6 Derivadas ACTIVIDADES INICIALES 6I Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Horizontal y que pase por el punto A(, ) b) Decreciente y que pase por el punto A(, ) c) Creciente y que pase por el origen d) Que pase por los puntos A(, ) y B(, 8) e) Paralela a y y que corte al eje X en el punto A(, 0) f) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que pase por el punto A(, 6) a) y d) y y 8 b) y e) y c) y f) y y 6II Dada la epresión A, calcula lna y epresa el resultado mediante sumas y restas de z logaritmos y ln A ln ln y ln z ln( y) lnz ln ln y lnz ln ln y lnz z 6III Transforma las siguientes epresiones en un solo logaritmo: ln a ln b a) log log a log b log c b) ln c a) log log a log b log c log log a log b log c log log b (log a log c) b) b log( b ) log( a c) log a c ln a ln b lnc lna ln b lnc ln a b c EJERCICIOS PROPUESTOS 6 La distancia recorrida por un autobús en los cinco primeros segundos desde que sale de una parada viene dada por la función f(t) t Qué velocidad llevará en el instante t segundos? La velocidad en el instante t es la tasa de variación instantánea en t : f( ) f() ( ) (6 ) v() TVIf() lim lim lim 6 m/s 0 0 0 t 6 La emisión diaria de gases, en toneladas, en una fábrica viene dada por la epresión n(t) (0 t) 8 con 0 t 0, estando t medido en oras Calcula la tasa de variación instantánea de n(t) para t oras 0 (0 ( )) n( ) n() () lim lim 8 8 lim 8 TVI n lim 0 0 0 0 0 6
6 Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa La pendiente de la recta tangente es f () f( ) f() ( ) ( ) 0 0 0 ( 7) f () lim lim lim lim lim( 7) 7 0 0 0 0 0 La recta pasa por el punto de tangencia A(, f()) A(, 0) La ecuación de la recta tangente es: y 0 7( ), es decir, y 7 6 Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) ( ), que es paralela a la recta de ecuación y 6 La pendiente de la recta tangente es 6 porque es paralela a y 6 Calculemos el punto de tangencia A(a, f(a)) El punto de tangencia debe cumplir que f (a) 6; por tanto: fa ( ) fa ( ) (( a ) ) (a ) 9a 9 8a a9a a f ( a) lim lim lim 0 0 0 (9 8a) lim 8a 0 Como 8a 6, a El punto de tangencia es A(, f()) A(, ) La recta tangente es y 6( ), es decir, y 6 6 Halla la función derivada de: a) La función constante: f() c c) f ( ) b) La función identidad: f() d) f ( ) f( ) f( ) cc a) f ( ) lim lim 0 0 0 f( ) f( ) b) f ( ) lim lim lim 0 0 0 f( ) f( ) ( )( ) c) f ( ) lim lim lim 0 0 0 ( ) lim lim 0 ( ) 0 f( ) f( ) ( ) d) ( ) lim lim f lim lim lim 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 66 Deriva las siguientes funciones: a)f() c) f() b) f() ( ) 7 d) f() ( ) a) ( ) ( ) ( ) 0 f ( ) 6 b) f ( ) 7( ) ( ) c) ( ) f ( ) ( ) ( ) d) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 7
67 Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f() g) f() 7 m) f() cos e s) f() sen 7 7 ( ) 7 b) f(t) (t ) 90 ) f() c) f(t) ( t ) 00 i) f(θ) e n) f() arctg t) f(θ) e θ sen θ e θ e y o) f() arctg u) f() d) f() e j) f(y) e p) f(z) tg e z v) f() tg ( cos ) e e z e) f(z) z e k) f(w) (w ) w e q) f() sen f) f(t) t cos t tg t l) f() cos r) f() cos (e ) a) f ( ) m) cos cos f ( ) e ( sen ) e sen b) 89 89 ( ) 90( ) 70 ( ) n) f t t t t t f ( ) ( ) ( ) c) f () t 00( t ) ( t ) 99 99 0 o) t t f ( ) arctg arctg ( ) d) f ( ) e z e p) f ( z) z cos e z z e z e e) ( ) z z f z q) z z e ze r) cos t cos t f) f ( t) cos t t( sen t) cost tsent f ( ) sen cos ( ) cos ( ) sen( ) f e e e g) f ( ) ln 7 6 7 7 7 6 6 7 7 s) f ( ) 7sen ( ) 7( ) 7 cos( ) 6 7 6 6 7 7 7 7 ( ) sen ( ) cos( ) ) e ( ) f ( ) e e ( ) ϑ ϑ t) f ( ϑ ) e senϑ e cos( ϑ) ϑ e (senϑ cos ϑ) ϑ ϑ ( e ) ( ) e i) f ( ϑ ) ϑ ϑ ( e ) ( e ) u) cos e (sen cos ) f ( ) e j) k) l) y e y f ( y) e e y v) w w w f ( w) w e (w ) e w e ( w w) sen f ( ) cos f ( ) cos cos 8
68 Hay algún número a para el que la función f sea derivable en? f() a si si > Para que sea derivable en, debe ser obligatoriamente continua en, aunque esto no sea suficiente Es continua en cuando los límites laterales en dico punto son iguales y coinciden con el valor de la función en el punto: lim f( ) lim ( ) lim f( ) lim a a f() Así pues, para que f sea continua en, debe ser a a La función es, por tanto, f( ) si si > Se estudia aora si esta función es derivable en La derivada de la función para distinto de es: si < f ( ) si > Para se observa que: lim f ( ) lim y f lim ( ) lim Como los límites laterales de la función derivada no coinciden en, f no es derivable en ese punto Por tanto, no eiste ningún a para el que la función sea derivable en 69 Utiliza diferenciales para aproimar e 0,0 Se considera la función f() e Hay que aproimar f( ) para Δ d 0,0 y 0 Así pues, f( ) f() f() d f() e, con lo que f(0) Por otra parte, f(0) Entonces, f(0 ) f(0) f(0) 0,0, es decir, f(0 ) 0,0,0 Se puede comprobar la aproimación obtenida con el valor de e 0,0 en la calculadora En ella, e 0,0,0000 Así pues, utilizando diferenciales, la aproimación es realmente buena 60 Calcula aproimadamente sen(0,0) cos (0,0) Se considera la función f() sen cos y se aproima f( ) para Δ d 0,0 y 0 La derivada de la función es f () cos 6 cos sen, de modo que f (0) El valor de la función en 0, f(0) Como la aproimación lineal es f(0,0) f(0) f (0) (0,0 0), se obtiene: f(0,0) 0,0,9 Se puede comparar la aproimación que se obtiene con el valor de la calculadora: sen (0,0) cos (0,0),997008 Por tanto, la aproimación es muy buena 9
