TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10 Problema 1.- Se considera la ecuación x 3 + x + mx 6 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que: (i) Si m > 3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que. (ii) Si m < 3 la ecuación tiene al menos una raíz real mayor que. SOLUCIÓN Sea f(x) = x 3 + x + mx 6. Dicha función es continnua por ser polinómica, por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. (i) Si m > 3 consideramos el intervalo [0, ]. Entonces, f(0) = 6 < 0 f() = 6 + m > 0 = existe x 0 (0, ) tal que f(x 0 ) = 0. (ii) Si m < 3 consideramos el intervalo [, m], ya que m > 3. Entonces, f(0) = 6 < 0 f( m) = m 3 6 > 1 > 0 = existe x 0 (, m) tal que f(x 0 ) = 0. Problema.- Dar un intervalo en el que se pueda asegurar que existe una raíz de la ecuación x 1 = sen x.
SOLUCIÓN Sea g(x) = x 1 sen(x). La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. g(0) = 1 < 0 g(π) = π 1 > 0 = existe x 0 (0, π) tal que g(x 0 ) = 0. Problema 3.- Encontrar la raíz de f(x) = e x + x 3 con un error más pequeño que media décima.
SOLUCIÓN Sea f(x) = e x + x 3. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x 1 = 0 x = 1 f(x 1 ) = f(x ) = 0,7183 x 3 = x 1 + x = 0,5 = ε < 0,5 f(x 3 ) = 0,8513 x 3 = 0,5 x = 1 f(x 3 ) = 0,8513 f(x ) = 0,7183 x 4 = x 3 + x = 0,75 = ε < 0,5 f(x 4 ) = 0,1330 x 3 = 0,75 x = 1 f(x 4 ) = 0,1330 f(x ) = 0,7183 x 5 = x3 + x = 0,875 = ε < 0,15 f(x 5 ) = 0,739 x 3 = 0,75 x 5 = 0,875 f(x 4 ) = 0,1330 f(x 5 ) = 0,739 x 6 = x 3 + x 5 = 0,815 = ε < 0,065 f(x 6 ) = 0,066 x 3 = 0,75 x 6 = 0,815 f(x 4 ) = 0,1330 f(x 6 ) = 0,066 x 7 = x 3 + x 6 = 0,78575 = ε < 0,0315 f(x 7 ) = 0,00 La raíz de la función es 0.78575 con un error más pequeño que 0.0315.
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 0 Problema 1.- Se considera la ecuación x 3 3x + 1 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz. SOLUCIÓN Sea f(x) = x 3 3x+1. Dicha función es continnua por ser polinómica, por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. f(0) = 1 > 0 f( ) = 1 < 0 = existe x 0 (, 0) tal que f(x 0 ) = 0. Problema.- Dar un intervalo en el que se pueda asegurar que existe una raíz de la ecuación x 3 1 = arctan(x). SOLUCIÓN Sea g(x) = x 3 1 arctan(x). La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. g(0) = 1 < 0 g( 3) = 3 3 1 π/3 > 0 = existe x 0 (0, 3) tal que g(x 0 ) = 0. Problema 3.- Encontrar una raíz de f(x) = cos(x) x con un error más pequeño que media décima.
SOLUCIÓN Sea f(x) = cos(x) x. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x 1 = 1 x = 0 f(x 1 ) = 0,5403 f(x ) = 1 x 3 = x 1 + x = 0,5 = ε < 0,5 f(x 3 ) = 0,14 x 1 = 1 x 3 = 0,5 f(x 1 ) = 0,5403 f(x 3 ) = 0,14 x 4 = x 1 + x 3 = 0,75 = ε < 0,5 f(x 3 ) = 0,316 x 4 = 0,75 x 3 = 0,5 f(x 3 ) = 0,316 f(x 3 ) = 0,14 x 5 = x 4 + x 3 = 0,65 = ε < 0,15 f(x 5 ) = 0,061 x 5 = 0,65 x 3 = 0,5 f(x 5 ) = 0,061 f(x 3 ) = 0,14 x 6 = x 5 + x 3 = 0,565 = ε < 0,065 f(x 6 ) = 0,091 x 5 = 0,65 x 6 = 0,565 f(x 5 ) = 0,061 f(x 6 ) = 0,091 x 7 = x 5 + x 6 = 0,59375 = ε < 0,0365 f(x 7 ) = 0,0163 La raíz de la función es -0.59375 con un error más pequeño que 0.0315.
