GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos n la última unidad d sta asignatura. Dichas máquinas, rconocdoras d lnguajs, s usan n l disño d compiladors y por llo s muy important trabajar con llas. Comncmos por rtomar l concpto d opración binaria crrada qu hmos studiado n la unidad 2, y d acurdo a las propidads qu cumpla l darmos un nombr a la structura. Es así qu podrá tratars d smigrupo, smigrupo con nutro o grupo, y n algunos casos grupo abliano. Rcordmos: Qué s una Opración Crrada?... Sa A, : A 2 A s opración binaria crrada si s función. O dicho d otra forma: s opración binaria crrada n A si y sólo si: a, b A : a b A Rcordmos también qu las opracions binarias crradas s pudn dnotar con l símbolo o cualquir otro, como,,,,,, tc. Por jmplo, para indicar qu n l conjunto A s ha dfinido la opración binaria s scrib (A ; ) A continuación, darmos los nombrs d algunas d las principals structuras algbraicas qu pud alcanzar un conjunto n l qu stá dfinida una opración binaria y crrada. Sa A y s una opración binaria y crrada dfinida n A. Si admás s asociativa (A ; ) s SEMIGRUPO Si admás tin nutro (A ; ) s SEMIGRUPO CON NEUTRO Si admás tin simétrico ( s dcir si TODOS los lmntos posn simétrico rspcto d la opración ) (A ; ) s GRUPO En cualquira d los casos antriors, si admás s conmutativa ntoncs a la structura qu posa (A ; ) s l agrga ABELIANO ( En honor al matmático Nils HnrikAbl (1802-1829), quin ntr otras cosas dmostró la insolubilidad d la quíntica utilizando la toría d Grupos) 1
Si no rcurdas las propidads mncionadas (asociativa, conmutativa, nutro, simétrico), puds volvr a lr n la unidad 2. Vamos a continuación varios Ejmplos: Ejmplo 1: Indiqumos la structura d ( R ; ). Sabmos qu la multiplicación s crrada n los rals s asociativa y tin lmnto nutro, qu s l 1. Pro no todos los númros rals tinn simétrico; n ralidad hay sólo uno qu no tin simétrico, qu s l cro, lo cual s suficint para dcir qu no s cumpl la propidad d simétricos. Por lo tanto la structura qu alcanza s SEMIGRUPO CON NEUTRO. Pro la opración multiplicación s conmutativa, ntoncs la structura complta srá: SEMIGRUPO ABELIANO CON NEUTRO. Ejmplo 2: Indiqumos la structura d ( Z ; + ). Sabmos qu la suma s crrada n los ntros, s asociativa y tin lmnto nutro, qu s l 0. También todos los númros ntros tinn simétrico, qu s l opusto d cada uno. Por lo tanto la structura qu alcanza s GRUPO, y como la suma s conmutativa, ntoncs la structura complta srá: GRUPO ABELIANO. Ejmplo 3: Indiqumos la structura d ( Q ; ) sindo x y = x + y - 3 Esta s una opración combinada, no s d las usuals. Ya stuvimos trabajando con st tipo d opracions n la unidad 2. Analicmos primro si s opración crrada y lugo las propidads qu cumpl: 1) Es crrada.? Dbmos vr si s cumpl qu a, b Q : a b Q Dm./ como a Q b Q a + b Q por sr + crrada n Q. Lugo como 3 Q (a+b)-3 Q a + b - 3 Q a b Q 2) Es asociativa? Dbmos vr si a, b, c Q : a ( b c ) = ( a b ) c Dm./ Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a ( b c ) = a ( b + c - 3 ) = a + ( b + c - 3 ) - 3 = a + b + c - 6 (II) ( a b ) c = ( a + b - 3 ) c = ( a + b - 3 ) + c - 3 = a + b + c - 6 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, s asociativa. 3) Es conmutativa? Dbmos vr si a, b Q: a b = b a Dm./ Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: 2
