Cpítulo " 2 L elipse l hipérol 12. " Definición. Se llm elipse, l lugr geométrico de los puntos de un plno cu sum de distncis dos puntos fijos del mismo plno es constnte. Los puntos fijos se costumrn llmr focos. P(, ) F ( c, ) F ( c, ) 1 o 2 o Ecución: Considerndo los focos sore el eje \ l distnci constnte l denotremos por ß!ß se T ÐBß CÑ un punto culquier que pertenece dicho lugr geométrico sen J" -ß! J -ß! ß -!ß ls coordends de los focosß entonces de l definición se tiene de donde se otiene l ecución TJ TJ œ " ÈÐB -Ñ C ÈÐB -Ñ C œ % - B œ B - C " Nótese que en el triángulo JTJ " se tiene que TJ TJ J J Ê - " " Ahor de " result À Ð - ÑB C œ Ð - Ñ se, œ - Í -, en tl cso,b C œ, de quí
Discusión de l ecución B C œ ", gráfico Intersecciones con los ejes coordendos Intersección con el eje \ß Bœ de donde Z" Ð ß!Ñ Z Ðß!Ñson ls coordends de los vértices, l longitud del eje mor que es Þ Intersección con el eje ] ß C œ, de donde F "!ß, F!ß, son ls coordends de los etremos del eje menor, cu longitud es,þ Simetrís Al sustituir B por Bß l ecución no vrí lo que indic que l curv tiene simetrí con respecto l eje ]ß nlogmente si se sustitue C por Cß es decir l curv es simétric con el eje \ß lo mismo sucede cundo se sustituen l vez B por Be C por Cß l ecución no vrí, luego tiene simetrí con el origen de coordends, de quí que el origen recie el nomre de centro de simetrí. Dominio, Despejndo C en términos de Bß se tiene C œ È B ß lo que nos conduce : ŸBŸÞ Recorrido Despejndo B en términos de Cß se tiene B œ, C ß lo que nos conduce, È :,ŸCŸ,Þ Concvidd Nótese tmién que À si Ÿ B Ÿ Í, È B, Ð BÑß lo que nos indic que l curv es cóncv hci jo C!Þ B 2 V 1 F F1 2 V 2 c B 1 c
Elementos de un elipse: 1. Sen J" J los focos de l elipse, l rect que ps por los focos se suele llmr eje foclß en donde J -ß! J -ß! ß -!Þ " 2. El eje focl cort l curv en dos puntos Z" Z llmdos vértices, cus coordends son À Z ß! Z ß! " $ÞEl segmento del eje focl comprendido entre los vértices, ZZß " se llm eje mor cu longitud es Þ El vlor de se llm semieje mor. %Þ El punto medio G de l curvþ del segmento que une los focos, se llm centro de simetrí &Þ L rect que ps por G es perpendiculr l eje focl se llm eje norml. 6. El segmento del eje norml comprendido entre los puntos, FFß " se llm eje menor cu longitud es,þ El vlor de, se llm semieje menor. (Þ Culquier rect que ps por el centro de simetrí Gß se llm diámetro de l elipse. 8. El segmento que ps por un foco cort l elipse en los puntos E" E se llm cuerd focl. 9. Todo segmento comprendido entre un foco un punto de l elipse se llm rdio focl. 10. Un cuerd que ps por un foco es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto, su longitud es igul, B C ""Þ Por convenio, tomremos siempre,ß si es el cso œ ", los, B C vértices de l elipse cen sore el eje \ß si fuese œ "ß los vértices se, encuentrn sore el eje ]Þ "Þ Se define por ecentricidd de l elipse ß l cuociente entre l distnci desde un foco l centro de simetrí l longitud del semieje mor, es decir - /œ ß note que siempre / " Oserve que si /Ä! l elipse tiende un circunferenci si /Ä" l elipse tiende un trzo. " 2Þ2 Otr form de l ecución de un elipse
Se el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetrí de un elipse, por tnto ls ecuciones de w w trslción prlel de los ejes coordendos son: BœB 2e CœC 5ß l ecución de l elipse con respecto los nuevos ejes \] w w cuo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es: Osérvese que los vértices son: los focos: w w B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ " de donde œ ",, JÐ2 -ß5Ñ " ZÐ2 ß5Ñ " JÐ2 -ß5Ñ ZÐ2 ß5Ñ F F1 2 V 1 V 2 k c c h Anlogmente pr el cso de cuo gráfico es ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ, œ " h O k
12.3 Definición. Se llm hipérol, l lugr geométrico de los puntos de un plno cu diferenci de distncis dos puntos fijos del mismo plno es constnte. Los puntos fijos se costumrn llmr focos. P(, ) F ( c, ) F ( c, ) 1 o 2 o Ecución: Considerndo los focos sore el eje \ l distnci constnte l denotremos por ß!ß se T ÐBß CÑ un punto culquier que pertenece dicho lugr geométrico sen J" -ß! J -ß! ß -!ß ls coordends de los focosß entonces de l definición se tiene de donde se otiene l ecución TJ" TJ œ ¹ ÈÐB -Ñ C ÈÐB -Ñ C ¹ œ % - B œ B - C " Nótese que en el triángulo JTJ " se tiene que ltj TJ l JJ Ê- " " Ahor, de " result À Ð- ÑB C œ Ð- Ñ se, œ- Í- -, en tl cso,b C œ, de quí Discusión de l ecución B C œ ", gráfico Intersecciones con los ejes coordendos Intersección con el eje \ß Bœ de donde Z" Ð ß!Ñ Z Ðß!Ñson ls coordends de los vértices.
