VIGAS DE PARED DELGADA

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Capíulo VGS DE PED DELGD NODUCCÓN Ee capíulo eá dedicado al eudio de viga de pared delgada. El objeivo e deerminar la enione y la deformacione, en epecial la enione de core originada en el momeno oror y lo efuerzo de core. modo de ejemplo e conidera una viga de pared delgada abiera de forma arbiraria cuya ección plana e muera en la Figura. Primero e procede a deerminar la propiedade de la ección: i) área (), ii) ubicación del cenro de gravedad (puno G), iii ) momeno de inercia y produco de inercia, iv) eje principale de inercia ( y e z ) que e inercepan en el cenro de gravedad de la ección (eje y y z ) y v) ubicación del cenro de core (puno C). coninuación e deerminan lo efuerzo que olician a la ección plana: i) el efuerzo normal N y lo momeno flecore M y y M z que paan por el cenro de gravedad G. ii) el momeno oror y lo efuerzo de core Q y y Q z que paan por el cenro de core C. Figura : Efuerzo en una ección de pared delgada y enión normal en un puno genérico Una vez deerminada la propiedade de la ección plana y lo efuerzo acuane podemo calcular la enione. La enione normale en un puno genérico (puno ) de la ección, definido por la coordenada ( y y z ) repeco a lo eje principale de inercia, e calculan por la fórmula de la flexión compuea que e oalmene general, N M y M z ( σ x) + z y () y iendo aplicable a odo ipo de eccione: llena, de pared delgada (abiera o cerrada), y ambién de pared gruea, ean ella imérica o no. La enione de core en un puno genérico al como el dependen del momeno oror ( ) que e calcula omando momeno repeco al cenro de core y de lo efuerzo corane (Q y y Q z ) que ienen la dirección de lo eje principale de inercia pero paan por el cenro de core. No pregunamo: Exie una fórmula oalmene general, para calcular la enione de core? 69 z τ f(, Q, Q, y, z )? () y Lamenablemene la repuea e no, en cada cao e deben ener en cuena la paricularidade de la ección coniderada. En alguno cao como en la eccione circulare e conoce la olución general, en ora eccione llena (recángulo, elipe, riángulo, hexágono, ec.) e iene una fórmula para deerminar la enión de core máxima pero no e dipone de una expreión para deerminar la enión de core en un puno genérico en función de u coordenada. z

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 En ee capíulo e derivan fórmula para la enione de core de eccione cerrada y abiera de pared muy delgada, que pueden ener o no eje o cenro de imería. En el nexo al final de ee capíulo e reumen la fórmula para calcular la enión de core máxima y el módulo orional de divero ipo de eccione. Finalizamo ea inroducción anicipando que a lo largo de ee capíulo e demuera que en ciero cao de viga de pared delgada, el momeno oror produce enione normale denominada enione ecundaria que e agregan a la provocada por el efuerzo axial y la flexión coniderado en () que e modifica como e indica en (3) N M M σ + + σ (,, β ) (3) y z z y y z donde e una coordenada curvilínea que recorre la línea media del epeor del conorno de la ección plana de pared delgada y β e el giro por unidad de longiud de viga correpondiene a la ección coniderada, que eá definida por la coordenada axial x indicada en la Figura. OSÓN DE UN SECCÓN CED UNCELUL DE PED DELGD No referiremo a un perfil de pared delgada como el de la Figura -a. El epeor puede er variable pero debe er muy pequeño en comparación con el perímero y in cambio bruco porque en ee cao e produce concenración de enione. El epeor,, y la enione de core, τ, no varían en el enido axial (eje x). Figura : Deerminación del flujo de core en una ección de pared delgada unicelular Se aíla un elemeno, digamo el BCD, como e muera en la Figura -b y e planea el equilibrio de fuerza en el enido x eniendo en cuena la reciprocidad de la enione angenciale y el hecho de que lo puno y C on arbirario. Se oberva que el produco de τ por e conane en odo el perímero del perfil. El produco (τ ) e denomina flujo de core. τ dl τ dl τ τ ce qτ (4) Para calcular el momeno oror e inegra a lo largo del perímero el momeno infinieimal que el flujo de core produce repeco a un puno arbirario P como e muera en la Figura -c. ( ) (5) r q d q r d Noar que el flujo q e ha acado fuera de la inegral por er conane a lo largo de odo el perímero. La inegral debe efecuare a lo largo de la línea media y iene una inerpreación geomérica muy imple. En efeco, (rd ) e el doble del área del riángulo de bae (d) y alura (r ). r d Γ qγ (6) Noar que el área Γ no e el área de la ección reca, ino, el área encerrada por la línea media del perímero (normalmene Γ >> ). La enión de core por orión en la ección cerrada de pared delgada depende del epeor: eemplazando (4) en (6) y depejando: τ /( Γ) (7) 7

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 El giro por unidad de longiud ( β dθ/dx) puede obenere por un imple planeo energéico. El rabajo realizado por el momeno oror e: W ½ θ donde: θ βl (8) e Cuando acúa olamene la enión de core, la energía por unidad de volumen w, dada en la ecuación (3) del Capíulo e reduce a una expreión encilla que e puede inegrar en el volumen (dv Ld) para calcular la energía inerna de deformación eláica W i. τ τ τ w ½ τγ ½ Wi w dv ½ dv Wi ½ L d G G (9) G τ gualando W e con W i ½ β L ½ ( L d) () G Se puede depejar β. eemplazando (4) y (6) en () e puede exprear β de do manera egún convenga en función del momeno oror o del flujo de core q: β q GΓ d ()-a 7 β d ()-b 4GΓ () La ecuacione (6) y () on conocida como fórmula de Bred, quien la dedujo en 896. Noar que on fórmula aproximada válida para epeor muy pequeño. Como en general lo epeore de la viga de pared delgada no on muy pequeño el error no e inignificane. modo de ejemplo, i la fórmula (6) e aplica a un ubo circular cuyo epeor e igual al % del radio medio, la enión máxima calculada e un 8 % inferior al verdadero valor. En ee mimo ejemplo el giro por unidad de longiud β calculado con () iene un % de error en exceo. eniendo en cuena la ley de Hooke podemo exprear el giro por unidad de longiud como L θ ()-a G β G ()-b () donde el produco (G ) e la rigidez a la orión de la ección. l comparar la ecuación ()-b con la ()-b e obiene la fórmula (3)-a para calcular el módulo orional de una ección cerrada de pared delgada que e el equivalene al momeno de inercia polar de una ección circular. 4Γ d (3)-a i e conane 4Γ perímero (3)-b donde e oberva que el módulo orional de eccione cerrada crece con el cuadrado del área encerrada Γ y ólo linealmene con el epeor. En el cao de una ección cerrada con alea e uman la conribucione de eo elemeno 4 Γ 3 + ( ⅓ ( i) di) (4) d / ( ) E muy imporane deacar la gran diferencia enre el módulo orional de una ección cerrada y ora imilar abiera. modo de ejemplo e ugiere al lecor verificar que el ubo oldado (cerrado) de la Figura 3-b iene una rigidez (G ) que e 3 vece la rigidez del mimo ubo in oldar de la Figura 3-a. imimo puede verificare que la enión máxima en la ección abiera e 3 vece el valor de la ección imilar pero cerrada. cerrada rm 3 3 abiera τ τ max max abiera 3 r m 3 cerrada Figura 3: Comparación enre do eccione aparenemene imilare: a) abiera, b) cerrada (3)

