1. Derivadas de funciones de una variable. Reca angene. Derivadas Vamos a ver en ese capíulo la generalización del concepo de derivada de funciones reales de una variable a funciones vecoriales con varias variables basada en la inerpreación de la derivada como la pendiene de la reca angene a la gráfica de una función en un puno. Para una función f : (a, b) R se define la derivada en un puno 0 (a, b) como el ĺımie f() f( 0 ) lim = f ( 0 ) 0 0 f() (, f()) ( 0,f( 0 )) f( 0 ) α α 0
Derivadas Geoméricamene, los cocienes f() f( 0) = an α son las pendienes de las recas secanes a la gráfica de f por los punos ( 0, f( 0 )) y (, f()). La exisencia de la derivada se 0 inerprea como la exisencia de una posición ĺımie de las recas secanes, cuando iende a 0, que es la reca de pendiene an α = f ( 0 ). Esa reca ĺımie de las secanes es por definición la reca angene a la gráfica de f en 0, o mejor dicho, en ( 0, f( 0 )), y su ecuación será y = f( 0 ) + f ( 0 )(x 0 ) Esa definición de la reca angene se generaliza de forma inmediaa a funciones vecoriales de una variable: Sea F : (a, b) R m, y 0 un puno de (a, b). Para oro puno (a, b) podemos esudiar la reca secane a la imagen de F que pasa por F ( 0 ) y por F (). Si esas recas ienden a una posición ĺımie cuando iende a 0, ésa será la reca angene a la imagen de F en F ( 0 ).
Derivadas 0 F F () F ( 0 ) Un vecor direcor de la reca secane que pasa por F ( 0 ) y por F () sería F () F ( 0 ), pero ese verificaría, si F es una función coninua, que el ĺımie cuando iende a 0 es cero. Consideramos enonces los vecores F () F ( 0), que ienen la misma dirección, ya que son 0 proporcionales a los aneriores.
Definición (Derivadas de funciones de una variable. Reca angene.). Sea F : (a, b) R m y 0 (a, b). Se define la derivada de F en 0 como Derivadas F ( 0 ) = lim 0 F () F ( 0 ) 0 R m si ese ĺımie exise. Se llama reca angene a la imagen de F en F ( 0 ) a la reca que pasa por F ( 0 ) y iene vecor direcor F ( 0 ). Su ecuación, en forma paramérica, es x = F ( 0 ) + λf ( 0 ) (donde x es un vecor de R m ) Observaciones: λ R 1) Si escribimos las componenes de F, F = (f 1,..., f m ), f i : (a, b) R enonces ( F () F ( 0 ) f1 () f 1 ( 0 ) =,..., f ) m() f m ( 0 ) 0 0 0 y por ano, si exise la derivada de F en 0, será F ( 0 ) = (f 1( 0 ),..., f m( 0 ))
En paricular, por ejemplo para que F sea derivable, cada componene f i debe ser derivable, y por ano coninua, luego F ienen que ser coninua en 0 Derivadas 2) Volvamos a considerar funciones reales f : (a, b) R. La gráfica de f se puede describir como la imagen de la función F : (a, b) R 2 definida por F () = (, f()). F f() (, f()) a b Aparenemene endríamos dos definiciones de la reca angene a la gráfica de f en ( 0, f( 0 )): por un lado, a b y = f( 0 ) + f ( 0 )(x 0 ) y por oro lado (x, y) = F ( 0 ) + λf ( 0 )
Pero susiuyendo en esa ecuación F ( 0 ) y F ( 0 ) por su valor, (x, y) = ( 0, f( 0 )) + λ(1, f ( 0 )) Derivadas es decir x = 0 + λ y = f( 0 ) + λf ( 0 ) de donde despejando λ en la primera ecuación y susiuyendo en la segunda se obiene de nuevo la misma ecuación de la reca angene que ya eníamos. Ejemplo 1. Trayecorias: Uno de los ejemplos más uilizados de ese ipo de funciones vecoriales son las rayecorias: cuando un cuerpo se mueve por el plano o por el espacio, podemos represenar su rayecoria mediane una función