddes Si es l distci de A l futur estció Eprese l distci de l futur estció B e térios de ) Se c el costo de dquisició de u ever El coercite fij el precio de cuerdo l siguiete regl: Al costo de dquisició le su el costo de evío que es de 0UM por ever Luego l ctidd resultte l triplic Eprese el precio de vet de l ever e térios de c ) U cpitl de 000 se v ivertir e dos oos, uo que pg el % ul y el otro pg el % ul Si ivierte e el prier oo y lo deás e el otro oo Eprese el iterés totl geerdo l co de u ño ) Se p el precio rcdo e l etiquet de u pred de vestir L tied plic u rej del 0% sore el precio rcdo y luego sore este uevo precio se vuelve plicr u rej del 0% Eprese el precio del rtículo y rejdo e térios del precio de l etiquet ) U tied tiee u rtículo u precio p L otr tied tiee el iso rtículo UM ás cro Eprese el precio del rtículo e l segud tied e térios del precio de l prier ) U señor tiee dos truchiculturs co rediietos distitos E l prier truchicultur por cd iversió de UM se sc kilos de truchs, e l segud por cd UM se sc e proedio kg Si se hce u iversió totl de 000UM etre ls dos y represet l ctidd ivertid e l prier truchicultur Eprese ) l producció e kilos de l prier truchicultur; ) l producció e kilos de l segud truchicultur; c) l producció totl e kilos; d) Si l idustri tiee coo costure reglr kilos de truchs cudo hce u iversió de 000UM, epres l ctidd de kilos de truchs que tiee pr l vet 7) Se tiee u lote de 00 pe-driver Los prieros se vede UM cd uo, el resto se vede UM cd uo Eprese l vet totl e térios de 8) El precio del corte e u rerí es de 0UM A ese precio cude 0 clietes l se Se esti que por cd ueto de u uidd oetri e el corte dejrá de ir l rerí clietes ) Eprese el precio e tério de, úero de icreetos de u uidd oetri e el precio ) Eprese el úero de clietes l se e térios de 9) U orero hce u trjo copleto e hors Escri l frcció de trjo que relizrá e hors ) Cuáto d, e térios de, l siguiete sucesió de istruccioes? Justifique - Se u úero - Se le rest - A est ctidd se l ultiplic por - Al resultdo se le rest el triple del úero origil - Al úero oteido se le rest 0 - Clcule hor l itd ) Cree su propio truco pr divir u úero Justifique