EJERCICIOS Tasa de variación instantánea 6Sea la recta de ecuación f(), se pide: a) Calcula TVM f[, 7] b) Calcula TVI f() c) Calcula TVM f[a, a ] d) Calcula TVI f(a) e) Razona por qué se obtiene siempre el mismo resultado f (7) f () 9 ( ) a) TVM f [,7] 7 f( ) f() ( ) ( ) b) TVIf () lim lim lim 0 0 0 fa ( ) fa ( ) ( a ) (a) c) TVM f [ a, a ] a a fa ( ) fa ( ) ( a ) (a) d) TVIf ( a) lim lim lim 0 0 0 e) Las tasas de variación miden la pendiente de las rectas, en unos casos, de rectas secantes, y en otros, de rectas tangentes Como la función f() es una recta de pendiente, las tasas de variación valen 6Considera la función f ( ) Calcula la tasa de variación media de f() en el intervalo [, ] y, posteriormente, calcula la tasa de variación instantánea de f en ( ) () [, ] f f TVM f ( ) ( ) TVI f f( ) f() () lim lim 0 0 ( ) Derivada de una función en un punto Interpretación geométrica Función derivada 6Calcula la derivada, por definición, de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) f ( ) en b) f ( ) en c) f ( ) en a) b) c) f( ) f() ( ) ( ) ( ) ( ) f () lim lim lim 0 0 0 f ( ) f ( ) f ( ) lim lim 0 0 lim lim 0 ( ) 0 ( ) f( ) f() 9 ( 9 )( 9 ) f () lim lim lim lim lim 0 0 0 ( 9 ) 0( 9 ) 0 9 6Si la recta tangente a y f() en el punto (, ) pasa por el punto (0, ), calcula f'() La derivada f '() es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, ) y (0, ), es decir: f ( ) 0 0
6(TIC) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto indicado Comprueba a continuación tu respuesta, esbozando tanto la gráfica de la función como la de la recta tangente: a) f() en b) g ( ) en c) ( ) en 0 a) La pendiente de la recta tangente es: Y f( ) f() ( ) 0 ( 6) f () lim lim lim 6 0 0 0 f El punto de tangencia es A(, f()) A(, 0) O X La recta tangente es y f() f '()( ), o sea: y 0 6( ), es decir, y 6 8 b) La pendiente de la recta tangente es: Y f( ) f() ( )( ) f () lim lim lim 0 0 0 ( ) lim lim 0 ( ) 0 O g X El punto de tangencia es B(, f()) B(, ) La recta tangente es y f() f '()( ), o sea: y ( ), es decir, y c) La pendiente de la recta tangente es: f ( ) f (0) (0) lim lim f lim lim 0 0 0 ( ) 0 El punto de tangencia es C(0, f(0)) C(0, ) Y O X La recta tangente es y f(0) f '(0)( 0), o sea: y, es decir, y 66Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y trazadas desde el punto P(, ) Representa gráficamente la parábola y las dos tangentes obtenidas La pendiente de la recta tangente en el punto A(a, a ) es f (a) a La ecuación de la recta tangente a la parábola en ese punto es y a a( a), es decir, y a a Si queremos que pase por el punto P(, ), debe ser a a, cuyas soluciones son a y a, y las tangentes buscadas son: ( ) ( ) ( ) ( ) y y Y O f X
e) ( ) Derivada de las operaciones con funciones 67 Dadas las funciones f() y g(), calcula: g a) f () y g () c) ( f g) ( ) e) ( f ) ( ) g) ( ) f b) ( f) ( ) d) ( f g) ( ) f) ( f g) ( ) ) ( ) g a) f () y g () b) ( f) ( ) f ( ) 0 0 c) ( f g) ( ) f ( ) g ( ) d) ( f g) ( ) f ( ) g ( ) ( ) 9 f ( ) f( ) f ( ) ( )( ) f g ( ) f ( g ) ( ) f( g ) ( ) ( )( ) ( ) 9 0 f) ( ) g g ( ) f( ) g( ) f ( ) ( ) ( )( ) g) ( ) f f( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 g ( ) 0 ( ) g ( ) ( g ( )) 68Sabiendo que f(), f '(), g(), g'() y g'() 0, calcula: a) ( ) f g () c) ( g )() e) g () f b) ( f g) () d) ( ) n g f () f) ( f ) () f g f g g f a) ( ) () ( ()) () () f g () f( g()) f ( g()) g () f() f () 0 b) ( ) c) ( g ) g () () g() d) ( g f) () g ( f()) f () g () 0 0 f '( g()) f () e) g () ( g()) g'() g () f f f( g()) f() f () nf () f () n n n n n f) ( ) ( ) ( ) 69 Encuentra una fórmula para allar la derivada de F ( ) utilizando la regla de la cadena f ( ) F() es una función compuesta Si g( ), entonces: F() ( g f )( ) y, por tanto, aplicando la regla de la cadena y recordando que la derivada de g( ) es f ( ) g ( ), F ( ) g ( f( )) f ( ) f ( ) (( f )) (( f))
