paramétricas y coordenadas polares

Transcripción

1 ecuciones prmétrics Cónics, coordends polres Durnte los Juegos Olímpicos de Invierno de precieron ilumindos, en lo lto de un montñ en Slt Lke Cit, los ros olímpicos. Al instlr ls luces de los ros se puso mucho cuiddo en minimizr el impcto mbientl. Cómo puede clculrse el áre comprendid por los ros? Eplicr. Pr representr gráficmente un ecución en el sistem de coordends polres, h que trzr un curv en torno un punto fijo llmdo polo. Considérese un región limitd por un curv por los ros que psn por los etremos de un intervlo de l curv. Pr proimr el áre de tles regiones se usn sectores circulres. En este cpítulo, se verá cómo puede emplerse el proceso de límite pr encontrr est áre. Hrr Howe/Gett Imges 9

2 9 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Bettmnn/Corbis Sección. HYPATIA (7-5 A.C.) Los griegos descubrieron ls secciones cónics entre los ños.c. A principios del periodo Alejndrino se sbí lo suficiente cerc de ls cónics como pr que Apolonio (9-9.C.) escribier un obr de ocho volúmenes sobre el tem. Más trde, hci finles del periodo Alejndrino, Hpti escribió un teto tituldo Sobre ls cónics de Apolonio. Su muerte mrcó el finl de los grndes descubrimientos mtemáticos en Europ por vrios siglos. Los primeros griegos se interesron mucho por ls propieddes geométrics de ls cónics. No fue sino 9 ños después, principios del siglo XVII, cundo se hicieron evidentes ls mplis posibiliddes de plicción de ls cónics, ls cules llegron jugr un ppel prominente en el desrrollo del cálculo. Cónics cálculo Entender l definición de un sección cónic. Anlizr dr ls ecuciones de prábol utilizndo ls propieddes de l prábol. Anlizr dr ls ecuciones de l elipse utilizndo ls propieddes de l elipse. Anlizr dr ls ecuciones de l hipérbol utilizndo ls propieddes de l hipérbol. Secciones cónics Tod sección cónic (o simplemente cónic) puede ser descrit como l intersección de un plno un cono de dos hojs. En l figur. se observ que en ls cutro cónics básics el plno de intersección no ps por el vértice del cono. Cundo el plno ps por el vértice, l figur que result es un cónic degenerd, como se muestr en l figur.. Circunferenci Secciones cónics Figur. Punto Cónics degenerds Figur. Prábol Elipse Hipérbol Rect Dos rects que se cortn Eisten vris forms de estudir ls cónics. Se puede empezr, como lo hicieron los griegos, definiendo ls cónics en términos de l intersección de plnos conos, o se pueden definir lgebricmente en términos de l ecución generl de segundo grdo A B C D E F. Ecución generl de segundo grdo. PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr conocer más sobre ls ctividdes de est mtemátic, consultr l rtículo Hpti nd her Mthemtics de Michel A. B. Dekin en The Americn Mthemticl Monthl. Sin embrgo, un tercer método en el que cd un de ls cónics está definid como el lugr geométrico (o colección) de todos los puntos que stisfcen ciert propiedd geométric, funcion mejor. Por ejemplo, l circunferenci se define como el conjunto de todos los puntos (, ) que son equidistntes de un punto fijo (h, k). Est definición en términos del lugr geométrico conduce fácilmente l ecución estándr o cnónic de l circunferenci h k r. Ecución estándr o cnónic de l circunferenci.

3 SECCIÓN. Cónics cálculo 95 Prábol Directriz Figur. Foco p Vértice Eje d (, ) d d d Prábols Un prábol es el conjunto de todos los puntos (, ) equidistntes de un rect fij llmd directriz de un punto fijo, fuer de dich rect, llmdo foco. El punto medio entre el foco l directriz es el vértice, l rect que ps por el foco el vértice es el eje de l prábol. Obsérvese en l figur. que l prábol es simétric respecto de su eje. TEOREMA. Ecución estándr o cnónic de un prábol L form estándr o cnónic de l ecución de un prábol con vértice (h, k) directriz k p es h p k. Pr l directriz h p, l ecución es k p h. Eje verticl. Eje horizontl. El foco se encuentr en el eje p uniddes (distnci dirigid) del vértice. Ls coordends del foco son ls siguientes. h, k p Eje verticl. h p, k Eje horizontl. EJEMPLO Hllr el foco de un prábol = + Vértice p =, Foco Prábol con eje verticl, Figur. ( ) p < Hllr el foco de l prábol dd por. Solución Pr hllr el foco, se convierte l form cnónic o estándr completndo el cudrdo. Reescribir l ecución originl. Scr como fctor Multiplicr cd ldo por. Agrupr términos. Sumr restr en el ldo derecho. Epresr en l form estándr o cnónic. Si se compr est ecución con h p k, se conclue que h, k p. Como p es negtivo, l prábol se bre hci bjo, como se muestr en l figur.. Por tnto, el foco de l prábol se encuentr p uniddes del vértice, o h, k p,. Foco. A un segmento de l rect que ps por el foco de un prábol que tiene sus etremos en l prábol se le llm cuerd focl. L cuerd focl que es perpendiculr l eje de l prábol es el ldo recto (ltus rectum). El ejemplo siguiente muestr cómo determinr l longitud del ldo recto l longitud del correspondiente rco intersecdo.

4 9 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Longitud de l cuerd focl longitud de rco Encontrr l longitud del ldo recto de l prábol dd por p. Después, hllr l longitud del rco prbólico intersecdo por el ldo recto. = p Ldo recto o ltus rectum ( p, p) ( p, p) (, p) Longitud del ldo recto o ltus rectum: p Figur.5 Solución Debido que el ldo recto ps por el foco (, p), es perpendiculr l eje, ls coordends de sus etremos son, p, p. Al sustituir, en l ecución de l prábol, por p se obtiene pp Entonces, los etremos del ldo recto son p, p p, p, se conclue que su longitud es p, como se muestr en l figur.5. En cmbio, l longitud del rco intersecdo es p s d Empler l fórmul de longitud del rco. p p p p p d d p p p p ln p p p p8p p lnp 8p p lnp p ln.59p. ±p. p Simplificr. Teorem 8.. p Un propiedd mu utilizd de l prábol es su propiedd de refleión. En físic, se dice que un superficie es reflejnte o reflectnte si l tngente culquier punto de l superficie produce ángulos igules con un ro incidente con el ro reflejdo resultnte. El ángulo correspondiente l ro incidente es el ángulo de incidenci, el ángulo correspondiente l ro que se reflej es el ángulo de refleión. Un espejo plno es un ejemplo de un superficie reflejnte o reflectnte. Otro tipo de superficie reflejnte es l que se form por revolución de un prábol lrededor de su eje. Un propiedd especil de los reflectores prbólicos es que permiten dirigir hci el foco de l prábol todos los ros incidentes prlelos l eje, éste es el principio detrás del diseño de todos los espejos prbólicos que se utilizn en los telescopios de refleión. Inversmente, todos los ros de luz que emnn del foco de un lintern con reflector prbólico son prlelos, como se ilustr en l figur.. Fuente de luz en el foco Eje Reflector prbólico: l luz se reflej en ros prlelos Figur. TEOREMA. Propiedd de refleión de un prábol Se P un punto de un prábol. L tngente l prábol en el punto P produce ángulos igules con ls dos rects siguientes.. L rect que ps por P por el foco. L rect prlel l eje de l prábol que ps por P

5 SECCIÓN. Cónics cálculo 97 Bettmnn/Corbis NICOLÁS COPÉRNICO (7-5) Copérnico comenzó el estudio del movimiento plnetrio cundo se le pidió que corrigier el clendrio. En quell époc, el uso de l teorí de que l Tierr er el centro del Universo, no permití predecir con ectitud l longitud de un ño. Elipses Más de mil ños después de terminr el periodo Alejndrino de l mtemátic grieg, comienz un Rencimiento de l mtemátic del descubrimiento científico en l civilizción occidentl. Nicolás Copérnico, el strónomo polco, fue figur principl en este rencimiento. En su trbjo Sobre ls revoluciones de ls esfers celestes, Copérnico sostení que todos los plnets, incluendo l Tierr, girbn, en órbits circulres, lrededor del Sol. Aun cundo lguns de ls firmciones de Copérnico no ern válids, l controversi destd por su teorí heliocéntric motivó que los strónomos buscrn un modelo mtemático pr eplicr los movimientos del Sol de los plnets que podín observr. El primero en encontrr un modelo correcto fue el strónomo lemán Johnnes Kepler (57-). Kepler descubrió que los plnets se mueven lrededor del Sol, en órbits elíptics, teniendo l Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focles de l órbit. El uso de ls elipses pr eplicr los movimientos de los plnets es sólo un de sus plicciones práctics estétics. Como con l prábol, el estudio de este segundo tipo de cónic empiez definiéndol como lugr geométrico de puntos. Sin embrgo, hor se tienen dos puntos focles en lugr de uno. Un elipse es el conjunto de todos los puntos (, ), cu sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. (Ver l figur.7.) L rect que une los focos intersec o cort l elipse en dos puntos, llmdos vértices. L cuerd que une los vértices es el eje mor, su punto medio es el centro de l elipse. L cuerd trvés del centro, perpendiculr l eje mor, es el eje menor de l elipse. (Ver l figur.8.) (, ) PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr sber más cerc de cómo hcer eplotr un prábol pr convertirl en un elipse, consultr l rtículo Eploding the Ellipse de Arnold Good en Mthemtics Techer. d d Eje mor Vértice Foco Foco Foco ( h, k) Centro Eje menor Foco Vértice Figur.7 Figur.8 TEOREMA. Ecución estándr o cnónic de un elipse L form estándr o cnónic de l ecución de un elipse con centro (h, k) longitudes de los ejes mor menor b, respectivmente, donde > b, es o h h b k b k. El eje mor es horizontl. El eje mor es verticl. Los focos se encuentrn en el eje mor, c uniddes del centro, con c b. Figur.9 NOTA L definición de un elipse se puede visulizr si se imginn dos lfileres colocdos en los focos, como se muestr en l figur.9. Si los etremos de un cuerd se tn los lfileres se tens l cuerd con un lápiz, l trectori trzd con el lápiz será un elipse.

6 98 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Completr cudrdos ( ) ( + ) + = Vértice Foco Centro Foco Vértice Elipse con eje mor verticl Figur. Encontrr el centro, los vértices los focos de l elipse dd por 8 8. Solución Al completr el cudrdo se puede epresr l ecución originl en l form estándr o cnónic Escribir l ecución originl. Escribir l form estándr o cnónic. Así, el eje mor es prlelo l eje, donde h, k,, b c. Por tnto, se obtiene: Centro:, h, k. Vértices:,, h, k ±. Focos:,, h, k ± c. L gráfic de l elipse se muestr en l figur.. NOTA Si en l ecución del ejemplo, el término constnte F 8 hubiese sido mor o igul 8, se hubier obtenido lguno de los siguientes csos degenerdos.. F 8, un solo punto,, :. F > 8, no eisten puntos solución: < EJEMPLO L órbit de l Lun Perigeo Figur. Tierr Apogeo Lun L Lun gir lrededor de l Tierr siguiendo un trectori elíptic en l que el centro de l Tierr está en uno de los focos, como se ilustr en l figur.. Ls longitudes de los ejes mor menor de l órbit son 78 8 kilómetros 77 kilómetros, respectivmente. Encontrr ls distncis mor menor (pogeo perigeo) entre el centro de l Tierr el centro de l Lun. Solución Pr comenzr se encuentrn b. 78,88 Longitud del eje mor. 8, Despejr. b 77, Longitud del eje menor. b 8,8 8 Despejr b. Ahor, l empler estos vlores, se despej c como sigue. c b,88 L distnci mor entre el centro de l Tierr el centro de l Lun es c 5,5858 kilómetros l distnci menor es c,9 kilómetros.

7 SECCIÓN. Cónics cálculo 99 PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción cerc de lgunos usos de ls propieddes de refleión de ls cónics, consultr el rtículo Prbolic Mirrors, Elliptic nd Hperbolic Lenses de Mohsen Mesumi en The Americn Mthemticl Monthl. Consultr tmbién el rtículo The Geometr of Microwve Antenns de Willim R. Peznski en Mthemtics Techer. En el teorem. se presentó l propiedd de refleión de l prábol. L elipse tiene un propiedd semejnte. En el ejercicio se pide demostrr el siguiente teorem. TEOREMA. Propiedd de refleión de l elipse Se P un punto de un elipse. L rect tngente l elipse en el punto P form ángulos igules con ls rects que psn por P por los focos. Uno de los motivos por el cul los strónomos tuvieron dificultd pr descubrir que ls órbits de los plnets son elíptics es el hecho de que los focos de ls órbits plnetris están reltivmente cerc del centro del Sol, lo que hce ls órbits ser csi circulres. Pr medir el plstmiento de un elipse, se puede usr el concepto de ecentricidd. Definición de l ecentricidd de un elipse L ecentricidd e de un elipse está dd por el cociente e c. c ) es pequeño Focos c Focos c b) es csi c Ecentricidd es el cociente. Figur. c Pr ver cómo se us este cociente en l descripción de l form de un elipse, obsérvese que como los focos de un elipse se loclizn lo lrgo del eje mor entre los vértices el centro, se tiene que < c <. En un elipse csi circulr, los focos se encuentrn cerc del centro el cociente c/ es pequeño, mientrs que en un elipse lrgd, los focos se encuentrn cerc de los vértices el cociente es csi, como se ilustr en l figur.. Obsérvese que pr tod elipse < e <. L ecentricidd de l órbit de l Lun es e.59, ls ecentriciddes de ls nueve órbits plnetris son ls siguientes. Mercurio: e.5 Sturno: e.5 Venus: e.8 Urno: e.7 Tierr: e.7 Neptuno: e.8 Mrte: e.9 Plutón: e.88 Júpiter: e.8 Por integrción se puede mostrr que el áre de un elipse es A b. Por ejemplo, el áre de l elipse b está dd por b A d b cos d. Sustitución trigonométric sen θ. Sin embrgo, encontrr el perímetro de un elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestr cómo usr l ecentricidd pr estblecer un integrl elíptic pr el perímetro de un elipse.

8 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO 5 Encontrr el perímetro de un elipse Mostrr que el perímetro de un elipse b es e sen sin d. e c ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE En su trbjo con órbits elíptics, principios del siglo XVII, Johnnes Kepler desrrolló un fórmul pr encontrr el áre de un elipse, A b. Sin embrgo, tuvo menos éito en hllr un fórmul pr el perímetro de un elipse, pr el cul sólo dio l siguiente fórmul de proimción C b. Solución Como l elipse dd es simétric respecto l eje l eje, se sbe que su perímetro C es el cuádruplo de l longitud de rco b en el primer cudrnte. L función, es diferencible (o derivble) pr tod en el intervlo, ecepto en. Entonces, el perímetro está ddo por l integrl impropi C lím lim d d Al usr l sustitución trigonométric sen sin, se obtiene C b sen sin cos d cos d d cos b sen sin d sen sin b sen sin d b sin sen d. Debido que e se puede escribir est integrl como C c b, e sen sin d. Se h dedicdo mucho tiempo l estudio de ls integrles elíptics. En generl dichs integrles no tienen ntiderivds o primitivs elementles. Pr encontrr el perímetro de un elipse, por lo generl h que recurrir un técnic de proimción. b d. EJEMPLO Aproimr el vlor de un integrl elíptic Empler l integrl elíptic del ejemplo 5 pr proimr el perímetro de l elipse 5. Figur. + 5 = C 8. uniddes Solución Como e se tiene C 5 c b 95, 9 sen sin d. 5 Aplicndo l regl de Simpson con n se obtiene C Por tnto, el perímetro de l elipse es proimdmente 8. uniddes, como se muestr en l figur..

9 SECCIÓN. Cónics cálculo 7 Foco d d es constnte d d = Vértice d (, ) c d Foco Hipérbols L definición de hipérbol es similr l de l elipse. En l elipse, l sum de ls distncis de un punto de l elipse los focos es fij, mientrs que en l hipérbol, el vlor bsoluto de l diferenci entre ests distncis es fijo. Un hipérbol es el conjunto de todos los puntos (, ) pr los que el vlor bsoluto de l diferenci entre ls distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. (Ver l figur..) L rect que ps por los dos focos cort l hipérbol en dos puntos llmdos vértices. El segmento de rect que une los vértices es el eje trnsversl, el punto medio del eje trnsversl es el centro de l hipérbol. Un rsgo distintivo de l hipérbol es que su gráfic tiene dos rms seprds. Figur. Centro Eje trnsversl Vértice TEOREMA.5 Ecución estándr o cnónic de un hipérbol L form estándr o cnónic de l ecución de un hipérbol con centro es o h k k b h b. El eje trnsversl es horizontl. El eje trnsversl es verticl. h, k Los vértices se encuentrn uniddes del centro los focos se encuentrn c uniddes del centro, con, c b. NOTA En l hipérbol no eiste l mism relción entre ls constntes, b c, que en l elipse. En l hipérbol, c b, mientrs que en l elipse, c b. Un ud importnte pr trzr l gráfic de un hipérbol es determinr sus síntots, como se ilustr en l figur.5. Tod hipérbol tiene dos síntots que se cortn en el centro de l hipérbol. Ls síntots psn por los vértices de un rectángulo de dimensiones por b, con centro en (h, k). Al segmento de l rect de longitud b que une h, k b h, k b se le conoce como eje conjugdo de l hipérbol. TEOREMA. Asíntots de un hipérbol Si el eje trnsversl es horizontl, ls ecuciones de ls síntots son Eje conjugdo (h, k) ( h, k) (h, k + b) b Asíntot (h +, k) k b h Si el eje trnsversl es verticl, ls ecuciones de ls síntots son k h b k b h. k h. b Figur.5 (h, k b) Asíntot En l figur.5 se puede ver que ls síntots coinciden con ls digonles del rectángulo de dimensiones b, centrdo en (h, k). Esto proporcion un mner rápid de trzr ls síntots, ls que su vez udn trzr l hipérbol.