(I) a b = a + b - 3 (II) b a = b + a - 3 = a + b - 3 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, s conmutativa. 4) Tin lmnto nutro? Dbmos vr si Q : a Q : a = a = a Dm./ Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscar l nutro sólo a drcha y l mismo srá nutro a izquirda. a = a a + - 3 = a - 3 = 0 = 3 Por lo tanto tin nutro qu s = 3 5) Tin lmnto simétrico? Dbmos vr si a Q : a Q : a a = a a = 3 Dm./ Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscar l simétrico sólo a drcha y l mismo srá simétrico a izquirda. a a = 3 a + a - 3 = 3 a = 6 - a Esto significa, por jmplo, qu l simétrico dl 5 s l 1, l simétrico dl 2 s l 4, tc. Como todos los racionals tinn simétrico, con sa opración, s dic qu tin simétrico n s conjunto. Por lo tanto la structura d (Q ; ) s GRUPO ABELIANO Ejmplo 4: Sa l conjunto A = { a, b, c }con la opración dada por la siguint tabla: a b c a c a b b a b c c b c a 1) Es crrada n A? Eso s compruba obsrvando la tabla. Como todos los rsultados stán n l conjunto A, ntoncs s crrada n A. 2) Es conmutativa? Para qu lo sa, la tabla db sr simétrica rspcto d su diagonal principal. Como lo s, ntoncs s conmutativa. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu los lmntos simétricos rspcto d la diagonal principal son iguals. 3
3) Tin lmnto nutro? Dbmos fijarnos si alguna fila y columna rpitn los lmntos n l mismo ordn n qu stán dispustos n la tabla. Vmos qu llo ocurr n st caso con la fila y columna dl lmnto b. Por lo tanto b s l nutro d. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu la fila y columna dl lmnto b rpit los lmntos dados. 4) Tin lmnto simétrico? Dbmos buscar l simétrico d cada lmnto, buscando n su fila y columna al nutro. Por jmplo, n la fila y columna d a, l lmnto b (l nutro) s ncuntra cuando s opra al lmnto a con l lmnto c. Ello significa qu a y c son simétricos. Por lo tanto, a = c, c = a y b = b. Todos tinn simétrico, por lo tanto la opración tin simétrico. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr la ubicación dl lmnto nutro como rsultado n cada fila y columna para podr ncontrar para cada lmnto su simétrico 5) Es asociativa? Para analizar sta propidad no podmos obsrvar la tabla únicamnt, sino qu dbmos vrificar todos los casos posibls. Como la dfinición d la propidad asociativa nombra a trs lmntos gnéricos, hay qu pnsar n todos los casos qu xistn d valors qu pudn tomar dichos lmntos. Cada uno d llos podrá tnr cualquir valor d los lmntos dl conjunto, por lo tanto, n total habrá n st caso 3 3 3 = 3 3 = 27 casos posibls. Por jmplo: ( a b ) a = a ( b a ) ya qu ( a b ) a = a a = c y a ( b a ) = a a = c ( c b ) a = c ( b a ) ya qu ( c b ) a = c a = b y c ( b a ) = c a = b ( b b ) a = b ( b a ) ya qu ( b b ) a = b a = a y b ( b a ) = b a =a... análogamnt con los rstants 24 casos. En gnral, si l conjunto tin n lmntos, la cantidad total d casos posibls s n 3. Si n todos los casos s cumpl la igualdad, ntoncs la opración s asociativa. Por lo tanto la structura d (A ; ) s GRUPO ABELIANO. 4