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 3 OSÓN DE SECCONES CON VS CÉLULS La eccione cerrada mulicelulare de pared delgada on de uo frecuene en ingeniería naval, mecánica y aeronáuica. Su análii e una imple generalización de lo reulado obenido por Bred para una ección cerrada (unicelular). nalizaremo una ección de do célula del ipo de la Figura 4, pero lo reulado pueden generalizare al cao de n célula. Se conidera que en la célula acúa el flujo de core q y que en la célula acúa el flujo q, mienra que en el abique inerior e uperponen ambo flujo. Figura 4: Sección cerrada de pared delgada de do célula epiiendo un razonamieno imilar al que permiió deducir (4) e puede probar que q3 q q (5) eo permie raar lo flujo de core en la célula como corriene en la malla de circuio elécrico. Suponiendo que la eccione plana no e diorionan en u plano (eoría de Sain Venan) e puede anicipar que oda la célula giran lo mimo, de ea manera egún () e iene: qi β β β... βn donde: βi d i,, n GΓ El momeno oror oal e obiene como uma de la conribución de odo lo ramo. Coniderando la ección de do célula de la Figura 4-a e iene Generalizando para n célula i ( ) q r d + q r d + q q r d BC CD C ( Γ Γ ) ( Γ Γ ) ( ) Γ ( Γ Γ ) q + + q q q q + q 3 3 3 n i i (6) (7) qi Γ i (8) Un problema ípico e el iguiene: Se dan como dao la geomería, el maerial (G) y el momeno oror oal y e pide hallar lo n flujo de core q i y el giro por unidad de longiud ( β ). Se ienen n célula y por lo ano n + incógnia. Se dipone de un iema de n ecuacione acoplada (6) que permien calcular lo q i en función de β (que e único). eemplazando luego en (8) podemo depejar el valor de β con el que finalmene e calculan lo q i. Secuencia de cálculo para reolver la ección de do célula de la Figura 4: Comenzamo definiendo: β βg ; qi β qi (9) Ec. (6) a b q Γ β G c d q Γ a b q Γ q reolviendo c d q Γ q () depejando q + β ( Γq + Γ q) q Ec. (8) β ( Γ q Γ q ) β q β q Para obener el módulo orional e pare de ()-b e iene en cuena (9) y e generaliza (): () 4 Γ q () i i 7

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 4 ÁE SECOL La viga de pared delgada pueden ear oliciada por orión o bien orión y flexión. El análii de ale problema e implifica definiendo una propiedad de la ección llamada Área Secorial. Figura 5: Definición del área ecorial Para la ección abiera de pared delgada de la Figura 5 e elige arbirariamene un puno inicial ( ) para medir la diancia obre la línea media. ambién e elige arbirariamene un puno ( P) como polo y e define el área ecorial ω () como ω( ) r d dω [cm ] (3) Noar que el área ecorial e un valor aociado a cada puno de la línea media de la ección. El incremeno dω e poiivo cuando PQ roa en enido anihorario. Noar que i e cambia el puno inicial, el valor del área ecorial cambia en una canidad fija en odo lo puno (el cambio e igual al valor del área ecorial en el nuevo puno inicial). modo de ejemplo e mueran lo gráfico del área ecorial para una mima ección donde e cambia la ubicación del polo y del puno inicial. Figura 6: Diino gráfico del área ecorial cambiando el polo y el puno inicial Ora propiedade úile para el análii de eccione de pared delgada on la iguiene: ) Momeno eáico ecorial... M ω ( d) [cm 4 ] (4) ω ) Momeno ecorial de er orden... S x yω ( d) [cm 5 ] (5) donde y e la diancia al eje x ω 3) Momeno de inercia ecorial... ω ω ( d) [cm 6 ] (6) 73

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Noar que ea propiedade de la eccione de pared delgada dependen de la geomería de la ección y de la elección de lo puno y P. La propiedade (4), (5) y (6) on propiedade de la ección a diferencia del área ecorial definida en (3) que varía de puno a puno de la ección. Noar que (5) depende ademá del eje de referencia x. 4. Diagrama principal de área ecorial Cuando e uiliza el cenro de core como polo, lo momeno ecoriale de primer orden (S ω ) definido en (5) repeco a eje principale reulan nulo independienemene de la elección del puno inicial. Eo e demuera má adelane, ver ecuación (66). Si ademá e elige el puno inicial de modo que el momeno eáico ecorial e anule, e obiene un diagrama de área ecorial que e denomina diagrama principal de área ecorial. Para obener el diagrama principal e calcula primero ω () uando al cenro de core como polo y adopando un puno inicial cualquiera ( ) ω r d (7) Cambiar el puno inicial implica rear una conane (ω o ) en odo lo puno de la ección ω ω (8) ( ) ( ) ωo Para que la nueva área ecorial ω () aí definida ea el diagrama principal deberá cumplire que ( d) ω ( ) (9) º ) e calcula ω () egún (7) uando al cenro de core como polo. º ) e calcula la conane ω o uando (3), donde e el área de la ección. ( ) o o ( ) (3) de donde ω ( d) ω ( d) ω ω ( d) eumiendo: 3º ) e obiene el área ecorial principal ω () uando (8). Noa : ecordar que debe uilizare como polo al cenro de core. Noa : Cuando hay un eje de imería baa omar el puno inicial obre el eje de imería para obener direcamene el diagrama principal in neceidad de uar el procedimieno anerior! 5 LBEO - ENSONES SECUNDS 5. Deplazamieno por alabeo La mayoría de la eccione alabean cuando on orionada. Se denomina alabeo a lo deplazamieno en el enido axial que hacen que la eccione originalmene plana no permanezcan plana depué de er orionada. Cuando el alabeo eá reringido por lo apoyo e originan enione denominada ecundaria on de do ipo: i) axiale en el enido de viga y ii) de core acuando en la eccione ranverale. Para dearrollar expreione que permian calcular el deplazamieno axial u, conideramo el ramo de viga de la Figura 7-a. Figura 7: Conribucione a la deformacione por core en una viga oliciada en orión 74