Intersección con el eje ]ß no tiene. Simetrís Al sustituir B por Bß l ecución no vrí lo que indic que l curv tiene simetrí con respecto l eje ]ß nlogmente si se sustitue C por Cß es decir l curv es simétric con el eje \ß lo mismo sucede cundo se sustituen l vez B por Be C por Cß l ecución no vrí, luego tiene simetrí con el origen de coordends, de quí que el origen recie el nomre de centro de simetrí. Dominio, Despejndo C en términos de Bß se tiene C œ È B ß lo que nos conduce : BŸ B Recorrido Despejndo B en términos de Cß se tiene B œ, C ß lo que nos conduce, È : _ŸCŸ_Þ Concvidd Nótese tmién que À si B Ÿ B Í, È B, ÐB Ñß lo que nos indic que l curv es cóncv hci jo C!Þ = F1 V1 V2 F2 c c = Elementos de un hipérol: 1. Sen J" J los focos de l hipérol, l rect que ps por los focos se suele llmr eje rel o trsversoß en donde J -ß! J -ß! ß -!Þ " 2. El eje rel cort l curv en dos puntos Z" Z llmdos vértices, cus coordends son À Z ß! Z ß! "
$Þ El vlor de se llm semieje rel. El vlor de, se conoce por semieje conjugdo o imginrio. %Þ El punto medio G de l curvþ del segmento que une los focos, se llm centro de simetrí &Þ L rect que ps por G es perpendiculr l eje rel se llm eje imginrio. 6Þ Culquier rect que ps por el centro de simetrí Gß se llm diámetro de l hipérol. 7. El segmento que ps por un foco cort l hipérol en los puntos E se llm cuerd focl. E " 8. Todo segmento comprendido entre un foco un punto de l hipérol se llm rdio focl. 9. Un cuerd que ps por un foco es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto, su longitud es igul, "Þ 0 Si es el cso B C œ", los vértices de l hipérol cen sore el eje \ß, C B si fuese los vértices se encuentrn sore el eje, œ "ß ]Þ "Þ 1 Se define por ecentricidd de l hipérol ß l cuociente entre l distnci desde un foco l centro de simetrí l longitud del semieje mor, es decir - /œ ß note que siempre / ", B C "Þ 2 Ls rects Cœ Bßse llmn síntots de l hipérol œ", en, tnto que Cœ Bß son ls síntots de l hipérol C B œ",, 12Þ2 Otr form de l ecución de un hipérol Se el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetrí de un hipérol, por tnto ls ecuciones de trslción prlel de los ejes coordendos son: w BœB 2 e w CœC 5ß
l ecución de l hipérol con respecto los nuevos ejes \] w w cuo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es: Osérvese que los vértices son: los focos: w w B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ " de donde œ ",, JÐ2 -ß5Ñ " ZÐ2 ß5Ñ " JÐ2 -ß5Ñ ZÐ2 ß5Ñ k = ( h) F1 V1 V2 F2 k c c k = ( h) h Note que ls ecuciones de sus síntots son en este cso Anlogmente pr el cso de C 5œ, ÐB 2Ñ cuo gráfico es ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ, œ " F 1 k = ( h) c V 1 c V 2 k F 2 k = ( h) h
12.3 Tngenci. L ecución de l tngente l elipse o hipérol TÐBßCÑ!!! de ell es B! B C! C œ ", B C en el punto, œ " B! C! En efecto, TÐBßCÑ!!! pertenece ests curvs entonces œ " ", se C C! œ7ðb B! Ñ l ecución de l tngente en cuestión, entonces efectundo l intersección de est tngente con ls curvs result, B ÒC! 7ÐB B! ÑÓ œ,, B! imponiendo l condición de tngenci? œ!ßresult 7œ ßpor tnto de C, B se tiene C C!! œ ÐB B Ñ de quí ocupndo " se otiene C!! B! B C! C œ ", por supuesto que el signo " " pr l elipse el " " pr l hipérol! Pr los csos de ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ, œ " ls ecuciones de ls tngentes en TÐBßCÑ!!! son ßrespectívmente ÐB! 2ÑÐB 2Ñ ÐC 5ÑÐC 5Ñ!, œ " l demostrción se dej propuest. 12.4 Ecución generl Un ecución de l form EB GC HB IC J œ! "