Ejmplo 5: Indiqumos la structura d ( A ; ) sindo A = { a, b, c } y la opración dada n la siguint tabla: a b c a b c a b c b c c a c b 1) Es una opración crrada n A? Eso s compruba obsrvando la tabla. Como todos los rsultados stán n l conjunto A, ntoncs s crrada n A. 2) Es conmutativa? Para qu lo sa, la tabla db sr simétrica rspcto d su diagonal principal. Como lo s, ntoncs s conmutativa. 3) Tin lmnto nutro? Rcordmos qu dbmos fijarnos si alguna fila y columna rpitn los lmntos n l mismo ordn n qu stán dispustos n la tabla. Vmos qu llo no ocurr n st caso. Por lo tanto no xist lmnto nutro d n A. 4) Como no tin nutro, no tin sntido analizar si hay lmntos con simétrico. 5) Es asociativa? Lamntablmnt, como ya dijimos, para analizar sta propidad no podmos hacrlo a simpl vista obsrvando la tabla, sino qu dbmos vrificar todos los casos d lmntos tomados d a trs con o sin rptición. Por jmplo: ( a b ) a = a ( b a )? Sí, pus ( a b ) a = c a = a y a ( b a ) = a c = a Pro... ( a b ) c = a ( b c )? No, pus ( a b ) c = c c = b y a ( b c ) = a c = a Entoncs no hay ncsidad d analizar ningún otro caso, pus al no cumplirs ést no s asociativa. Por lo tanto la structura d (A ; ) no llga a sr un smigrupo. Ejmplo 6: Ahora vamos a analizar la structura d (P ; +) sindo l conjunto P l siguint: P = { x Z / x = 2 k k Z } y la suma habitual. Qué conjunto s P? Vmos qu l conjunto P s l conjunto d los ntros pars. 5
1) Es + crrada n P? Dbmos probar qu a, b P : a + b P Dm./ a, b P: a = 2 k 1 b = 2 k 2 con k 1, k 2 Z Sumando mimbro a mimbro: a + b = 2 k 1 + 2 k 2 a + b = 2 ( k 1 + k 2 ) Como k 1 y k 2 son ntros, su suma también lo s a + b = 2 k 3 k 3 Z Por lo tanto a + b P. Y ntoncs + s crrada n P. 2) Es + asociativa n P? Dbmos vr si a, b, c P: a + ( b+ c) = ( a+ b) + c Dm./ El conjunto P stá incluido n Z. Nosotros sabmos qu + s asociativa n Z, s dcir qu a, b, c Z: a + ( b+ c) = ( a+ b) + c Por lo tanto, los lmntos d P cumpln con sta propidad. Z P S dic qu l subconjunto P hrda la propidad dl conjunto Z qu lo incluy. 3) Es + conmutativa n P? Ocurr lo mismo qu con la asociativa. El conjunto P hrda la propidad conmutativa d Z. 4) Tin + nutro n P? En st caso hay qu fijars, ya qu no s algo qu puda hrdars dl conjunto mayor. Pud sr qu l nutro sté n l subconjunto o no. En st caso, l nutro d + s l cro. Dbmos vr si l cro prtnc a P. Si tnmos n cunta qu 0 = 2 0 0 Z 0 P P tin nutro d +. 5) Tin + simétrico n P? Al igual qu con l nutro, dbmos fijarnos si n st caso todos los lmntos d P tinn su simétrico n P. El simétrico rspcto d la suma usual s l opusto. Entoncs dbmos vr si a P : -a P. Dm./ a P a = 2 k k Z multiplicando ambos mimbros por (-1): - a = (-1) 2 k asociando l -1 con k: - a = 2 ( - k) - k Z Por lo tanto l opusto d todo númro par s par. Finalmnt la structura d ( P ; + ) s GRUPO ABELIANO. 6
A continuación vrmos otro jmplo d grupo: GRUPO DE PERMUTACIONES O GRUPO SIMÉTRICO S 3 Primro dfinimos l conjunto con l qu vamos a trabajar: Sa A = { f: X X / f s función biyctiva}sindox = { 1, 2, 3 } T animas a dar alguno d los lmntos d st conjunto A? Obsrvá qu son las funcions biyctivas dfinidas n l conjunto{1,2,3} Por jmplo, una función d dicho conjunto podría sr la qu asigna: f(1) = 3 ; f(2) = 1 ; f(3) = 2 Cuántas hay n total?... Como la función db sr biyctiva, los valors 1, 2 y 3 dbn aparcr xactamnt