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 ilando un elemeno genérico BCD e oberva que hay do conribucione a la deformacione de core γ (ver Figura 7-b): i) la primera que llamaremo α e origina en la roación relaiva de una ección repeco a la ora que e encuenra a una diancia dx y ii ) la egunda que llamaremo λ e origina en la variación de lo deplazamieno axiale u, ( alabeo): du γ α + λ βr + (3) d La diorión de core γ produce en el plano medio un flujo de core q. Según () y la ley de Hooke aociada al core e iene: (4) Hooke q τ q γ τ γ G G (3) du d q β r (3) G 5. Seccione abiera ecordando que la eccione abiera no ienen flujo de core ( q ), e puede inegrar (3) llegando a: u( ) βω( ) u u β r d u (33) La ecuación (33) muera que lo deplazamieno por alabeo en eccione abiera de pared delgada on proporcionale al giro por unidad de longiud β y ienen la mima ley de variación que el área ecorial ω () a lo largo del perímero. Noar que u e una ralación de oda la ección que depende del puno inicial uilizado para definir el área ecorial. MPONE: La eccione abiera cuya área ecorial e nula en odo lo puno no e alabean. Eo ocurre, por ejemplo, cuando la ección eá coniuida por un haz de elemeno reco que concurren en un puno como e muera en la Figura 8. Figura 8: Seccione abiera formada por un haz de reca concurrene cuya área ecorial e nula 5.3 Seccione cerrada En una ección cerrada no exie el core EF de la Figura 7-a y e obiene en general un flujo de core no nulo conane en el perímero. negrando (3) y haciendo nula la conane de inegración u e obiene: u ( ) eemplazando la fórmula de Bred (6) y () en (34) e iene q d βω( ) + G (34) u ( ) d ω ( ) d GΓ Γ (35) Si e recorre odo el perímero ω Γ y enonce u (), lo que e correco porque eamo nuevamene en el puno inicial. Se ugiere al lecor verificar que exien alguno cao donde u () en odo lo puno y por lo ano la ección no alabea. al e el cao de la eccione morada en la Figura 9-a, b y c. 75

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 5.4 enión axial ecundaria Figura 9: Ejemplo de eccione que no alabean Cuando el alabeo varía a lo largo del eje x e originan enione normale ecundaria en el enido del eje de la viga. Se denominan enione ecundaria porque a priori uno no eperaría que la orión produzca enione normale que e uman a la cauada por la flexión y el efuerzo axial. La variación en el deplazamieno de alabeo, u, e origina en la iguiene caua:. Variacione del momeno oror a lo largo de la viga,. ericción al alabeo libre en una o má eccione (apoyo) o 3. Una combinación de la do caua aneriore acuando imuláneamene. Para el cao de orión acuando ola e iene: a) Sección abiera Empleando (36) y (33) e iene: σ x( ) ( ) du( ) εx( ) σx( ) E εx( ) (36) dx dβ E ω dx σ d θ x( ) E ω ( ) dx (37) La ecuación (37) muera que, para el cao de orión pura, la diribución de enione axiale ecundaria igue la mima ley de variación del área ecorial principal. Debido al ipo de oliciación (orión pura) deben anulare: i) la reulane de la fuerza axiale, ecuación (38) y ii) lo momeno de la enione axiale repeco a eje principale de inercia de la ección ranveral (eje y y z ), ecuacione (39) y (4) ( dicho momeno erían momeno flecore). Fx y σ ( ) x d (38) σ ( ) x (39) M z d z σ ( ) x (4) M y d Siendo σ x proporcional al área ecorial y eniendo en cuena (38) e deduce que ω () en (37) e el área ecorial principal definida en (8) y que e calcula uando lo valore obenido con la ecuacione (7) y (3). La ecuacione (39) y (4) on lo momeno ecoriale de primer orden definido en (5) que e anulan cuando e uiliza al cenro de core como polo. Para calcular la enión axial ecundaria σ x() e neceario conocer la variación de β o θ como función de x y eo depende del problema en paricular que e eé coniderando. b) Sección cerrada En una ección cerrada hay enión axial ecundaria σ x() ólo i el momeno oror varía en función de x. Empleando (36) y (35) e iene: σ x( ) E d ω d d G Γ Γ dx ( ) (4) 76

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 5.5 enión de core ecundaria Si dβ/dx no e conane aparece un flujo de core variable en el conorno, aún en el cao eccione abiera, y la enión corane, τ q/, no e anula obre la línea media de la ección. Noar que de acuerdo a la eoría de Sain Venan la variación de la enione de core por orión e lineal en el epeor de la viga abiera de pared delgada y la línea media iene enione de core nula. Figura : enione de core ecundaria en eccione abiera de pared delgada Para un elemeno de una ección abiera debe cumplire equilibrio de fuerza egún la dirección del eje de la viga (eje x). Obervando la Figura e iene: σ x( ) q( ) dx d + d dx x Suiuyendo σ x() egún (37), implificando e inegrando e obiene: q ( ) d (4) d β E ω ( ) (43) dx 3 d θ q( ) E M 3 ω ( ) donde Mω ( ) ( ) dx ω d (44) M ω() e el momeno eáico ecorial que varía en el conorno en función de a diferencia de la propiedad definida en (4) que correponde a oda la ección. La conane de inegración en (44) reula nula porque iempre e inegra a parir de un exremo libre de la ección donde, y q. El valor de ω ( ) en cada puno e igual al valor del diagrama principal de área ecorial en ee puno. Noar que en el exremo libre donde e nula el flujo de core q e nulo pero el área ecorial no e nula en ee puno (el valor nulo ocurre en el puno inicial con que e definió el área ecorial principal!!). Noar que hay una aparene incongruencia en el razonamieno. En efeco (43) y (44) e baan en (33) que e derivó uponiendo que la enión de core e nula en la línea media y luego a parir de ella e derivó (44) para calcular el flujo de core q que no e nulo en la línea media. azonamieno imilare on uilizado en eoría de flexión de viga y eoría de flexión de placa. La obención de (43) e baa en condicione de equilibrio imilare a la que permien obener la enione de core de ouraky. El error que e comee al calcular σ x ignorando q e muy pequeño y por lo ano el error de q baado en σ x ambién reula depreciable. 6 OSÓN CON LBEO ESNGDO La eoría de Sain Venan upone que la carga exerna y lo apoyo on ale que permien el libre alabeo de la eccione, pero exien mucho cao de ineré prácico en que el alabeo eá reringido. Un cao muy común e aquel en que e iene una viga en voladizo donde lo deplazamieno axiale eán reringido en el emporamieno (apoyo). No proponemo reolver el iguiene problema: Deerminar el giro por unidad de longiud, β, y la enione como función de x en el cao de una viga de pared delgada oliciada por orión y con rericción al alabeo. La eoría correpondiene comenzó a er dearrollada por imohenko en 95 y fue compleada por Vlaov alrededor del año 95. 77