60 Calcula aplicando la regla de la cadena las derivadas de las siguientes funciones: a) f ( ) ( ) b) f ( ) a) ( ) ( ) ( ) f ( ) 8 b) f ( ) ( ) ( ) ( ) Derivada de las funciones elementales 6 Para qué valores de se anula la derivada de f( )? La derivada es f'() Para allar los valores de que la anulan, se iguala a 0 y se resuelve la ecuación: 0 ± 6 0 ± 6 Por tanto, se anula si o 6 Calcula la derivada de estas funciones: a) a) b) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) c) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) d) f ( ) ( ) 6Calcula la derivada de estas funciones (te será útil manejar las propiedades de los logaritmos): a) f ( ) ln c) f ( ) ln ( ) ln f ( ) ln ( ) b) ( ) f d) ( ) a) f ( ) ln ln ln ln f ( ) b) f ( ) ln( ) ln f ( ) c) f( ) ln f ( ) ln d) f ( ) ln ( ) [ ( ) ] ln( ) ln( ) f ( ) [ ] 6(PAU) Se considera la función f ( ) a b ln, siendo a y b parámetros reales Determina los valores de a y b sabiendo que f() y que la derivada de f() es nula en Como f() : a bln a Por tanto, a, y la función es f( ) bln b La derivada es f ( ) 6, y como se anula en : 0 f () 6 b Por tanto, b 6 Los valores de a y b para que se cumplan las condiciones son a y b 6
6Calcula la derivada de estas funciones: 7 a) f ( ) e c) f ( ) e e e b) f ( ) e d) f ( ) 7 a) f ( ) 7e c) f ( ) e e e e e e e f ( ) ( ) e b) e e f ( ) d) e e e e ( e ) f ( ) e f ( ) e e e 66(PAU) Calcula f'() siendo f la función dada por f ( ) 8, ( 0) 8 8 La función derivada es f ( ) 8, y entonces, f () 8 67(PAU) Calcula f'( 0, ) siendo f la función dada por f ( ) 0, ( 0) La función derivada es f ( ), y entonces, f ( 0,) ( 0,) 6 8 ( 0,) 68(PAU) Calcula la derivada de estas funciones: a) f( ) ln( ) ( ) ( ) ( ) a) f ( ) ( ) e b) g( ) e ( ) e e ( ) b) g ( ) ( ) ( ) 69(PAU) Deriva las funciones: a) f ( ) 8 e) f ( ) e i) f 6 ) ( b) f ( ) e f) f 6 ( ) e j) f ( ) 6 c) f ( ) ( ) g) f ( ) k) f ( ) ln ln d) f ( ) 8 ) f ( ) ln l) f ( ) ln ln a) f ( ) 6 g) ( ) f 6 (ln ) (ln ) b) f ( ) e e e ( ) ) f ( ) ln c) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 7 ) i) f ( ) ( ) d) f ( ) j) f 6 6 6 ) f ( ) 6 7 ( 6 e) f ( ) e k) f ( ) f) f ( ) e l) f( ) f ( )
60(PAU) Calcula g'() siendo g ( ) e La función derivada es g ( ) e 6e e ( 6), y entonces, ( ) g () e 8 6 0 e 8 6(PAU) Calcula la ecuación de la recta tangente a f ( ) en La derivada de la función es f ( ) 6, y la pendiente de la recta tangente es f ( ) 9 El punto de tangencia es A(, f( )) A(, ) Así pues, la recta tangente es y f( ) f ( ) ( ( )) y ( ) 9( ) y 9 6 (PAU) Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() a b en el punto (, ) sea la recta y Se sabe que f () porque es la pendiente de su recta tangente Como f ( ) a, entonces: f () a, de donde a La función es f ( ) b También se sabe que el punto (, ) pertenece a la gráfica de dica función; por tanto, f() : f () b, 7 7 y entonces, b Por tanto, a y b 6(PAU) Dibuja la parábola f() 6 8 a) En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? b) Halla la ecuación de la recta tangente a f() en el punto P(, 0) a) Para que la tangente sea paralela al eje de abscisas, su pendiente tiene que ser 0 Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto de tangencia, ay que encontrar el valor de que anula la primera derivada: f ( ) 6, y se anula si Entonces, el punto (, f()) A(, ) es el punto de la parábola cuya tangente es paralela al eje de abscisas b) La recta pedida es y 0 f () ( ), es decir, y ( ), o sea, y 6 Para qué valores de se anula la derivada de las siguientes funciones? a) f ( ) c) f ( ) e e) f ( ) g) f ( ) e b) f ( ) d) f ( ) ln( 7) f) f ( ) ) f( ) ln( a) f '() no se anula nunca ( ) 6 b) f ( ) no se anula nunca ( ) ( ) c) f ( ) e no se anula nunca d) f ( ) no sea anula nunca 7 e) f ( ) 6 se anula si ( ) ( ) 6 ( ) ( ) f) f ( ) se anula si 0 o si Y O 6 ) f X g) ) 6 f ( ) ( 6) e se anula si f ( ) se anula si, pero este valor no pertenece al dominio de la función, ya que da lugar al logaritmo de un número negativo Así pues, la derivada no se anula nunca
6(PAU) Dada la función f ( ) a b, calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (, ) y tenga tangente orizontal en dico punto Como f() a b Además, f () 0 y la derivada es f ( ) a ; entonces, 0 a Despejando, a Al sustituir el valor de a en la ecuación anterior se obtiene: b b Por tanto, a y b 66 Sean las funciones f ( ) y g ( ), alla la recta tangente a cada una de sus gráficas en el punto de abscisas Las derivadas son ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) y g ( ) Las tangentes son: y f() f () ( ), o sea, y ( ) ( ) y y g() g () ( ), o sea, y ( ) ( ) y Por tanto, las gráficas de estas funciones tienen tangente común en el punto (, ) Se dice entonces que esas gráficas son tangentes en el punto (, ) 67 Encuentra