NÚMEROS COMPLEJOS 1. Qué es un número complejo? Defncones. La ecuacón x + 1 = 0 no tene solucón en el campo real puesto que s ntentamos resolverla tendremos que x = ± 1 y sabemos que no podemos calcular raíces de números negatvos en R. Para resolver este problema ntroducremos el valor = 1 que llamaremos undad magnara. Las expresones del tpo a + b sendo a y b números reales recben el nombre de números complejos. (Por ejemplo +...). Todo número complejo es de la forma a + b. Se dce que el número complejo está escrto en forma bnómca. El número a se llama parte real del número complejo = a + b. El número b se llama parte magnara del número complejo = a + b. Un número real es aquel que no tene parte magnara es decr b = 0. Un número magnaro puro es aquel que no tene parte real es decr a = 0. Dos números complejos son guales s tenen guales su parte real y su parte magnara es decr a + b = c + d a = c y b = d. Ejemplos: Calcular las raíces sguentes: a) 6 = 6 ( 1) = 6 1 = 6 b) 100 = 100 ( 1) = 100 1 = 10 Ejerccos: Calcular las raíces sguentes: a) -5 b) -16 Solucón: 1
a) 5 b) Expresa en forma bnómca el número complejo 5 + 81 5+ 81= 5+ 81 ( 1) = 5+ 81 1= 5+ 9 Ejercco: Expresa en forma bnómca los sguentes números complejos: a) 100 b) + 7 Solucón: a) 10 b) + 7. Operacones con números complejos. Suma y dferenca de números complejos. Ejemplos: Calcula las sguentes sumas: a) (+ 5) + (+ ) = + 5+ + = 5+ 9 b) (1+ ) + (1 ) = 1+ + 1 = Ejerccos: Calcula las sguentes sumas: a) (1+ ) + (1+ ) b) + ( 5)
Solucón: a) + b) El opuesto del número complejo a+ bes a b. Ejemplos: Escrbe los opuestos de los sguentes números complejos: a) + Opuesto: b) 1 Opuesto: 1+ Ejerccos: Escrbe los opuestos de los sguentes números complejos: a) + b) 5 Solucón: a) b) + 5 Ejemplos: Calcula las sguentes dferencas: (+ 5) (+ ) = + 5 = 1+ Ejerccos: Calcula las sguentes dferencas: a) (1+ ) (1 ) b) (1+ ) (1+ ) c) ( 5) Solucón:
a) b) c) + 6 Producto de números complejos. = 1 = 1. Tendremos en cuenta que ( ) Calcula los sguentes productos: ( + 5) ( + ) = 6 + 8 + 15 + 0 = 6 + 8 + 15 + 0( 1) = 6 + 8 + 15 0 = 1 + Ejerccos: Calcular los sguentes productos: a) (1+ ) ( 1 ) b) (1+ ) (1+ ) c) ( 5) Solucón: a) b) + c) 5 + Calcula los sguentes productos: ( + 5) ( 5) = (5) = 5 = 5( 1) = + 5 = 9 Ejerccos: Calcula los sguentes productos:
a) (1+ ) (1 ) b) (1+ ) (1 ) c) ( 5) ( + 5) Solucón: a) b) 10 c) 9 Ejercco: Determnar el número x sabendo que (1 + x) ( ) es un número real. Solucón: x = Sendo 1 = + my = n+ hallar m y n de modo que la suma de 1 y sea. 1+ = + m+ n+ = (+ n) + (m+ )= Luego: + n = n = = 0 m+ = 1 m= 1 = Ejercco: Calcular: a) ( + ) + (1 ) ( ) b) + ( ) (+ ) c) (1+ ) (1 ) d) ( + ) (1 ) ( + ) 5