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 6. Ecuación general de la orión para eccione abiera Se conidera una ección abiera de forma arbiraria del ipo de la Figura -a oliciada por un momeno oror en el exremo libre. Figura : enione por orión de una viga de pared delgada y ección abiera Si e conidera una ección cualquiera (para un ciero valor de la coordenada x) como la indicada en la Figura -a e obervan enione de core τ de Sain Venan que varían linealmene en el epeor (Figura -b) y enione de core uniforme en el epeor pero variable en el conorno, correpondiene al flujo de core ecundario, q, debido a la rericción al albeo libre (Figura -c). Pariendo de la ecuación (5) e puede calcular el momeno oror, q, reiido por el flujo de core ecundario q debido a la rericcione al alabeo: ( ) (45) r q d q dω q El cálculo de q eá dado en la ecuación (44) y requiere hacer una inegración a lo largo del conorno medio de la ección abiera. Para eviar ea inegral recurrimo a la inegración por pare de la ecuación (45): [ ] F q q qdω ω q ω d (46) La canidad enre corchee e anula porque q en lo puno exremo de la ección abiera (puno y F, en la Figura -c). eemplazando ( q / ) por el valor dado en (43) e iene d β q E ( ω) ( d) dx d β q E ω (47) dx Noar que la inegral e el momeno de inercia ecorial ω definido en la ecuación (6) que e calcula a parir del área ecorial principal. La pare del momeno oror, SV, reiido por la enione de core de Sain Venan de variación lineal en el epeor, boquejado en la Figura -b e calcula de la manera habiual coniderando (): dθ dθ dx β SV β G (48) G dx G Sumando la conribucione dada en (47) y (48) y muliplicando por meno, e iene: d β q + SV (49)-a Eω G β dx (49)-b (49) El coeficiene (E ω ) e denomina rigidez al alabeo, mienra que el coeficiene (G ) e la rigidez a la orión cláica de Sain Venan. Dividiendo por E ω e obiene una ecuación diferencial de egundo orden en β donde d β dx 78 G K β K (5) G K (5) E ω

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 donde eemplazando β por (dθ/dx) en (5) y derivando repeco a x e iene 4 d θ d K θ K 4 (5) dx dx G d (53) dx La ecuación (5) e la ecuación diferencial de la orión para eccione abiera. Debe quedar claro que ano en (5) como en (5) on en general variable en función de la coordenada x. Para el cao ce., la olución de (5) e β B enh ( Kx) + B coh ( Kx) + /( G ) (54) Para el cao de momeno oror de variación lineal, ce. la olución de (5) e: ( ) 3enh ( ) 4coh ( ) θ C + C x + C Kx + C Kx + x / G (55) La conane de inegración e calculan a parir de la condicione de borde. Por ejemplo para un borde emporado: conane: en x β (56) conane: en x θ y d θ/ dx (57) En el cao general donde iene una variación arbiraria e recurre a la inegración numérica de la ecuación diferencial que e dearrolla en la Sección 9.. 7 FLUO DE COE PO COE En el cao de viga de pared delgada, abiera, reca y de ección conane, la enione de core por core on angene a la línea media de la ección y uniforme en el epeor. Eo da origen a un flujo de core q() que varía a lo largo del perímero de la ección, cuyo valor e deermina por la conocida fórmula de ouraky. 7. Seccione abiera imérica Sea, por ejemplo, la viga en voladizo de la Figura donde lo eje y y z on eje principale de inercia que paan por el cenro de gravedad de la ección. El eje x iene la dirección de la viga que e reca y de ección conane. El cenro de core e ubica obre el eje de imería. Figura : enione de core por core en una ección abiera imérica de pared delgada La enión de core τ debida al efuerzo de core Q z acuando en el cenro de core, e calcula con la fórmula de ouraky: QS QS z y() τ (4) q() donde S * y() y z d (58) donde q() e el flujo de core acivo que recorre la línea media de la ección de pared delgada; e la coordenada curvilínea que igue la línea media de la ección ( e igual a cero en el exremo que e oma como puno inicial ); Q z e el efuerzo de core en la ección, S y () e el momeno eáico 79

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 repeco al eje y del área comprendida enre el puno inicial y el puno definido por la coordenada, e el momeno de inercia coniene repeco al eje y. * y * El momeno de inercia coniene y e calcula concenrando el área obre la línea media del perímero. Siendo coniene e aegura que al inegrar el flujo de core q() dado en (58), que e conidera acuando obre la línea media, e obendrá el valor del efuerzo corane Q que e dao. Convención de igno: Q e poiivo cuando iene el enido del eje z poiivo. Si el flujo de core q() reula poiivo e porque apuna en el enido creciene de la coordenada que define el puno donde e calcula el flujo de core. El flujo de core acivo iene por reulane al efuerzo de core y paa por el cenro de core. Se denomina reacivo al flujo que equilibra el efuerzo de core. En la Figura e oberva que el flujo de core e de inenidad variable (varía de acuerdo al valor del momeno eáico del área que e nulo en lo exremo y máximo en el cenro de gravedad ) y iene la dirección de la línea media. Noar que en la ala uperiore el flujo de core e horizonal a pear de que el efuerzo de core Q e verical (egún el eje z). Noar que e han graficado flujo acivo. 7. Seccione abiera aimérica En el cao de una ección aimérica como la morada en la Figura 3 e deben deerminar primero lo eje principale de inercia y* y z*. La carga P que e verical debe decomponere egún la direccione principale para deerminar lo efuerzo de core Q y* y Q z*. Se puede anicipar que el cenro de core eá ubicado en la inerección de la línea media de la ala. Figura 3: enione de core por core en una ección abiera aimérica Lo flujo de core por core cauado por Q y* y Q z* e calculan por eparado uando (58) y poeriormene e uman la do conribucione al flujo de core por core q(). Qz* Sy* () Qy* Sz* () q() z* q() * y* * q() q() z* + q() y* (59) y * * z 7.3 Seccione cerrada imérica Cuando la ección cerrada poee un eje de imería y la carga corane acúa egún ee eje de imería, e puede anicipar que el flujo de core e nulo obre el eje de imería (debido a la imería). Figura 4: enione de core por core en una ección cerrada imérica En cao como el de la Figura 4 e puede aplicar la fórmula de ouraky (58) omando como puno inicial al puno. Para un puno al como el C deberá calculare el momeno eáico del área BC repeco al eje y. Noar que el momeno eáico e máximo a la alura del cenro de gravedad (puno G ) y en conecuencia el flujo de core por core ambién reula máximo en ea zona. 7.4 Seccione cerrada aimérica La deerminación del flujo de core por core en el cao de eccione cerrada aimérica e raa má adelane al final de la Sección 8 dedicada al cenro de core. 8