10 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO 7 Uso de ls síntots pr trzr un hipérbol Trzr l gráfic de l hipérbol cu ecución es. TECNOLOGÍA Pr verificr l gráfic obtenid en el ejemplo 7 se puede empler un grficdor despejr de l ecución originl pr representr gráficmente ls ecuciones siguientes. Solución Pr empezr se escribe l ecución en l form estándr o cnónic. El eje trnsversl es horizontl los vértices se encuentrn en,,. Los etremos del eje conjugdo se encuentrn en,,. Con estos cutro puntos, se puede trzr el rectángulo que se muestr en l figur.. Al dibujr ls síntots trvés de ls esquins de este rectángulo, el trzo se termin como se muestr en l figur.b. (, ) (, ) (, ) = (, ) ) Figur. b) Definición de l ecentricidd de un hipérbol L ecentricidd e de un hipérbol es dd por el cociente e c. Como en l elipse, l ecentricidd de un hipérbol es e c. Ddo que en l hipérbol c > result que e >. Si l ecentricidd es grnde, ls rms de l hipérbol son csi plns. Si l ecentricidd es cercn, ls rms de l hipérbol son más puntiguds, como se muestr en l figur.7. L ecentricidd es grnde L ecentricidd se cerc Vértice Foco Vértice Foco Foco Vértice Vértice Foco e = c c e = c c Figur.7

11 SECCIÓN. Cónics cálculo 7 L plicción siguiente fue desrrolld durnte l Segund Guerr Mundil. Muestr cómo los rdres otros sistems de detección pueden usr ls propieddes de l hipérbol. EJEMPLO 8 Un sistem hiperbólico de detección d d B A c 58 d d Figur.8 Dos micrófonos, un mill de distnci entre sí, registrn un eplosión. El micrófono A recibe el sonido segundos ntes que el micrófono B. Dónde fue l eplosión? Solución Suponiendo que el sonido vij pies por segundo, se sbe que l eplosión tuvo lugr pies más lejos de B que de A, como se observ en l figur.8. El lugr geométrico de todos los puntos que se encuentrn pies más cercnos A que B es un rm de l hipérbol b, donde mill 5 8 pies c = = = pies pies = = pies Como c b, se tiene que b c se puede concluir que l eplosión ocurrió en lgún lugr sobre l rm derech de l hipérbol dd por,, 5,759,. Mr Evns Picture Librr CAROLINE HERSCHEL (75-88) L primer mujer l que se le tribuó hber detectdo un nuevo comet fue l strónom ingles Croline Herschel. Durnte su vid, Croline Herschel descubrió ocho comets. En el ejemplo 8, sólo se pudo determinr l hipérbol en l que ocurrió l eplosión, pero no l loclizción ect de l eplosión. Sin embrgo, si se hubier recibido el sonido tmbién en un tercer posición C, entonces se hbrín determindo otrs dos hipérbols. L loclizción ect de l eplosión serí el punto en el que se cortn ests tres hipérbols. Otr plicción interesnte de ls cónics está relciond con ls órbits de los comets en nuestro sistem solr. De los comets identificdos hst ntes de 97, 5 tienen órbits elíptics, 95 tienen órbits prbólics 7 tienen órbits hiperbólics. El centro del Sol es un foco de cd órbit, cd órbit tiene un vértice en el punto en el que el comet se encuentr más cerc del Sol. Sin lugr duds, ún no se identificn muchos comets con órbits prbólics e hiperbólics, dichos comets psn un sol vez por nuestro sistem solr. Sólo los comets con órbits elíptics como l del comet Hlle, permnecen en nuestro sistem solr. El tipo de órbit de un comet puede determinrse de l form siguiente.. Elipse: v < GMp. Prábol: v GMp. Hipérbol: v > GMp En ests tres fórmuls, p es l distnci entre un vértice un foco de l órbit del comet (en metros), ν es l velocidd del comet en el vértice (en metros por segundo), M.989 kilogrmos es l ms del Sol, G.7 8 metros cúbicos por kilogrmo por segundo cudrdo es l constnte de grvedd.

12 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Ejercicios de l sección. En los ejercicios 8, relcionr l ecución con su gráfic. [Ls gráfics están mrcds ), b), c), d), e), f), g) h).] ) b) 8 c) d) e) f) 8 8 En los ejercicios 7, hllr el vértice, el foco l directriz de l prábol. Luego usr un grficdor pr representr l prábol En los ejercicios 8, hllr un ecución de l prábol.. Vértice:,. Vértice:, Foco:, Foco:,. Vértice:,. Foco:, Directriz: Directriz: 5.. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 7. El eje es prlelo l eje ; l gráfic ps por (, ), (, ) (, ). 8. Directriz: ; etremos del ldo recto (ltus rectum) son, 8,. (, ) g) h) En los ejercicios 9, hllr el centro, el foco, el vértice l ecentricidd de l elipse trzr su gráfic En los ejercicios 5 8, hllr el centro, el foco el vértice de l elipse. Con ud de un grficdor representr l elipse En los ejercicios 9, hllr el vértice, el foco l directriz de l prábol, trzr su gráfic En los ejercicios 9, hllr un ecución de l elipse. 9. Centro:,. Vértices:,,, Foco:, Vértice:, Ecentricidd:. Vértices:,,, 9. Foco:, ±5 Longitud del eje menor: Longitud del eje mor:

13 SECCIÓN. Cónics cálculo 75. Centro:,. Centro:, Eje mor: horizontl Eje mor: verticl Puntos en l elipse: Puntos en l elipse:,,,,,, En los ejercicios 5 5, hllr el centro, el foco el vértice de l hipérbol, trzr su gráfic usndo ls síntots como ud En los ejercicios 5 5, hllr el centro, el foco el vértice de l hipérbol. Trzr l hipérbol sus síntots con ud de un grficdor En los ejercicios 57, hllr un ecución de l hipérbol. 57. Vértice: ±, 58. Vértice:, ± Asíntot: ± Asíntot: ± 59. Vértice:, ±. Vértice:, ± Punto de un gráfic:, 5 Foco:, ±5. Centro:,. Centro:, Vértice:, Vértice:, Foco:, Foco: 5,. Vértices:,,,. Foco:, Asíntot: Asíntot: ± En los ejercicios 5, hllr ecuciones de ) ls rects tngentes b) ls rects normles l hipérbol pr el vlor ddo de , En los ejercicios 7 7, clsificr l gráfic de l ecución como circunferenci, prábol, elipse o hipérbol , 5 Desrrollo de conceptos 77. ) Dr l definición de prábol. b) Dr ls forms estándr o cnónics de un prábol con vértice en h, k. c) Epresr, con sus propis plbrs, l propiedd de refleión de un prábol. 78. ) Dr l definición de elipse. b) Dr ls forms estándr o cnónics de un elipse con centro en h, k. 79. ) Dr l definición de hipérbol b) Dr ls forms estándr o cnónics de un hipérbol con centro en h, k. c) Dr ls ecuciones de ls síntots de un hipérbol. 8. Definir l ecentricidd de un elipse. Describir con sus propis plbrs, cómo fectn l elipse ls vriciones en l ecentricidd. 8. Recolector o pnel de energí solr Un recolector o pnel de energí solr pr clentr gu se construe con un hoj de cero inoidble en form de un prábol (ver l figur). El gu flue trvés de un tubo situdo en el foco de l prábol. A qué distnci del vértice se encuentr el tubo? m m m Figur pr 8 Figur pr 8 cm No está dibujdo escl 8. Deformción de un vig Un vig de metros de longitud soport un crg que se concentr en el centro (ver l figur). L vig se deform en l prte centrl centímetros. Suponer que l deformrse, l vig dquiere l form de un prábol. ) Encontrr un ecución de l prábol. (Suponer que el origen está en el centro de l prábol.) b) A qué distnci del centro de l vig es de centímetro l deformción producid? 8. Hllr un ecución de l rect tngente l prábol en. Demostrr que l intersección de est rect tngente con el eje es,.

14 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres 8. ) Demostrr que dos rects tngentes distints culesquier un prábol se cortn o intersecn. b) Demostrr el resultdo del prtdo ) hllndo el punto de intersección de ls rects tngentes l prábol en los puntos,,. 85. ) Demostrr que si dos rects tngentes un prábol se cortn o intersecn en ángulos rectos, su punto de intersección debe estr en l directriz. b) Demostrr el resultdo del prtdo ) probndo que ls rects tngentes l prábol 8 en los puntos, 5, 5 se cortn en ángulo recto que el punto de intersección se encuentr en l directriz. 8. Sobre l gráfic de 8 hllr el punto más cercno l foco de l prábol. 87. Recepción de rdio televisión En ls áres montñoss, l recepción de rdio televisión suele ser deficiente. Considerr un cso idelizdo en el que l gráfic de l prábol, represent un colin, en el punto,, se locliz un trnsmisor, l otro ldo de l colin, en el punto,., se encuentr un receptor. Qué tn cerc de l colin puede ubicrse el receptor pr que l señl no se obstru? 88. Modelo mtemático L tbl siguiente muestr ls cntiddes promedio A de tiempo (en minutos) por dí que ls mujeres dedicron ver l televisión de 99. (Fuente: Nielsen Medi Reserch.) Año A ) Empler ls funciones de regresión de un grficdor pr hllr un modelo de l form A t bt c pr los dtos, donde t represente el ño t correspond 99. b) Empler un grficdor pr representr los dtos l gráfic del modelo. c) Hllr dadt dibujr su gráfic pr t. Qué informción cerc de l cntidd promedio de tiempo que ls mujeres dedicron ver televisión proporcion l gráfic de l derivd? 89. Arquitectur El ventnl de un iglesi está limitdo en l prte superior por un prábol, en l prte inferior por el rco de un circunferenci (ver l figur). Hllr el áre de l superficie del ventnl. 8 pies 8 pies pies Rdio de l circunferenci Cble prbólico de sujeción (, ) Figur pr 89 Figur pr 9 9. Longitud de rco Hllr l longitud de rco de l prábol en el intervlo. 9. Diseño de un puente El cble de un puente colgnte está suspendido (formndo un prábol) de dos torres metros un de l otr metros de ltur sobre l utopist. Los cbles tocn l utopist en el punto medio entre mbs torres. ) Hllr l ecución pr l form prbólic de cd cble. b) Hllr l longitud del cble prbólico de suspensión. 9. Áre de un superficie Un receptor de un nten stelitl se form por revolución lrededor del eje de l prábol. El rdio del plto es r pies. Verificr que el áre de l superficie del plto está dd por r d 9. Investigción En el mismo eje de coordends trzr ls gráfics de p con p,,,,. Anlizr l vrición que se present en ls gráfics medid que p ument. 9. Áre Hllr un fórmul pr el áre de l región sombred de l figur. h = p Figur pr 9 Figur pr Redcción En l págin 97 se señló que se puede trzr un elipse usndo dos lfileres, un cuerd de longitud fij (mor l distnci entre los dos lfileres) un lápiz. Si los etremos de l cuerd se sujetn los lfileres se tens l cuerd con el lápiz, l trectori que recorre el lápiz es un elipse. ) Cuál es l longitud de l cuerd en términos de? b) Eplicr por qué l trectori trzd por el lápiz es un elipse. 9. Construcción de un rco semielíptico Se v construir el rco de un chimene en form de un semielipse. El clro debe tener pies de ltur en el centro 5 pies de ncho en l bse (ver l figur). El constructor bosquej el perfil de l elipse siguiendo el método mostrdo en el ejercicio 95. Dónde deben colocrse los lfileres cuál debe ser l longitud del trozo de cuerd? 97. Trzr l elipse que const de todos los puntos (, ) tles que l sum de ls distncis entre (, ) dos puntos fijos es uniddes, los focos se loclizn en los centros de los dos conjuntos de circunferencis concéntrics que se muestrn en l figur r.

15 SECCIÓN. Cónics cálculo Órbit de l Tierr L Tierr se mueve en un órbit elíptic con el Sol en uno de los focos. L longitud de l mitd del eje mor es kilómetros l ecentricidd es.7. Hllr l distnci mínim (perihelio) l distnci máim (felio) entre l Tierr el Sol. 99. Órbit de un stélite El pogeo (el punto de l órbit más lejno l Tierr) el perigeo (el punto de l órbit más cercno l Tierr) de l órbit elíptic de un stélite de l Tierr están ddos por A P. Mostrr que l ecentricidd de l órbit es e A P A P.. Eplorer 8 El 7 de noviembre de 9, Estdos Unidos lnzó el Eplorer 8. Sus puntos bjo lto sobre l superficie de l Tierr fueron 9 mills mills, respectivmente. Hllr l ecentricidd de su órbit elíptic.. El comet Hlle Quizá el más conocido de todos los comets, el comet Hlle, tiene un órbit elíptic con el Sol en uno de sus focos. Se estim que su distnci máim l Sol es de 5.9 UA (unidd stronómic 9.95 mills) que su distnci mínim es de.59 UA. Hllr l ecentricidd de l órbit.. L ecución de un elipse con centro en el origen puede epresrse e. Mostrr que cundo e, permnece constnte, l elipse se proim un circunferenci.. Considerr un prtícul que se mueve en el sentido de ls mnecills del reloj siguiendo l trectori elíptic 5. L prtícul bndon l órbit en el punto 8, vij lo lrgo de un rect tngente l elipse. En qué punto cruzrá l prtícul el eje?. Volumen El tnque de gu de un crro de bomberos mide pies de lrgo, sus secciones trnsversles son elipses. Hllr el volumen de gu que h en el tnque cundo está prcilmente lleno como se muestr en l figur. 9 pies pies En los ejercicios 5, determinr los puntos en los que d/d es cero, o no eiste, pr loclizr los etremos de los ejes mor menor de l elipse pies Áre volumen En los ejercicios 7 8, hllr ) el áre de l región limitd por l elipse, b) el volumen el áre de l superficie del sólido generdo por revolución de l región lrededor de su eje mor (esferoide prolto), c) el volumen el áre de l superficie del sólido generdo por revolución de l región lrededor de su eje menor (esferoide oblto) Longitud de rco Usr ls funciones de integrción de un grficdor pr proimr, con un precisión de dos cifrs decimles, l integrl elíptic que represent el perímetro de l elipse Demostrr que l rect tngente un elipse en un punto P form ángulos igules con ls rects trvés de P de los focos (ver l figur). [Aud: ) encontrr l pendiente de l rect tngente en P, ) encontrr ls tngentes de ls rects trvés de P cd uno de los focos ) usr l fórmul de l tngente del ángulo entre dos rects.] + b = Rect tngente P = (, ) β α ( c, ) (c, ) Figur pr Figur pr. Geometrí El áre de l elipse presentd en l figur es el doble del áre del círculo. Qué longitud tiene el eje mor?. Conjetur ) Mostrr que l ecución de un elipse puede epresrse como h k e. b) Medinte un grficdor, representr l elipse pr e.95, e (, ) e.75, e.5, (, ) (, ) e.5, e. (, ) c) Usr los resultdos del prtdo b) pr hcer un conjetur cerc de l vrición en l form de l elipse medid que e se proim.. Hllr un ecución de l hipérbol tl que, pr todo punto, l diferenci entre sus distncis los puntos (, ) (, ) se.. Hllr un ecución de l hipérbol tl que, pr todo punto, l diferenci entre sus distncis los puntos (, ) (, ) se.

16 78 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres 5. Dibujr l hipérbol que const de todos los puntos (, ) tles que l diferenci de ls distncis entre (, ) dos puntos fijos se uniddes, los focos se loclicen en los centros de los dos conjuntos de circunferencis concéntrics de l figur Considerr un hipérbol centrd en el origen con eje trnsversl horizontl. Empler l definición de hipérbol pr obtener su form cnónic o estándr: b. 7. Loclizción del sonido Con un rifle posiciondo en el punto c, se dispr l blnco que se encuentr en el punto c,. Un person escuch l mismo tiempo el dispro del rifle el impcto de l bl en el blnco. Demostrr que l person se encuentr en un de ls rms de l hipérbol dd por c vs vm c vm vs vm donde v m es l velocidd inicil de l bl v s es l velocidd del sonido, l cul es proimdmente pies por segundo. 8. Nvegción El sistem LORAN (long distnce rdio nvigtion) pr viones brcos us pulsos sincronizdos emitidos por estciones de trnsmisión mu lejds un de l otr. Estos pulsos vijn l velocidd de l luz (8 mills por segundo). L diferenci en los tiempos de llegd de estos pulsos un vión o un brco es constnte en un hipérbol que tiene como focos ls estciones trnsmisors. Suponer que ls dos estciones, seprds mills un de l otr, están situds en el sistem de coordends rectngulres en 5, 5, que un brco sigue l trectori que describen ls coordends, 75. (Ver l figur.) Hllr l coordend de l posición del brco si l diferenci de tiempo entre los pulsos de ls estciones trnsmisors es microsegundos (. segundo) Figur pr 8 Figur pr 9 Espejo 8 9. Espejo hiperbólico Un espejo hiperbólico (como los que usn lgunos telescopios) tiene l propiedd de que un ro de luz dirigido uno de los focos se reflej l otro foco. El espejo que muestr l figur se describe medinte l ecución. En qué punto del espejo se reflejrá l luz procedente del punto (, ) l otro foco?. Mostrr que l ecución de l rect tngente b en el punto es b,.. Mostrr que ls gráfics de ls ecuciones se intersecn en ángulos rectos: b. Demostrr que l gráfic de l ecución A C D E F es un de ls siguientes cónics (ecepto en los csos degenerdos). Cónic Condición ) Círculo A C b) Prábol A o C (pero no mbs) c) Elipse AC > d) Hipérbol AC < Verddero o flso? En los ejercicios 8, determinr si l firmción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls.. Es posible que un prábol corte su directriz.. En un prábol, el punto más cercno l foco es el vértice. 5. Si C es el perímetro de l elipse b, b < b b. entonces b C.. Si D o E, entonces l gráfic de D E es un hipérbol. 7. Si ls síntots de l hipérbol b se cortn o intersecn en ángulos rectos, entonces b. 8. Tod rect tngente un hipérbol sólo cort o intersec l hipérbol en el punto de tngenci. Preprción del emen Putnm 9. Ddo un punto P de un elipse, se d l distnci del centro de l elipse l rect tngente l elipse en P. Demostrr que PF PF d es constnte mientrs P vrí en l elipse, donde PF PF son ls distncis de P los focos F F de l elipse.. Hllr el vlor mínimo de con < u < v >. u v u 9 v Estos problems fueron preprdos por el Committee on the Putnm Prize Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

17 SECCIÓN. Curvs plns ecuciones prmétrics (, ) t = 9 Sección. Ecución rectngulr: = 7 +, 8 7 t = 5 5 Ecuciones prmétrics: = t = t + t 7 Movimiento curvilíneo: dos vribles de posición un de tiempo Figur.9 Curvs plns ecuciones prmétrics Trzr l gráfic de un curv dd por un conjunto de ecuciones prmétrics. Eliminr el prámetro en un conjunto de ecuciones prmétrics. Hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr representr un curv. Entender dos problems clásicos del cálculo, el problem tutocron el problem brquistocron. Curvs plns ecuciones prmétrics Hst hor, se h representdo un gráfic medinte un sol ecución con dos vribles. En est sección se estudirán situciones en ls que se emplen tres vribles pr representr un curv en el plno. Considérese l trectori que recorre un objeto lnzdo l ire con un ángulo de 5. Si l velocidd inicil del objeto es 8 pies por segundo, el objeto recorre l trectori prbólic dd por Ecución rectngulr. como se muestr en l figur.9. Sin embrgo, est ecución no proporcion tod l informción. Si bien dice dónde se encuentr el objeto, no dice cuándo se encuentr en un punto ddo (, ). Pr determinr este instnte, se introduce un tercer vrible t, conocid como prámetro. Epresndo como funciones de t, se obtienen ls ecuciones prmétrics 7 t t t. Ecución prmétric pr. Ecución prmétric pr. A prtir de este conjunto de ecuciones, se puede determinr que en el instnte t, el objeto se encuentr en el punto (, ). De mner semejnte, en el instnte t, el objeto está en el punto,, sí sucesivmente. (Más delnte, en l sección. se estudirá un método pr determinr este conjunto prticulr de ecuciones prmétrics, ls ecuciones de movimiento.) En este problem prticulr de movimiento, son funciones continus de t, l trectori resultnte se le conoce como curv pln. Definición de un curv pln Si f g son funciones continus de t en un intervlo I, entonces ls ecuciones f t gt se les llm ecuciones prmétrics t se le llm el prámetro. Al conjunto de puntos (, ) que se obtiene cundo t vrí sobre el intervlo I se le llm l gráfic de ls ecuciones prmétrics. A ls ecuciones prmétrics l gráfic, junts, es lo que se le llm un curv pln, que se denot por C. NOTA Alguns veces es importnte distinguir entre un gráfic (conjunto de puntos) un curv (los puntos junto con ls ecuciones prmétrics que los definen). Cundo se importnte hcer est distinción, se hrá de mner eplícit. Cundo no se importnte se emplerá C pr representr l gráfic o l curv, indistintmente.