una vz cada uno como imagn. Por lo tanto, lo qu pud cambiar d una función a otra s únicamnt l ordn n qu aparcn. En la función dada n l jmplo antrior, l ordn d las imágns s: 3,1,2. También podría sr d otras formas. La cantidad d ordnamintos posibls d una cirta cantidad d lmntos distintos, s dnomina prmutación y s calcula como l factorial d dicho númro. En st caso hay tantas funcions como prmutacions d trs númros, s dcir P 3 = 3! = 6 Vamos a ncontrar las sis funcions qu llamamos así: A = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }: X f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 1 1 1 2 2 3 3 2 2 3 1 3 1 2 3 3 2 3 1 2 1 Es dcir qu la función qu habíamos nombrado ants s aquí la f 5, ya qu f 5 (1) = 3 ; f 5 (2) = 1 ; f 5 (3) = 2 Sabindo d qué s trata l conjunto, considrmos la opración qu s la composición d funcions, y vamos a analizar si (A ; ) s un grupo. 7
Rcurdas cómo componr funcions? Por jmplo, para calcular f 2 f 3, significa aplicar primro f 3 y a continuación f 2. f 3 f 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2 Obsrvamos qu s lo mismo qu aplicar dirctamnt la función f 5, o sa f 2 f 3 = f 5 D la misma manra dbmos ir componindo todas. Como l conjunto s finito, nos convin hacr una tabla: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4 f 3 f 3 f 4 f 1 f 2 f 6 f 5 f 4 f 4 f 3 f 6 f 5 f 1 f 2 f 5 f 5 f 6 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 6 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 Ya stamos n condicions d comnzar a studiar las propidads: 1) Es opración binaria y crrada, pus todos los rsultados d la composición diron lmntos dl mismo conjunto. 2) La opración s asociativa, pus lo s la composición d funcions n gnral. Entoncs como st s un subconjunto sigu cumplindo la propidad. Aquí lo dmostrarmos n gnral: x Dom: f (g h )(x) = f (g h)(x) = f (g ( h(x) ) = ( f g ) h(x) = (f g ) h (x) 3) La opración no s conmutativa, pus por jmplo, f 2 f 3 = f 5 pro f 3 f 2 = f 4 8
4) El lmnto nutro s la función f 1, qu s la función idntidad. 5) Los simétricos d los lmntos son: f 1 = f 1 f 2 = f 2 f 3 = f 3 f 4 = f 5 f 5 = f 4 f 6 = f 6 Por lo tanto ( A ; ) s un GRUPO y s lo llama S 3. Es un grupo NO abliano. Ahora pnsmos... Si l conjunto X n vz d tnr 3 lmntos, tuvira otra cantidad n, cuántas funcions biyctivas habría? En gnral cualquir Grupo S n tin n! lmntos. Volvrmos a considrar stos grupos lugo d analizar algunas propidads qu nos van a rsultar útils y prácticas para rsolvr problmas. PROPIEDADES QUE SE CUMPLEN EN UN GRUPO: Sa (A ; ) un grupo con nutro. Entoncs simpr s cumpln las siguints propidads: 1. El lmnto nutro s único. 2. El lmnto nutro s su propio simétrico: ' = 3. Propidad involutiva dl simétrico: a A: (a')' = a 4. El simétrico d un lmnto s único. 5. a, b A: (a b )' = b' a' 6. Las cuacions a x = b y x a = b tinn solución única. 7. El único lmnto idmpotnt s l lmnto nutro. Es dcir, si a a = a a = 8. a, b A: a = b b = a Vamos a dmostrar aquí las d númro impar y t proponmos qu intnts dmostrar las otras a modo d jrcitación. Dmostración d la propidad 1: El lmnto nutro s único. Para llo, utilizarmos un método válido qu s dnomina Método d Rducción al absurdo. Consist n suponr lo contrario a lo qu qurmos dmostrar, y con llo llgar a una contradicción o absurdo, con lo cual quda garantizada nustra tsis. En st caso, supongamos qu n A xistn dos lmntos nutros distintos 1 y 2. Por sr 1 lmnto nutro cumpl: x A: x 1 = x En particular, si tomamos como lmnto x a 2, nos quda: 2 1 = 2 (xprsión I) Por otro lado, como 2 s lmnto nutro s cumpl: x A: 2 x = x 9