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 40 Problema 1.- Se considera la ecuación t + ln (t) = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz en el intervalo (0, + ). SOLUCIÓN Sea g(x) = t + ln (t). La función es continua en (0, + ) por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. g( 1 e ) = 1 + 1 e < 0 g(1) = 1 > 0 = existe x 0 ( 1 e, 1) tal que g(x 0) = 0. Problema.- Dar dos intervalos en el que se puedan localizar dos raíces de la ecuación x = x sin(x) + cos(x). SOLUCIÓN Sea f(x) = x x sin(x) cos(x). La función es continua en IR por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. f( π) = π + 1 > 0 f(0) = 1 < 0 f(0) = 1 < 0 f(π) = π + 1 > 0 = existe x 1 ( π, 0) tal que f(x 1 ) = 0. = existe x (0, π) tal que f(x ) = 0. Problema 3.- Encontrar una raíz de f(x) = sin(x) e x + con un error más pequeño que media décima.
SOLUCIÓN Sea f(x) = sin(x) e x +. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x 1 = 1 x = f(x 1 ) = 0,13 f(x ) = 4,4798 x 3 = x 1 + x = 1,5 = ε < 0,5 f(x 3 ) = 1,484 x 1 = 1 x 3 = 1,5 f(x 1 ) = 0,13 f(x 3 ) = 1,484 x 4 = x 1 + x 3 = 1,5 = ε < 0,5 f(x 4 ) = 0,5414 x 1 = 1 x 4 = 1,5 f(x 1 ) = 0,13 f(x 4 ) = 0,5414 x 5 = x 1 + x 4 = 1,15 = ε < 0,15 f(x 5 ) = 0,1779 x 1 = 1 x 5 = 1,15 f(x 1 ) = 0,13 f(x 5 ) = 0,1779 x 6 = x 1 + x 5 = 1,065 = ε < 0,065 f(x 6 ) = 0,0 x 5 = 1 x 6 = 1,065 f(x 1 ) = 0,13 f(x 6 ) = 0,0 x 7 = x 1 + x 6 = 1,0315 = ε < 0,0315 f(x 7 ) = 0,0534 La raíz de la función es 1.0315 con un error más pequeño que 0.0315.
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 30 Problema 1.- Se considera la ecuación x 4 + x x 1 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz. SOLUCIÓN Sea g(x) = x 4 +x x 1. La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Bolzano. g(0) = 1 < 0 g(1) = 1 > 0 = existe x 0 (0, 1) tal que g(x 0 ) = 0. Problema.- Dar un intervalo en el que se pueda localizar una raíz de la ecuación e t = t. SOLUCIÓN Sea g(t) = e t + t. La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. Podemos aplicar el Teorema de Bolzano a cualquier intervalo cerrado. g(0) = 1 < 0 = existe x 0 (0, 1) tal que g(x 0 ) = 0. g(1) = e 1 > 0 Problema 3.- Encontrar una raíz de f(x) = x + arctan(x) 1 con un error más pequeño que media décima.
SOLUCIÓN Sea f(x) = x + arctan(x) 1. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x 1 = 0 x = 1 f(x 1 ) = 1 f(x ) = 0,7854 x 3 = x 1 + x = 0,5 = ε < 0,5 f(x 3 ) = 0,0364 x 3 = 0,5 x = 1 f(x 3 ) = 0,0364 f(x ) = 0,7854 x 4 = x 3 + x = 0,75 = ε < 0,5 f(x 4 ) = 0,3935 x 3 = 0,5 x 4 = 0,75 f(x 3 ) = 0,0364 f(x 4 ) = 0,3935 x 5 = x 3 + x 4 = 0,65 = ε < 0,15 f(x 5 ) = 0,1836 x 3 = 0,5 x 5 = 0,65 f(x 3 ) = 0,0364 f(x 5 ) = 0,1836 x 6 = x 3 + x 5 = 0,565 = ε < 0,065 f(x 6 ) = 0,0749 x 3 = 0,5 x 6 = 0,565 f(x 3 ) = 0,0364 f(x 6 ) = 0,0749 x 7 = x 3 + x 6 = 0,5315 = ε < 0,0315 f(x 7 ) = 0,0196 La raíz de la función es 0.5315 con un error más pequeño que 0.0315.