18 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Cundo se dibuj ( mno) un curv dd por un conjunto de ecuciones prmétrics, se trzn puntos en el plno. Cd conjunto de coordends (, ) está determindo por un vlor elegido pr el prámetro t. Al trzr los puntos resultntes de vlores crecientes de t, l curv se v trzndo en un dirección específic. A esto se le llm l orientción de l curv. EJEMPLO Trzdo de un curv Trzr l curv dd por ls ecuciones prmétrics t t, t. Solución Pr vlores de t en el intervlo ddo, se obtienen, prtir de ls ecuciones prmétrics, los puntos (, ) que se muestrn en l tbl. t = t = t = t = t = t = t 5 Figur. Ecuciones prmétrics: = t = t, t Al trzr estos puntos en orden de vlores crecientes de t usndo l continuidd de f de g se obtiene l curv C que se muestr en l figur.. H que observr ls flechs sobre l curv que indicn su orientción conforme t ument de. t = t = t = t = t = t = NOTA De cuerdo con el criterio de l rect verticl, puede verse que l gráfic mostrd en l figur. no define en función de. Esto pone de mnifiesto un ventj de ls ecuciones prmétrics: pueden emplerse pr representr gráfics más generles que ls gráfics de funciones. A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuciones prmétrics tienen l mism gráfic. Por ejemplo, el conjunto de ecuciones prmétrics Figur. Ecuciones prmétrics: = t = t, t t t t, tiene l mism gráfic que el conjunto ddo en el ejemplo. Sin embrgo, l comprr los vlores de t en ls figurs.., se ve que l segund gráfic se trz con mor rpidez (considerndo t como tiempo) que l primer gráfic. Por lo que en ls plicciones, pueden emplerse distints ecuciones prmétrics pr representr ls diverss velociddes ls que los objetos recorren un trectori determind. TECNOLOGÍA L morí de ls grficdors cuent con un modo prmétrico de grficción. Se puede empler uno de estos dispositivos pr confirmr ls gráfics mostrds en ls figurs... Represent l curv dd por t 8t t, t l mism gráfic que l mostrd en ls figurs..? Qué se observ respecto l orientción de est curv?

19 SECCIÓN. Curvs plns ecuciones prmétrics 7 Eliminción del prámetro Al encontrr l ecución rectngulr que represent l gráfic de un conjunto de ecuciones prmétrics se le llm eliminción del prámetro. Por ejemplo, el prámetro del conjunto de ecuciones prmétrics del ejemplo se puede eliminr como sigue. Ecuciones prmétrics Despejr t de un de ls ecuciones Sustituir en l otr ecución Ecución rectngulr t t t Un vez elimindo el prámetro, se ve que l ecución represent un prábol con un eje horizontl vértice en,, como se ilustr en l figur.. El rngo de implicdo por ls ecuciones prmétrics puede lterrse l psr l form rectngulr. En esos csos, el dominio de l ecución rectngulr debe justrse de mner que su gráfic coincid con l gráfic de ls ecuciones prmétrics. En el ejemplo siguiente se muestr est situción. EJEMPLO Ajustr el dominio después de l eliminción del prámetro Dibujr l curv representd por ls ecuciones t = t = t t t, t > eliminndo el prámetro justndo el dominio de l ecución rectngulr resultnte. t =.75 Ecuciones prmétrics: =, = t, t > t + t + Figur. Ecución rectngulr: =, > Solución Pr empezr se despej t de un de ls ecuciones prmétrics. Por ejemplo, se puede despejr t de l primer ecución. t Ecución prmétric pr. Elevr l cudrdo cd ldo. Despejr t. Sustituendo hor, en l ecución prmétric pr, se obtiene t t t t t Ecución prmétric pr. Sustitución de t por.. Simplificr. L ecución rectngulr,, está definid pr todos los vlores de, sin embrgo en l ecución prmétric pr se ve que l curv sólo está definid pr t >. Esto implic que el dominio de debe restringirse vlores positivos, como se ilustr en l figur..

20 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres En un conjunto de ecuciones prmétrics, el prámetro no necesrimente represent tiempo. El siguiente ejemplo emple un ángulo como prámetro. EJEMPLO Empler trigonometrí pr eliminr un prámetro Dibujr l curv representd por θ = cos sen sin, l eliminr el prámetro hllr l ecución rectngulr correspondiente. Solución Pr empezr se despejn cos θ sen θ de ls ecuciones dds. θ = θ = Ecuciones prmétrics: = cos θ, = sen θ Ecución rectngulr: + = 9 Figur. θ = cos sen sin Despejr cos θ sen θ. A continución, se hce uso de l identidd sen sin cos pr formr un ecución en l que sólo prezcn. cos sen sin 9 Identidd trigonométric. Sustituir. Ecución rectngulr. En est ecución rectngulr, puede verse que l gráfic es un elipse centrd en,, con vértices en,, eje menor de longitud b, como se muestr en l figur.. Obsérvese que l elipse está trzd en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj que θ v de. El empleo de l técnic presentd en el ejemplo, permite concluir que l gráfic de ls ecuciones prmétrics h cos k b sin sen, es un elipse (trzd en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj) dd por h k b. L gráfic de ls ecuciones prmétrics h sen sin k b cos, tmbién es un elipse (trzd en sentido de ls mnecills del reloj) dd por h k b. Empler un grficdor en modo prmétrico pr elborr ls gráfics de vris elipses. En los ejemplos, es importnte notr que l eliminción del prámetro es principlmente un ud pr trzr l curv. Si ls ecuciones prmétrics representn l trectori de un objeto en movimiento, l gráfic sol no es suficiente pr describir el movimiento del objeto. Se necesitn ls ecuciones prmétrics que informn sobre l posición, dirección velocidd, en un instnte determindo.

21 SECCIÓN. Curvs plns ecuciones prmétrics 7 Hllr ecuciones prmétrics Los primeros tres ejemplos de est sección, ilustrn técnics pr dibujr l gráfic que represent un conjunto de ecuciones prmétrics. Ahor se investigrá el problem inverso. Cómo determinr un conjunto de ecuciones prmétrics pr un gráfic o un descripción físic dds? Por el ejemplo se sbe que tl representción no es únic. Esto se demuestr más mplimente en el ejemplo siguiente, en el que se encuentrn dos representciones prmétrics diferentes pr un gráfic dd. EJEMPLO Hllr ls ecuciones prmétrics pr un gráfic dd Hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr representr l gráfic de, usndo cd uno de los prámetros siguientes. ) t b) L pendiente m d en el punto, d Solución ) Hciendo t se obtienen ls ecuciones prmétrics t t. b) Pr epresr en términos del prámetro m, se puede proceder como sigue. m d d Derivd de. m = m Despejr. m = m = Con esto se obtiene un ecución prmétric pr. Pr obtener un ecución prmétric pr, en l ecución originl se sustitue por m. m Escribir l ecución rectngulr originl. Sustitución de por m. m = m = Ecución rectngulr: = Ecuciones prmétrics: m m = =, Figur. m Simplificción. Por tnto, ls ecuciones prmétrics son m m. En l figur. obsérvese que l orientción de l curv resultnte es de derech izquierd, determind por l dirección de los vlores crecientes de l pendiente m. En el prtdo ), l curv puede hber tenido l orientción opuest. TECNOLOGÍA Pr usr de mner eficiente un grficdor es importnte desrrollr l destrez de representr un gráfic medinte un conjunto de ecuciones prmétrics. L rzón es que muchs grficdors sólo tienen tres modos de grficción: ) funciones, ) ecuciones prmétrics ) ecuciones polres. L mor prte de ls grficdors no están progrmds pr elborr l gráfic de un ecución generl. Supóngse, por ejemplo, que se quiere elborr l gráfic de l hipérbol. Pr hcer l gráfic de l hipérbol en el modo función, se necesitn dos ecuciones:. En el modo prmétrico, l gráfic puede representrse medinte sec t tn t.

22 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres CICLOIDES Glileo fue el primero en llmr l tención hci l cicloide, recomendndo que se empler en los rcos de los puentes. En ciert ocsión, Pscl psó ocho dís trtndo de resolver muchos de los problems de ls cicloides, problems como encontrr el áre bjo un rco el volumen del sólido de revolución generdo l hcer girr l curv sobre un rect. L cicloide tiene tnts propieddes interesntes h generdo tnts disputs entre los mtemáticos que se le h llmdo l Helen de l geometrí l mnzn de l discordi. PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción cerc de ls cicloides, consultr el rtículo The Geometr in Rolling Curves de John Bloom Lee Whitt en The Americn Mthemticl Monthl. EJEMPLO 5 Ecuciones prmétrics de un cicloide Determinr l curv descrit por un punto P en l circunferenci de un círculo de rdio que rued lo lrgo de un rect en el plno. A ests curvs se les llm cicloides. Solución Se el prámetro que mide l rotción del círculo supóngse que l inicio el punto P, se encuentr en el origen. Cundo P se encuentr en el origen. Cundo P está en un punto máimo,. Cundo vuelve l eje en,. En l figur.5 se ve que APC 8. Por tnto,, sen sin sen sen sinapc AC BD cos cosapc AP lo cul implic que AP cos BD sen sin. Como el círculo rued lo lrgo del eje, se sbe que OD PD. Además, como BA DC, se tiene sin8 cos8 OD BD sen sin BA AP cos. Por tnto, ls ecuciones prmétrics son sen sin cos.,, P P = (, ) Cicloide: = ( θ sen θ) = ( cos θ) (, ) (, ) O A B Figur.5 θ D C (, ) (, ) TECNOLOGÍA Alguns grficdors permiten simulr el movimiento de un objeto que se mueve en el plno o en el espcio. Se recomiend usr un de ests grficdors pr trzr l trectori de l cicloide que se muestr en l figur.5. L cicloide de l figur.5 tiene esquins guds en los vlores n. Obsérvese que ls derivds son mbs cero en los puntos en los que n. sen sin cos cos sen sin n n Entre estos puntos, se dice que l cicloide es suve. Definición de un curv suve Un curv C representd por f t gt en un intervlo I se dice que es suve si son continus en I no son simultánemente, ecepto posiblemente en los puntos terminles de I. L curv C se dice que es suve trozos si es suve en todo subintervlo de lgun prtición de I. f g

23 SECCIÓN. Curvs plns ecuciones prmétrics 75 Los problems del tutocron del brquistocron B A C El tiempo que requiere un péndulo pr relizr un oscilción complet si prte del punto C es proimdmente el mismo que si prte del punto A Figur. El tipo de curv descrito en el ejemplo 5 está relciondo con uno de los más fmosos pres de problems de l histori del cálculo. El primer problem (llmdo el problem del tutocron) empezó con el descubrimiento de Glileo de que el tiempo requerido pr un oscilción complet de un péndulo ddo es proimdmente el mismo se que efectúe un movimiento lrgo lt velocidd o un movimiento corto menor velocidd (ver l figur.). Y trde durnte su vid, Glileo (5-) comprendió que podí empler este principio pr construir un reloj. Sin embrgo, no logró llegr l mecánic necesri pr construirlo. Christin Hugens (9-95) fue el primero en diseñr construir un modelo que funcionr. En su trbjo con los péndulos, Hugens observó que un péndulo no reliz oscilciones de longitudes diferentes en ectmente el mismo tiempo. (Esto no fect l reloj de péndulo porque l longitud del rco circulr se mntiene constnte dándole l péndulo un ligero impulso cd vez que ps por su punto más bjo.) Pero l estudir el problem, Hugens descubrió que un pelotit que rued hci trás hci delnte en un cicloide invertid complet cd ciclo en ectmente el mismo tiempo. A The Grnger Collection B Un cicloide invertid es l trectori descendente que un pelotit rodrá en el tiempo más corto Figur.7 JAMES BERNOULLI (5-75) Jmes Bernoulli, tmbién llmdo Jcques, er el hermno mor de John. Fue uno de los mtemáticos consumdos de l fmili suiz Bernoulli. Los logros mtemáticos de Jmes le hn ddo un lugr prominente en el desrrollo inicil del cálculo. El segundo problem, que fue plntedo por John Bernoulli en 9, es el llmdo problem del brquistocron (en griego brchs signific corto cronos signific tiempo). El problem consistí en determinr l trectori descendente por l que un prtícul se desliz del punto A l punto B en el menor tiempo. Vrios mtemáticos se bocron l problem un ño después el problem fue resuelto por Newton, Leibniz, L Hopitl, John Bernoulli Jmes Bernoulli. Como se encontró, l solución no es un rect de A B, sino un cicloide invertid que ps por los puntos A B, como se muestr en l figur.7. Lo sorprendente de l solución es que un prtícul, que prte del reposo en culquier otro punto C, entre A B, de l cicloide trd ectmente el mismo tiempo en llegr B, como se muestr en l figur.8. A C B Un pelotit que prte del punto C trd el mismo tiempo en llegr l punto B que un que prte del punto A Figur.8 PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr ver un demostrción del fmoso problem del brquistocron, consultr el rtículo A New Minimiztion Proof for the Brchistochrone de Gr Lwlor en The Americn Mthemticl Monthl.

24 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Ejercicios de l sección.. Considerr ls ecuciones prmétrics t t. ) Completr l tbl. t b) Trzr los puntos (, ) generdos en l tbl, dibujr un gráfic de ls ecuciones prmétrics. Indicr l orientción de l gráfic. c) Verificr l gráfic elbord en el prtdo b) emplendo un grficdor. d) Hllr l ecución rectngulr medinte eliminción del prámetro dibujr su gráfic. Comprr l gráfic generd en el prtdo b) con l gráfic de l ecución rectngulr.. Considerr ls ecuciones prmétrics cos sen θ. ) Completr l tbl. b) Trzr los puntos (, ) generdos en l tbl, dibujr un gráfic de ls ecuciones prmétrics. Indicr l orientción de l gráfic. c) Verificr l gráfic elbord en el prtdo b) emplendo un grficdor. d) Hllr l ecución rectngulr medinte l eliminción del prámetro dibujr su gráfic. Comprr l gráfic generd en el prtdo b) con l gráfic de l ecución rectngulr. e) Si se seleccionrn vlores de en el intervlo, pr l tbl del prtdo ), serí diferente l gráfic del prtdo b)? Eplicr el rzonmiento. En los ejercicios, trzr l curv que represent ls ecuciones prmétrics (indicr l orientción de l curv), eliminndo el prámetro dr l ecución rectngulr correspondiente.. t, t. t, t 5. t, t. t, t 7. t, t 8. t t, t t 9. t, t. t, t. t, t t. t, t. t, t. t, t 5. e t, e t. e t, e t sec, cos, tn, sec <, < 9. cos, sen sin. cos, sen sin En los ejercicios, usr un grficdor pr trzr l curv que represent ls ecuciones prmétrics (indicr l orientción de l curv). Eliminr el prámetro dr l ecución rectngulr correspondiente.. sen sin, cos. cos, sin sen. cos. cos sen sin 5. cos. sec sen sin 7. sec, tn 8. cos, sen sin 9. t, ln t. ln t, t. e t, e t. e t, e t Comprción de curvs plns En los ejercicios, determinr tod diferenci entre ls curvs de ls ecuciones prmétrics. Son igules ls gráfics? Son igules ls orientciones? Son suves ls curvs?. ) t b) cos t cos c) e t d) e t e t. ) cos b) sen sin c) t d) e t t 5. ) cos b) cos sen sin < <. ) t, t b) 7. Conjetur ) Usr un grficdor pr trzr ls curvs representds por los dos conjuntos de ecuciones prmétrics. cos t sen sin t e t < cost sen sint sen sin tn e t t t t sen sin t, t b) Describir el cmbio en l gráfic si se cmbi el signo del prámetro. c) Formulr un conjetur respecto l cmbio en l gráfic de ls ecuciones prmétrics cundo se cmbi el signo del prámetro. d) Probr l conjetur con otro conjunto de ecuciones prmétrics. 8. Redcción Revisr los ejercicios escribir un párrfo breve que describ cómo ls gráfics de curvs representds por diferentes conjuntos de ecuciones prmétrics pueden diferir un cundo l eliminción del prámetro dé l mism ecución rectngulr. <

25 SECCIÓN. Curvs plns ecuciones prmétrics 77 En los ejercicios 9, eliminr el prámetro obtener l form estándr o cnónic de l ecución rectngulr. 9. Rect que ps por,, : t, t. Círculo: h r cos, k r sen sin. Elipse: h cos, k b sin. Hipérbol: h sec, k b tn En los ejercicios 5, empler los resultdos de los ejercicios 9 pr hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l rect o pr l cónic.. Rect: ps por (, ) 5,. Rect: ps por (, ) 5, 5. Círculo: centro: (, ); rdio:. Círculo: centro:, ; rdio: 7. Elipse: vértice: ±5, ; foco: ±, 8. Elipse: vértices: (, 7),, ; foco: (, 5),, 9. Hipérbol: vértice: ±, ; foco: ±5, 5. Hipérbol: vértice:, ±; foco:, ± En los ejercicios 5 5, hllr dos conjuntos diferentes de ecuciones prmétrics pr l ecución rectngulr En los ejercicios 55, empler un grficdor pr representr l curv descrit por ls ecuciones prmétrics. Indicr l dirección de l curv e identificr todos los puntos en los que l curv no se suve. 55. Cicloide: sen sin, cos 5. Cicloide: sen 57. Cicloide lrgd: sen 58. Cicloide lrgd: sen sin, cos 59. Hipocicloide: cos, sen sin. Cicloide cort: sen sin, cos. Hechicer o bruj de Agnesi: cot, sen sin sin, cos sin, cos. Hoj o folio de Descrtes: t t t, t Desrrollo de conceptos (continución). Asocir cd conjunto de ecuciones prmétrics con su gráfic correspondiente. [Ls gráfics están etiquetds ), b), c), d), e) f).] Eplicr el rzonmiento. ) b) 7. Cicloide cort Un disco de rdio rued lo lrgo de un rect sin deslizr. L curv trzd por un punto P que se encuentr b uniddes del centro b < se denomin cicloide cort o cortd (ver l figur). Usr el ángulo θ pr hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr est curv. c) d) e) f) i) t, t ii) sen sin, sin sen iii) Curv de Lissjous: cos, sen sin iv) Evolut de un elipse: cos, sen sin v) Evolvente o involut de un círculo: cos sen sen sin vi) Curv serpentin: cot, sen sin cos sin, cos Desrrollo de conceptos. Estblecer l definición de un curv pln dd por ecuciones prmétrics.. Eplicr el proceso del trzdo de un curv pln dd por ecuciones prmétrics. Qué se entiende por orientción de l curv? 5. Dr l definición de curv suve. P θ b (, b) (, + b) Figur pr 7 Figur pr 8 θ (, )