Represent el lugr geométrico de un elipse rel, si solo si H I EG! con E Á G J ß %E %G note que si EœG %EJ H I ßel lugr, es el de un circunferenci H I EG! con E Á G J œ ß entonces el lugr se resume un punto %E %G H I EG! con E Á G J ß entonces se dice que no h un lugr %E %G geométrico rel Pr el cso de un hipérol, H I EG! J Á ß entonces el lugr geométrico es el de un hipérol %E %G rel H I EG! J œ ß entonces el lugr geométrico es el de rects que %E %G se cortn. L demostrción de ests firmciones, se dej l estudinte. 12Þ5 Ejercicios Resueltos 1. Determine: vértices, focos ls ecuciónes de ls síntots de l hipérol Solución. B C )B C $œ! ÐB Ñ ÐC "Ñ Completndo cudrdos se otiene œ " de quí se % deducen: œ Èß,œ -œ È' con lo que Z Ð Èß "Ñß Z Ð Èß "Ñ ß J Ð È'ß "Ñ J Ð È'ß "Ñ " " ls ecuciónes de sus síntots C "œ ÈÐB Ñ 2. Hllr l ecución de l elipse que ps por el punto Š ß$ ß tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje \ l longitud de su eje mor es el dole de l de su eje menor. È (
Solución. B C L ecución pedid es de l form œ "ß donde œ, entonces, B C œ " como el punto, %, ( % È( pertenece l elipse se dee tener ß$ * B C œ " Ê, œ %ß con lo que œ ", %, % "' 3. Los vértices de un hipérol son los puntos "ß$ $ß$ su ecentricidd $ es. Hllr l ecución de l hipérol, ls coordends de sus focos ls longitudes de sus ejes trnsverso, conjugdo de cd ldo recto. Solución. Nótese que su centro de simetrí es el punto "ß $ entonces su ecución es de l form ÐB "Ñ ÐC $Ñ, donde, œ " œ % È como /œ - œ, œ $ Ê, œ&ßentonces ÐB "Ñ ÐC $Ñ œ" % & Ahor como - œ$ê J Ð ß$Ñ J Ð%ß$Ñ " Longitud del eje trsverso œ %ß longitud del eje conjugdo, œ È& l longitud de cd ldo recto, œ& %Þ Hllr l ecución de l hipérol que tiene por focos vértices los vértices focos B C de l elipse œ ", luego encuentre ls ecuciones de sus síntots. & * Solución. 4 4 3 = 4 3 3 V1 V2 5 5 = 3 4 Pr l elipse œ &, œ * Ê - œ "'
Pr l hipérol œ 16 - œ * Ê, œ "' Por tnto l ecución pedid es C œ " B "' * Ls ecuciones de sus síntots son Cœ 5. Demostrr que el triángulo formdo por un tngente culquier un hipérol sus síntots tiene un áre constnte $ B % Demostrción. Sin perder generlidd se puede tomr l hipérol de ecución B C œ ", A = F 1 V 1 O B P 0 F 2 c =? @ Se T!?ß@ que pertenece l hipérol, entonces œ " ", L ecución de l tngente en T está dd por,?b @C œ,!, Ls ecuciones de ls síntots son: Cœ B $ Resolviendo el sistem formdo por $ ß otenemos ls coordends de E Fß es decir À EÐ, ß, Ñ FÐ, ß, Ñ?, @?, @?, @?, @ Ahor, el áre del triángulo SEF está ddo por E</ œ!! " ",, $ $ ", œ?, @?, @?, @,, " â?, @?, @ â pero de " À?, @ œ, con lo que finlmente E</ œ,
6. Demuestre que l norml un elipse en uno culquier de sus puntos, es isectriz del ángulo formdo por los rdios vectores de ese punto. Solución. No se pierde generlidd l tomr l elipse cu ecución es,b C œ, " Se ( l norml l elipse en un punto T!?ß@ de l curv. η P 0 α β F1 F2 Sen! el ángulo formdo por JT "! ( ß " el ángulo entre JT! (, vmos demostrr que! œ " Þ Semos que l ecución de l tngente en Tß! está dd por en que su pendiente es 7 œ,? por tnto 7 œ @ > @ (,?,?B @Cœ, Por otr prte ls pendientes de los rdios vectores JT "! JT! son @ @ respectivmente À ß entonces? -? - @ @ >1 œ? -,?,?@?@ -@! œ " @ @,?, -? @? -,? imponiendo l relción - œ, l condición,? @ œ, -@ simplificndo result >1! œ ", -@ Anlogmente se otiene tmién que >1 " œ, Por tnto por " se tiene! œ " Þ 7. Demostrr que ls tngentes l elipse,b C œ, l circunferenci B C œ en T! Ð?ß@ " Ñ U!?ß@? Á! respectivmente, se cortn en un mismo punto sore el eje \Þ Demostrción. Ls tngentes respectivs en los puntos indicdos son.