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 8 CENO DE COE La incidencia de la ubicación del cenro de core puede viualizare coniderando una viga en voladizo como la morada en la Figura 5-a. Bajo la acción de la carga verical aplicada en el exremo, la viga e flexiona y puede ambién girar por orión. Figura 5: Giro de una ección abiera en función de la ubicación de la carga repeco al cenro de core El equema indicado en la Figura 5 permie inuir que exie una ubicación de la carga para la cual la viga no gira por orión ya que i la carga eá a la izquierda como en el cao de la Figura 5-b el giro e anihorario y i eá a la derecha como en el cao 5-d el giro e en enido horario. Una carga ranveral que paa por el cenro de core no produce orión en la viga. En el cao de eccione llena el cenro de core eá muy próximo o coincide con el cenro de gravedad de la ección. En ale cao, la ubicación precia no e imporane. La ubicación del cenro de core en viga delgada abiera e muy imporane por u baja reiencia y rigidez a orión (aunque la rigidez aumena coniderablemene cuando e reringe el alabeo en lo apoyo). E imporane enfaizar que el momeno oror debe calculare repeco al cenro de core. El cenro de core e el puno donde paa la reulane de la enione de core (o flujo de core) de ouraky para cualquier dirección de la carga ranveral. En el exremo donde acúa la carga, el cenro de core real no coincide con el calculado porque no e poible aplicar la carga ranveral en forma de enione de core exacamene iguale a la calculada con la fórmula de ouraky. En la proximidade del exremo emporado el cenro de core real ampoco coincide con el calculado por ouraky debido a que la rericción al alabeo produce un flujo de core adicional. Cuando e deprecian la deformacione de la ección de pared delgada en u propio plano debido a la flexión, el cenro de core coincide con el cenro de giro. Hay que recordar que el cenro de giro e el puno que no e deplaza cuando la ección gira por orión. En la Figura 6 e oberva que la variación del flujo de core de ouraky, proveniene de la variación del core a lo largo de la viga, deforma la ección plana de la viga de pared delgada. Figura 6: Variación del flujo de core de ouraky y deformación de la ección de la viga plicando el eorema de reciprocidad e puede demorar que el cenro de core coincide con el cenro de giro (ver Figura 7). 8

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Figura 7: plicación del eorema de eciprocidad En el eado, la carga Q acuando en el puno produce un giro θ Q. En el eado, el momeno oror aplicado en produce un deplazamieno verical Por reciprocidad e iene: Qu Q u. θ (6) Cuando coincide con el cenro de core, θ Q enonce egún (6) u, por lo ano e ambién cenro de giro. 8. Cenro de core de eccione abiera con un eje de imería Cuando una ección de pared delgada iene un eje de imería como en el cao de la Figura 8-a, e puede anicipar (por imería) que el cenro de core eá ubicado obre dicho eje de imería. En efeco, una carga corane horizonal, Q y, acuando en el eje de imería (eje y ) produce enione de core imérica repeco al eje y cuya reulane paa por el eje de imería. Figura 8: Sección abiera con un eje de imería Para ubicar el cenro de core hay que calcular la diancia e indicada en la Figura 8-c Primero e calculan lo flujo de core q() debido al efuerzo de core Q egún ouraky y luego e ubica el cenro de core C de modo que el momeno,, de la fuerza aociada a lo flujo de core repeco a C ea nulo. r[ q() d] (6) Noar que q() e variable y e calcula uando la fórmula de ouraky (58) en función de la coordenada curvilínea que recorre la línea media del epeor de la ección de pared delgada. En el cao de ramo reco como en la ección de la Figura 8, conviene enconrar, en cada ramo, la reulane F i del flujo de core variable y luego omar momeno repeco al cenro de core (puno C ). En el cao de la Figura 8-c e iene: lo que permie depejar la diancia e que ubica al cenro de core. La fuerza F e calcula inegrando... F q () d QS donde el flujo de core e calcula con (58)... q () h h F + Fe F3 (6) b y * y iendo el momeno eáico variable.... S y() ( ) ( h / ) Signo: S y () e poiivo, Q e poiivo (hacia arriba), luego q () e negaivo (hacia la derecha). () 8

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Procediendo de manera imilar e puede obener F, mienra que F 3 F. Noar que no e * neceario calcular x porque e lo puede acar facor común en la ecuación (6) que eá igualada a cero. Como alernaiva e puede omar momeno repeco a inerección de F y F 3 y de ea * manera no hace fala calcular ni F ni F 3, pero en ee cao i hace fala calcular x.. Noar que para deerminar el cenro de core, en ee ejemplo e uilizó (6) en conjunción con (58), pero exie un procedimieno alernaivo dado por la ecuacione (64) y (65) donde e calcula primero el momeno eáico de er orden dado en (5) uilizando eje principale de inercia para deerminar la coordenada del cenro de core. Cuando una ección iene un cenro de imería, el cenro de core coincide con dicho cenro de imería, al e el cao de la ección de la Figura 9-a. En el cao de eccione formada por un haz de reca que concurren en un puno como en la Figura 9-b, c y d e puede anicipar que el cenro de core e halla en la inerección común a oda la línea media de lo ramo reco, porque allí concurren la fuerza reulane de lo flujo de core en cada ramo. Figura 9: Ubicación del cenro de core de eccione formada por un haz de reca concurrene 8. Cenro de core de eccione abiera aimérica En el cao de una ección de pared delgada abiera de forma arbiraria como en el cao de la Figura -a que no iene eje de imería ni cenro de imería, e debe calcular primero el cenro de gravedad (puno G) y lo eje principale de inercia y * y z *. Figura : Ubicación del cenro de core en eccione abiera in eje de imería Para ubicar la poición del cenro de core e calculan por eparado u coordenada e y * y e z * referida a lo eje principale. Primero e calcula la coordenada e y * donde paa la reulane de lo flujo de core de ouraky para el efuerzo de core Q z * egún z*. Calculando q () egún (58) uando eje principale y eligiendo el baricenro como polo (puno G ) e planea el equilibrio de momeno repeco al puno G (momeno anihorario poiivo): F Q e r q d e S () rd (63) z* y* ( ) y* * y* y* 83 F