26 78 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres 8. Epicicloide Un círculo de rdio rued sobre otro círculo de rdio. L curv trzd por un punto sobre l circunferenci del círculo más pequeño se llm epicicloide (ver l figur en l págin nterior). Usr el ángulo θ pr hllr un conjunto de ecuciones prmétrics de est curv. Verddero o flso? En los ejercicios 9 7, determinr si l firmción es verdder o fls. En cso de que se fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que muestre que es fls. 9. L gráfic de ls ecuciones prmétrics t t es l rect. 7. Si es función de t es función de t, entonces es función de. Movimiento de un proectil En los ejercicios 7 7, considerr un proectil que se lnz un ltur de h pies sobre el suelo un ángulo con l horizontl. Si l velocidd inicil es v pies por segundo, l trectori del proectil qued descrit por ls ecuciones prmétrics v h v sin t t cos t sen. 7. L cerc que delimit el jrdín centrl en un prque de béisbol tiene un ltur de pies se encuentr pies del plto de home. L pelot es golped por el bte un ltur de pies sobre el suelo. Si l pelot se lej del bte con un ángulo de grdos con l horizontl un velocidd de mills por hor (ver l figur). θ pies pies pies Proecto de l trbjo: Cicloides En griego, l plbr ccloid signific rued, l plbr hipocicloide signific bjo l rued, l plbr epicicloide signific sobre l rued. Asocir l hipocicloide o epicicloide con su gráfic. [Ls gráfics están mrcds ), b), c), d), e) f).] Hipocicloide, H(A, B) Trectori descrit por un punto fijo en un círculo de rdio B que rued lo lrgo de l cr interior de un círculo de rdio A A B cos t B cos A B B t A B sin t B sin A B sen sen B t Epicicloide, E(A, B) Trectori descrit por un punto fijo en un círculo de rdio B que rued lo lrgo de l cr eterior de un círculo de rdio A A B cos t B cos A B B t A B sin t B sin A B sen sen B t I. H(8, ) II. E(8,) III. H(8, 7) IV. E(, ) V. H(, 7) VI. E(, 7) ) b) ) Dr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l trectori de l pelot. b) Usr un grficdor pr representr l trectori de l pelot si Es el golpe un home run? c) Usr un grficdor pr representr l trectori de l pelot si Es el golpe un home run? d) Hllr el ángulo mínimo l cul l pelot debe lejrse del bte si se quiere que el golpe se un home run. 7. Un ecución rectngulr pr l trectori de un proectil es 5.5. ) Eliminr el prámetro t de l función de posición del movimiento de un proectil pr mostrr que l ecución rectngulr es 5.. sec v tn h. b) Usr el resultdo del prtdo ) pr hllr h, v θ. Hllr ls ecuciones prmétrics de l trectori. c) Usr un grficdor pr trzr l gráfic de l ecución rectngulr de l trectori del proectil. Confirmr l respuest dd en el prtdo b) dibujr l curv representd por ls ecuciones prmétrics. d) Usr un grficdor pr proimr l ltur máim del proectil su rngo. c) d) e) f) Ejercicios bsdos en Mthemticl Discover vi Computer Grphics: Hpoccloids nd Epiccloids de Florence S. Gordon Sheldon P. Gordon, College Mthemtics Journl, noviembre de 98, p.. Uso utorizdo por los utores.

27 SECCIÓN. Ecuciones prmétrics cálculo 79 Sección. Ecuciones prmétrics cálculo Hllr l pendiente de un rect tngente un curv dd por un conjunto de ecuciones prmétrics. Hllr l longitud de rco de un curv dd por un conjunto de ecuciones prmétrics. Hllr el áre de un superficie de revolución (form prmétric). = t = t + t 5 En el momento t, el ángulo de elevción del proectil es θ, l pendiente de l rect tngente en ese punto Figur.9 θ Pendiente rects tngentes Ahor que se sbe representr un gráfic en el plno medinte un conjunto de ecuciones prmétrics, lo nturl es preguntrse cómo empler el cálculo pr estudir ests curvs plns. Pr empezr, h que dr otr mird l proectil representdo por ls ecuciones prmétrics t t t como se ilustr en l figur.9. De lo visto en l sección., se sbe que ests ecuciones permiten loclizr l posición del proectil en un instnte ddo. Tmbién se sbe que el objeto es proectdo inicilmente con un ángulo de 5. Pero, cómo puede encontrrse el ángulo θ que represent l dirección del objeto en lgún otro instnte t? El teorem siguiente responde est pregunt proporcionndo un fórmul pr l pendiente de l rect tngente en función de t. TEOREMA.7 Form prmétric de l derivd Si un curv suve C está dd por ls ecuciones f t gt, entonces l pendiente de C en, es d d ddt ddt, d dt. ( f(t + t), g(t + t)) ( f(t), g(t)) L pendiente de l rect secnte que ps por los puntos ft, gt ft t, gt t es. Figur. Demostrción En l figur., considérese t > se gt t gt f t t f t. Como cundo t, se puede escribir d d lim lím lím lim t Dividiendo tnto el numerdor como el denomindor entre t, se puede empler l derivbilidd o diferencibilidd de f g pr concluir que d d lim gt t gtt lím t f t t f tt gt t gt lím lim t t f t t f t lim t t gt ft ddt ddt. gt t gt f t t f t.

28 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Derivción o diferencición form prmétric Hllr dd pr l curv dd por sen sin t cos t. AYUDA DE ESTUDIO L curv del ejemplo es un circunferenci. Empler l fórmul d d tn t pr hllr su pendiente en los puntos (, ) (, ). Solución d d ddt ddt sin sen t cos t Como dd es función de t, puede emplerse el teorem.7 repetidmente pr hllr ls derivds de orden superior. Por ejemplo, d d d d d d d d d d d d tn t d dt d d ddt d dt d d ddt. Segund derivd. Tercer derivd. EJEMPLO Hllr pendiente concvidd (, ) t = m = 8 Pr l curv dd por t hllr l pendiente l concvidd en el punto,. Solución Como d d ddt ddt t t t se puede hllr que l segund derivd es d d d dt dd ddt t, d dt t ddt t t t. t Form prmétric de l primer derivd. Form prmétric de l segund derivd. En,,, se tiene que t, l pendiente es d d 8. = t = (t ) En (, ), donde t, l gráfic es cóncv hci rrib Figur. Y, cundo t, l segund derivd es d > d por lo que puede concluirse que en (, ) l gráfic es cóncv hci rrib, como se muestr en l figur.. Como en ls ecuciones prmétrics f t gt no se necesit que esté definid en función de, puede ocurrir que un curv pln forme un lzo se corte sí mism. En esos puntos l curv puede tener más de un rect tngente, como se muestr en el ejemplo siguiente.

29 SECCIÓN. Ecuciones prmétrics cálculo 7 = t sen t = cos t Rect tngente (t = /) EJEMPLO Un curv con dos rects tngentes en un punto L cicloide lrgd dd por t sen sin t cos t se cort sí mism en el punto (, ), como se ilustr en l figur.. Hllr ls ecuciones de ls dos rects tngentes en este punto. (, ) Rect tngente (t = /) Est cicloide lrgd tiene dos rects tngentes en el punto (, ) Figur. Solución Como cundo t ±, d d ddt ddt se tiene dd cundo t dd cundo t. Por tnto, ls dos rects tngentes en (, ) son. sin t sen cos t Rect tngente cundo t. Rect tngente cundo t. Si ddt ddt cundo t t, l curv representd por f t gt tiene un tngente horizontl en f t, gt. Así, en el ejemplo, l curv dd tiene un tngente horizontl en el punto, (cundo t ). De mner semejnte, si ddt ddt cundo t t, l curv representd por f t gt tiene un tngente verticl en f t, gt. Longitud de rco Se h visto cómo pueden emplerse ls ecuciones prmétrics pr describir l trectori de un prtícul que se mueve en el plno. Ahor se desrrollrá un fórmul pr determinr l distnci recorrid por un prtícul lo lrgo de su trectori. Recuérdese de l sección 7., que l fórmul pr hllr l longitud de rco de un curv C dd por h en el intervlo, es s h d d Si C está representd por ls ecuciones prmétrics f t gt, t b, si ddt ft >, se puede escribir s d d d ddt ddt d d d. b b b d dt d dt dt ddt d ddt ddt dt dt ft gt dt.

30 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres NOTA Al plicr l fórmul pr l longitud de rco un curv, h que segurrse de que l curv recorr un sol vez en el intervlo de integrción. Por ejemplo, el círculo ddo por cos t sen t, recorre un sol vez el intervlo t, pero recorre dos veces el intervlo t. ARCO DE UNA CICLOIDE L longitud de un rco de un cicloide fue clculd por vez primer en 58 por el rquitecto mtemático inglés Christopher Wren, fmoso por reconstruir muchos edificios e iglesis en Londres, entre los que se encuentr l Ctedrl de St. Pul. = 5 cos t cos 5t = 5 sen t sen 5t t se increment Un punto en el círculo pequeño es el que trz un epicicloide en l medid que el círculo pequeño rued lrededor del círculo grnde Figur. En l sección nterior se vio que si un círculo rued lo lrgo de un rect, cd punto de su circunferenci trzrá un trectori llmd cicloide. Si el círculo rued sobre otro círculo, l trectori del punto es un epicicloide. El ejemplo siguiente muestr cómo hllr l longitud de rco de un epicicloide. EJEMPLO Clculr l longitud de rco Un círculo de rdio, rued sobre otro círculo mor de rdio, como se muestr en l figur.. L epicicloide trzd por un punto en el círculo más pequeño está dd por TEOREMA.8 b s d dt d 5 cos t cos 5t 5 sen sin t sen sin 5t. Hllr l distnci recorrid por el punto l dr un vuelt complet lrededor del círculo mor. Solución Antes de plicr el teorem.8, h que observr en l figur. que l curv tiene puntos ngulosos en t t. Entre estos dos puntos, ddt ddt no son simultánemente. Por tnto, l porción de l curv que se gener de t t es suve. Pr hllr l distnci totl recorrid por el punto, clculr l longitud de rco que se encuentr en el primer cudrnte multiplicr por. s d Form prmétric de l longitud de rco. dt d dt dt 5 sen sin t 5 sin sen5t 5 cos t 5 cos 5t dt sen sin t sen sin 5t cos t cos 5t dt cos t dt sen sin t dt Identidd trigonométric. sin sent dt cos t Longitud de rco en form prmétric Si un curv suve C está dd por f t gt C no se intersec sí mism en el intervlo t b (ecepto quizá en los puntos terminles), entonces l longitud de rco de C en ese intervlo está dd por dt b dt ft gt dt. Pr l epicicloide de l figur., prece un longitud de rco correct, puesto que l circunferenci de un círculo de rdio es r 7.7.

31 SECCIÓN. Ecuciones prmétrics cálculo 7.5 pulg EJEMPLO 5 Longitud de un cint mgnetofónic Un cint mgnetofónic de. pulgd de espesor se enroll en un bobin cuo rdio interior mide.5 pulgd cuo rdio eterior mide pulgds, como se muestr en l figur.. Cuánt cint se necesit pr llenr l bobin? Figur.. pulg pulg = r cos θ = r senθ (, ) r θ Solución Pr crer un modelo pr este problem, supóngse que medid que l cint se enroll en l bobin su distnci r l centro se increment en form linel rzón de. pulgd por revolución, o r., donde está medido en rdines. Se pueden determinr ls coordends del punto (, ) correspondientes un rdio ddo r cos r sen sin. Al sustituir r, se obtienen ls ecuciones prmétrics sin. cos sen L fórmul de l longitud de rco se puede empler pr determinr que l longitud totl de l cint es s d ln,78 inches pulgds 98 feet pies d d d d sin cos cos sin d sen d sen Tbls de integrción (péndice B), fórmul. NOTA L gráfic de r se llm espirl de Arquímedes. L gráfic de r θ/ ((ejemplo 5) es de este tipo. PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre ls mtemátics de un cint mgnetofónic, consultr Tpe Counters de Richrd L. Roth en The Americn Mthemticl Monthl. L longitud de l cint del ejemplo 5 puede ser proimd si se sumn ls porciones circulres de l cint. El rdio de l más pequeñ es de.5 el rdio de l más grnde es de. s i i 5.5 5(.5.(.55 5)( 5)/,78 inches pulgds

32 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Áre de un superficie de revolución L fórmul pr el áre de un superficie de revolución en form rectngulr puede usrse pr desrrollr un fórmul pr el áre de l superficie en form prmétric. TEOREMA.9 Áre de un superficie de revolución Si un curv suve C dd por f t gt no se cort sí mism en un intervlo t b, entonces el áre S de l superficie de revolución generd por rotción de C en torno uno de los ejes de coordends, está dd por. b. S gt Revolución en torno l eje : gt. d dt d dt dt b. f t Revolución en torno l eje : f t. d dt d dt dt S Ests fórmuls son fáciles de recordr si se consider l diferencil de l longitud de rco como ds d dt d dt dt. Entonces ls fórmuls se epresn como sigue. b. S gt ds. b S f t ds ( ), C (, ) Est superficie de revolución tiene un áre de superficie de 9 Figur.5 EJEMPLO Hllr el áre de un superficie de revolución Se C el rco de l circunferenci 9 que v desde, hst,, como se ve en l figur.5. Encontrr el áre de l superficie generd por revolución de C lrededor del eje. Solución C se puede representr en form prmétric medinte ls ecuciones cos t sen sin t, t. (El intervlo pr t se obtiene observndo que t cundo t cundo. En este intervlo, C es suve es no negtiv, se puede plicr el teorem.9 pr obtener el áre de l superficie Fórmul pr el áre de un S sen sin t sen sin t cos t dt superficie de revolución. sen sin t9sin sen t cos t dt sen sin t dt Identidd trigonométric. 8 cos t 8 9.

33 SECCIÓN. Ecuciones prmétrics cálculo 75 Ejercicios de l sección. En los ejercicios, hllr d/d.. t, 5 t. t, t. sin, cos. e, e En los ejercicios 5, hllr d/d d /d, hllr l pendiente l concvidd (de ser posible) en el punto correspondiente l vlor ddo del prámetro. En los ejercicios, hllr ls ecuciones de ls rects tngentes en el punto en el que l curv se cort sí mism.. sen sin t, sen sin t. cos t, t sen sin t. t t, t t. t t, t Ecuciones prmétrics t, t t, t t, t t t t, t cos, sen sin cos, sen sin sec, tn t, t cos, sen sin sen sin, cos Punto t t t t t En los ejercicios 5, hllr todos los puntos de tngenci horizontl verticl (si los h) l porción de l curv que se muestr. 5. Evolvente o involut de un círculo:. cos sen sin 8 sin cos θ sen 8 8 cos 8 En los ejercicios 5, hllr un ecución pr l rect tngente en cd uno de los puntos ddos de l curv. 5. cot. cos En los ejercicios 7, ) usr un grficdor pr trzr l curv representd por ls ecuciones prmétrics, b) usr un grficdor pr hllr d/dt, d/dt d/d pr el vlor ddo del prámetro, c) hllr un ecución de l rect tngente l curv en el vlor ddo del prámetro, d) usr un grficdor pr trzr l curv l rect tngente del prtdo c) sen sin (, ), ( ) Ecuciones prmétrics t, t t, t t t, t t cos, sen sin (, ) sen sin 5 (, 5) Prámetro t t (, ) t + (, ) 5 En los ejercicios 7, hllr todos los puntos de tngenci horizontl verticl (si los h) l curv. Usr un grficdor pr confirmr los resultdos t, t t, t t t, t t t t, t t cos, sen sin cos, sen sin. cos, sen sin. cos, sen sin 5.. sec, tn cos, cos En los ejercicios 7, determinr los intervlos de t en los que l curv es cóncv hci bjo o cóncv hci rrib. 7. t, t t t, t ln t, t t t ln t.. t, sen sin t, ln t cos t, < t <. cos t, sin sent, < t <

34 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Longitud de rco En los ejercicios, dr un integrl que represente l longitud de rco de l curv en el intervlo ddo. No evlur l integrl. Ecuciones prmétrics. t t, t. ln t, t 5.. e t, t sen sin t, t t cos t Intervlo Longitud de rco En los ejercicios 7 5, hllr l longitud de rco de l curv en el intervlo ddo Ecuciones prmétrics 7. t, t 8. t, t e t cos t, e t sen sin t 5. rcsin sent, ln t 5. t, t t, t 5 t Intervlo Longitud de rco En los ejercicios 5 5, hllr l longitud de rco de l curv en el intervlo [, ]. 5. Perímetro de un hipocicloide: cos, sen sin 5. Circunferenci de un círculo: cos, sen sin 55. Arco de un cicloide: sen sin, cos 5. Evolvente o involut de un círculo: cos sen sen 57. Trectori de un proectil L trectori de un proectil se describe por medio de ls ecuciones prmétrics 9 cos t donde se miden en pies. ) Utilizr un grficdor pr trzr l trectori del proectil. b) Utilizr un grficdor pr estimr el rngo lcnce del proectil. c) Utilizr ls funciones de integrción de un grficdor pr proimr l longitud de rco de l trectori. Comprr este resultdo con el lcnce del proectil. 58. Trectori de un proectil Si el proectil del ejercicio 57 se lnz formndo un ángulo con l horizontl, sus ecuciones prmétrics son 9 cos t sin, sin cos t t t t t t t t t t 9 sen sin t t 9 sen sin t t. Usr un grficdor pr hllr el ángulo que mimiz el lcnce del proectil. Qué ángulo mimiz l longitud de rco de l trectori? 59. Hoj (o folio) de Descrtes Considerr ls ecuciones prmétrics t t ) Usr un grficdor pr trzr l curv descrit por ls ecuciones prmétrics. b) Usr un grficdor pr hllr los puntos de tngenci horizontl l curv. c) Usr ls funciones de integrción de un grficdor pr proimr l longitud de rco del lzo cerrdo. (Sugerenci: Usr l simetrí e integrr sobre el intervlo t.. Hechicer o bruj de Agnesi Considerr ls ecuciones prmétrics cot sen sin,. ) Empler un grficdor pr trzr l curv descrit por ls ecuciones prmétrics. b) Utilizr un grficdor pr hllr los puntos de tngenci horizontl l curv. c) Usr ls funciones de integrción de un grficdor pr proimr l longitud de rco en el intervlo.. Redcción ) Usr un grficdor pr representr cd conjunto de ecuciones prmétrics. t sen sin t cos t t b) Comprr ls gráfics de los dos conjuntos de ecuciones prmétrics del prtdo ). Si l curv represent el movimiento de un prtícul t es tiempo, qué puede inferirse cerc de ls velociddes promedio de l prtícul en ls trectoris representds por los dos conjuntos de ecuciones prmétrics? c) Sin trzr l curv, determinr el tiempo que requiere l prtícul pr recorrer ls misms trectoris que en los prtdos ) b) si l trectori está descrit por cos t sen sint t.. Redcción ) Cd conjunto de ecuciones prmétrics represent el movimiento de un prtícul. Usr un grficdor pr representr cd conjunto. Primer prtícul Segund prtícul cos t sen sin t t t t. t sen sint cost t sen sin t cos t t b) Determine el número de puntos de intersección. c) Estrán ls prtículs en lgún momento en el mismo lugr l mismo tiempo? Si es sí, identificr esos puntos. d) Eplicr qué ocurre si el movimiento de l segund prtícul se represent por sen sin t, cos t, t.