,?B @Cœ,?B @Cœ " intersecndo cd un con el eje \ß se otiene el punto Ð ß!Ñ en mos csos.? 8. Demostrr que ls tngentes l elipse,b C œ, en un dirección 7 son: Cœ7B È 7, Demostrción. Se el hz de rects tngentes dds por: Cœ7B 8ß dd se tiene Ð, 7 ÑB 78 B Ð8, Ñ œ! intersecndo con l elipse Ahor, imponiendo l condición de tngenci œ! result % %7 8 %Ð, 7 Ñ Ð8, Ñœ! de donde resolviendo pr 8ß se otiene 8 œ È 7, luego l tngente es È Cœ7B 7,. 9. Determine el lugr geométrico de los puntos desde donde se puedn trzr tngentes perpendiculres entre si l elipse,b C œ,. Solución. Sen Cœ7B È 7, ls tngentes l elipse dd en ciert dirección B 7ß con 7 Á! sus perpendiculres serán de l form C œ Ê, 7 7 Eliminndo el prámetro 7 entre ms fmilis, otenemos los puntos de intersección, que es el lugr geométrico en cuestión De l primer se otiene C 7Bœ È 7, De l segund se otiene B 7Cœ È 7, De donde elevndo l cudrdo cd un sumndo miemro miemro se tiene Ð" 7 ÑC Ð" 7 ÑB œ Ð" 7 Ñ, Ð" 7 Ñ de quí result l circunferenci con centro en el origen rdio decir B C œ, ß que es l ecución del lugr geométrico pedido. È, es 10. Encontrr l ecución del lugr geométrico de ls proecciones de los focos de l elipse,b C œ, sore ls tngentes l mism en un dirección 7ß con 7Á! dd.
Solución. Semos que l fmili de tngentes l elipse dd en ciert dirección dds por 7ß están Cœ7B È7, ÍC 7BC 7 B œ 7, ß " Ls perpendiculres ests tngentes porlos focos, están dds por " Cœ ÐB -Ñ Í7C Bœ -Í7 C 7BC B œ- œ, 7 Eliminndo el prámetro 7 entre est últim ecución " se otiene l ecución del lugr geométrico pedido, que result ser À B C œ Þ 11. El punto medio de l cuerd de un elipse es &ß Þ Hllr l ecución de l cuerd, si l elipse tiene por ecución B %C 'B )C $ œ!þ Solución. Se C œ7ðb &Ñl ecución de l cuerd en cuestión, intersecndo con l ecución de l elipse dd, otenemos: Ð" %7 ÑB Ð)7 %!7 'ÑB "!!7 %!7 $ œ! semos que si B B son ls ríces de ést últim ecución, se cumple que " )7 %!7 ' B " B œ ß por otr prte tmién B B œ 10 " %7 " entonces, ' %!7 )7 œ "!Ð" %7 Ñ de quí se otiene 7 œ " por " tnto l ecución de l cuerd result ser C œ ÐB &ÑÞ 12. Se 6 l tngente en T?ß@ l elipse, B C œ,. Sen X" X ls intersecciones de 6 con ls tngentes trzds desde los vértices de l elipse. Demostrr que l circunferenci que tiene por diámetro el trzo XX " ps por los focos Demostrción. T 1 F F1 2 P( u, v) T 2
Primero ß determinmos ls coordends de X" X ß intersecndo l ecución de l tngente en Tß que está dd por,?b @Cœ, con Bœ ßde donde resultn: X ß, "? X ß, "? " Œ Š 2Œ Š @ @ Por otr prte l ecución de l circunferenci que ps por los puntos dimetrlmente opuestos, est dd por,?,? ÐB ÑÐB Ñ ÒC Š " ÓÒC Š " Ó œ! @ @ Est circunferenci cundo cort l eje B se dee tener C œ!ß sí result % X X ",? B " œ!ß pero como T?ß@ stisfce l ecución de l @ Œ? @ elipse, entonces,? @ œ, Í" œ sí se tiene, B, œ! Í B œ, œ - Í B œ -ß luego l circunferenci ps por los focos. 13. Demuestre que el producto de ls distncis desde los focos de un elipse, un tngente culquier de ell, es constnte. Demostrción. P( u, v) F1 OA F2 Semos que l ecución de l tngente en el punto TÐ?ß@Ñ de l elipse, está dd por,?b @Cœ,, por tnto ls distncis.". desde los focos J -ß! J -ß! son: " Así, l -?,, l l-?,, l." œ. 2 œ È?, @ È?, @ % % % % % % % l-?,, l.. " œ ß pero?, % @ %,? @ œ, - œ, Entonces,