del iempo, que nos indique en cada insane la posición del móvil, mediane sus coordenadas, F : (a, b) R 2, F () = (x(), y()), o F : (a, b) R 3, F () = (x(), y(), z()). En esos casos, el vecor F () represena la velocidad del móvil en el insane, y su norma F () es la magniud de la velocidad (unidad de longiud enre unidad de iempo) Si el móvil que describe la rayecoria F () se libera de la fuerza que lo guía por ella en un insane 0, en ese momeno coninuaría su movimieno por la reca angene a la curva F ()
en el puno F ( 0 ), y con velocidad consane F ( 0 ). La ecuación de esa nueva rayecoria a lo largo de la reca angene es Derivadas G() = F ( 0 ) + F ( 0 )( 0 ), > 0 F ( 0 ) F ( 0 ) Ejemplo 2. Hallar la velocidad a que se mueve un puno fijo en el borde de un disco de radio R que rueda sobre una reca, sabiendo que la velocidad a que se desplaza el cenro del disco es V m/seg. En qué punos la velocidad es cero?
2. Derivadas direccionales. Reca angene en una dirección. Derivadas Consideremos ahora funciones reales de dos variables, f : R 2 R El concepo de derivada que hemos definido anes no iene senido en ese caso, ya que no se puede definir la proporción enre la variación de f y el crecimieno de la variable. El cociene f() f( 0 ) 0 no iene senido, ya que el denominador es un vecor. Lo que sí podemos hacer es, de forma semejane a las écnicas de cálculo de ĺımies de funciones de varias variables, escoger una dirección en el dominio de f y esudiar el comporamieno de la función al movernos sólo en esa dirección. A parir de un puno x 0 R n, escogemos un vecor v R n, v 0, y consideramos la función f sobre la reca que pasa por x 0 y iene dirección v, f(x 0 + v) = g(). Eso define una función g de una variable, con g(0) = f(x 0 ), y iene senido esudiar si es derivable en = 0. Se llama derivada direccional de f en x 0 en la dirección de v a d v f(x 0 ) = lim 0 f(x 0 + v) f(x 0 ) = g (0)
Derivadas f(x 0 ) f(x 0 + v) x 0 v x = x 0 + v El hecho de que esa derivada exisa se raduce mene en el hecho de que la gráfica de f enga en el puno (x 0, f(x 0 ) una reca angene en la dirección del vecor v. Para enender el significado geomérico de ese número, consideremos el plano verical que coniene a la reca x 0 + v, a la gráfica de f sobre esa reca, a las secanes y a la reca angene.
Derivadas f(x 0 ) f(x 0 + v) x 0 v x = x 0 + v f(x 0 + v) f(x 0 ) α α x 0 v x 0 + v La pendiene de la reca secane que pasa por (x 0, f(x 0 )) y por (x 0 + v, f(x 0 + v)) es el cociene an α = f(x 0 + v) f(x 0 ) v y su ĺımie cuando iende a cero es la pendiene de la reca angene an α = lim 0 an α = lim 0 f(x 0 + v) f(x 0 ) v = 1 v d vf(x 0 )
Derivadas Es decir, la derivada direccional d v f(x 0 ) es el produco de la norma del vecor v por la pendiene de la reca angene a la gráfica de f en x 0 en la dirección de v. Si v = 1, el número d v f(x 0 ) es jusamene la pendiene de la reca angene a la gráfica de f en x 0 en la dirección de v (la angene del ángulo que forma la reca con el plano horizonal) Por ano un vecor direcor de la reca angene será ( v, d v f(x 0 )) R n+1. La ecuación de la reca angene a la gráfica de f en ( x 0, f(x 0 )) en la dirección de v queda enonces ( x, x n+1 ) = ( x 0, f(x 0 )) + λ( v, d v f(x 0 )), (λ R) En el caso n = 2, (x, y, z) = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) + λ(v 1, v 2, d v f(x 0, y 0 )) Resumiendo, enemos la siguiene definición: Definición (Derivadas direccionales). Sea U un abiero de R n y f : U R. Sea v R n un vecor no nulo. Se define la derivada direccional de f en un puno x 0 de U en la dirección de v como d v f(x 0 ) = lim 0 f(x 0 + v) f(x 0 ) si es que ese ĺımie exise. R