35 SECCIÓN. Ecuciones prmétrics cálculo 77 Áre de un superficie En los ejercicios, dr un integrl que represente el áre de l superficie generd por revolución de l curv lrededor del eje. Usr un grficdor pr proimr l integrl Ecuciones prmétrics t, t, cos, t sen sin, t cos cos Intervlo Áre de un superficie En los ejercicios 7 7, encontrr el áre de l superficie generd por revolución de l curv lrededor de cd uno de los ejes ddos. 7. t, t, t, ) eje b) eje 8. t, t, t, ) eje b) eje 9. cos, sen sin,, eje 7. t, t, t, eje 7. cos, sen sin,, eje 7. cos, b sen sin,, ) eje b) eje Desrrollo de conceptos 79. Medinte integrción por sustitución mostrr que si es un función continu de en el intervlo b, donde ft gt, entonces b d t gt ft dt t donde f t, f t b, tnto g como son continus en t, t. t t 7. Dr l form prmétric de l derivd. 7. Determinr mentlmente dd. ) t, b) t, t 75. Dibujr l gráfic de l curv definid por ls ecuciones prmétrics gt f t tles que ddt > ddt < pr todos los números reles t. 7. Dibujr l gráfic de l curv definid por ls ecuciones prmétrics gt f t tles que ddt < ddt < pr todos los números reles t. 77. Dr l fórmul integrl pr l longitud de rco en form prmétric. 78. Dr ls fórmuls integrles pr ls áres de superficies de revolución generds por revolución de un curv suve C lrededor ) del eje, b) del eje. f 8. Áre de un superficie Un porción de un esfer de rdio r se elimin cortndo un cono circulr con vértice en el centro de l esfer. El vértice del cono form un ángulo θ. Hllr el áre de superficie elimind de l esfer. Áre En los ejercicios 8 8, hllr el áre de l región. (Usr el resultdo del ejercicio 79.) 8. sen sin 8. cot sin sen tn sen sin Áres de curvs cerrds simples En los ejercicios 8 88, usr un sistem por computdor pr álgebr el resultdo del ejercicio 79 pr relcionr l curv cerrd con su áre. (Estos ejercicios fueron dptdos del rtículo The Surveor s Are Formul de Brt Brden en l publicción de septiembre de 98 del College Mthemtics Journl, con utorizción del utor.) 8 < ) b b) 8 c) d) b e) b f) 8. Elipse: t 8. Astroide: t b cos t sen sin t sen sin t 85. Crdioide: t 8. Deltoide: t cos t cos t sen sin t sen sin t b < < cos t cos t cos t sen sin t sen sin t

36 78 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres 87. Reloj de ren: t 88. Lágrim: t sen sin t cos t sen sin t b sen sin t b sen sin t b b r θ r P Centroide En los ejercicios 89 9, hllr el centroide de l región limitd por l gráfic de ls ecuciones prmétrics los ejes de coordends. (Usr el resultdo del ejercicio 79.) 89. t, t 9. t, t Volumen En los ejercicios 9 9, hllr el volumen del sólido generdo por revolución en torno l eje de l región limitd por l gráfic de ls ecuciones dds. (Usr el resultdo del ejercicio 79.) 9. cos, sen sin 9. cos, sen sin, > 9. Cicloide Empler ls ecuciones prmétrics sen sin cos, > pr responder lo siguiente. ) Hllr dd d d. b) Hllr ls ecuciones de l rect tngente en el punto en el que c) Loclizr todos los puntos (si los h) de tngenci horizontl. d) Determinr dónde es l curv cóncv hci rrib dónde es cóncv hci bjo. e) Hllr l longitud de un rco de l curv. 9. Empler ls ecuciones prmétrics t. pr los prtdos siguientes. ) Empler un grficdor pr trzr l curv en el intervlo t. b) Hllr dd d d. c) Hllr l ecución de l rect tngente en el punto, 8. d) Hllr l longitud de l curv. e) Hllr el áre de l superficie generd por revolución de l curv en torno l eje. 95. Evolvente o involut de círculo L evolvente o involut de un círculo está descrit por el etremo P de un cuerd que se mntiene tens mientrs se desenroll de un crrete que no gir (ver l figur). Mostrr que l siguiente es un representción prmétric de l evolvente o involut rcos sen rsin sen sin t t cos. Figur pr Evolvente o involut de un círculo L figur muestr un segmento de cuerd sujeto un círculo de rdio uno o de rdio unitrio. L cuerd es pens lo suficientemente lrg pr llegr l ldo opuesto del círculo. Encontrr el áre que se cubre cundo l cuerd se desenroll en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj. 97. ) Usr un grficdor pr trzr l curv dd por t t. t, t t, b) Describir l gráfic confirmr l respuest en form nlític. c) Anlizr l velocidd l cul se trz l curv cundo t ument de. 98. Trctriz Un person se mueve desde el origen lo lrgo del eje positivo jlndo un peso tdo l etremo de un cuerd de metros de lrgo. Inicilmente, el peso está situdo en el punto,. ) En el ejercicio 8 de l sección 8.7, se mostró que l trectori del peso se describe medinte l siguiente ecución rectngulr ln donde <. Usr un grficdor pr representr l ecución rectngulr. b) Usr un grficdor pr trzr l gráfic de ls ecuciones prmétrics sech t t tnh t donde t. Comprr est gráfic con l del prtdo ). Qué gráfic (si h lgun) represent mejor l trectori? c) Empler ls ecuciones prmétrics de l trctriz pr verificr que l distnci de l intersección con el eje de l rect tngente l punto de tngenci es independiente de l ubicción del punto de tngenci. Verddero o flso? En los ejercicios 99, determinr si l firmción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls 99. Si f t gt, entonces d d gtft.. L curv dd por t, t tiene un tngente horizontl en el origen puesto que ddt cundo t.

37 SECCIÓN. Coordinds polres gráfics polres 79 O Sección. r = distnci dirigid Coordends polres Figur. θ = ángulo dirigido P = (r, θ) Eje polr Coordends polres gráfics polres Comprender el sistem de coordends polres. Epresr coordends ecuciones rectngulres en form polr vicevers. Trzr l gráfic de un ecución dd en form polr. Hllr l pendiente de un rect tngente un gráfic polr. Identificr diversos tipos de gráfics polres especiles. Coordends polres Hst hor ls gráfics se hn venido representndo como colecciones de puntos (, ) en el sistem de coordends rectngulres. Ls ecuciones correspondientes ests gráfics hn estdo en form rectngulr o en form prmétric. En est sección se estudirá un sistem de coordends denomindo sistem de coordends polres. Pr formr el sistem de coordends polres en el plno, se fij un punto O, llmdo polo (u origen), prtir de O, se trz un ro inicil llmdo eje polr, como se muestr en l figur.. A continución, cd punto P en el plno se le signn coordends polres (r, ), como sigue. r distnci dirigid de O P ángulo dirigido, en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj desde el eje polr hst el segmento OP L figur.7 muestr tres puntos en el sistem de coordends polres. Obsérvese que en este sistem es conveniente loclizr los puntos con respecto un retícul de circunferencis concéntrics intersecds por rects rdiles que psn por el polo θ = (, ) θ = (, ) θ = (, ) ) Figur.7 b) c) COORDENADAS POLARES El mtemático l que se le tribue hber usdo por primer vez ls coordends polres es Jmes Bernoulli, quien ls introdujo en 9. Sin embrgo, cierts evidencis señln l posibilidd de que fuer Isc Newton el primero en usrls. En coordends rectngulres, cd punto, tiene un representción únic. Esto no sucede con ls coordends polres. Por ejemplo, ls coordends r, r, representn el mismo punto [ver los prtdos b) c) de l figur.7]. Tmbién, como r es un distnci dirigid, ls coordends r, r, representn el mismo punto. En generl, el punto r, puede epresrse como r, r, n o r, r, n donde n es culquier entero. Además, el polo está representdo por,, donde es culquier ángulo.

38 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Polo θ (Origen) r (r, θ) (, ) Eje polr (eje ) Relción entre coordends polres rectngulres Figur.8 Trnsformción (o cmbio) de coordends Pr estblecer un relción entre coordends polres rectngulres, se hce coincidir el eje polr con el eje positivo el polo con el origen, como se ilustr en l figur.8. Puesto que, se encuentr en un círculo de rdio r, se sigue que r. Pr r >, l definición de ls funciones trigonométrics implic que tn cos sin, r, sen r. Si r <, ests relciones tmbién son válids, como se puede verificr. TEOREMA. Trnsformción (o cmbio) de coordends Ls coordends polres r, de un punto están relcionds con ls coordends rectngulres, de ese punto como sigue.. r cos. tn r sen sin r (r, θ) = (, ) (, ) = (, ) θ (, ) (r, ) = (, ) = (, ) Pr psr de coordends polres rectngulres, se hce r cos r sen. Figur.9 EJEMPLO Trnsformción (o cmbio) de coordends polres rectngulres ) Ddo el punto r,,, r cos cos r sen sin sen sin. Por tnto, ls coordends rectngulres son,,. b) Ddo el punto r,,, cos Por tnto, ls coordends rectngulres son Ver l figur.9. sen sin.,,. EJEMPLO Trnsformción (o cmbio) de coordends rectngulres polres θ (, ) (r, ) = (, ) = (, ) (r, θ ) = (, ) (, ) = (, ) Pr psr de coordends rectngulres polres, se tom tn r. Figur. ) Ddo el punto del segundo cudrnte,,, tn Como se eligió en el mismo cudrnte que,, se debe usr un vlor positivo pr r. r Esto implic que un conjunto de coordends polres es r,,. b) Ddo que el punto,, se encuentr en el eje positivo, se elige r, un conjunto de coordends polres es r,,. Ver l figur...

39 SECCIÓN. Coordinds polres gráfics polres 7 Gráfics polres Un mner de trzr l gráfic de un ecución polr consiste en trnsformrl coordends rectngulres pr luego trzr l gráfic de l ecución rectngulr. EJEMPLO Trzdo de ecuciones polres ) Círculo: r c) Rect verticl: Figur. 9 9 Espirl de Arquímedes Figur. b) Rect rdil: r sec Describir l gráfic de cd ecución polr. Confirmr cd descripción trnsformndo l ecución ecución rectngulr. ) r b) c) r sec Solución ) L gráfic de l ecución polr r const de todos los puntos que se encuentrn dos uniddes del polo. En otrs plbrs, est gráfic es un círculo que tiene su centro en el origen rdio. [Ver l figur.).] Esto se puede confirmr utilizndo l relción r pr obtener l ecución rectngulr. Ecución rectngulr. b) L gráfic de l ecución polr const de todos los puntos sobre l semirrect que form un ángulo de con el semieje positivo. [Ver l figur.b).] Pr confirmr esto, se puede utilizr l relción tn pr obtener l ecución rectngulr. Ecución rectngulr. c) L gráfic de l ecución polr r sec no result evidente por inspección simple, por lo que h que empezr por psrl l form rectngulr medinte l relción r cos. r sec r cos Ecución polr. Ecución rectngulr. Por l ecución rectngulr se puede ver que l gráfic es un rect verticl. [Ver l figur.c).] TECNOLOGÍA Dibujr mno ls gráfics de ecuciones polres complicds puede ser tedioso. Sin embrgo, con el empleo de l tecnologí, l tre no es difícil. Si l grficdor que se emple cuent con modo polr, usrlo pr trzr l gráfic de ls ecuciones de l serie de ejercicios. Si l grficdor no cuent con modo polr, pero sí con modo prmétrico, se puede trzr l gráfic de r f epresndo l ecución como f cos f sen sin. Por ejemplo, l gráfic de r que se muestr en l figur., se generó con un grficdor en modo prmétrico. L gráfic de l ecución se obtuvo usndo ls ecuciones prmétrics cos sen sin con vlores de que vn desde hst. Est curv es de l form r se denomin espirl de Arquímedes.

40 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Trzdo de un gráfic polr NOTA Un form de bosquejr l gráfic de r cos mno, es elborr un tbl de vlores. Si se mplí l tbl se representn los puntos gráficmente, se obtiene l curv mostrd en el ejemplo. r Dibujr l gráfic de r cos. Solución Pr empezr se epres l ecución polr en form prmétric. cos cos cos sen sin Trs eperimentr un poco, se encuentr que l curv complet, l cul se llm curv ros, puede dibujrse hciendo vrir desde hst, como se muestr en l figur.. Si se trz l gráfic con un computdor, se verá que hciendo vrir desde hst, se trz l curv enter dos veces. Figur. 5 Usr un grficdor pr eperimentr con otrs curvs ros (ests curvs son de l form r cos n o r sen sin n. Por ejemplo, ls curvs que se muestrn en l figur. son otros dos tipos de curv ros. r =.5 cos θ r = sen 5θ... Curvs ros Figur. Generd con Derive

41 SECCIÓN. Coordinds polres gráfics polres 7 r = f( θ) Rect tngente (r, θ) Pendiente rects tngentes Pr encontrr l pendiente de un rect tngente un gráfic polr, considerr un función diferencible (o derivble) dd por r f. Pr encontrr l pendiente en form polr, se usn ls ecuciones prmétrics r cos f cos r sin sen f sen sin. Medinte el uso de l form prmétric de dd dd en el teorem.7, se obtiene d d dd dd f cos f sen sin f sen sin f cos con lo cul se estblece el teorem siguiente. Rect tngente un curv polr Figur.5 TEOREMA. Pendiente en form polr Si f es un función diferencible (o derivble) de, entonces l pendiente de l rect tngente l gráfic de r f en el punto r, es d d dd f cos f sen sin f sen sin f cos dd siempre que en r,. (Ver l figur.5.) dd En el teorem. se pueden hcer ls observciones siguientes. d d. De ls soluciones se tiene un tngente horizontl, siempre que. d d. De ls soluciones se tiene un tngente verticl, siempre que. Si simultánemente son, no se puede etrer ningun conclusión respecto ls rects tngentes. dd dd d d d d EJEMPLO 5 Hllr ls rects tngentes horizontles verticles Hllr ls rects tngentes horizontles verticles r sen sin,. ( ) (, ) (, ) ( ),, Rects tngentes horizontles verticles r sen Figur. Solución Pr empezr se epres l ecución en form prmétric. r cos sen sin cos r sen sin sen sin sen sin sen sin Después, se derivn con respecto de d cos sen sin cos d d sen sin cos sen sin d se igul cd un de ls derivds.,, Por tnto, l gráfic tiene rects tngentes verticles en,,, tiene rects tngentes horizontles en,,, como se muestr en l figur..

42 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Hllr ls rects tngentes horizontles verticles (, ) (, ) (, ) (, ) (, 5 ) Rects tngentes horizontles verticles de r cos Figur.7 Hllr ls rects tngentes horizontles verticles l gráfic de r cos. Solución Se us r sen sin, se deriv se igul. r sen sin cos sen sin d cos cos sin sensin sen d Por tnto, cos cos, se conclue que cundo,. De mner semejnte, l empler r cos, se tiene d sen sin cos sin sen sen sin cos. d cos cos r cos cos cos Por tnto, sen sin o cos, se conclue que cundo, 5. A prtir de estos resultdos de l gráfic que se present en l figur.7, se conclue que l gráfic tiene tngentes horizontles en,,, tngentes verticles en,,, 5, (, ). A est gráfic se le llm crdioide. Obsérvese que cundo mbs derivds dd son cero (es decir, se nuln). Sin embrgo, est únic informción no permite sber si l gráfic tiene un rect tngente horizontl o verticl en el polo. Pero prtir de l figur.7, se puede observr que l gráfic tiene un cúspide (o punto nguloso o cuspidl) en el polo., dd dd dd dd,, f( θ) = cos θ El teorem. tiene un consecuenci importnte. Supóngse que l gráfic de r f ps por el polo cundo f. Entonces l fórmul pr dd se simplific como sigue. d d f sen sin f cos f sen sin f cos f sin f cos sen sin tn sen cos Por tnto, l rect es tngente l gráfic en el polo,,. TEOREMA. Rects tngentes en el polo Si f f, entonces l rect es tngente l gráfic de r f. en el polo Est ros tiene, en el polo, tres rects tngentes,, 5 Figur.8 El teorem. es útil porque estblece que los ceros de r f pueden usrse pr encontrr ls rects tngentes en el polo. Obsérvese que puesto que un curv polr puede cruzr el polo más de un vez, en el polo puede hber más de un rect tngente. Por ejemplo, l ros f cos tiene tres rects tngentes en el polo, como se ilustr en l figur.8. En est curv, f cos es cundo es,, 5. L derivd ƒ() sen no es en estos vlores de.