las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de la parábola f ( ) trazadas desde el punto eterior A(, 6) Para eso debes allar previamente los puntos de tangencia Sea el punto B(b, f(b)) B(b, b b ) el punto de tangencia La pendiente de la recta AB se puede calcular de dos formas distintas: Pendiente de la recta que pasa por dos puntos: ( ) ( ) f b f a b b ( 6) m ba b( ) Pendiente de la recta tangente en el punto B(b, b b ): m f ( b) b Igualando estas epresiones se calcula el valor de b: b b b b b b b b b b 0 b ± b 60 ± 8 Así pues, ay dos puntos de tangencia: B (, 8) y B (, ) Las pendientes de las rectas tangentes en estos puntos son: f ( ) ( ) f () () La tangente en B es: y f( ) f ( ) ( ( )), o sea, y 8 ( ) y 7 La tangente en B es: y f() f () ( ), o sea, y ( ) y 6
68Considera la función () f()g(), donde las gráficas de f y g son las que te damos a continuación: Y y g ( ) O y f ( ) X I a) Calcula ( ) y () b) Calcula aproimadamente f( ), f(), g( ) y g() c) Calcula aproimadamente ( ) y () II Con las mismas gráficas del apartado anterior, sea c() fg ( ( )) a) Calcula c( ) y c() b) Es c( ) positivo, negativo o cero? Eplica cómo puedes saberlo c) Es c( ) positivo, negativo o cero? Eplica cómo lo averiguas I a) ( ) f( )g( ) () f()g() 0 b) f( ), f(), g( ) 0 y g() c) () f( )g( ) f( ) g( ) 0 () f()g() f() g() ( ) 0 II a) c( ) f (g( )) f() 0 c() f(g()) f( ) b) c( ) f (g( ))g( ) f g( ) f es negativo (la tangente tiene pendiente negativa en ese punto), y g( ) positiva; luego c( ) es negativo c) c( ) f (g( )) g( ) f g( ) f ' es negativo (la tangente tiene pendiente negativa en ese punto), y g'( ) también; luego c'( ) es positivo 69(PAU) Se considera la función f ( ), siendo a y b parámetros reales a b Determina los valores de los parámetros a y b para los que f(), y la recta tangente a la gráfica de f() en 6 sea orizontal f ( ) a b a b ( a b) b La derivada de la función es f ( ) ( a b) ( a 6b) 6b Como se sabe que f(6) 0, entonces: 0 f (6) a 6b 0 a b 0 ( a 6b) a b a b Se resuelve el sistema obtenido: a b 0 a b 0 b a b Por tanto, a y b ( ) 7
Derivadas laterales 60Calcula las derivadas laterales en (si eisten) y decide si las funciones son derivables en a) f( ) ( ) ( ) si si > b) si f( ) si > ( ) ( ) ( ) f f 0 a) f ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 f f f ( ) lim lim lim 0 0 0 Como las derivadas laterales en coinciden, la función es derivable en ese punto y f() 0 ( ) ( ) b) f ( ) lim lim y f ( ) lim lim 0 0 0 0 La función no es derivable en Se observa que ni siquiera es continua en si 6A Rocío le an pedido que calcule, si eiste, f'(), siendo f la función: f( ) si > si < Ella trabaja así: calcula la derivada de la función para valores distintos de : f ( ) si > y concluye que como lim f ( ) y lim f ( ), entonces, f ( ) Dónde está el error que comete Rocío? El error de Rocío consiste en que no a estudiado primero si la función es continua en Su método sólo sería válido si la función fuera continua en Como se observa, lim f ( ) y lim f ( ) 6, lo cual indica que la función no es continua en y, por tanto, no es derivable en 6 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función en el punto indicado: 7 si < f( ) 7 si en Se estudia primero la continuidad en Hay que estudiar los límites laterales en dico punto y el valor de la función: lim f ( ) lim (7 ) lim f ( ) lim ( 7 ) f() La función es continua en, ya que lim f ( ) f () Y aora se estudia la derivabilidad en si < La derivada de la función para distinto de es: f ( ) 7 si > Para vemos que: lim f ( ) lim ( ) lim f ( ) lim ( 7) Como lim f ( ) lim f ( ), la función f es derivable en 8
a si 0 6 (PAU) Sea la función: f( ) b si > 0 Halla los valores de a y b para que sea continua y derivable en todo su dominio Como los polinomios son funciones continuas, solo falta estudiar qué ocurre en el valor 0 Para que la función sea continua en 0, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función: lim f ( ) 0 lim ( 0 a) a lim f ( ) 0 lim ( 0 b ) f(0) a Igualando los límites laterales se obtiene que para que f sea continua en 0 debe ser a La función es, por tanto: si 0 f( ) b si > 0 Como también a de ser derivable en 0, las derivadas laterales en dico punto deben ser iguales: si < 0 La derivada de la función para distinto de 0 es: f ( ) b si > 0 lim f ( ) 0 lim ( ) 0 lim f ( ) 0 lim ( b) b 0 Por tanto, para que f sea derivable en 0 debe ser b Entonces, f() es continua y derivable en R, si a y b 6Calcula las derivadas laterales de función en dico punto? Esboza su gráfica f ( ) en el punto Es la función derivable Y si < Se trata de una función definida a trozos: f( ) si f f( ) f() f ( ) lim lim lim 0 0 0 f( ) f() 6 f ( ) lim