En particular, si tomamos como lmnto x a 1, nos quda: 2 1 = 1 (xprsión II) Obsrva las xprsionsi y II. Tinn los primros mimbros iguals, por lo tanto los sgundos también lo son. Con lo cual 1 = 2. Y por lo tanto quda aprobada la unicidad dl lmnto nutro n un grupo. Dmostración d la propidad 3: Propidad involutiva dl simétrico: a A: (a')' = a Por sr (A ; ) un grupo, sabmos qu todos los lmntos tinn simétrico, s dcir: x A: x A : ( x x = x x = ) Entoncs l lmnto a como prtnc a A, db tnr un simétrico qu s dnota (a ). Lo qu dbmos hacr s calcular quién s. Por dfinición s cumpl qu: a (a ) = Y a partir d sta igualdad vamos a dspjar (a ). Para llo, opramos con a n ambos mimbros a izquirda: a ( a (a ) ) = a Lugo por propidad asociativa: ( a a ) (a ) = a Por dfinición d los simétricos: (a ) = a Por dfinición d lmnto nutro: (a ) = a qu s lo qu quríamos dmostrar. Dmostración d la propidad 5: a, b A: (a b )' = b' a' La dmostración d sta propidad s similar a la antrior, ya qu como dijimos sabmos qu cada lmnto tin simétrico pus stamos n un grupo. Entoncs l lmnto (a b) db tnr un simétrico qu s dnota (a b) y qu cumpl: (a b) (a b) = Dbmos dspjar (a b). Para llo, lo primro s aplicar la propidad asociativa: a b (a b) = y ahora opramos con a n ambos mimbros a izquirda a ( a b (a b) ) = a Nuvamnt por propidad asociativa: ( a a ) b (a b) = a Y por dfinición d simétricos: b (a b) = a Por dfinición d lmnto nutro: b (a b) = a 10
Obsrvmos qu logramos pasar la a qu staba n l primr mimbro. Ahora dbmos hacr l mismo procdiminto para pasar la b: b ( b (a b) ) = b a ( b b ) (a b) = b a (a b) = b a (a b) = b a Con lo cual qudó dmostrada la propidad 5. Dmostración d la propidad 7: El único lmnto idmpotnt s l lmnto nutro. a a = a a = Esta dmostración s muy sncilla, partimos dl antcdnt o hipótsis: a a = a Y opramos n ambos mimbros con a : ( a a ) a = a a Lugo por propidad asociativa: a ( a a ) = a a Por dfinición d simétricos: a = Y finalmnt por dfinición d lmnto nutro: a = Quda dmostrada la propidad 7. T proponmos qu intnts dmostrar las rstants propidads. Si tins dificultads consulta a tu tutor, para qu t orint o rvis tus dmostracions. Buna surt! ELEMENTOS REGULARES Rconocr los lmntos rgulars d un smigrupo nos prmit trabajar d una manra más rápida y agilizar los cálculos ya qu podrmos ahorrar pasos. Así dnominarmos a los lmntos d un smigrupo qu cumplan con una cirta particularidad. Vamos la dfinición: Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. El lmnto a A s rgular a izquirda a x = a y ntoncs x = y El lmnto a A s rgular a drcha x a = y a ntoncs x = y El lmnto a A s rgular si s rgular a izquirda y a drcha. Es dcir: Los lmntos rgulars son los canclabls, o sa los qu s pudn suprimir al star oprados n ambos mimbros d una igualdad. Por jmplo: 11