% % % l-? l l-? l l-? l.. " œ, œ, œ,?, @ %?,? Ð" Ñ %?,? %, % l-? l % -? % % œ, œ, œ,? Ð, Ñ -? 14. Determinr ls ecuciones de ls tngentes trzds desde el punto $ß " l elipse cu ecución es: B $C B C & œ!þ Solución. Ls ecuciónes de l tngentes mencionds son de l form C "œ7ðb $Ñßintersecndo con l elipse se otiene: Ð $7 ÑB Ð ")7 (7 "ÑB (7 "7 " œ! Imponiendo l condición de tngenci œ!ê Ð ")7 (7 "Ñ %Ð $7 ÑÐ(7 "7 "Ñ œ! resolviendo pr 7 se otiene: 7 œ " 7 œ * " con lo que resultn "*" B C œ! *B "*"C ") œ! 15. Los etremos de l se de un triánguloson los puntos E!ß! F $ß! ÞHllr l ecución del lugr geométrico del vértice G si se mueve de modo que el ángulo de l se GFE es siempre igul l dole del ángulo GEF Solución. C(, ) α 2α A B De l figur se tiene que: Eliminndo el prámetro vértice GÞ Semos que À >1! C C œ >1 œ ß Á! prámetro B! $ B!! se otendrá l ecución del lugr geométrico del >1 C C >1 œ Í œ B! C! Í ÐB "Ñ œ " " >1! $ B $ " C B Se trt de un hipérol centrd en el punto "ß!
16. Pror que l norml en?ß @ l hipérol equiláter B C œ es @B?C œ?@þ Prue. L tngente en?ß @ está dd por l ecución?b @C œ por tnto su pendiente es 7 œ? > entonces l pendiente de l norml en dicho punto result @ @ 7( œ Þ? @ Por tnto l ecución de l norml en dicho punto es C @œ ÐB?Ñde quí? se tiene @B?C œ?@þ 17. Demostrr que en un hipérol equiláter l distnci de un punto de ell, l centro de simetrí es medi proporcionl geométric entre sus distncis focles. Demostrción. P(, ) F o 1 F2 = c = L ecución de l hipérol es De l figur À ST œ B C, B C œ se cumple que - œ " T J " T J œ ÖÒÐB -Ñ C ÓÒÐB -Ñ C Ó " % œ ÒÐB C Ñ - - ÐB C ÑÓ % œb C œ ST ß pues - - ÐB C Ñœ! 18. Demostrr que l prte de l norml de un hipérol comprendid entre los ejes coordendos qued dividid por l curv en l rzón, Demostrción.
A P P( u, v) 1 O B Vmos demostrr que TE T" E œ œ TF T S, " Determinemos ls coordends de Eß pr lo cul otenemos l ecución de l norml en el punto de tngenci T?ß@ ß que es @ B?, C œ?@ð, Ñ intersecndo con el eje Cß result, E Œ!ß @ ß por otr prte note que T Ð!ß@Ñentonces se tiene, " TEœ, @ @œ @ TE " ßTSœ@ßluego œ " ",, T S, " 19. L tngente en un punto T de l hipérol, B C œ, cort l eje trnsversl en Xß l rect ST cort en V l tngente en Eß demostrr que VX es prlel TEÞ Solución. R P( u, v) O T A Semos que l tngente en T?ß@ l hipérol está dd por,
,?B @Cœ, ßintersecndo con el eje Bse tiene XŒ ß! ßhor? @ intersecndo Bœ con l rect ST cu ecución es Cœ B, result? @ @ V ß ß 7 œ? @ Š entonces VX œ œ 7 ß VXllTEÞ?? por tnto EX? 20. Se un cuerd cuo punto medio es %ß " de l hipérol B $C œ ', Hllr su ecución. Solución. Se l ecución de l cuerd tiene: C "œ7b % " $7 B Ð%7 '7ÑB %)7 %7 * œ! intersecndo con l hipérol se %7 '7 " de quí se se que B " B œ de donde ÐB B Ñ œ %ß luego " $7 " %œ "7 $7 Í7œ % ßpor tnto C "œ % B % es l ecución en " $7 $ $ cuestión. 21. Desde el foco de l hipérol,b C œ, se trz un perpendiculr un de sus síntots. Demostrr que su pie tiene ls distncis, l centro de simetrí l foco de l hipérol respectivmente. Demostrción. O d 1 d 2 F 1 ( c,0) L ecución de l síntot que se muestr en l figur es l, -!l,-. œ œ œ, È, - L rect por el foco perpendiculr l síntot es otenemos B,C - œ!ß con lo que,b C œ!ß por tnto Cœ ÐB -Ñ, de quí