lim lim 0 0 0 O X Al no coincidir las derivadas laterales, la función no es derivable en 6Eplica por qué no eiste la derivada de f( ) 7 en Primero se define la función a trozos, estudiando qué valores de anulan el valor absoluto y para qué valores es positiva y para cuáles negativa: g ( ) 7, se ace cero si o si, es positiva si < o si >, y es negativa si < < < 7 si Así pues, la función es: f( ) 7 si, que es continua 7 si > en todo R La derivada para valores de distintos de y de 7 si < es: f ( ) 7 si < < 7 si > Y O f X Para : lim f ( ) lim ( 7) lim f ( ) lim ( 7) Como los límites laterales no coinciden, la función f no es derivable en También se puede deducir a partir de la gráfica de la función f( ) 7, en la que se observa que los puntos de abscisas y no admiten tangente, son puntos angulosos 9
66(PAU) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función si f( ) si > Como la función es polinómica en el interior de los tramos de definición, basta estudiar qué sucede en Continuidad en : Se estudian los límites laterales en dico punto y el valor de la función: lim f ( ) lim ( ) 0 lim f ( ) lim ( ) 0 f() 0 La función es continua en, ya que lim f ( ) f () Derivabilidad en : La derivada de la función para distinto de es: si < f ( ) si > Las derivadas laterales en : lim f ( ) lim lim f ( ) lim Como lim f ( ) lim f ( ), la función f no es derivable en Por tanto, la función es continua, pero no derivable en 67(PAU) Se sabe que la función f: [0, ] R dada por f() intervalo (0, ) y verifica que f(0) f() Cuánto valen a, b y c? En primer lugar, como f(0) f(), 0 c, es decir, c a b < si 0 c si es derivable en el La función es a b < si 0 f( ) si Como debe ser continua en, los límites laterales en dico punto deben ser iguales y además coincidir con el valor de la función: lim f ( ) lim ( a b ) a b lim f ( ) lim ( ) f() Así pues, para que f sea continua en, debe ser a b Para que sea derivable en, las derivadas laterales en ese punto deben ser iguales La derivada de la función para distinto de, 0 y es: a b si 0 < < f ( ) si < < lim f ( ) lim ( a b) a b lim f ( ) lim Así pues, para que f sea derivable en debe ser a b Con las ecuaciones obtenidas se plantea un sistema y se resuelve: a b a b a b a 8b b b a b Para que la función f cumpla las condiciones del enunciado, a, b y c 0
68(PAU) Dada la función: < a b si f( ) c si calcula a, b y c para que la función sea derivable en, sabiendo que f(0) f() La función debe ser continua, y para ello, los límites laterales en an de ser iguales y coincidir con el valor de la función en el punto: lim f ( ) lim ( a b) a b lim f ( ) lim c c f() c Entonces, a b c Para que sea derivable en, las derivadas laterales tienen que ser iguales Las derivadas de la función para distinto de son: a si < f ( ) c si > Las derivadas laterales en : lim f ( ) lim ( a) a lim f ( ) lim c c Como an de ser iguales, a c y, como f(0) f(), debe ser b c Con las tres ecuaciones se plantea un sistema: a b c a c b c c c c c c a 7 b Se cumplen las condiciones del enunciado para la función f si a 7, b, c Aproimación lineal de una función en un punto Diferencial de una función 69 Sabiendo que ln 0, 69, obtén la aproimación lineal de la función f ( ) log en y utilízala para obtener los valores aproimados de f() en,0,,9 y,9compara estos resultados con los obtenidos con la calculadora Qué ocurre a medida que nos alejamos del? ln f() log ln La aproimación lineal de una función f() es: f( ) f() f() d En este caso, para cada valor pedido, y d es 0,0, 0, y 0,9, respectivamente f() ; f() Entonces: f(,0) ln 0,0 ln f() 0, ln f(,9) ( ) ln 0,0 0,69,007 Con la calculadora se obtiene log,0,00790 0, 0,69 0,9786 Con la calculadora se obtiene log,9 0,99998 f(,9) 0,9 ln 0,9 0,69,69 Con la calculadora se obtiene log,9,609 A medida que nos alejamos del, la aproimación lineal va siendo peor
60Realiza una estimación lineal de la variación de la función f() al incrementar la de a, La aproimación lineal de una función f() es: f( ) f() f() d En este caso, y d es 0, 7 ( ) 8 f() f() f() ( ) ( ) 9 Entonces: 7 8 7 0,8,8 f(,) 0,, 9 9 9 6 En el dibujo se muestra un trozo de gráfica de cierta función f y la recta tangente a dica gráfica en el punto A(, ) Y O X Queremos calcular el valor de f(,0) y de f(,87), pero desconocemos la epresión analítica de la función f Ayudándote de la aproimación lineal y encontrando previamente la ecuación de la recta tangente, estima los valores de f(,0) y f(,89) La recta tangente en el punto A(, ) es y, es decir, y, cuya pendiente es, y, por tanto, sabemos que f '() L(,0) f() f () (,0 ), es decir: L(,0) ( ) (,0 ),9 L(,89) f() f () (,89 ), es decir: L(,89) ( ) (,89 ), 6 Obtén con la calculadora el valor de, y obtenlo también utilizando diferenciales Con la calculadora:,,007 Se considera la función f() Su aproimación lineal es:, f() f() 0, f() f() f() 80 Entonces:, 0,,007 80 6Obtén con la calculadora el valor de sen(0,) y obtenlo también mediante la aproimación lineal de y sen en a 0 Con la calculadora: sen(0,) 0,987 La aproimación lineal es: f( ) f() f() d, siendo 0 y d es 0, f(0) 0 f() cos f(0) Entonces: f(0,) 0 0, 0,