Solucón: a) b) 1 c) d) 1 6 Dvsón de números complejos. Dado un número complejo = a+ bse llama complejo conjugado de al complejo = a b. Escrbe los conjugados de los sguentes números complejos: a) + Conjugado: b) 1 Conjugado: 1+ Ejercco: Escrbe los conjugados de los sguentes números complejos: a) + b) 5 Solucón: a) b) + 5 La dvsón de números complejos se hace multplcando numerador y denomnador por el complejo conjugado del denomnador. Calcula las sguentes dvsones: 6
+ 5 (+ 5)( ) 6 8+ 15 0 6 8+ 15 0( 1) + (+ )( ) () 9 16( 1) ( + 5):( + ) = = = = = 6 8 + 15 0( 1) 6 8 + 15 + 0 6 + 7 6 7 = = = = + 9 16( 1) 9+ 16 5 5 5 5 ( 5) ( ) + 5 + 5( 1) 5 ( ) ( 1) 1 ( 5): = = = = = = 5 Ejerccos: Calcula las sguentes dvsones: a) (1+ ) : (1 ) b) (1+ ) : (1+ ) c) ( ): Solucón: a) b) + c) El nverso del número complejo = a+ b es Calcular el nverso del número complejo 1+ 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 = = = = = 1+ (1+ ) (1 ) 1 1 ( 1) = a + b 1 1 Ejercco: Calcula el nverso de los sguentes números complejos: a) 1 b) + c) + 7
Solucón: 1 1 a) + b) 1 1 1 c) 5 5 Cálculo de las potencas de la undad magnara: = 1 ( ) = 1 = 1 = = ( 1) = = = ( ) = = ( 1) = 1 Calcula 55 S dvdmos 55 entre obtenemos cocente 588 y resto luego 588 588 ( ) = 1 = 1 ( ) = 55 588 + = =. Utlando este raonamento podemos escrbr smplemente que Ejercco: Calcula las sguentes potencas: 55 = =. a) b) c) d) 15 7 7 Solucón: a) b) 8
c) 1 d) Potenca de números complejos dados en forma bnómca. Ejemplos: Calcula la sguente potenca: Utlando el bnomo de Newton tenemos que: ( ) () () () () () 0 1 = 1 + + + + 1= 0 1 = 1 81 1 + 7 ( ) + 9 ( 1) + 8 + 16 1= 0 1 = 81 5 6 + + 16 0 1 0 1 1 0 + = + + + + = Trángulo de Tartagla: 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 0 1 Luego: ( + ) = 1 81 5 6 6 + + 1 16 = 81 16 16 + 96 + 16 = 119 10 Ejerccos: Calcular las sguentes potencas: a) 5 (1 ) 9
b) c) d) ( + ) 7 ( 1 ) ( ) Solucón: a) 1+ 8 b) 18 + 6 c) 8 + 8 d) 119 10 Identdades notables: (a + b) = a + b + ab (a b) = a + b ab (a + b) (a b) = a b Ejercco: Calcula las sguentes operacones con números complejos: a) b) (1+ ) : ( + ) ( + ):(1 + ) Solucón: 8 a) + 17 17 1 b). Módulo y argumento de un número complejo. Representacón en el plano de los números complejos. Se dbuja un sstema de coordenadas cartesanas. En el eje de abscsas se representa la componente real y se llama eje real y el eje de ordenadas la componente magnara y se llama eje magnaro. 10
En este sstema de coordenadas los números complejos se representan hacendo corresponder al número complejo a+ bel punto de coordenadas A ab que se llama afjo del número complejo a+ b. De esta forma a cada ( ) número complejo le hacemos corresponder un punto del plano y recíprocamente. S unmos el orgen O con el punto A obtenemos un segmento orentado que llamamos vector y representamos por OA. Así pues a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. Representar el número complejo +. El afjo del número complejo + es ( ). Ejerccos: Representa los sguentes números complejos: a) b) + Representa los sguentes números complejos sus opuestos y sus conjugados: a) + b) 1 c) + d) 5 Módulo de un número complejo. Defncón: Se llama módulo del número complejo = a+ b a = a + b. 11