En la adición d ntros, todos los lmntos son rgulars. En la multiplicación d rals, todos xcpto l cro son rgulars. Considrmos la opración triangulito n Q: x y = 3 (x + y) Vamos si todos sus lmntos son rgulars. Como s conmutativa, lo hacmos solo a drcha, arrancando dl antcdnt: x a = y a 3 ( x + a) = 3 ( y + a) x + a = y + a x = y Por lo tanto, son todos rgulars. Propidad: n un grupo todos los lmntos son rgulars. Como n un grupo, todos los lmntos tinn simétrico: a*x = a * y a *a*x = a *a* y ( a *a)*x = ( a *a)* y *x = * y x = y Análogamnt s pruba a drcha. Por llo, cuando trabajmos n un grupo, dirctamnt vamos a podr usar la propidad canclativa, sin ncsidad d hacr todos los pasos involucrados (oprar ambos mimbros con l simétrico dl lmnto, asociar, obtnr l nutro, y por propidad dl nutro llgar la igualdad n la qu ya no figura dicho lmnto). Pro si stamos trabajando n un smigrupo qu no llga a sr grupo, podrmos canclar sólo aqullos lmnto qu tin simétrico. Por jmplo, si cursast Álgbra, rcordarás qu no todas las matrics son rgulars rspcto d la multiplicación. Solamnt aqullas qu tinn invrsa. INVERSIBLES DE UN SEMIGRUPO Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. El conjunto d invrsibls d A s: INV (A) = { a A / a A } O sa, s l conjunto d todos los lmntos qu tinn simétrico n l conjunto A rspcto d la opración Vamos algunos jmplos: 1) En ( Z ; ), los invrsibls son solamnt l 1 y l -1, pus los dmás ntros no tinn invrso ntro. 2) En ( R ; ), los invrsibls son todos xcpto l cro. 3) En l conjunto d matrics cuadradas d nxn con lmntos rals y la multiplicación ( R nxn ; ), los lmntos invrsibls son las llamadas matrics invrsibls o rgulars, s dcir aqullas cuyo dtrminant s distinto d cro. 12
4) En ( N 0 ; + ), l único lmnto invrsibl s l cro, ya qu los dmás no tinn su opusto n st conjunto. 5) En ( Z 5 ;+ ), los invrsibls son todos 0, 1, 2, 3 y 4, o sa todos. 6) En ( Z 6 ; ), los invrsibls son únicamnt 1 y 5 En gnral: INV(Z n ; ) = { k / m.c.d.{k, n} = 1 1 k n-1 } Propidad: Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. Entoncs (INV (A) ; ) s grupo y s lo llama Grupo d Invrsibls dl smigrupo (A; ). Con rfrncia al jmplo 6 antrior, l conjunto {1,5 } s grupo multiplicativo. Vamos su tabla: 1 5 1 1 5 5 5 1 PRODUCTO CARTESIANO DE GRUPOS San (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dos grupos con nutros 1 y 2 rspctivamnt. En l conjunto G 1 x G 2 s dfin la siguint opración tal qu: (a ; b) (c ; d) = (a 1 c ; b 2 d) Entoncs (G 1 x G 2 ; ) s grupo y s dnomina grupo producto. A modo d jrcitación, t proponmos qu intnts dmostrar lo nunciado antriormnt, s dcir, qu l producto cartsiano d dos grupos s también un grupo. Rcurda qu si tins dudas, puds consultar al tutor. Obsrvación: Si 1 y 2 son conmutativas ntoncs también s conmutativa. T proponmos qu dmustrs la propidad antrior. Analicmos ahora algunos jmplos: San los grupos finitos (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dados por las siguints tablas: 13