PROBLEMAS 6 El coste de producción de unidades viene dado por la función C ( ) 0,06, 7 En Economía, se llama coste marginal al coste ocasionado por la producción de una unidad suplementaria y se calcula allando la derivada en dico punto Halla el coste marginal al producir la unidad número 8 de las dos formas indicadas y después compara el resultado Es decir, calcula: C 80 C 80 a) ( ) ( ) b) C ( 80) Compara los resultados obtenidos a) C ( 80 ) C ( 80) C ( 8) C ( 80) 8, 6, 6 unidades monetarias b) La función derivada es C ( ) 0,, ; por tanto, ( 80 ) 0, 80,, Los resultados son bastante similares, difieren en cuatro centésimas C unidades monetarias 6Una partícula está recorriendo la curva y En cierto momento la abandona y comienza a desplazarse por la tangente trazada por el punto en el que abandonó la curva 9 En qué momento debe dejar la curva para que su trayectoria pase por el punto A,? Sea el punto B(a, f(a)) B(a, a ) donde la partícula abandona la curva y se dirige rectilíneamente acia el punto 9 A, La pendiente de la recta AB se puede allar de dos formas distintas: Pendiente de la recta que pasa por dos puntos: 9 a m a Pendiente de la recta tangente en el punto B(a, a ): m f ( a) a Igualando estas epresiones se obtiene el valor de a: 9 a 9 a a 8a a 9 a a 8a a a 9 0 a a ± 0 6 ± 0 a 8 8 a 69 La partícula deberá abandonar la curva en el momento en que pase por los puntos B, o B 9,, dependiendo del rumbo que lleve la partícula 66 La ancura de un rectángulo está creciendo a razón de cm/seg y su longitud está creciendo a cm/seg Cuánto crece por segundo el área en el instante en el que la ancura es 7 cm y la longitud cm? Si B(t) es la función que define la longitud de la base del rectángulo; H(t), la que define la altura, y A(t), la que define el área, A(t) B(t) H(t), y aciendo la derivada del producto: A(t) B(t) H(t) H(t) B(t) Como B(t) y H(t) para todo t, cuando B(t) 7 y H(t) se obtiene A(t) 7 cm /seg
67 El coste total de producción de q unidades de cierto producto viene dado, en euros, por la epresión C(q) q q 0 Una empresa produce en la actualidad un total de 0 unidades y estudia la posibilidad de aumentar la producción a 0, unidades Estima, utilizando la aproimación lineal, cuál será la diferencia de costes si se producen 0, unidades en lugar de 0 La aproimación lineal de la función es C(q 0,) C(q) 0, C(q) C '(q) q Para q 0: C(0) 60 C'(q) 0 C(0, ) 60 0, 0 60 0, Luego la diferencia de costes es de 0,0 euros 68 El propietario de una gasolinera observa que la demanda diaria de gasolina de 9 octanos, en miles de 0( ) litros, viene dada por la epresión f ( ), donde representa el precio, en euros, del litro de ( ) gasolina ese día a) Calcula la tasa de variación media de la demanda cuando el precio pasa de, a, euros b) Halla la tasa de variación instantánea de la demanda cuando el precio de la gasolina es de, euros a) f(,) f(,),978 6,067 TVM f [,;,], 0,, 0,0 litros b) La tasa de variación instantánea coincide con la derivada: TVI f (,) f (,) La derivada de la función: ( ) ( ) ( ) 0 0 0( ) f ( ) ( ) ( ) Entonces: TVIf (,) f (,), litros PROFUNDIZACIÓN 69El vértice de la parábola y a b es el punto (, ) Cuánto vale la función en? Como f(), a b a b En el vértice, la derivada es 0 Por tanto, f() 0 Como f '() a, entonces f '() a 0 a Sustituyendo en la primera ecuación: ( ) b b 6 Por tanto, la función es f() 6, y f( ) ( ) ( ) 6
660 Hay alguna pareja de números a y b para los que la función sea derivable en R? cos f ( ) a b si < 0 si 0 si > La función es continua en el interior de los dos primeros tramos de definición En el tercer tramo también es continua porque el valor de que anula el denominador no pertenece a su domino de definición del mismo Así pues, solo ay que estudiar qué ocurre en los valores de solapamiento 0 y Para que sea continua en 0, los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función: lim f ( ) 0 lim (cos ) 0 0 lim f ( ) 0 lim ( 0 a) a f(0) a Igualando los resultados obtenidos, a 0 cos La función es, por tanto, f ( ) b si < 0 si 0 si > Imponiendo la condición de continuidad en : lim f ( ) lim lim f ( ) b lim Igualando los resultados se obtiene que b b f() Por tanto, para los valores de a y b