43 SECCIÓN. Coordinds polres gráfics polres 75 Gráfics polres especiles Vrios tipos importntes de gráfics tienen ecuciones que son más simples en form polr que en form rectngulr. Por ejemplo, l ecución polr de un círculo de rdio centro en el origen es simplemente r. Más delnte se verán ls ventjs que esto tiene. Por hor, se muestrn bjo lgunos tipos de gráfics cus ecuciones son más simples en form polr. (Ls cónics se bordn en l sección..) Crcoles r ± b cos r ± b sen sin >, b > b < Crcol con lzo interior b Crdioide (form de corzón) < b < Crcol con houelo b Crcol conveo Curvs Rose Curves ros n pétlos si n es impr n pétlos si n es pr n n = n = n = 5 n = r cos Curv ros n r cos Curv ros n r sen sin Curv ros n r sen sin Curv ros n Círculos lemniscts r cos Círculo r sen sin Círculo r sen sin Lemnisct r cos Lemnisct TECNOLOGÍA Ls curvs ros descrits rrib son de l form r cos n o r sen sin n, donde n es un entero positivo mor o igul. Usr un grficdor pr trzr ls gráfics de r cos n o r sin sen n con vlores no enteros de n. Son ests gráfics tmbién curvs ros? Por ejemplo, trzr l gráfic de r cos,. Gráfic generd con Mple PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre curvs ros otrs curvs relcionds con ells, ver el rtículo A Rose is Rose... de Peter M. Murer en The Americn Mthemticl Monthl. L gráfic generd por computdor que se observ l ldo izquierdo, es resultdo de un lgoritmo que Murer llm L ros.

44 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Ejercicios de l sección. See for worked-out solucións to odd-numbered eercises. En los ejercicios, representr gráficmente el punto ddo en coordends polres hllr ls coordends rectngulres correspondientes. c) d).,., 7.,., 7 5.,..,.57 En los ejercicios 7, empler l función ángulo de un grficdor pr encontrr ls coordends rectngulres del punto ddo en coordends polres. Representr gráficmente el punto. 7. 5, 8., 9..5, ,.. r sen sin. 5. r cos. r cos r sec En los ejercicios, se dn ls coordends rectngulres de un punto. Loclizr gráficmente el punto hllr dos conjuntos de coordends polres del punto con <..,., 5.,., 5.,. En los ejercicios 7, empler l función ángulo de un grficdor pr hllr un conjunto de coordends polres del punto ddo en coordends rectngulres. 7., 8., 9.., 5 5,. Represente gráficmente el punto (,.5) si el punto está ddo ) en coordends rectngulres, b) en coordends polres.. Rzonmiento gráfico ) En un grficdor, seleccionr formto de ventn pr coordends polres colocr el cursor en culquier posición fuer de los ejes. Mover el cursor en sentido horizontl en sentido verticl. Describir todo cmbio en ls coordends de los puntos. b) En un grficdor, seleccionr el formto de ventn pr coordends polres colocr el cursor en culquier posición fuer de los ejes. Mover el cursor en sentido horizontl en sentido verticl. Describir todo cmbio en ls coordends de los puntos. c) Por qué difieren los resultdos obtenidos en los prtdos ) b)? En los ejercicios, hcer que correspond l gráfic con su ecución polr. [Ls gráfics están etiquetds ), b), c) d).] ) b), En los ejercicios 7, trnsformr l ecución rectngulr l form polr trzr su gráfic En los ejercicios 5, psr l ecución polr l form rectngulr trzr su gráfic. 5. r. r 7. r sen sin 8. r 5 cos 9. r.. r sec. r csc En los ejercicios 5, empler un grficdor pr representr l ecución polr. Hllr un intervlo pr en el que l gráfic se trce sólo un vez.. r cos. r 5 sen sin 5. r sen sin. r cos 7. r 8. r cos sen sin r sin 5 r cos sen 5. r 5. r sen sin 5. Psr l ecución r h cos k sen sin 5 l form rectngulr verificr que se l ecución de un círculo. Hllr el rdio ls coordends rectngulres de su centro.

45 SECCIÓN. Coordinds polres gráfics polres Fórmul pr l distnci ) Verificr que l fórmul pr l distnci entre dos puntos r, r, ddos en coordends polres es b) Describir ls posiciones de los puntos, en relción uno con otro, si. Simplificr l fórmul de l distnci pr este cso. Es l simplificción lo que se esperb? Eplicr por qué. c) Simplificr l fórmul de l distnci si 9. Es l simplificción lo que se esperb? Eplicr por qué. d) Elegir dos puntos en el sistem de coordends polres encontrr l distnci entre ellos. Luego elegir representciones polres diferentes pr los mismos dos puntos plicr l fórmul pr l distnci. Anlizr el resultdo. En los ejercicios 55 58, usr el resultdo del ejercicio 5 pr proimr l distnci entre los dos puntos descritos en coordends polres. En los ejercicios 59, hllr d/d ls pendientes de ls rects tngentes que se muestrn en ls gráfics de ls ecuciones polres. sen sen 59. r sin. r sin (, ) d r r r r cos. 55.,,, ,.5, 7,. 58.,.5, ( ) 5, ( ), En los ejercicios, usr un grficdor ) trzr l gráfic de l ecución polr, b) dibujr l rect tngente en el vlor ddo de, c) hllr d/d en el vlor ddo de. Sugerenci: Tomr incrementos de igules /.. r cos,. r cos, sen. r sin,. r, 7,, ( ), 7, ( ), En los ejercicios 5, hllr los puntos de tngenci horizontl verticl (si los h) l curv polr. sen sen 5. r sin. r sin En los ejercicios 7 8, hllr los puntos de tngenci horizontl (si los h) l curv polr. sen 7. r csc 8. r sin cos, (, ) En los ejercicios 9 7, usr un grficdor pr representr l ecución polr hllr todos los puntos de tngenci horizontl. 9. r sen sin cos 7. r cos sec 7. r csc 5 7. r cos En los ejercicios 7 8, dibujr l gráfic de l ecución polr hllr ls tngentes en el polo. 7. r sen sin 7. r cos 75. r sen sin 7. r cos 77. r cos 78. r sin sen5 79. r sen sin 8. r cos En los ejercicios 8 9, trzr l gráfic de l ecución polr. 8. r 5 8. r 8. r cos 8. r sen sin 85. r cos 8. r 5 sen sin 87. r csc 88. r sen sin cos 89. r 9. r 9. r cos 9. r sen sin En los ejercicios 9 9, usr un grficdor pr representr l ecución mostrr que l rect dd es un síntot de l gráfic. Nombre de l gráfic Ecución polr Asíntot 9. Concoide 9. Concoide 95. Espirl hiperbólic 9. Estrofoide r sec r csc r r cos sec Desrrollo de conceptos 97. Describir ls diferencis entre el sistem de coordends rectngulres el sistem de coordends polres. 98. Dr ls ecuciones pr psr de coordends rectngulres coordends polres vicevers. 99. Pr b, constntes, describir ls gráfics de ls ecuciones r en coordends polres.. Cómo se determinn ls pendientes de rects tngentes en coordends polres? Qué son ls rects tngentes en el polo cómo se determinn?. Trzr l gráfic de r sen sin en el intervlo ddo. ) b) c). Pr pensr Utilizr un grficdor pr representr l ecución polr r cos pr ) b) c) Usr ls gráfics pr describir el efecto del ángulo. Escribir l ecución como función de sen pr el prtdo c)., b.,

46 78 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres. Verificr que si l curv correspondiente l ecución polr r f gir en un ángulo, lrededor del polo, entonces l curv es un ecución r f.. L form polr de un ecución de un curv es r f sin sen. Comprobr que l form se convierte en ) r f cos si l curv gir rdines lrededor del polo en sentido contrrio ls mnecills del reloj. b) r f sin sen si l curv gir rdines lrededor del polo en sentido contrrio ls mnecills del reloj. c) r f cos si l curv gir rdines lrededor del polo en sentido contrrio ls mnecills del reloj. En los ejercicios 5 8, usr los resultdos de los ejercicios. 5. Dr un ecución de crcol r sen sin después de girr l cntidd indicd. Utilizr un grficdor pr representr el giro del crcol. ) b) c) d). Dr un ecución pr l curv ros r sen sin después de girr l cntidd dd. Verificr los resultdos usndo un grficdor pr representr el giro de l curv ros. ) b) c) d) 7. Dibujr l gráfic de cd ecución. ) r sin sen b) r sen sin 8. Demostrr que l tngente del ángulo entre l rect rdil l rect tngente en el punto r, en l gráfic de r f (ver l figur) está dd por tn En los ejercicios 9, usr los resultdos del ejercicio 8 pr hllr el ángulo entre ls rects rdil tngente l gráfic en el vlor indicdo de. Usr un grficdor pr representr l ecución polr, de l rect rdil de l rect tngente en el vlor indicdo de. Identificr el ángulo. Ecución polr Vlor de 9. r cos. r cos. r cos. r sin sen.. rdrd. Curv polr: r = f( θ) O r r 5 θ cos A P = (r, θ) ψ Rect tngente Rect rdil Eje polr Verddero o flso? En los ejercicios 5 8, determinr si l firmción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que muestre que es fls. 5. Si r, r, representn el mismo punto en el sistem de coordends polres, entonces r r.. Si r, r, representn el mismo punto en el sistem de coordends polres, entonces n pr lgún entero n. 7. Si >, entonces el punto, en el sistem de coordends rectngulres (o crtesins) puede representrse medinte r, en el sistem de coordends polres, donde r 8. Ls ecuciones polres r sen r sen tienen l mism gráfic. rctn. Proecto de trbjo: Usr ls siguientes trnsformciones nmórfics r 8, Arte nmórfico pr dibujr l imgen polr trnsformd de l gráfic rectngulr. Cundo se observ l refleión (en un espejo cilíndrico centrdo en el polo) de un imgen polr desde el eje polr, el espectdor ve l imgen rectngulr originl. ) b) c) 5 d) 5 5 Museum of Science nd Industr en Mnchester, Inglterr Este ejemplo de rte nmórfico es del Museo de Cienci e Industri de Mnchester, Inglterr. Cundo l refleión de l pintur polr trnsformd se ve en el espejo, el observdor ve rostros. PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre rte nmórfico, consultr l rtículo Anmorphisms de Philip Hickin en Mthemticl Gzette.

47 SECCIÓN.5 Áre longitud de rco en coordends polres 79 θ Sección.5 r El áre de un sector circulr es Figur.9 ) β A r. r = f( θ) α Áre longitud de rco en coordends polres Hllr el áre de un región limitd por un gráfic polr. Hllr los puntos de intersección de dos gráfics polres. Hllr l longitud de rco de un gráfic polr. Hllr el áre de un superficie de revolución (form polr). Áre de un región polr El desrrollo de un fórmul pr el áre de un región polr se semej l del áre de un región en el sistem de coordends rectngulres (o crtesins), pero en lugr de rectángulos se us como elemento básico del áre sectores circulres. En l figur.9, obsérvese que el áre de un sector circulr de rdio r está dd por r, siempre que esté ddo en rdines. Considérese l función dd por r f, donde f es continu no negtiv en el intervlo ddo por L región limitd por l gráfic de f ls rects rdiles se muestr en l figur.5). Pr encontrr el áre de est región, se hce un prtición del intervlo, en n subintervlos igules < < A continución, se proim el áre de l región por medio de l sum de ls áres de los n sectores, como se muestr en l figur.5b). Rdio Rdius del i-ésimo of ith sector fi Ángulo Centrl centrl ngle del i-ésimo of ith sector Tomndo el límite cundo n se obtiene A lim lím n n fi i f d. <... < lo cul conduce l teorem siguiente. n < n. A n i fi n β θ n r = f( θ) θ θ α TEOREMA. Áre en coordends polres Si f es continu no negtiv en el intervlo,, <, entonces el áre de l región limitd (o cotd) por l gráfic de r f entre ls rects rdiles está dd por A f d r <. d. b) Figur.5 NOTA L mism fórmul se puede usr pr hllr el áre de un región limitd por l gráfic de un función continu no positiv. Sin embrgo, l fórmul no es necesrimente válid si f tom vlores tnto positivos como negtivos en el intervlo,.

48 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres r = cos θ EJEMPLO Encontrr el áre de un región polr Encontrr el áre de un pétlo de l curv ros dd por r cos. El áre de un pétlo de l curv ros que se encuentr entre ls rects rdiles es. Figur.5 NOTA Pr hllr el áre de l región comprendid dentro de los tres pétlos de l curv ros del ejemplo, no se puede simplemente integrr entre. Si se hce sí, se obtiene 9, que es el doble del áre de los tres pétlos. Est duplicción ocurre debido que l curv ros es trzd dos veces cundo ument de. θ = 5 θ = r = sen θ El áre entre los lzos interior eterior es proimdmente 8. Figur.5 Solución En l figur.5, se puede ver que el pétlo l ldo derecho se recorre medid que ument de. Por tnto, el áre es Fórmul pr el áre en A r d cos d coordends polres. EJEMPLO Hllr el áre limitd por un sol curv Hllr el áre de l región comprendid entre los lzos interior eterior del crcol r sen sin. Solución En l figur.5, obsérvese que el lzo interior es trzdo medid que ument de 5. Por tnto, el áre comprendid por el lzo interior es A r d 9 9 sen sin sin cos sen 5 cos sin 5. cos sen sin d sen sin sen sin d sen sin cos d Simplificción. De mner similr, se puede integrr de 5 pr hllr que el áre de l región comprendid por el lzo eterior es A. El áre de l región comprendid entre los dos lzos es l diferenci entre A. A A A 8. d sen A d Identidd trigonométric. Fórmul pr el áre en coordends polres. Identidd trigonométric.

49 SECCIÓN.5 Áre longitud de rco en coordends polres 7 PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre el uso de l tecnologí pr encontrr puntos de intersección, consultr el rtículo Finding Points of Intersection of Polr- Coordinte Grphs de Wrren W. Est en Mthemtics Techer. Puntos de intersección de gráfics polres Debido que un punto en coordends polres se puede representr de diferentes mners, tener cuiddo l determinr los puntos de intersección de dos gráfics. Por ejemplo, considérense los puntos de intersección de ls gráfics de r cos r mostrds en l figur.5. Si, como se hce con ecuciones rectngulres, se trt de hllr los puntos de intersección resolviendo ls dos ecuciones en form simultáne, se obtiene r cos Primer ecución. cos Sustitución de r de l segund ecución en l primer ecución. cos Simplificción. Despejr.,. Los puntos de intersección correspondientes son,,. Sin embrgo, en l figur.5 se ve que h un tercer punto de intersección que no preció l resolver simultánemente ls dos ecuciones polres. (Ést es un de ls rzones por ls que es necesrio trzr un gráfic cundo se busc el áre de un región polr.) L rzón por l que el tercer punto no se encontró es que no prece con ls misms coordends en mbs gráfics. En l gráfic de r, el punto se encuentr en ls coordends,, mientrs que en l gráfic de r cos, el punto se encuentr en ls coordends,. El problem de hllr los puntos de intersección de dos gráfics polres se puede comprr con el problem de encontrr puntos de colisión de dos stélites cus órbits lrededor de l Tierr se cortn, como se ilustr en l figur.5. Los stélites no colisionn mientrs lleguen los puntos de intersección momentos diferentes (vlores de ). Ls colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sen puntos simultáneos, puntos los que llegn l mismo tiempo (vlor de ). NOTA Puesto que el polo puede representrse medinte,, donde es culquier ángulo, el polo debe verificrse por seprdo cundo se buscn puntos de intersección. Crcol: r = cos θ Círculo: r = Tres puntos de intersección:,, Ls trectoris de los stélites pueden cruzrse sin,,, cusr colisiones. Figur.5 Figur.5

50 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres EJEMPLO Hllr el áre de l región entre dos curvs Crdioide Círculo: r = cos θ Figur.55 Círculo Crdioide: r = cos θ Hllr el áre de l región común ls dos regiones limitds por ls curvs siguientes. r cos r cos Circunferenci Crdioide Solución Debido que mbs curvs son simétrics respecto l eje, se puede trbjr con l mitd superior del plno (o semiplno superior), como se ilustr en l figur.55. L región sombred en gris se encuentr entre l circunferenci l rect rdil Puesto que l circunferenci tiene coordends, en el polo, se puede integrr entre pr obtener el áre de est región. L región sombred en rojo está limitd por ls rects rdiles l crdioide. Por tnto, el áre de est segund región se puede encontrr por integrción entre. L sum de ests dos integrles d el áre de l región común que se encuentr sobre l rect rdil Región entre l crdioide Región entre l circunferenci ls rects rdiles l rect rdil A cos d 8 cos d 9 cos d sin sen 9 sen sin sen sin Por último, multiplicndo por se conclue que el áre totl es 5. 8 cos cos d cos d cos cos d NOTA Pr verificr que el resultdo obtenido en el ejemplo es rzonble, dviértse que el áre de l región circulr es r 9. Por tnto, prece rzonble que el áre de l región que se encuentr dentro de l circunferenci dentro de l crdioide se 5. Pr precir l ventj de ls coordends polres l encontrr el áre del ejemplo, considérese l integrl siguiente, que d el áre en coordends rectngulres (o crtesins). A d d Empler ls funciones de integrción de un grficdor pr comprobr que se obtiene l mism áre encontrd en el ejemplo.

51 SECCIÓN.5 Áre longitud de rco en coordends polres 7 NOTA Cundo se plic l fórmul de l longitud de rco un curv polr, es necesrio segurrse de que l curv esté trzd (se recorr) sólo un vez en el intervlo de integrción. Por ejemplo, l ros dd por r cos está trzd (se recorre) un sol vez en el intervlo, pero está trzd (se recorre) dos veces en el intervlo. Longitud de rco en form polr L fórmul pr l longitud de un rco en coordends polres se obtiene prtir de l fórmul pr l longitud de rco de un curv descrit medinte ecuciones prmétrics. (Ver el ejercicio 77.) TEOREMA. Longitud de rco de un curv polr Se f un función cu derivd es continu en un intervlo. L longitud de l gráfic de r f desde hst es s f f d d d. r dr EJEMPLO Encontrr l longitud de un curv polr Encontrr l longitud del rco que v de en l crdioide r f cos que se muestr en l figur.5 r = cos θ Figur.5 Solución Como f sen sin, se puede encontrr l longitud de rco de l siguiente mner. s cos sin sen d cos d sen sin d sen sin d 8 cos 8 f f d Fórmul pr l longitud de rco de un curv polr. Simplificción. Identidd trigonométric. sen sin pr En el quinto pso de l solución, es legítimo escribir sen sin sen sin () en lugr de sen sin sen sin () porque sen sin pr. NOTA Emplendo l figur.5 se puede ver que est respuest es rzonble medinte comprción con l circunferenci de un círculo. Por ejemplo, un círculo con rdio tiene un cir- 5 cunferenci de

52 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Áre de un superficie de revolución L versión, en coordends polres, de ls fórmuls pr el áre de un superficie de revolución se puede obtener prtir de ls versiones prmétrics dds en el teorem.9, usndo ls ecuciones r cos r sin sen. NOTA Al plicr el teorem.5, h que verificr que l gráfic de r f se recorr un sol vez en el intervlo. Por ejemplo, l circunferenci dd por r cos se recorre sólo un vez en el intervlo. TEOREMA.5 Áre de un superficie de revolución Se f un función cu derivd es continu en un intervlo. El áre de l superficie generd por revolución de l gráfic de r f desde hst lrededor de l rect indicd es l siguiente.. S f sen sin f f d Alrededor del eje polr.. S f cos f f d Alrededor de l rect. EJEMPLO 5 Hllr el áre de un superficie de revolución Hllr el áre de l superficie obtenid por revolución de l circunferenci r ƒ() cos lrededor de l rect como se ilustr en l figur.57., r = cos θ Toro ) Figur.57 b) Solución Se puede usr l segund fórmul dd en el teorem.5 con f sin sen. Puesto que l circunferenci se recorre solo un vez cundo ument de, se tiene Fórmul pr el áre de un S f cos f f d superficie de revolución. cos cos cos sen sin d cos d Identidd trigonométric. cos d Identidd trigonométric. sen sin.