Derivadas La definición de las direccionales se puede hacer para el caso general de funciones vecoriales de la misma manera: Definición (Derivadas direccionales de funciones vecoriales). Sea U un abiero de R n y F : U R m. Sea v R n un vecor no nulo. Se define la derivada direccional de F en un puno x 0 de U en la dirección de v como d v F (x 0 ) = lim 0 F (x 0 + v) F (x 0 ) R m si es que ese ĺımie exise. Por las propiedades de los ĺımies, si F = (f 1,..., f m ), enonces d v F (x 0 ) = (d v f 1 (x 0 ),..., d v f m (x 0 )) Ejemplo 3. Hallar la derivada direccional en (0, 0), de la función { x 2 y si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0 si (x, y) = (0, 0) en la dirección de los vecores v = (1, 1) y w = (2, 1) v, Esudiamos la función f sobre los punos de la reca que pasa por (0, 0) y iene vecor direcor g() = f((0, 0) + (1, 1)) = f(, ) = { 3 2 2 si 0 0 si = 0 = 2
Derivadas Enonces y d v f(0, 0) = g (0) = 1 2 En la dirección de w enemos g() = f((0, 0) + (2, 1)) = f(2, ) = 43 5 = 4 2 5 d w f(0, 0) = 4 5
3. Derivadas Enre las direccionales de una función, juegan un papel fundamenal las en las direcciones de los ejes de coordenadas: Definición (Derivadas Parciales). Sea U un abiero de R n, y f : U R. Se llama derivada parcial i-ésima de f en un puno x 0 de U a la derivada de f en x 0 en la dirección del vecor e i de la base canónica de R n, y se escribe df f(x 0 + e i ) f(x 0 ) (x 0 ) = d ei f(x 0 ) = lim dx i 0 Si F es una función vecorial, F : U R m, la definición es análoga, aunque el resulado será un vecor de R m df F (x 0 + e i ) F (x 0 ) (x 0 ) = d ei F (x 0 ) = lim dx i 0 R R m Uilizando las componenes de F, df dx i (x 0 ) = ( df1 dx i (x 0 ),..., df m dx i (x 0 ) )
Los vecores e i ienen norma uno, así que para funciones reales f : U R esas son las pendienes de las recas angenes a la gráfica de f en x 0 en las direcciones de los ejes de coordenadas. Derivadas f(x 0 ) x 0 e 1 e 2 Si esas exisen, es decir, si exisen esas recas angenes, sus vecores direcores ( e i, df dx i (x 0 )) son linealmene independienes. En el caso de funciones de dos variables, eso significa que deerminan un plano, cuya ecuación
Derivadas sería es decir (x, y, z) = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) + λ(1, 0, df dx (x 0, y 0 )) + µ(0, 1, df dy (x 0, y 0 )) x = x 0 + λ y = y 0 + µ z = f(x 0, y 0 ) + λ df dx 0, y 0 ) + µ df dy 0, y 0 ) o simplemene, despejando λ y µ en las dos primeras ecuaciones, y susiuyendo en la ercera, z = f(x 0, y 0 ) + df dx (x 0, y 0 )(x x 0 ) + df dy (x 0, y 0 )(y y 0 ) Pariendo de la idea de la relación enre derivada y reca angene en el caso de funciones de una variable, se planea ahora si hay un plano angene a la gráfica de f en x 0. Para ello no basa que exisan las dos recas angenes en las direcciones de los ejes, y por ano que deerminen un plano; haría fala que exisieran odas las recas angenes en odas las direcciones, y que odas esuvieran conenidas en el mismo plano. Hay que enconrar una condición anaĺıica que exprese esa propiedad.