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Para realizar la inegral (63) ería neceario calcular previamene el momeno eáico S y* () reolviendo la inegral dada en la ecuación (58). Eo e puede eviar inegrando por pare la ecuación (63) como e indica a coninuación: d e S S d z d F F F y* * ω( ) y* ( ) [ y* () ] ( ) * * ( ) ω ω y* d y* e S y* ω y* * y* donde e ha enido en cuena la definición (5) de momeno ecorial de er orden repeco al eje principal y* y el hecho de que S y* () e anula en el puno inicial y en el puno final F. Noar que en la inegración por pare: i) e inegró al diferencial de área ecorial r d ω ( ). d d ii) e derivó al momeno eáico Sy* ( ) z * d z * d d. En una egunda eapa e calcula la ora coordenada del cenro de core: Para ello e repie el procedimieno anerior y e obiene un reulado imilar excepo por el igno, (momeno anihorario poiivo): z* F repiiendo el procedimieno Sω Qy* ez* r ( q( ) d) ez* * (65) Corolario imporane Si en el cao de la Figura -a e oma momeno repeco al cenro de core (puno C ) y e repie el procedimieno que conduce a la ecuacione (64) y (65) e puede anicipar que la nueva diancia al cenro de core ( e y* y e ) erán nula, porque e eá omando momeno repeco al z* cenro de core. (64) e S y* ω y* y* * y* S ω (65) S e z* ω z* * z* z* ω z* (64) S (66) Eo permie afirmar que: Cuando e uiliza el cenro de core como polo, lo momeno ecoriale de primer orden (S ω ) definido en (5) repeco a eje principale reulan nulo independienemene de la elección del puno inicial. Ee hecho iene mucha imporancia en el conexo de lo momeno flecore definido en (39) y (4). El cenro de core puede ambién calculare uando eje no principale, como por ejemplo lo eje y y z en la Figura -a. En al cao la expreione para la coordenada on la iguiene: e y S S S + S * z * y * y * z z ω yz ω y ω yz ω e * * * * * * y z yz y z yz z ( ) ( ) (67) 8.3 Cenro de core de eccione cerrada con imería En el cao de eccione cerrada con do eje de imería, el cenro de core e halla en la inerección de eo do eje. al e el cao de la eccione morada en la Figura -a, b y c. Si una ección iene un cenro de imería como en la Figura -d, ee puno reula er ambién el cenro de core. Figura : Ubicación del cenro de core de eccione con imería 84

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 8.4 Cenro de core de eccione cerrada in imería En un cao general como el morado en la Figura el flujo de core reula eáicamene indeerminado. Para reolver el problema e conidera la uperpoición de do eado (eado y eado ), de modo que en uno de eo eado (el eado ) e elige un puno arbirario (digamo el puno ) donde el flujo de core e nulo. Eo permie calcular el flujo en lo puno reane uando la fórmula de ouraky pariendo de ee puno. Figura : Ubicación del cenro de core de una ección cerrada no imérica Para hallar la ubicación del cenro de core e deermina primero el baricenro (puno G ) y lo eje principale de inercia η y ξ. Luego e calculan por eparado cada una de la coordenada del cenro de core (η c y ξ c ) repeco a lo eje principale uilizando efuerzo de core uniario ( η y ξ ) aplicada en el cenro de core. La coordenada η c e calcula en re pao: Pao. Se elige un puno cualquiera, digamo el puno como referencia y e obiene el eado reando q al flujo q (). De ea forma el flujo de core en el puno en el eado e nulo y permie calcular el flujo de core por ouraky coniderando como puno inicial al puno. q q q q ( ) e calcula por ouraky (68) ( ) ( ) Pao. Se calcula q exigiendo que la ección no gire por orión ( β ) porque el efuerzo de core uniario ξ acúa en el cenro de core. Uilizamo la expreión generalizada () para el cao de flujo de core variable. d β ( q( ) q) GΓ + ( ) q d q( ) d Pao 3. Se ubica el cenro de core deerminando el puno de aplicación de la reulane del flujo de core q () que e el efuerzo de core uniario ( ξ ). Noar que q () e calculó en el eado para una fuerza uniaria y que el flujo q acuando en la ección cerrada del eado produce momeno oror pero no fuerza reulane. omando momeno repeco al baricenro (puno G ) e puede depejar el valor de la coordenada η c. ( ) ( ) ( ) + ξ ηc ( ) ( ) c ( ) ( ) q q q q d r ( ) ( ) (69) η q r d (7) Noar que reularía má conveniene, en ee cao paricular, omar momeno repeco a uno cualquiera de lo vérice (, B ó C ) porque ólo endríamo que coniderar la inegral en uno de lo ramo reco. Para calcular la coordenada ξ c e procede de manera imilar (pao, y 3). 85

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 8.5 Flujo de core por core y orión de una ección cerrada in imería En la Figura 3 e preena el cao general de una ección cerrada no imérica oliciada por carga que no acúan en el cenro de core y por lo ano producen orión ademá de core. Primero e deermina el cenro de gravedad G, lo eje principale de inercia y el cenro de core C. coninuación e reemplaza al iema de fuerza (P h y P v ) por lo do efuerzo de core egún lo eje principale (Q η y Q ξ ) que acúan en el cenro de core y por el momeno oror de la fuerza repeco al cenro de core. Noar que para calcular e neceia conocer η c y ξ c. Figura 3: Sección cerrada no imérica oliciada por core y orión Para reolver el problema de deerminar lo flujo de core de una ección cerrada no imérica oliciada en core y orión exien do alernaiva: i ) calculando previamene la ubicación de cenro de core, y ii) in enconrar previamene el cenro de core. lernaiva. Uilizando la coordenada del cenro de core. Se deerminan primero lo flujo de core cauado por el efuerzo de core Q ξ acuando en el cenro de core (puno C en la Figura 3-b). Como el problema e eáicamene indeerminado e procede a decomponer el iema en la uma de do eado ( y ) como e muera en la Figura 4. Noar la imiliud con el cao de la Figura. Figura 4: Decompoición en do eado para calcular el flujo de core cauado por Q ξ. El flujo de core conane del eado (q ξ ) e calcula, como en el cao de la Figura, exigiendo que la ección no gire por orión (β ) porque el efuerzo de core Q ξ acúa en el cenro de core. Uilizamo la expreión generalizada () para el cao de flujo de core variable y obenemo nuevamene la ecuación (69). 3. Se deerminan luego lo flujo de core cauado por el efuerzo de core Q η acuando en el cenro de core (puno C en la Figura 3-b) repiiendo el procedimieno del puno. Figura 5: Decompoición en do eado para calcular el flujo de core cauado por Q η 4. El flujo conane del eado (q η ) e calcula repiiendo el procedimieno del puno. 5. coninuación e calcula el flujo de core por orión uando la fórmula de Bred. Noar que para calcular el momeno oror e neceia conocer la coordenada del cenro de core η c y ξ c.! q / ( Γ ) (7) 6. Finalmene e calcula el flujo de core oal, q (), cauado por el iema de carga (P h y P v ), que e 86