53 SECCIÓN.5 Áre longitud de rco en coordends polres 75 Ejercicios de l sección.5 En los ejercicios, dr un integrl que represente el áre de l región sombred que se muestr en l figur. No evlur l integrl.. r sen sin. r cos See for worked-out solucións to odd-numbered eercises. En los ejercicios 7, hllr los puntos de intersección de ls gráfics de ls ecuciones. 7. r cos 8. r sen sin r cos r sen sin 5. r sen sin. r cos 9. r cos. r sen sin r cos r cos.5.5 En los ejercicios 5, hllr el áre de l región limitd por l gráfic de l ecución polr usndo ) un fórmul geométric b) integrción. 5. r 8 sin sen. r cos En los ejercicios 7, hllr el áre de l región.. r 5 sen sin. r sen sin. r. r 5. r sen sin. r r cos r cos r r sin sen r csc 7. Un pétlo de r cos 8. Un pétlo de r sen sin 9. Un pétlo de r cos. Un pétlo de r cos 5. El interior de r sen sin. El interior de r sen sin (sobre el eje polr) En los ejercicios, empler un grficdor pr representr l ecución polr encontrr el áre de l región indicd.. Lzo interior de r cos. Lzo interior de r sen sin 5. Entre los lzos de r cos. Entre los lzos de r sin sen En los ejercicios 7 8, empler un grficdor pr proimr los puntos de intersección de ls gráfics de ls ecuciones polres. Confirmr los resultdos en form nlític. 7. r cos 8. r cos r sec r cos Redcción En los ejercicios 9, usr un grficdor pr hllr los puntos de intersección de ls gráfics de ls ecuciones polres. En l ventn observr cómo se vn trzndo ls gráfics. Eplicr por qué el polo no es un punto de intersección que se obteng l resolver ls ecuciones en form simultáne. 9. r cos. r sen sin r sen sin r sen sin

54 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres En los ejercicios, empler un grficdor pr representr ls ecuciones polres hllr el áre de l región dd.. Interior común r sen sin r. Interior común r sen sin r sen sin. Interior común r sen sin r sen sin. Interior común r 5 sen sin r 5 cos 5. Interior común r sen sin r. Interior r sen sin eterior r sen sin En los ejercicios 7, hllr el áre de l región. 7. En el interior de r cos en el eterior de r cos 8. En el interior de r cos en el eterior de r 9. Interior común r cos r sin sen. Interior común r cos r sen donde >. Rdición de un nten L rdición proveniente de un nten de trnsmisión no es uniforme en tods direcciones. L intensidd de l trnsmisión proveniente de un determind nten se describe por medio del modelo ) Trnsformr l ecución polr l form rectngulr. b) Utilizr un grficdor pr trzr el modelo con. c) Hllr el áre de l región geográfic que se encuentr entre ls dos curvs del prtdo b).. Áre El áre en el interior de un o más de ls tres circunferencis entrelzds está dividid en siete regiones. Hllr el áre de cd región.. Conjetur Hllr el áre de l región limitd por pr n,,,.... Con bse en los resultdos formulr un conjetur cerc del áre limitd por l función cundo n es pr cundo n es impr.. Áre Dibujr l estrofoide Trnsformr ests ecuciones coordends rectngulres (o crtesins). Encontrr el áre comprendid en el lzo. En los ejercicios 5 8, hllr l longitud de l curv sobre el intervlo indicdo. Ecución polr Intervlo 5. r. r cos. r cos, r cosn r sec cos, r cos 7. r sin sen 8. r 8 cos r sin sen, < < r. En los ejercicios 9 5, utilizr un grficdor pr representr l ecución polr sobre el intervlo ddo. Empler ls funciones de integrción de un grficdor pr estimr l longitud de l curv con un precisión de dos decimles. 9. r, 5. r sec, 5. r, 5. r e, 5. r sen sin cos, 5. r sen sin cos, En los ejercicios 55 58, encontrr el áre de l superficie generd por revolución de l curv en torno l rect dd. Ecución polr Intervlo Eje de revolución 55. r cos Eje polr 5. r cos 57. r e 58. r cos Eje polr En los ejercicios 59, usr ls funciones de integrción de un grficdor pr estimr, con un precisión de dos cifrs decimles, el áre de l superficie generd por revolución de l curv lrededor del eje polr. 59. r cos,. r, Desrrollo de conceptos. Dr ls fórmuls de integrción pr áre longitud de rco en coordends polres.. Eplicr por qué pr encontrr puntos de intersección de gráfics polres es necesrio efectur un nálisis demás de resolver dos ecuciones en form simultáne.. Cuál de ls integrles d l longitud de rco de r ( cos )? Decir por qué ls otrs integrles son incorrects. ) b) c) d) cos sen sin d cos sen sin d cos sen sin d cos sen sin d. Dr ls fórmuls de ls integrles pr el áre de un superficie de revolución generd por l gráfic de r f lrededor ) del eje b) del eje.

55 SECCIÓN.5 Áre longitud de rco en coordends polres Áre de l superficie de un toro Hllr el áre de l superficie del toro generdo por revolución de l circunferenci dd por r lrededor de l rect r 5 sec.. Áre de l superficie de un toro Hllr el áre de l superficie del toro generdo por revolución de l circunferenci dd por r en torno l rect r b sec, donde < < b. 7. Aproimción de un áre Ddo el círculo r 8 cos. ) Hllr el áre de l circunferenci. b) Completr l tbl dndo ls áres A de los sectores circulres entre los vlores de ddos en l tbl. c) Hllr l longitud de r sobre el intervlo. d) Hllr el áre bjo l curv r pr. 7. Espirl logrítmic L curv descrit por l ecución r e b, donde b son constntes, se denomin espirl logrítmic. L figur siguiente muestr l gráfic de r e,. Hllr el áre de l zon sombred. A c) Empler l tbl del prtdo b) pr proimr los vlores de pr los cules el sector circulr form,, del áre totl de l circunferenci. d) Usr un grficdor pr proimr, con un precisión de dos cifrs decimles, los ángulos pr los cules el sector circulr form,, del áre totl de l circunferenci. e) Dependen los resultdos del prtdo d) del rdio del círculo? Eplicr l respuest. 8. Áre proimd Ddo el círculo r sen sin. ) Hllr el áre de l circunferenci correspondiente. b) Completr l tbl dndo ls áres A de los sectores circulres comprendidos entre los vlores de ddos en l tbl. A c) Utilizr l tbl del prtdo b) pr proimr los vlores de pr los cules el sector circulr represent 8,, del áre totl de l circunferenci. d ) Usr un grficdor pr proimr, con un precisión de dos cifrs decimles, los ángulos pr los que el sector circulr represent 8,, del áre totl del círculo. 9. Qué sección cónic represent l siguiente ecución polr? r sin sen b cos 7. Áre Hllr el áre del círculo ddo por r sen sin cos. Comprobr el resultdo trnsformndo l ecución polr l form rectngulr usndo después l fórmul pr el áre del círculo. 7. Espirl de Arquímedes L curv representd por l ecución r, donde es un constnte, se llm espirl de Arquímedes. ) Empler un grficdor pr trzr l gráfic de r, donde. Qué ocurre con l gráfic de r medid que ument? Qué ps si? b) Determinr los puntos de l espirl r >,, en los que l curv cruz el eje polr L mor de ls circunferencis mostrds en l figur siguiente es l gráfic de r. Hllr l ecución polr pr l circunferenci menor de mner que ls áres sombreds sen igules. 7. Hoj (o folio) de Descrtes Un curv llmd hoj (o folio) de Descrtes puede representrse por medio de ls ecuciones prmétrics t t ) Convertir ls ecuciones prmétrics l form polr. b) Dibujr l gráfic de l ecución polr del prtdo ). c) Empler un clculdor pr proimr el áre comprendid en el lzo de l curv. Verddero o flso En los ejercicios 75 7, determinr si l firmción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 75. Si f > pr todo g < pr todo, entonces ls gráfics de r f r g no se cortn. 7. Si f g pr, entonces ls gráfics de r f r g tienen cundo menos cutro puntos de intersección. 77. Usr l fórmul pr l longitud de rco de un curv en form prmétric pr obtener l fórmul de l longitud de rco de un curv polr. t t.,,

56 78 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Sección. EXPLORACIÓN Representción gráfic de cónics En un grficdor elegir el modo polr e introducir ecuciones polres de l form o r ± b cos r. ± b sen sin Si, l gráfic será un cónic. Describir los vlores de b que genern prábols. Qué vlores genern elipses? Qué vlores genern hipérbols? Ecuciones polres de ls cónics lees de Kepler Anlizr dr ls ecuciones polres de ls cónics. Entender empler ls lees del movimiento plnetrio de Kepler. Ecuciones polres de ls cónics En este cpítulo se h visto que ls ecuciones rectngulres de elipses e hipérbols dquieren forms simples cundo sus centros se encuentrn en el origen. Sin embrgo, eisten muchs plicciones importntes de ls cónics en ls cules result más conveniente usr uno de los focos como punto de referenci (el origen) del sistem de coordends. Por ejemplo, el Sol se encuentr en uno de los focos de l órbit de l Tierr; l fuente de luz en un reflector prbólico se encuentr en su foco. En est sección se verá que ls ecuciones polres de ls cónics doptn forms simples si uno de los focos se encuentr en el polo. El teorem siguiente us el concepto de ecentricidd, como se define en l sección., pr clsificr los tres tipos básicos de cónics. En el péndice A se d un demostrción de este teorem. TEOREMA. Clsificción de ls cónics de cuerdo con l ecentricidd Sen F un punto fijo (foco) D un rect fij (directriz) en el plno. Sen P otro punto en el plno e (ecentricidd) el cociente obtenido l dividir l distnci de P F entre l distnci de P D. El conjunto de todos los puntos P con un determind ecentricidd es un cónic.. L cónic es un elipse si < e <.. L cónic es un prábol si e.. L cónic es un hipérbol si e >. Directriz Directriz Directriz Q P F = (, ) Q P F = (, ) P Q Q P F = (, ) Elipse: < e < Prábol: e Hipérbol: e > PF PF PQ PQ < PF PQ PF > Figur.58 PQ En l figur.58 obsérvese que en todos los tipos de cónics el polo coincide con el punto fijo (foco) que se d en l definición. L ventj de est ubicción se preci en l demostrción del teorem siguiente.

57 SECCIÓN. Ecuciones polres de ls cónics lees de Kepler 79 TEOREMA.7 Ecuciones polres de ls cónics L gráfic de un ecución polr de l form ed ed r o r ± e cos ± e sen sin es un cónic, donde e > es l ecentricidd d es l distnci entre el foco, en el polo l directriz correspondiente. d P = (r, θ) θ r F = (, ) Figur.59 Q Directriz Demostrción L siguiente es un demostrción de r ed e cos con d >. En l figur.59, considérese un directriz verticl que se encuentr d uniddes l derech del foco F,. Si P r, es un punto en l gráfic de r ed e cos, se puede demostrr que l distnci entre P l directriz es PQ d d r cos r e cos e r cos r e. Como l distnci entre el polo es simplemente el rdio entre es PFPQ r re P PF e r, PF PQ e, de cuerdo con el teorem., l gráfic de l ecución debe ser un cónic. Ls demostrciones de los otros csos son similres. Los cutro tipos de ecuciones que se indicn en el teorem.7 se pueden clsificr como sigue, siendo d >. ) Directriz horizontl rrib del polo: b) Directriz horizontl bjo del polo: c) Directriz verticl l derech del polo: ed r e sen sin ed r e sen sin r ed e cos ed d) Directriz verticl l izquierd del polo: r e cos L figur. ilustr ests cutro posibiliddes en el cso de un prábol. Directriz = d Directriz = d Directriz = d Directriz = d r = ed + e senθ r = ed e sen θ r = ed + e cosθ r = ed e cosθ ) b) c) d) Los cutro tipos de ecuciones polres pr un prábol Figur.

58 75 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres = 5 Directriz 5 r = cosθ (, ) (5, ) 5 L gráfic de l cónic es un elipse con e. Figur. EJEMPLO Solución Determinr un cónic prtir de su ecución 5 Dibujr l gráfic de l cónic descrit por r. cos r Pr determinr el tipo de cónic, reescribir l ecución como sigue 5 cos 5. cos Escribir l ecución originl. Por tnto, l gráfic es un elipse con e. Se trz l mitd superior de l elipse loclizndo gráficmente los puntos desde hst como se muestr en l figur.. Luego, emplendo l simetrí respecto l eje polr se trz l mitd inferior de l elipse., Dividir el numerdor el denomindor entre. En l elipse en l figur., el eje mor es horizontl los vértices se encuentrn en (5, ),. Por tnto, l longitud del eje mor es 8. Pr encontrr l longitud del eje menor, se usn ls ecuciones e c b c pr concluir que b c e e. Elipse. Como e, se tiene b 9 5 lo cul implic que b 5 5. Por tnto, l longitud del eje menor es b 5. Un nálisis similr pr l hipérbol d b c e e. Hipérbol. EJEMPLO Trzr un cónic prtir de su ecución polr Directriz = 5 (, (, ) ) 8 r = + 5 sen θ = b = 8 L gráfic de l cónic es un hipérbol con e 5. Figur. Trzr l gráfic de l ecución polr Solución Se divide el numerdor el denomindor entre se obtiene r. 5 sin sen Como e 5 l gráfic es un hipérbol. Como d l directriz es l rect >, 5, 5. El eje trnsversl de l hipérbol se encuentr en l rect los vértices se encuentrn en r,, r,,. Ddo que l longitud del eje trnsversl es,. Pr encontrr b, se escribe b e 5. r. 5 sin sen, Por tnto, b 8. Por último, se usn b pr determinr ls síntots de l hipérbol obtener l gráfic que se muestr en l figur..

59 SECCIÓN. Ecuciones polres de ls cónics lees de Kepler 75 Mr Evns Picture Librr JOHANNES KEPLER (57-) Kepler formuló sus tres lees prtir de l etens recopilción de dtos del strónomo dnés Tcho Brhe, sí como de l observción direct de l órbit de Mrte. Lees de Kepler Ls lees de Kepler, ls cules deben su nombre l strónomo lemán Johnnes Kepler, se emplen pr describir ls órbits de los plnets lrededor del Sol.. Todo plnet se mueve en un órbit elíptic lrededor del Sol.. Un ro que v del Sol l plnet brre áres igules de l elipse en tiempos igules.. El cudrdo del periodo es proporcionl l cubo de l distnci medi entre el plnet el Sol.* Aun cundo Kepler dedujo ests lees de mner empíric, más trde fueron confirmds por Newton. De hecho, Newton demostró que tods ls lees puede deducirse de un conjunto de lees universles del movimiento l grvitción que gobiernn los movimientos de todos los cuerpos celestes, incluendo comets stélites. Esto se muestr en el ejemplo siguiente con el comet que debe su nombre l mtemático inglés Edmund Hlle (5-7). EJEMPLO Comet Hlle Sol Tierr El comet Hlle tiene un órbit elíptic con el Sol en uno de sus focos un ecentricidd, e.97. L longitud del eje mor de l órbit es 5.88 uniddes stronómics, proimdmente. (Un unidd stronómic se define como l distnci medi entre l Tierr el Sol, 9 millones de mills.) Hllr un ecución polr de l órbit. Qué tn cerc lleg psr el comet Hlle del Sol? Comet Hlle Solución Utilizndo un eje verticl, se puede elegir un ecución de l form ed r e sen sin., Como los vértices de l elipse se encuentrn en l longitud del eje mor es l sum de los vlores r en los vértices, como se observ en l figur.. Es decir,.97d.97.97d d Por tnto, d. ed Usndo este vlor en l ecución se obtiene. r.97 sen sin Figur. donde r se mide en uniddes stronómics. Pr hllr el punto más cercno l Sol (el foco), se escribe c e Puesto que c es l distnci entre el foco el centro, el punto más cercno es c AU UA 55,, mills * Si se us como referenci l Tierr cuo periodo es ño cu distnci medi es unidd stronómic, l constnte de proporcionlidd es. Por ejemplo, como l distnci medi de Mrte l Sol es D.5 UA, su periodo P está ddo por D P. Por tnto, el periodo de Mrte es P.88.

60 75 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres L segund le de Kepler estblece que cundo un plnet se mueve lrededor del Sol, un ro que v del Sol hci el plnet brre áres igules en tiempos igules. Est le tmbién puede plicrse comets steroides con órbits elíptics. Por ejemplo, l figur., muestr l órbit del steroide Apolo lrededor del Sol. Aplicndo l segund le de Kepler este steroide, se sbe que cunto más cerc está del Sol mor es su velocidd, que un ro corto debe moverse más rápido pr brrer l mism áre que brre un ro lrgo. Sol Sol Sol Un ro que v del Sol l steroide brre áres igules en tiempos igules Figur. EJEMPLO El steroide Apolo El periodo del steroide Apolo es de dís terrestres, su órbit qued descrit proimdmente por l elipse r 9 59 cos 9 5 cos θ = donde r se mide en uniddes stronómics. Cuánto tiempo necesit Apolo pr moverse de l posición dd por como se ilustr en l figur.5?, Apolo Figur.5 Sol Tierr θ = Solución Pr empezr se encuentr el áre brrid cundo ument de. A r Fórmul pr el áre de un gráfic polr. d cos d Usndo l sustitución u tn, nlizd en l sección 8., se obtiene A 8 5 sin 8 sen 5 tn rctn 9 5 cos Como el eje mor de l elipse tiene longitud 88 l ecentricidd es e 59, se encuentr que b e 95. Por tnto, el áre de l elipse es Áre de l elipse Como el tiempo requerido pr recorrer l órbit es dís, se puede plicr l segund le de Kepler pr concluir que el tiempo t requerido pr moverse de l posición l posición está ddo por b t áre del segmento elíptico.99 áre de l elipse 5.57 lo cul implic que t 9 dís.