Derivadas Esa función no iene plano angene en (0, 0, 0) En el caso de funciones de una variable, podemos volver a expresar la relación enre la derivada y la reca angene de la siguiene forma: f : (a, b) R derivable en x 0, equivale a que lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 )
Derivadas lo que a su vez equivale a que f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim x x0 f(x) y(x) x x 0 = 0 donde y(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) es la ecuación de la reca angene a la gráfica de f en x 0. En el caso de funciones de dos variables, para que el plano generado por las recas angenes en las direcciones de los ejes sea de verdad un plano angene a la gráfica de f en x 0 se necesia que f(x, y) f(x 0, y 0 ) df lim (x dx 0, y 0 )(x x 0 ) df (x dy 0, y 0 )(y y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) Esa fórmula se puede generalizar para funciones vecoriales de n variables, buscando la ecuación de un subespacio afín de dimensión n en R m, que pase por F ( x 0 ) que sea angene a F. La ecuación del subespacio es de la forma x = F ( x 0 ) + L( x x 0 ), donde L : R n R m es una aplicación lineal, y la condición de que sea angene es que F ( x) F ( x 0 ) L( x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0 Esa condición dará lugar a la definición de las funciones diferenciables, que veremos en el siguiene capíulo. = 0
Ejemplo 4. Calcular las parciales en el origen de la función Derivadas f(x, y) = { x 3 x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
En la dirección del eje x, Derivadas df f((0, 0) + (1, 0)) f(0, 0) (0, 0) = lim dx 0 = lim 0 En la dirección del eje y 3 2 +0 0 3 = lim 0 = 1 3 df f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lim dy 0 = lim 0 0 0 = lim 0 f(, 0) f(0, 0) Ejemplo 5. Calcular las parciales de f en (0, 0), y en un puno cualquiera (x, y) f(x, y) = (x 2 + y 2 ) sen(x) cos(y) Para calcular las parciales de f en (0, 0) podemos uilizar cualquiera de los méodos de cálculo que hemos viso en el capíulo anerior: Podemos calcular df f((0, 0) + (1, 0) f(0, 0) (0, 0) = lim dx 0 0 0 = lim = 0 0 = 0 = lim 0 f(, 0) f(0, 0) = =
O podemos definir la función g() = f((0, 0) + (1, 0)) = f(, 0) y calcular Derivadas df dx (0, 0) = g (0) En ese caso y g() = 2 sen() g () = 2 sen() + 2 cos() de donde se deduce g(0) = 0. Análogamene df f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lim dy 0 = lim 0 0 0 Para calcular las parciales en un puno (x, y) cualquiera, es más cómodo uilizar el siguiene méodo: Para calcular la derivada de f respeco de x en (x, y) hay que esudiar el comporamieno de f sobre la reca horizonal que pasa por (x, y), es decir, consideramos la función = 0 h(x) = f(x, y)
Derivadas con y consane. Enonces df dx (x, y) = h (x): para comprobarlo basa escribir la definición de esa derivada h (x) = h(x + ) h(x) lim = 0 = f(x +, y) f(x, y) lim = 0 = f((x, y) + (1, 0)) f(x, y) lim 0 = df (x, y) dx En nuesro caso, h(x) = (x 2 +y 2 ) sen(x) cos(y), es una función derivable en R, y su derivada se puede calcular mediane las reglas de derivación de la suma y el produco de funciones, de modo que h (x) = 2x sen(x) cos(y) + (x 2 + y 2 ) cos(x) cos(y) = df (x, y) dx Análogamene, para calcular la derivada respeco de y, basa considerar x consane y derivar f sólo respeco de y df dy (x, y) = 2y sen(x) cos(y) (x2 + y 2 ) sen(x) sen(y)