1 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 2 a b a a b b b a Vamos a hallar l producto G 1 x G 2 y dfinir la opración d modo qu (G 1 x G 2 ; ) sa grupo. G 1 x G 2 = { (0 ; a), (0 ; b), (1 ; a), (1 ; b), (2 ; a), (2 ; b) } La opración la indicamos n la siguint tabla tnindo n cunta qu: (x ; y) (z ; t) = (x 1 z ; y 2 t) Por jmplo, para sabr cuanto s (1 ; a) (2 ; b) hay qu rsolvr: ( 1 1 2 ; a 2 b ) = ( 0 ; b) y así con todos compltamos la tabla: (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; b) (0 ; b) (0 ; a) (1 ; b) (1 ; a) (2 ; b) (2 ; a) (1 ; a) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; b) (1 ; b) (1 ; a) (2 ; b) (2 ; a) (0 ; b) (0 ; a) (2 ; a) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; b) (2 ; b) (2 ; a) (0 ; b) (0 ; a) (1 ; b) (1 ; a) Ants d continuar, sintticmos lo qu hmos dsarrollado hasta aquí: Prsntamos las dfinicions d smigrupo y d grupo, qu son structuras algbraicas qu pud alcanzar un conjunto con una opración binaria y crrada dfinida n él. Estudiamos varios jmplos, d grupos y smigrupos finitos o infinitos. En particular, nos dtuvimos n un grupo no conmutativo llamado grupo d prmutacions o grupo simétrico S 3 y un grupo producto d dos grupos dados. También prsntamos algunas propidads importants d los grupos, los lmntos rgulars y los invrsibls d un smigrupo. 14
SUBGRUPOS Qué t sugir st nombr?... Si lo rlacionas con otros similars, como subconjunto, subspacio, subgrafo, tc. n lo qu también s aplica l prfijo sub qu indica qu stá incluido, nos sugir qu s trata d una structura dntro d otra. En Álgbra para los Espacios Vctorials, si dntro d un spacio stá incluido otro, s lo llama subspacio. Lo mismo pasa con los grafos, y también con los grupos. Básicamnt, un subgrupo srá un grupo dntro d otro grupo. Vamos la dfinición formal: Sa (G ; ) un grupo y sa H H G. Si (H ; ) s grupo ntoncs H s subgrupo d G. Dicho con palabras, un subgrupo s un conjunto no vacío, qu stá incluido n un grupo, y qu n sí mismo s también grupo con la misma opración. Por jmplo 1) (Z ; +) s un subgrupo dl grupo (R ; +), ya qu cumpl con la dfinición d subgrupo. 2) Considrmos l conjunto P = { x Z / x = 2 k con k Z } Obsrvamos qu l conjunto P s l d los ntros pars. Entoncs: (P ;+) s subgrupo dl grupo (Z ;+), pus cumpl las condicions: a) No s vacío ; b) Está incluido n Z ; y c) Al sumar númros pars, obtnmos simpr un númro par, la suma s asociativa, l lmnto nutro d la suma s l cro qu s par, y l opusto d un númro par también s par, o sa qu (P ; +) s un grupo n sí mismo. 3) Si (G ; ) s un grupo con nutro, ntoncs ({} ; ) s l subgrupo más pquño qu pud tnr y s dnomina subgrupo trivial d (G ; ) 4) (G ; ) s l subgrupo más grand d (G ; ) y s dnomina subgrupo impropio d (G ; ) Todos los subgrupos d un grupo qu no san ni l trivial ni l impropio, s llaman subgrupos propios. A continuación, vrmos un torma qu nos va a rsultar muy útil cuando tngamos qu analizar si un dtrminado conjunto s subgrupo d un grupo dado. 15
TEOREMA: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para SUBGRUPOS Sa (G ; ) un grupo. H s subgrupo d G 1) H 2) H G 3) a,b H a b H La dmostración puds ncontrarla n l libro d la cátdra, capítulo18. T invitamos a consultarlo. Cómo usar la condición suficint? Dado un conjunto H y un grupo (G ; ), si probamos qu H cumpl las trs condicions numradas 1,2 y 3, por st torma ya podrmos afirmar qu H s un subgrupo dl grupo dado. Cómo usar la condición ncsaria? Dado un conjunto H y un grupo (G ; ), si H no cumpl con alguna d las 3 condicions, podrmos afirmar qu H NO s subgrupo dl grupo dado. Para los subgrupos finitos, xist una propidad qu nos ahorra más sfurzo aún: Propidad: Si (G ; ) s un grupo y H s un subconjunto finito no vacío, ntoncs H s subgrupo d G si y sólo si s crrada n H. Ejmplo 1: Dmostrmos qu ( nz ; + ) s subgrupo d (Z ; + ) sindo nz = { x Z / x = n k con k Z } Es dcir, nz s l conjunto d todos los múltiplos d n. Para probar qu s subgrupo, utilizarmos la condición suficint dl Torma visto. 