1. Calcula el módulo de los sguentes números complejos: a) = + = + = 16+ 9 = 5 = 5 b) = Ejerccos: a) = b) = + 6 c) = 1 Solucón: a) = 5 b) = 1 c) = = ( ) + ( 1) = + 1= 5 Argumento de un número complejo. Se llama argumento del número complejo = a+ bal ángulo que forma con el semeje postvo de abscsas. Se le representa por arg() = α. + Cálculo del argumento de los números complejos más sencllos. Ejemplos: Calcular el argumento de los números complejos sguentes: = = = -5 = -5 1
Ejercco: Calcular el argumento de los sguentes números complejos: a) = b) = c) = d) = 6 Solucón: a) α = 90º b) α = 180º c) α = 0º d) α = 70º + Cálculo del argumento de cualquer número complejo. b S = a + b entonces α = arg( ) = arctg a Ejemplos: Calcular el argumento de los sguentes números complejos: a) = + α= arctg = arctg1 y como α está en el prmer cuadrante α= 5º b) = 1 1
α= arctg = arctg 1 c) = y como α está en el tercer cuadrante α= 0º α= arctg = arctg y como α está en el cuarto cuadrante α= 0º d) = + α= arctg = arctg( 1) y como α está en el segundo cuadrante α= 15º Ejerccos: Calcular el argumento de los números complejos: a) = b) = + c) 1 = + 1
d) = 1 e) = + f) = 1 g) = + h) = + ) = j) = 1+ k) = l) = 6 6 Solucón: a) α = 10º b) α = 0º c) α = 10º d) α = 5º e) α = 60º f) α = 15º g) α = 150º h) α = 5º ) α = 5º j) α = 15º k) α = 00º l) α = 0º 15
. Forma trgonométrca y polar de un número complejo. Forma bnómca Forma trgonométrca Forma polar a+ b r( cosα + senα ) r α donde r es el módulo del número complejo a + b y α es el argumento. Escrbe de todas las formas posbles los sguentes complejos: a) + b). Módulo: r = + = 8 Argumento: α = 60º + = 8 cos 60º + sen60º = Por tanto ( ) 8 60 º Módulo: r = 1. Argumento: α = 90º. = 1 cos 90º + sen90º = Por tanto = 1 (cos90º + sen90º) = 190º ( ) º 1 90 c) 65º 65º = 6( cos 5º + sen5º ) = 6. + = Ejercco: Escrbe de todas las formas posbles los sguentes complejos: a) b) 0º c) + cos 0º + sen0º 1 e) + d) ( ) 16
f) 0º g) 1 5 h) 00º ) + j) 1 6 cos10º + sen10º l) + m) 615º k) ( ) n) + o) 90º p) q) 1+ cos150º + sen150º s) t) 6 6 r) ( ) Solucón: a) = 610 º = 6(cos 10º + sen10º ) b) 0 º = (cos0º + sen0º ) = + c) + = 80 º = 8(cos 0º + sen0º ) d) (cos 0º + sen0º ) = 0 º = + 1 e) + = 110 º = cos10º + sen10º f) 0º = (cos0º + sen0º ) = g) 1 = 5 º = (cos 5º + sen5º ) 5 5 h) 5 00º = 5(cos00º + sen00º ) = ) + = 860 º = 8(cos 60º + sen60º ) j) 1 = 15 º = (cos15º + sen15º ) k) ( cos10º + sen10º ) = 6 = 6 10 º + l) + = 150 º = (cos150º + sen150º ) m) 6 15 º = 6(cos15º + sen15º ) = + n) + = 5 º = (cos 5º + sen5º ) 9 9 o) 9 0º = 9(cos 0º + sen0º ) = p) = 65 º = 6(cos 5º + sen5º ) q) + = = (cos15º sen15º ) 1 15 º + 17