l!,! -l -." œ œ œ È, - 22. Desde el foco de un hipérol, como centro se descrie un circunferenci con rdio igul l semieje conjugdo. Demostrr que ést circunferenci es tngente ls síntots en los puntos que cortn l directriz. Demostrción. L ecución de l circunferenci menciond es B - C œ, ls, ecuciones de ls síntots son: Cœ Bßefectundo l intersección con l, circunferenci se tiene B - B œ, resolviendo Bœ Ê -, Cœ ßsolo dos interseccciones un por cd síntot demás es tngente en - los puntos de intersección con l directriz pues recordemos que su ecución es Bœ. - 23. Bjo que ángulos se cortn l hipérol equiláter B C œ l circunferenci B C œ * Þ Solución. Efectundo l intersección de ms curvs otenemos 4 puntos, que son: T Š È&ß ß T Š È&ß ß T Š È&ß T Š È&ß " $ % st considerr Tß " determinmos ls tngentes ms curvs en este punto, es decir > À È " " &B C œ Ê 7" œ È& > À È " &B C œ * Ê 7 œ È& Luego el ángulo en cuestión estrá ddo por >1 œ 7 7 " ) œ % È& Ê ) œ )$ß ' " 7 7" 24. Demostrr que el producto de ls distncis de culquier punto de l hipérol B C œ sus síntots es constnte. Solución. Se T B ßC!!! un punto culquier de l hipérol, entonces: lb! CllB!! Cl! lb! C! l ".. " œ œ œ ßpues È È T! pertenece l hipérol.
25. Determine l ecución de l hipérol siendo que sus síntots son ls rects B C "œ!ß C B $œ!ß cuo eje rel es prlelo l eje ] que ps por el punto!ß % Þ Solución. El centro de simetrí de l hipérol en cuestión, está en l intersección de sus síntots, ddo por l solución de que result ser "ß B C "œ! C B $œ! sí l ecución pedid es ÐC Ñ ÐB "Ñ, œ " pero como CœB $Ê œ"íœ,, como l hipérol ps por el punto, Ð% Ñ Ð! "Ñ!ß % Ê œ " Í, œ $Þ Así result l ecución dd por,, ÐC Ñ ÐB "Ñ œ " $ $ 26. Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que su distnci l eje ] es siempre igul l mitd de su distnci l punto $ß Þ Grfique l curv. Solución. Y Y P(, ) 2 2 O 3 X 1 X TBßC dee cumplir " ÐB "Ñ ÐC Ñ lbl œ ÈÐB $Ñ ÐC Ñ Í œ " % " Se trt de un hipérol de centro de simetrí G "ß
12Þ6 Ejercicios Propuestos $ 1. Hllr l ecución de l elipse que ps por el punto Œ"ß È$ tiene un ecentricidd de È& Þ %B!C œ "$* 2. Los puntos $ß! $ß! son los focos de un elipse l longitud de culquier de sus ldos rectos es *Þ Hllr l ecución del elipse. (B $'C œ "!&$ 3. Si TÐ?ß@Ñ es un punto culquier de l elipse, B C œ, Þ Demostrr que los rdios vectores son: < œ /? < œ /?Þ " %Þ Hllr l ecución del lugr geométrico de los puntos que dividen ls ordends de los puntos de l circunferenci B C œ "' en l rzón " À %Þ B &C œ "'. 5. Un elipse está centrd en el origen su eje mor coincide con el eje BÞ Hllr su ecución siendo que ps por los puntos Š È'ß " Š ß È Þ B C œ ). 6. L se de un triángulo es de longitud fij, siendo sus etremos los puntos!ß! 'ß! Þ Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico del vértice opuesto que se mueve de modo que el producto de ls tngentes de los ángulos de ls ses es siempre igul %Þ %B C %B œ!. 7. Los etremos de un diámetro de l elipse,b C œ, son T" TÞ Si J es uno de los focos de l elipse. Demostrr que l sum de los rdios vectores JT " JT es igul l longitud del eje mor.