obtenidos, la función Aora se estudia si es derivable o no cos si < 0 f ( ) si 0 es continua en todo R si > La derivada de la función para distinto de 0 y de es: sen si < 0 f ( ) si 0< < si > ( ) Para 0: lim f ( ) lim ( sen ) 0 lim f ( ) lim 0 Así pues, la función es derivable en 0 y 0 0 0 0 f '(0) 0 Para : lim f ( ) lim, lim f ( ) lim Así pues, la función no es derivable en ( ) Por tanto, no eiste ninguna pareja de números a y b para los que la función f() sea derivable en todo R 66Considera la función f() p donde p es un cierto número real Escribe (en función de p) la ecuación de la tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa y determina posteriormente el valor de p para que dica tangente pase por el punto A(, 0) La ecuación de la tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa es: y f() f '()( ) f() p La derivada es f '() p, por lo que f '() p Entonces, la recta tangente a la gráfica de f() en es y ( p) ( p)( ), es decir, y ( p) Para que dica tangente pase por A(, 0) debe cumplirse que: 0 ( p) 6 p 0 p
66Halla los valores de la constante k para que las rectas tangentes a las funciones f() y g() ( k) en el punto de abscisa sean paralelas Son paralelas si f '() g'() La derivada de f() es f '() f '() La de g() es g'() k g'() k Como an de ser iguales, k k Solo ay un valor de k que cumple la condición a b 66 Eisten números reales a y b para los que la tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa 0 sea la recta y? b El punto de tangencia es A(0, 0 ) A(0, ) Así pues, f(0) y, por tanto, f (0) b b La función sería: f a ) ( Por otro lado, f '(0), ya que es la pendiente de la recta tangente y La derivada de la función es: (9 a)( ) ( a ) a f ( ), entonces: f (0) a a ( ) Los valores de a y b que cumplen la condición son y, respectivamente 66Calcula la derivada de la función f() obtén las derivadas de g() y t() y, posteriormente, y sin utilizar la derivada del cociente, La derivada de la función f ( ) es: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Llamando ( ), g( ) ( f )( ), cuya derivada se calcula aplicando la regla de la cadena: g ) f ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( De manera análoga, llamando u ( ), t( ) ( f u)( ) : ( ) ( ) ( ) t ( ) f ( u( )) u ( ) cos 66Calcula f(0) sabiendo que f() [ g ) ] ( y que g(0) g(0) e cos ln [ g( ) ] cos ln [ g( ) ] Ayuda: para calcular f() escribe f( ) e e Teniendo en cuenta la última epresión de f(), cos ln[ g( ) ] f ( ) e, su derivada es: g ( ) f ( ) sen ln g( ) cos e g ( ) [ g ] cos ln ( ) Sustituyendo por 0, se obtiene: g (0) cos0 ln g(0) e f (0) sen0 ln g(0) cos0 e e e g(0) e 6
666Se considera la función: f() e si 0 si > 0 a) Es continua en 0? b) Es derivable en 0? c) Cuál es el mínimo valor que toma esta función? Para qué valor de lo toma? a) Es continua en 0 si los límites laterales en ese punto son iguales y coinciden con el valor de la función: lim f ( ) lim ( e ) 0 lim f ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 f(0) 0 La función es continua en 0, ya que lim f ( ) f (0) 0 b) Es derivable en 0 si las derivadas laterales en ese punto eisten y coinciden La derivada de la función para distinto de 0 es: Las derivadas laterales son en 0: e si < 0 f ( ) si > 0 0 lim f ( ) lim ( e ) lim f ( ) lim ( ) 0 0 0 Como lim f ( ) lim f ( ), la función f no es derivable en 0 0 0 c) La función es siempre mayor o igual que 0 y solo vale 0 si 0, luego el mínimo de la función es el punto O(0, 0) 667Encuentra las tangentes comunes a las parábolas y, y ( ) ( ) La ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa a es: y a a ( a) y a a La ecuación de la recta tangente a la curva y 6 en el punto de abscisa b es: y ( b 6b ) ( b 6)( b) y ( b 6) b Para que sean la misma recta deben tener la misma pendiente y la misma ordenada en el origen Por tanto: a b 6 a b Resolviendo el sistema: a b ( b ) b b 6b 9 b b 6b 0 b b 0 b a y b a Las tangentes comunes son y e y 668 Determina todas las funciones f de la forma f() a b c d con a 0, y que verifica f( ) f() 0 Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifican f(0) f()? Se deriva f() y se obtiene f '() a b c f '( ) a ( ) b ( ) c a b c 0 f '() a b c a b c 0 Como f '( ) debe coincidir con f() a b c a b c b 0 Sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores se obtiene c a Las funciones que verifican estas condiciones son de la forma f() a a d Si además f(0) f(), debe ser d a a d a 0 Por tanto, no eiste ninguna función con esa epresión que cumpla las condiciones deseadas 7