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 equivalene al momeno oror y lo do efuerzo de core, Q ξ y Q η. q ( q + q ) + ( q + q ) + q (7) ( ) ξ( ) ξ η( ) η lernaiva. Sin uilizar la coordenada del cenro de core Noar que la ecuación (7) puede reecribire como: q q q q + + donde: q ( qξ qη q ) ( ) ξ( ) η( ) + + (73) Eo da lugar a un procedimieno alernaivo má imple que e muera equemáicamene en la Figura 6. Sólo hace fala calcular q en vez de u re componene (q ξ, q η, y q ). Figura 6: Decompoición en re eado Pao : Se calculan por ouraky lo flujo q ξ () del eado de la Figura 6 (e conidera Q ξ ). Pao : Se calculan por ouraky lo flujo q η () del eado de la Figura 6 (e conidera Q η ). Pao 3: Se calcula el valor del flujo conane q del eado de la Figura 6. Para ello e iguala el momeno de la carga aplicada (P h y P v ) con el momeno del flujo de core que recorre el conorno de la ección cerrada repeco a un puno arbirario que reule conveniene: Pd ( q + q + q ) r d i i ( ) ( ) ξ η ( ) q ( ξ( ) + η ( )) ( ) Γ Pd i i q q r d (74) Pao 4: Se compua el flujo de core oal, q (), cauado por el iema de carga (P h y P v ), uando la ecuación (73) y lo valore q ξ (), q η () y q calculado en lo pao y 3. 9 SOLUCÓN DE L ECUCÓN GENEL DE L OSÓN euelo el problema de ubicar al cenro de core eamo en condicione de calcular el momeno oror. Cuando una viga oliciada principalmene en flexión opora carga ranverale que no paan por el cenro de core e debe calcular el momeno oror eniendo en cuena la diancia de la fuerza al cenro de core. Conocer el valor del momeno oror e muy imporane en el cao de eccione abiera de pared delgada debido a u ecaa rigidez y reiencia a la orión. 9. Solucione analíica En el cao donde el momeno oror e conane en oda la viga ( ce) e obiene la olución dada en (54) y cuando la variación del momeno oror e conane en oda la viga ( ce ) la olución eá dada por (55). La conane e deerminan de acuerdo a la condicione de borde. 9.-a Viga con momeno oror conane y alabeo reringido en un exremo (Figura 7). La olución eá dada en (54) β B enh ( Kx) + B coh ( Kx) + /( G ) La conane de inegración e deerminan a parir de la condicione en lo exremo de la viga. Figura 7: Viga canal oliciada en orión 87

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Condicione de borde: En el apoyo con rericción al alabeo e iene: x β (54) B /( G ) (75) En el exremo libre e oberva que σ x d θ d θ x L σ x (37) σ x( ) E ω ( ) (76) dx dx K B coh ( Kx) K enh ( Kx) B anh( KL) dx G G x L d θ + x L eemplazando en (54) el valor de la conane hallado en (75) y (77) β [ anh ( KL) enh ( Kx) coh ( Kx) + ] (78) G El giro en el exremo libre e obiene inegrando el giro por unidad de longiud ( β ) a lo largo de la viga: L L anh ( KL) θl β dx θ L G KL (79) KL KL θ L / G (8) Cuando ( ) anh ( ) ( ) por lo ano en la viga larga el efeco de la rericción al alabeo no e muy imporane ya que (8) e la olución de Sain Venan. La enión axial ecundaria debida al alabeo e obiene de (37): dβ K σx( ) E ω( ) Eω( ) [ anh ( KL) coh ( Kx) enh ( Kx) ] (8) dx G La máxima enión axial ocurre en el emporamieno: EK x σx( ) anh ( KL) ω x ( ) (8) G La enione de core cerca del exremo libre on principalmene enione de Sain Venan de variación lineal en el epeor cuyo valor máximo e aproximadamene: τ máx (83) Para una ección genérica la enione de Sain Venan reulan: (48) SV β G SV SV (78) τ máx [ anh ( KL) enh ( Kx) coh ( Kx) + ] (84) (83) τ máx ( SV / ) La enión ecundaria de core debida al flujo de core por rericción al albeo e obiene de (44). Ed β (44) τq ( ) d [ anh ( ) enh ( ) coh ( )] q KL Kx Kx ( ) d dx ω τ ω ω (85) El máximo ocurre para x τq /( ( ) ) ω ω( ) ( ) d (86) 9.-b Viga con momeno oror conane y alabeo reringido en ambo exremo La conane de (54) e obienen de la condicione de borde y depué e inegra de a L. L x L ( ) x β B / ( G ) ; x L β B [ /( G )] coh KL / enh KL (87) (77) θ L [ KL ] L L coh ( ) enh ( KL) β dx θ + L (88) G KL enh ( KL) KL 88

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 9. Solucione numérica eula conveniene en el conexo de la eoría de Vlaov definir el Bimomeno d β B Eω (89) dx que e mide en kg-cm o ea que iene la dimenión del momeno de un momeno. Para ener una inerpreación fíica de ee efuerzo podemo obervar que egún (37) B eá relacionado con la enione axiale ecundaria. B σ ω (9) x( ) ω Muliplicando ambo miembro de (9) por ω () e inegrando en oda el área de la ección e iene: B σ ω d ω d B σx( ) ω ( ) ( ) x( ) ( ) ω ( ) 89 ( ) B d (9) La ecuación (9) muera que el Bimomeno e una fuerza generalizada de la enione axiale ecundaria a ravé de un equema de deformacione aociado a ω (). En el cao de ener carga axiale concenrada e iene n B Fi ω( i ) (9) eornando a nuero objeivo de reolver numéricamene la ecuación general de la orión (5) que e de 4o orden, e comienza reduciendo el orden planeando 4 ecuacione diferenciale de er orden como e muera a coninuación. egún (49) y (48) e iene... + β ( G ) (93) derivando (93) y coniderando la definición de B (89) y de K (5)... de (47) y (89)... q i / / (94) dq dx K B + donde: d dx de la definición de B (89)... β / /( ) db / dx (95) q d dx B E ω (96) por definición de β... dθ/ dx β (97) eemplazando la derivada de er orden por diferencia finia enre lo valore de la repeciva variable en do eacione uceiva de inegración (i) e (i+) e llega a: de (94)... xk ( B + B )/ + + + x ( + + )/ (98) q i q i i i i i de (95)... B B x( + )/ (99) i+ i q i+ q i ( )( ) de (96)... βi+ βi x Bi+ + Bi / E ω () de (97)... θ θ x ( β + β )/ () i+ i i+ i Subiuyendo B i + de (99) en (98) y reordenando e iene de (98)... ( ) { / ( )/ }/ ( /) qi+ + K x i qi + xi i+ + + K xi B i K x i ( ) () de (99)... B B + x + / (3) i+ i i qi+ qi ( )/ de ()... βi+ βi xi Bi+ + Bi ( E ω ) (4) de ()... θ θ + x ( β + β )/ (5) i+ i i i+ i