8. Si 5 es un número positivo. Demostrr que l ecución $B %C œ 5 represent " un fmili de elipses, cu ecentricidd es. 9. El centro de un elipse es el punto ß % ß el vértice el foco de un mismo ldo del centro son los puntos ß % "ß % respectivmente. Hllr l ecución de l elipse, su ecentricidd, l longitud de su eje menor l de cd ldo recto. ( B "' C % œ ""ß / œ!þ(&ß, œ È(ß 10. Dd l elipse B %C 'B "'C " œ!ß determine: L ecución cnónic, su centro de simetrí, vértices, focos, longitudes de sus ejes mor menor, longitud de su ldo recto ecentricidd. B $ % C œ%à $ß à &ß ßÐ"ß Ñà Š $ È$ß ß È Š È $ $ $ß à % à "à Þ 11. Desde cd punto de l circunferenci B C %B %C ) œ! se trz un perpendiculr l diámetro prlelo l eje BÞ Hllr l ecución del lugr gemétrico de los puntos medios de ests perpendiculres. B %C %B "'C % œ! 12. Demostrr que ls tngentes un elipse trzds desde los etremos de un diámetro culquier son prlels entre si. 13. Desde el punto ß ( ß se trzn prlels l elipse B C B $C œ!þ Hllr ls coordends de los puntos de contcto. "$ * "ß " à Œ ß * * 14. Hllr ls ecuciones de ls tngentes elipse $B C %B C $œ! que son perpendiculres l rect B C &œ!þ B C " œ!à $B $C "$ œ! ( 15. Hllr l ecución de l tngente trzd desde el punto?ß @ l elipse
,B C œ,ß Note que?ß@ no pertenece l elipse.,?b @Cœ, 16. Demostrr que ls tngentes un elipse en dos puntos dimetrlmente opuestos, son prlels. 17. Pr que vlores del prámetro >ß los puntos de l form " >ß > se encuentrn en el interior de l elipse. "Ÿ>Ÿ % & 18. Dds: l elipse, B C œ,, l circunferenci B C œ, l rect C :œ!ßést ultim intersec l eje Cen el punto Rß l circunferenci en U RT l elipse en TÞDemostrr que se verific œ Þ RU, 19. Si U son puntos de ls circunferencis inscrit einscrit un elipse, de modo que un punto T de l elipse tiene l ordend de U l scis de U w Þ Demostrr que l rect UU w ps por el origen de coordends. U w 20. El punto medio de un cuerd de l elipse,b C œ, es?ß@ Encontrr l ecución de l cuerd.,? C @œ ÐB?Ñ @ 21. Demostrr que el módulo de l pendiente, de ls tngentes trzds desde el punto donde un ldo recto cort l elipse es igul su ecentricidd. 22. El ldo recto de un elipse cort ell en Vß se trz un cuerd por el foco J"-ß! por el punto Ð!ß,Ñ que cort en T dich elipse. Demostrr que siendo J el otro foco. JT œ JF JV JV " " " 23. Demostrr que en tod elipse, l sum de los cudrdos de dos semidiámetros conjugdos es igul l sum de los cudrdos de los dos semiejes. 24. Un segmento EF de longitud ' uniddes se desliz de form que sus etremos se pon sore los ejes crtesinos rectngulres. Entre los puntos E F se elige un punto tl que TE œ TFÞ Determine el lugr geométrico descrito por TÞ
"'B %C œ '% 25. Desde un punto culquier de un elipse se trzn ls rects que l unen los w w vértices E E ÞEsts rects cortn l eje FF en los puntos Q RÞPror que SQ SR œ,. 26. Hllr l ecución de l hipérol que ps por los puntos $ß (ß ' ß tiene su centro en el origen el eje trnsverso coincide con el eje BÞ %B &C œ "'Þ 27. Los vértices de un hipérol son los puntos ß! ß! si sus focos son $ß! $ß! Þ hllr su ecución su ecentricidd. &B %C œ!à "Þ& 28. Los vértices de un hipérol son los puntos ß ß % l longitud de su ldo recto es ÞHllr su ecución, ls coordends de sus focos su ecentricidd. $ C " * B œ (à Ð ß " È$Ñà Ð ß " È$Ñà È$ $ 29. Dd l hipérol &B $'C œ *!! Determine: los focos, sus síntots el áre del triángulo determindo por ls síntots l tngente en el vértice Z Ð'ß!ÑÞ J Ð È'"ß!Ñß J Ð È'"ß!Ñà 'C œ &Bà $!Þ " 30 Þ Dd l hipérol B %C 'B "'C " œ!ß determine: Su ecución cnónic, su centro de simetrí, vértices, focos, síntots, longitud de su ldo recto ecentricidd. % C B $ œ"'à $ß à $ß! ßÐ"ß Ñà Š $ß È& ß Š $ß È& à C %œ ÐB $Ñà %à È& 31. Si 5 es un número positivo. Demostrr que l ecución $B $C œ 5 represent un fmili de hipérols, cu ecentricidd es È.