669En la siguiente ilustración se representa la gráfica de la función derivada f de una cierta función f : [0, ] R Y y f () O X a) Halla una epresión algebraica de f sabiendo que f(0) 0 b) Eiste f? si 0 a) La derivada es f ( ), luego la función es si < Como f(0) 0, a 0, y como f es derivable, debe ser continua f( ) a si 0 si b < Para que sea continua en, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con f lim f ( ) lim ( ) f ( ) lim lim ( b) b f Igualando los resultados: b b Entonces: f( ) si 0 < si b) No, pues la función derivada no es derivable en 670La tangente a la curva y f() en el punto P(, f()) pasa también por el punto Q(, 0) Si f (), calcula f() La pendiente m de la recta tangente que pasa por (, f ()) f () 0 f () m f () ( ) P y Q(, 0) debe ser igual a f() : 67Obtén con la calculadora sen(0,0) y compáralo con el resultado obtenido por la aproimación lineal de y sen en a 0 Con la calculadora en radianes: sen(0,0) 0,099986 Se considera la función f() sen, y se realiza una aproimación lineal de la misma para a 0 y 0,0: L(0,0) f(0) f '(0) (0,0 0) L(0,0) sen 0 cos 0 (0,0 0) 0,0 La aproimación es muy buena 8
RELACIONA Y CONTESTA Elige la única respuesta correcta en cada caso: 6 Sean f y g funciones derivables definidas en R A) Si f() > f(), entonces f ''() f ''() B) Si f () g () para todo real, entonces f() g() 0 C) Si g() f( ), entonces g '() f '( ) f ( ) f () D) Si lim, entonces lim f ( ) f ( ) E) Si f '() para todo, no ay ningún punto en la gráfica de (f f)() con tangente paralela a la recta y La respuesta correcta es la E, puesto que (f f)'() f '(f()) f'() : para que la recta tangente a la curva sea paralela a la recta y, su derivada debe ser igual a, pero la derivada es mayor o igual que y, por tanto, es imposible que eso ocurra 6 Considera la función f() sen A) Eisten números tales que f () > B) Hay algún punto de la gráfica en el que la tangente es paralela a la recta y C) f () f() para todo real D) La tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0 es la recta y E) Nada de lo anterior es correcto La respuesta correcta es la B 6 Sea f() la función dada por f() ( )( ) y sea g() ln f() A) g es positiva en su dominio de definición B) La recta tangente a g() en el punto de abscisa es paralela a y C) lim g( ) D) D(g) (, ) E) La gráfica de g nunca corta al eje orizontal La respuesta correcta es la D, ya que f() es positiva en el intervalo (, ) Señala en cada caso las respuestas correctas: 6 Sea f la función definida en (, ] mediante la fórmula f(), y T, la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0 A) Para todo < es f () B) Para todo de (, ) se verifica f '() > 0 C) La ecuación de T es y D) La gráfica de f presenta un único punto con tangente orizontal E) Si < a < b <, entonces f(b) < f(a) Son correctas las afirmaciones A, C, D y E 9
6 Sea la función f() definida en R A) Como g() no es derivable en 0, f() tampoco lo es B) Para todo real, f '() C) f '() 0 D) f '() si 0 E) Si < 0, f '() g '() 0 siendo g() Es correcta la afirmación E 66 Sea f una función derivable en (0, ) verificando g() 0 y g '() A) La pendiente de la tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa es B) La función definida por f() g() admite por derivada f '() C) La función () g( ) verifica '() D) Si t(), la derivada de g t en cada punto verifica (g t)'() E) Cuanto mayor es, más próimas a la orizontal son las tangentes a g() Son correctas las afirmaciones A, D y E 67 Sea f() f ln e A) ( ) ( ) ln B) f ( ) ( ) C) f ( ) ( ) 0 lim D) f ( ) ln 0 E) lim f ( ) 0 Son correctas las afirmaciones C y D Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 68 Sea f una función derivable y g() f () a) La tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta y b) La gráfica de f() pasa por el origen A) b a, pero a / b B) a b, pero b / a C) a b D) a y b se ecluyen entre sí E) Nada de lo anterior La respuesta correcta es la B, puesto que si f(0) 0, g '(0) f(0) f '(0), pero no es cierto lo contrario, ya que podría ser f (0) 0 60
Señala el dato innecesario para contestar: 69 Nos planteamos si la tangente a la curva y a b c d en el punto de abscisa corta a la recta y, y nos dan estos datos a) Valor de a b) Valor de b c) Valor de c d) Valor de d A) Puede eliminarse el dato a B) Puede eliminarse el dato b C) Puede eliminarse el dato c D) Puede eliminarse el dato d E) No puede eliminarse ningún dato La respuesta correcta es la E Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión: 60Calcula la ecuación de la tangente a la curva f() a g(), en 0 con a real y g una función definida en R a) a b) g es derivable en 0 A) Cada información, a y b, es suficiente por sí sola B) a es suficiente por sí sola, pero b no C) b es suficiente por sí sola, pero a no D) Son necesarias las dos E) Faltan más datos La respuesta correcta es la C 6