61 SECCIÓN. Ecuciones polres de ls cónics lees de Kepler 75 Ejercicios de l sección. Rzonmiento gráfico En los ejercicios, usr un grficdor pr representr l ecución polr cundo ) e, b) e.5, c) e.5. Identificr l cónic. e e. r. r e cos e cos e e. r. r e sen sin e sen sin 5. Redcción Considerr l ecución polr r. e sin ) Usr un grficdor pr representr l ecución con e., e.5, e.5, e.75, e.9. Identificr l cónic nlizr l vrición en su form cundo e e. b) Usr un grficdor pr representr l ecución cundo e. Identificr l cónic. c) Usr un grficdor pr representr l ecución cundo e., e.5, e. Identificr l cónic nlizr l vrición en su form medid que e e.. Considerr l ecución polr r ) Identificr l cónic sin elborr l gráfic de l ecución. b) Sin elborr l gráfic de ls ecuciones polres siguientes, describir l diferenci de cd un con l ecución polr de rrib. c) Verificr en form gráfic los resultdos del prtdo b). En los ejercicios 7 hcer corresponder l ecución polr con su gráfic. [Ls gráfics están etiquetds ), b), c), d), e) f).] ) b) c) d).. cos r,. cos r. sen sin e) f) 7. r 8. r cos cos 9. r. r sen sin sen sin. r. r sen sin cos En los ejercicios, hllr l ecentricidd l distnci del polo l directriz de l cónic. Después trzr e identificr l gráfic. Usr un grficdor pr confirmr los resultdos r sen sin 8. r cos r sen sin r r 5 r 5 sen sin r r 7 sen sin r sen sin r cos cos 5 cos cos En los ejercicios, usr un grficdor pr representr l ecución polr. Identificr l gráfic.. r sen sin. r sen sin 5. r cos. r sen sin

62 75 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres En los ejercicios 7, usr un grficdor pr representr l cónic. Describir en qué difiere l gráfic de l del ejercicio indicdo. 7. r sen sin (Ver ejercicio.) 8. r cos (Ver ejercicio.) 9. r cos (Ver ejercicio 5.). r 7 sen sin (Ver ejercicio.). Dr l ecución de l elipse que se obtiene l girr rdines en sentido de ls mnecills del reloj respecto de l elipse r. Dr l ecución de l prábol que se obtiene l girr rdines en sentido contrrio ls mnecills del reloj respecto de l prábol r. sen sin En los ejercicios, hllr un ecución polr de l cónic con foco en el polo. (Por convenienci, l ecución de l directriz está dd en form rectngulr.) Cónic Ecentricidd Directriz. Prábol. Prábol 5. Elipse. Elipse 7. Hipérbol 8. Hipérbol e e e e e e Cónic 9. Prábol. Prábol. Elipse. Elipse. Hipérbol. Hipérbol 5. 5 cos Vértice o vértices, 5,,, 8,,,,,,,,, 9, 9. Demostrr que l ecución polr de es b Elipse. 5. Demostrr que l ecución polr de es b Hipérbol. En los ejercicios 5 5, usr los resultdos de los ejercicios 9 5 pr dr l form polr de l ecución de l cónic. 5. Elipse: foco en (, ); vértices en (5, ), 5, 5. Hipérbol: foco en (5, ); vértices en (, ),, Desrrollo de conceptos 5. Clsificr ls cónics de cuerdo con su ecentricidd.. Eplicr en qué difiere l gráfic de cd cónic de l grá- fic de r. sin sen ) r b) r cos sen sin c) r d) r cos sen sin 7. Identificr cd cónic. 5 5 ) r b) r cos sen sin 5 5 c) r d) r cos sen sin 8. Describir qué ps con l distnci entre l directriz el centro de un elipse si los focos permnecen fijos e se proim. r r b. e cos b. e cos 9 En los ejercicios 55 5, usr ls funciones de integrción de un grficdor pr estimr con un precisión de dos cifrs decimles el áre de l región limitd por l gráfic de l ecución polr. 55. r cos 5. r sen sin

63 SECCIÓN. Ecuciones polres de ls cónics lees de Kepler Eplorer 8 El 7 de noviembre de 9, Estdos Unidos lnzó el Eplorer 8. Sus puntos bjo lto sobre l superficie de l Tierr fueron proimdmente 9 mills mills, respectivmente (ver l figur). El centro de l Tierr es el foco de l órbit. Hllr l ecución polr de l órbit hllr l distnci entre l superficie de l Tierr el stélite cundo (Tomr como rdio de l Tierr mills.) 9 Eplorer Movimiento plnetrio Los plnets girn en órbits elíptics con el Sol como uno de sus focos, como se muestr en l figur. r r Sol Tierr Plnet θ ) Mostrr que l ecución polr de l órbit está dd por r e e cos donde e es l ecentricidd. b) Mostrr que l distnci mínim (perihelio) entre el Sol el plnet es r e que l distnci máim (felio) es r e. En los ejercicios 59, usr el ejercicio 58 pr hllr l ecución polr de l órbit elíptic del plnet, sí como ls distncis perihelio felio. 59. Tierr.9 8 kilómetros e.7. Sturno.7 9 kilómetros e.5. Plutón kilómetros e.88. Mercurio kilómetros e.5. No está dibujdo escl No está dibujdo escl. Movimiento plnetrio En el ejercicio se encontró l ecución polr pr l órbit elíptic de Plutón. Usr l ecución un sistem computcionl pr álgebr. ) Aproimr el áre que brre un ro que v del Sol l plnet cundo ument de /9. Empler este resultdo pr determinr cuántos ños necesit Plutón pr recorrer este rco, si el periodo de un revolución lrededor del Sol es de 8 ños. b) Por enso error, proimr el ángulo tl que el áre brrid por un ro que v del Sol l plnet cundo ument de se igul l áre encontrd en el prtdo ) (ver l figur). Brre el ro un ángulo mor o menor que el del prtdo ), pr generr l mism áre? A qué se debe? α θ = 9 c) Aproimr ls distncis que recorrió el plnet en los prtdos ) b). Usr ests distncis pr proimr l cntidd promedio de kilómetros l ño que recorrió el plnet en los dos csos.. Comet Hle-Bopp El comet Hle-Bopp tiene un órbit elíptic con el Sol en uno de sus focos un ecentricidd de e.995. L longitud del eje mor de l órbit es proimdmente 5 uniddes stronómics. ) Hllr l longitud del eje menor. b) Hllr l ecución polr de l órbit. c) Hllr el perihelio el felio. En los ejercicios 5, se r l distnci del foco l vértice más cercno, r l distnci del foco l vértice más lejno. 5. Mostrr que l ecentricidd de un elipse puede epresrse como e r r. Después mostrr que r r. Mostr que l ecentricidd de un hipérbol puede epresrse como e r r. Después mostrr que r r r e r e. r e r e. En los ejercicios 7 8, mostrr que ls gráfics de ls ecuciones dds se cortn en ángulo recto. ed ed 7. r r sen sin sen sin c d 8. r r cos cos

64 75 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres Ejercicios de repso del cpítulo En los ejercicios, hcer corresponder l ecución con su gráfic. [Ls gráfics están etiquetds ), b), c), d), e) f).] ) b) c) d) e) f) En los ejercicios 7, nlizr l ecución trzr su gráfic. Empler un grficdor pr confirmr los resultdos En los ejercicios, hllr un ecución de l prábol.. Vértice:, ; directriz:. Vértice:, ; foco:, En los ejercicios 5, hllr l ecución de l elipse. 5. Vértices:,, 7, ; focos:,,,. Centro:, ; puntos solución: (, ), (, ) 8 En los ejercicios 7 8, hllr l ecución de l hipérbol. 7. Vértice: ±, ; foco: ±, 8. Foco:, ±8; síntots: ± En los ejercicios 9, usr un grficdor pr proimr l perímetro de l elipse Un rect es tngente l prábol perpendiculr l rect. Hllr l ecución de l rect.. Un rect es tngente l prábol perpendiculr l rect 5. Hllr l ecución de l rect.. Anten stelitl L sección trnsversl de un grn nten prbólic se model por medio de l gráfic de, El equipo de recepción trnsmisión se coloc en el foco. ) Hllr ls coordends del foco. b) Hllr el áre de l superficie de l nten.. Crro de bomberos Considerr un crro de bomberos con un tnque de gu que mide pies de longitud, cus secciones trnsversles verticles son elipses que se describen por l ecución 9.. ) Hllr el volumen del tnque. b) Hllr l fuerz ejercid sobre el fondo del tnque cundo está lleno de gu. (L densidd del gu es. librs por pie cudrdo.) c) Hllr l profundidd del gu en el tnque si está lleno æ de su cpcidd (en volumen) el cmión crro se encuentr sobre un terreno niveldo. d) Aproimr el áre en l superficie del tnque. En los ejercicios 5, trzr l curv representd por ls ecuciones prmétrics (indicr l orientción de l curv) dr ls ecuciones rectngulres correspondientes medinte l eliminción del prámetro. 5. t, t. t, t 7. cos, sen sin 8. cos, 5 sen sin 9. sec, tn. 5 sen sin, 5 cos

65 Ejercicios de repso 757 En los ejercicios, hllr un representción prmétric de l rect o cónic.. Rect: ps por,,. Circunferenci: centro en (5, ); rdio. Elipse: centro en, ; longitud del eje mor horizontl 8 longitud del eje menor. Hipérbol: vértice en, ±; foco en, ±5 5. Motor rottorio El motor rottorio fue inventdo por Feli Wnkel en l décd de los cincuent. Contiene un rotor que es un triángulo equilátero modificdo. El rotor se mueve en un cámr que, en dos dimensiones, es un epitrocoide. Usr un grficdor pr trzr l cámr que describen ls ecuciones prmétrics.. Curv serpentin Considerr ls ecuciones prmétrics cot sen sin cos, < <. ) Usr un grficdor pr trzr l curv. b) Eliminr el prámetro pr mostrr que l ecución rectngulr de l curv serpentin es 8. En los ejercicios 7, ) hllr d/d los puntos de tngenci horizontl, b) eliminr el prámetro cundo se posible c) trzr l curv representd por ls ecuciones prmétrics. 9.. cos 5 cos sen sin 5 sen sin. 7. t, t 8. t, t t, t t, t.. t t t t. cos. cos 5 sen sin 5. cos. e t sen sin En los ejercicios 7 5, hllr todos los puntos (si los h) de tngenci horizontl verticl l curv. Usr un grficdor pr confirmr los resultdos t, t, t t t sen sin, cos, cos sen sin t t sin sen e t En los ejercicios 5 5, ) usr un grficdor pr trzr l curv representd por ls ecuciones prmétrics, b) usr un grficdor pr hllr d/d, d/d, d/d pr c) usr un grficdor pr trzr l rect tngente l curv cundo 5. cot 5. sen sin Longitud de rco En los ejercicios 5 5, hllr l longitud de rco de l curv en el intervlo que se indic. 5. rcos sen 5. cos Áre de un superficie En los ejercicios 55 5, hllr el áre de l superficie generd por revolución de l curv en torno ) l eje, b) l eje Áre En los ejercicios 57 58, hllr el áre de l región. 57. sen sin 58. cos En los ejercicios 59, representr gráficmente el punto en coordends polres hllr ls coordends rectngulres correspondientes l punto. 59. sen sin rsin sen t, cos, cos, t,.,.,.5.,.5 /. sin cos t sen sin, sen sin sin sen En los ejercicios, se dn ls coordends rectngulres de un punto. Representr gráficmente el punto hllr dos pres de coordends polres del punto pr <..,., cos /,

66 758 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres En los ejercicios 5 7, psr l ecución polr l form rectngulr. 5. r cos. r 7. r cos 8. r cos 9. r cos 7. r sec 7. r cos sec 7. En los ejercicios 7 7, trnsformr l ecución rectngulr l form polr. rctn En los ejercicios 77 88, trzr l gráfic de l ecución polr. 77. r r sec 8. r csc 8. r cos 8. r cos 8. r cos 8. r 85. r cos 8. r cos r sen sin 88. r cos En los ejercicios 89 9, usr un grficdor pr representr l ecución polr. 89. r 9. r sen sin cos cos 9. r cos sec 9. r sec cos En los ejercicios 9 9, ) hllr ls tngentes en el polo, b) hllr todos los puntos de tngenci horizontl verticl, c) usr un grficdor pr representr l ecución polr dibujr un rect tngente l gráfic en 9. r cos 9. r sen sin 95. Hllr el ángulo entre l circunferenci r sen sin el crcol o limzón r 5 sen sin en el punto de intersección,. 9. Verddero o flso? En coordends polres eiste sólo un representción pr cd punto en el plno. Eplicr. En los ejercicios 97 98, mostrr que ls gráfics de ls ecuciones polres son ortogonles en el punto de intersección. Usr un grficdor pr confirmr los resultdos. 97. r cos 98. r sen sin r cos rctn /. r cos En los ejercicios 99, hllr el áre de l región. 99. Interior de r cos. Interior de r 5 sen sin. Interior de r sen sin. Interior común r cos r En los ejercicios, usr un grficdor pr representr l ecución polr. Dr un integrl pr encontrr el áre de l región dd usr ls funciones de integrción de un grficdor pr proimr el vlor de l integrl con un precisión de dos cifrs decimles.. Interior de r sen sin cos. Interior de r sen sin 5. Interior común of r r 8 sen sin. Región limitd por el eje polr r e pr En los ejercicios 7 8, hllr l longitud de l curv sobre el intervlo ddo. Ecución polr Intervlo 7. r cos 8. r cos En los ejercicios 9, dr un integrl que represente el áre de l superficie generd por revolución de l curv en torno un rect dd. Usr un grficdor pr proimr l integrl. Ecución polr Intervlo Eje de revolución 9. r cos Eje polr. r sen sin En los ejercicios, trzr e identificr l gráfic. Usr un grficdor pr confirmr los resultdos.. r. r sen sin cos. r. r cos 5 sen sin 8 5. r. r sin sen 5 cos En los ejercicios 7, hllr l ecución polr de l rect o cónic con su foco en el polo. 7. Círculo 8. Rect Centro: 5, Punto solución: (, ) Punto solución: (, Pendiente: 9. Prábol. Prábol Vértice:, Vértice:,. Elipse. Hipérbol Vértices: 5,,, Vértices:,, 7,

67 Solución de problems 759 SP Solución de problems. Considerr l prábol l cuerd focl. ) Dibujr l gráfic de l prábol l cuerd focl. b) Mostrr que ls rects tngentes l prábol en los etremos de l cuerd focl se cortn en ángulo recto. c) Mostrr que ls rects tngentes l prábol en los etremos de l cuerd focl se cortn en l directriz de l prábol.. Considerr l prábol p un de sus cuerds focles. ) Mostrr que ls rects tngentes l prábol en los etremos de l cuerd focl se cortn en ángulos rectos. b) Mostrr que ls rects tngentes l prábol en los etremos de l cuerd focl se cortn en l directriz de l prábol.. Demostrr el teorem., l propiedd de refleión de un prábol, como se ilustr en l figur.. Considerr l hipérbol b F P con focos F F, como se ilustr en l figur. Se T l rect tngente en un punto M de l hipérbol. Mostrr que los ros de luz incidente en un foco son reflejdos por un espejo hiperbólico hci el otro foco.. Considerr l región limitd por l elipse b, con ecentricidd e c. ) Mostrr que el áre de l región es b. b) Mostrr que el volumen del sólido (esferoide oblto) generdo por revolución de l región en torno l eje menor de l elipse es V b el áre de l superficie es c) Comprobr que el volumen del sólido (esferoide prolto) generdo por revolución de l región lrededor del eje mor de l elipse es V b el áre de l superficie es 7. L curv descrit por ls ecuciones prmétrics t t t t t t t se denomin estrofoide. ) Hllr un ecución rectngulr de l estrofoide. b) Hllr un ecución polr de l estrofoide. c) Trzr un gráfic de l estrofoide. d) Hllr l ecución de ls dos rects tngentes en el origen. e) Hllr los puntos de l gráfic en los que ls rects tngentes son horizontles. 8. Hllr un ecución rectngulr pr l porción de l cicloide dd por ls ecuciones prmétrics ( sen ) ( cos ),, como se muestr en l figur. S b e ln e e. S b b e rcsin rcsen e. M F b T F O A θ P B c O sen Figur pr Figur pr 5 5. Considerr un círculo con rdio tngente l eje - l rect, como se ilustr en l figur. Se A el punto en el cul el segmento OB cort el círculo. L cisoide de Diocles consiste de todos los puntos P tles que OP AB. ) Hllr un ecución polr de l cisoide. b) Hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l cisoide que no contengn funciones trigonométrics. c) Hllr l ecución rectngulr de l cisoide. 9. Considerr l espirl cornu ddo por t t t sin u t cos u du. du sen ) Usr un grficdor pr representr l espirl en el intervlo t. b) Mostrr que l espirl cornu es simétric respecto l origen. c) Hllr l longitud de l espirl cornu desde t hst t. Cuál es l longitud de l espirl desde t hst t?

68 7 CAPÍTULO Cónics, ecuciones prmétrics coordends polres. Un prtícul se mueve lo lrgo de l trectori descrit por ls ecuciones prmétrics t sen sin tt, con t <, como se muestr en l figur. Hllr l longitud de est trectori.. Sen b constntes positivs. Hllr el áre de l región del primer cudrnte limitd por l gráfic de l ecución polr. Considerr el triángulo rectángulo que se muestr l figur. ) Mostrr que el áre del triángulo es b) Mostrr que c) Usr el prtdo b) pr deducir l fórmul pr l derivtiv de l función tngente. α r b sen sin b cos, tn sec d.. (, ) (, ) A sec d. 5. Un controldor de tráfico éreo ubic l mism ltitud dos viones que vueln uno hci el otro (ver l figur). Sus trectoris de vuelo son 5 con un velocidd de 75 mills por hor. El otro se encuentr 9 mills del punto P con un velocidd de 5 mills por hor. 9 mills ) Hllr ecuciones prmétrics pr l trectori de cd vión donde t es tiempo en hors, t correspondiendo l instnte en que el controldor de tráfico éreo locliz los viones. b) Empler el resultdo del prtdo ) pr epresr l distnci entre los viones como función de t. c) Usr un grficdor pr representr l función del prtdo b). Cuándo será mínim l distnci entre los viones? Si los viones deben conservr un distnci entre ellos de por lo menos tres mills, se stisfce este requerimiento?. Usr un grficdor pr trzr l curv que se muestr bjo. L curv está dd por r e cos cos sen sin 5. Sobre qué intervlo debe vrir 5 mills 5 P pr generr l curv? Figur pr Figur pr. Determinr l ecución polr del conjunto de todos los puntos r,, el producto de cus distncis desde los puntos,, es igul, como se observ en l figur.. Cutro perros se encuentrn en ls esquins de un cudrdo con ldos de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj l mism velocidd en dirección l siguiente perro, como se muestr en l figur. Hllr l ecución polr de l trectori de un perro medid que se cerc en espirl hci el centro del cudrdo. d d d d PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre est curv, consultr el rtículo A Stud in Step Size de Temple H. F en Mthemtics Mgzine. 7. Usr un grficdor pr representr l ecución polr r cos 5 n cos, pr < pr los enteros desde n 5 hst n 5. Qué vlores de n producen l porción de l curv en form de corzón? Qué vlores de n producen l porción de l curv en form de cmpn? (Est curv, cred por Michel W. Chmberlin, fue publicd en The College Mthemtics Journl.)