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 coninuación e define el vecor de eado que coniene la cuaro variable q V B ( x) (6) β θ i Condicione de borde: Por raare de una ecuación diferencial de 4o orden deben epecificare do condicione en cada exremo. Ejemplo: Para ilurar el procedimieno no referiremo a la viga de la Figura 7 con un eado general de carga con momeno orore diribuido y concenrado. En el emporamieno e conoce que β y θ on nulo, iendo deconocido el valor del Bimomeno (B) y el valor del momeno oror por rericción al alabeo ( q ). La olución, V(x) dado en (6), e puede exprear como una combinación lineal de la forma V( x) V ( x) + α V ( x) + α V ( x) (7) donde V (x) e una olución paricular relacionada con la carga exeriore ( momeno oror diribuido por unidad de longiud ) y la condicione no-homogénea de borde que pudieran er epecificada. La olucione V y V correponden al problema homogéneo (in carga exeriore) y valore nulo para la variable epecificada en lo exremo. La re olucione e calculan con la fórmula de recurrencia () a (5) recordando que para V y V deberá coniderare en odo lo puno. Para iniciar el proceo de inegración en x e adopan para V () valore epecificado (conocido) o de lo conrario e le aignan valore nulo a la variable. Para la olucione V () y V () e aocian valore nulo a la variable epecificada porque ya fueron coniderada en V () y a cada variable deconocida e le aocia un valor uniario en una de la olucione homogénea y un valor nulo en la ora. Para el problema de la Figura 7, en x e iene: V() V() V() (8) plicando la fórmula de recurrencia () a (5) e llega haa el exremo x L donde deben imponere la reane condicione de borde que permien deerminar lo coeficiene α y α de la ecuación (7) con la cual e calcula vecor de eado en odo lo puno. Obervando (6), (7) y (8) reula obvio que en ee ejemplo α q () y que α B(). En el exremo x L no acúan fuerza axiale exerna, σ x nulo el Bimomeno:, y egún (9) y (9) reula x L B( L) B ( L) + α B ( L) + α B ( L) (9) ademá, e conoce el momeno oror,, acuando en el exremo x L y egún (93) reula x L q( L) + G β ( L) ( L) [ ( L) + α ( L) + α ( L) ] + G [ β ( L) + α β ( L) + α β ( L) ] ( L) q q q La ecuacione (9) y () pueden ecribire como q q q () B( L) B( L) α B( L) () ( L) + G β ( L) ( L) + G β ( L) α ( L) ( L) G β ( L) 9

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 Una vez reuelo el iema () e pueden deerminar lo valore de la variable que ean de ineré en lo puno de dicreización (eacione) uando (7). coninuación e calculan la enione en lo puno que inereen: (9)... σ B () ( x) x( ) ω( ) ω (48) y (83)... τ SV ( ) G β ( x) ( ) (3) (44), (4) y (47)... M q( x) ω ( ) τ q( ) (4) ω ( ) donde el momeno eáico ecorial variable M ω() eá definido en (44). El procedimieno de inegración numérica e compleamene general. Se pueden raar carga arbiraria ( x) diribuida a lo largo de la viga, la dicreización debe permiir eguir correcamene la variación de la carga. Momeno orore concenrado Lo puno donde acúan momeno orore concenrado deben ear incluido en la dicreización como puno de inegración. Exien do manera de planear el problema: Variane a) Se diribuye el momeno oror concenrado o, acuando en la coordenada x o de la viga, en do inervalo de ampliud ε, uno a cada lado de x o (ε debe er muy pequeño). De ee modo la carga diribuida ( x) e modifican como e indica a coninuación: x x ε ( x ε) x x ( x ) o o o o 9 o ε x x + ε ( x + ε) (5) + o o de ea manera e diribuye la miad de o en el pequeño inervalo anerior a x o y la mima canidad en el inervalo pequeño poerior a x o. l ear fueremene concenrada la variación del momeno oror en la proximidade de x o hay fuere rericción al alabeo y el q ufre una fuere diconinuidad mienra que SV permanece prácicamene conane en eo do inervalo de ampliud ε muy pequeña. Eo juifica el uo de la variane b) que e má encilla de aplicar ya que no requiere agregar do puno próximo a x o. Variane b) l llegar a x o e incremena q en el valor del momeno oror o concenrado Seccione con propiedade variable ( x ) ( ) + (6) q o q xo o Hay que remarcar que en la formulación en diferencia finia () a (5) denro de cada ramo e conidera que la variable on conane e iguale al promedio de lo valore de lo puno que definen la eacione. Una venaja de la ubdiviión del inervalo de inegración e que permie coniderar que la propiedade (G ) y (E ω ) varíen a lo largo de la viga (funcione de x), pero en al cao hay que modificar la formulación agregando un érmino adicional en el egundo miembro de (94) y oro en el egundo miembro de (96): d q d( G ) (94) e modifica:... K B + β (7) dx dx (96) e modifica:... d β B dβ d( E ) ω (8) dx E ω dx dx y en conecuencia e modifican la ecuacione (98) haa (5). Finalmene debe remarcare que la exaciud del méodo de inegración numérica aumena al diminuir el pao de inegración Δx, pero crece el efuerzo de cálculo.

Compendio de Cálculo Erucural FCEFyN UNC.Maa-.Giro-.Giudici - 5 NEXO DEL CPÍULO Fórmula para orión: enión máxima τ máx y módulo orional En odo lo cao: β G cao Sección enión de core máxima Módulo orional ( ) τ máz D π D 3 4 τ máz D π 4 4 ( D d ) 3 π dm e 4 exaco ( ) 3 aproximado 6 πba 3 τ π 6 3 3 a b a + b 4 riángulo equiláero τ 3 a 4 a 46, 5 τ 5,7 3 a 4 a 8,8 Hexágono regular τ Cτ ba C ba β 3 6 b e el lado mayor x (a/b) Cτ,5 x, x 3 + 3 4 (,74,74 ) τb τ + x x Cβ, x,8 x 3 +... ( τ τ ),74 / B 4 7 Cao a) cao b) τ máx ( ) ( ) τ máx máx a) b) F ⅓ d 3 ( ) ⅓ 3 i i 8 Γ e el área encerrada τ ( ) τ máx Γ Γ ( ) mín 4Γ d ( ) 4Γ i e ce. perímero 9