r) ( cos150º + sen150º ) = = 150 º + s) = 800 º = 8(cos 00º + sen00º ) t) 6 = 1 = 1(cos0º sen0º ) 6 0 º + 5. Producto y cocente de números complejos en forma polar. El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. r r' r r' α α' = α+ α' ( 6) 180º = 100º 680º = 100º + 80º 1 Ejercco: Calcular los sguentes productos: a) 10º 60º b) 50º 670º c) 515º 65º 00º Solucón: 1 b) 000º c) 6050º a) 180º El cocente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tene por módulo el cocente de los módulos y por argumento la dferenca de los argumentos. r rα : r' α' = r' α α' 1 100º : 680º = = 6 100º 80º 0º Ejercco: Calcular los sguentes cocentes: a) 10º : 60º b) 600º : 70º c) 760º : 7 5º Solucón: 18
Calcular los sguentes cocentes: b) 0º c) 115º a) 60º 6. Potencacón y radcacón de números complejos en forma polar. La potenca n-ésma de un número complejo es otro número complejo que tene por módulo la potenca n-ésma del módulo y por argumento n veces el argumento del complejo dado: n r r n ( α ) = ( ) n α 1 ( + ) = ( ) = ( ) = 56 = 56( cos 0º + sen0º ) = 56 = 18 18 60º 60º 0º Ejercco: Calcular: a) ( ) 5 b) ( ) 6 0º + c) ( ) d) ( ) 78 0º e) ( 1 ) 6 f) ( 5 ) 9 00º + g) ( ) 7 h) ( 1 ) 65 + ) ( ) j) ( 6 ) 15º k) ( + ) 10 19
l) ( 1 ) 78 0º m) ( ) 7 n) ( 1+ ) 5 6 6 o) ( ) 8 Solucón: a) 77760º b) 79180º c) 5190º 78 d) ( ) 180º e) ( ) 70º 5 9 f) ( ) 180º 8 7 g) ( ) 60º 65 h) ( ) 15º ) 690º j) 196180º k) 1090º l) 10º 6 7 m) ( ) 15º n) 15 º 1 8 o) ( ) 10º Las raíces n-ésmas de un número complejo son n números complejos que tenen de α + k 60º módulo la raí n - ésma del módulo y por argumento con 0 k < n. n 0
Halla las raíces cúbcas del complejo = 8 α = arg = 90º. = 8. Las raíces cúbcas son tres números complejos n n 0 1 con 90º + 0 60º 90º + 1 60º n = 8 = y arg 0 = = 0º arg 1 = = 150º y 90º + 60º arg = = 70º luego: 1 0 = 0º = ( cos0º + sen0º ) = + = + 1 = 150 = ( cos150º + sen150º ) = + = = = cos 70º + sen70º = 0 + ( 1) =. 1 º + ( ) ( ) 0 70º Ejerccos: Calcula las sguentes raíces: con { } a) -1 b) 1 + c) -6 d) -7 e) 6 79 Solucón: a) b) c) 0 1 0 1 0 1 = 1 = 1 = 1 = = = = 8 8 60º 180º 8 8 = 6 = 6 00º 90º 70º π 16 9π 16 17π 16 5π 16 1
d) e) 0 1 0 1 5 = = = = = = = = = 60º 180º 00º π 1 π 5π 1 7π 1π 1 17π 1 Ejerccos de números complejos. 1. Efectúa las sguentes operacones con números complejos dando la parte real y la parte magnara del resultado: a) + b) c) 1+ 1 7 1 1+ ( ) 1+ d) ( 1+ ) ( + ) ( + ) e) f) g) + + 1 6 1 5 + 0 : + + Solucón: 1 a) + 10 10
b) 1 1 c) + 10 10 d) 10 1 e) + f) + g) 1. Calcula (en forma bnómca) las sguentes potencas: a) ( 1+ ) ( 5 + b) ) Solucón: a) 11 b) + 11. Determnar el valor de m para que el número complejo = ( 6) ( m) sea: a) Un número real. b) Un número magnaro puro. Solucón: a) m = b) m = 1. Determnar el valor de x para que Solucón: x = 1 ( + ) (1 - ) + x sea gual a 7 5-5