32. Hllr los puntos de intersección de l rect B *C " œ! con ls síntots de l hipérol %B *C œ ""Þ $ß à "Þ&ß " 33. Demostrr que si ls síntots de un hipérol son perpendiculres entre si, l hipérol es equiláter. 34. Hllr l ecución de un hipérol equiláter que ps por el punto "ß & tiene por síntots los ejes coordendos. BC œ & 35. Demostrr que l distnci de culquier punto de un hipérol equiláter su centro es medi proporcionl geométric entre ls longitudes de los rdios vectores del punto. 36. L ecentridd de l hipérol,b C œ, es /Þ " Si l ecentricidd de su hipérol conjugd es / Þ Demostrr que / À / œ, À Þ " 37. Si! es el ángulo gudo de inclinción de un síntot de l hipérol,b C œ,. Demostrr que su ecentricidd es igul =/-Þ 38. Demostrr que si un rect es prlel un síntot de un hipérol, cort l curv solmente en un punto. 39. L se de un triángulo es de longitud fij, siendo sus etremos los puntos!ß! %ß! Þ Hllr e identificr el lugr geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de l se es siempre igul l dole del otro. $B C "'B "' œ!à $B C )B œ!þ 40. Hllr ls ecuciones de ls tngentes l hipérol B C %B )C ' œ! que son prlels l rect %B %C "" œ!þ B C "œ!à B C "œ! 41. Hllr el ángulo formdo por ls tngentes trzds desde el punto $ß ' l hipérol B C %B C & œ!þ $ $'.
42. Demostrr que l elipse B C œ "! l hipérol %C B œ % son ortogonles entre sí, en sus puntos de intersección. 43. Demostrr que l pendiente de l tngente un hipérol en culquier etremo de sus ldos rectos, es numericmente igul su ecentricidd. 44. Demostrr que el punto de contcto de culquier tngente un hipérol es el punto medio del segmento de tngente comprendido entre ls síntots. 45. En culquier punto Tß ecepto uno de sus vértices de un hipérol equiláter, se trz un norml que cort l eje focl en el punto UÞ Si S es el centro de simetrí de l hipérol, demostrr que lstl œ ltulþ 46. Demostrr que en un hipérol equiláter dos diámetros ortogonles tienen longitudes igules. 47. Por un punto T de un hipérol se trz un rect 6ß prlel l eje trnsversl ést rect cort ls síntots en los puntos U Vß demuestre que se cumple que TU TV œ cuno 6 es prlel l eje conjugdo se verific TU TV œ, Þ 48. Sen dos hipérols equiláters concéntrics de modo que los ejes de un de ells sen ls síntots de l otr. Demostrr que ls hipérols se cortn ortogonlmente. 49. Estudir pr que vlores de ß,ß - l ecución BC B,C - œ! represent un hipérol con síntots prlels los ejes coordendosþ 50. Determinr el áre de un rectángulo formdo por ls perpendiculres jds desde los focos de l hipérol,b C œ, un tngente culquier de ell. 51. Un tngente un hipérol se prolong hst sus puntos de intersección con sus síntots. Encuentre l mgnitud ST " ST siendo T" T los puntos de intersección S el centro de l hipérol. 52. Si ls síntots de un hipérol formn un ángulo de =, demuestre que donde / es su ecentricidd. >1 = œ È / " 53. Hllr l ecución de l hipérol que tiene por focos vértices los vértices focos de l elipse %B *C %)B (C "%% œ! respectívmente. Encuentre ls síntots de l mism. Grfique ms cónics. 54. Determine l ecución de l elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de ls síntots de l hipérol *B %C $'B $C '% œ! con el eje ] ß $ È$ que ps por el punto Ð ß$Ñ Þ 55. Determine ls coordends de los puntos, en los cules l tngente l elipse: B %C œ % se prlel l rect C œ BÞ
% " B! œ ß C! œ È& È& 56. Por el punto T ß( se trzn tngentes l elipse B C B $Cœ Hllr ls coordends de los puntos de contcto. "$ * "ß " ß Œ ß * * 57. Hllr ls ecuciones de ls tngentes l elipse $B C %B C $œ! que son perpendiculres l rect B C &œ! B C "à $B $C "$ œ! 58. Ddos los focos J "ß$ J ß" l longitud del eje mor que es 8, otener l ecución los elementos de l elipse. "B %BC "&C )B '!C ""' œ! 59. Un circunferenci móvil es tngente ls circunferencis: G" À B C %B œ!; G À B C "'B $' œ! Identifique el lugr geométrico que descrie el centro de l circunferenci móvil. $B %C $!B $$ œ! 60. Encuentre l ecución de l tngente l hipérol B C B )C $ œ! en el punto "ß % Þ Determine tmién ls ecuciones de sus síntots. B C (œ!à C %œ È B " Þ