1) Como sabmos, l 1 s lmnto nutro d la multiplicación, ntoncs : n = n 1 y 1 Z, por lo tanto, n nz. Entoncs nz ya qu por lo mnos tin un lmnto. 16
En ralidad hay infinitos lmntos, pro para garantizar qu l conjunto no s vacío, mostrando uno solo - cualquira sa - alcanza. A vcs s cómodo utilizar al lmnto nutro, pro no s ncsario para probar qu l conjunto no s vacío. 2) nz Z por la dfinición d nz (spcíficamnt dond dic qu stá formado por x Z) 3) San a, b nz. Entoncs a = n k b = n t con k,t Z Primro obtnmos l opusto d b: -b = - n t Y ahora sumamos mimbro a mimbro: a + (- b) = n k + (- n t) a + (- b) = n ( k +(- t) ) k + (- t) Z ya qu la suma d ntros s crrada. Por lo tanto a + (- b) nz Finalmnt, como s cumpliron las trs condicions suficints d subgrupos, podmos afirmar qu ( nz ; + ) s subgrupo d ( Z ; + ) Ejmplo 2: Dado l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a Cuáls d los siguints conjuntos son subgrupos? H = {a, b} K = {a, b, c, d} F = {a, } M = {a,, f } Para rspondrlo, tngamos n cunta la propidad d los subgrupos finitos, qu dic qu s suficint qu l subconjunto no sa vacío, y qu la opración sa crrada. Con s critrio, H = {a, b} no s subgrupo, pus b b = c H K = {a, b, c, d} s subgrupo d A pus como podmos obsrvar n la tabla, la opración s crrada n K Lo mismo ocurr con F = {a, } n l qu s crrada, por lo tanto s otro subgrupo. Pro M = {a,, f } no lo s, pus f = c M 17
Ejmplo 3: Dados dos subgrupos ( H 1 ; ) y (H 2 ; ) d un mismo grupo ( G ; ), nos prguntamos si la intrscción d los subgrupos H = H 1 H 2 s también otro subgrupo dl mismo grupo ( G ; ). Para rspondrlo, utilizarmos también la condición suficint dl torma. 1) Hay qu dmostrar qu H no s vacío. Para llo, por hipótsis sabmos qu H 1 y H 2 son subgrupos, por lo tanto n cada uno stá l lmnto nutro dl grupo: H 1 H 2 por dfinición d intrscción: H 1 H 2 H H 2) x H : x H 1 H 2 x H 1 x H 2 por hipótsis ( H 1 G H 2 G ): x G x G x G con lo cual quda probado qu H G 3) x, y H : x (H 1 H 2 ) y (H 1 H 2 ) ( x H 1 x H 2 ) ( y H 1 y H 2 ) por conmutatividad y asociatividad d la conjunción: ( x H 1 y H 1 ) ( x H 2 y H 2 ) por condición ncsaria d subgrupos: ( x y H 1 ) ( x y H 2 ) por dfinición d intrscción: x y H 1 H 2 x y H Por lo tanto, por habrs cumplido las trs condicions suficints d subgrupos, podmos dcir qu (H 1 H 2 ; ) s subgrupo d ( G ; ) El jmplo antrior s pud gnralizar para una familia d subgrupos H 1,..., H n d un grupo G, tal qu la intrscción d todos llos s también un subgrupo. Esta dmostración gnralizada la puds ncontrar n l libro d la cátdra, capítulo 18. Ejmplo 4: Dados dos subgrupos ( H 1 ; ) y (H 2 ; ) d un mismo grupo ( G ; ), nos prguntamos si la unión d los subgrupos H = H 1 H 2 s también otro subgrupo dl mismo grupo ( G ; ). Piénsalo un poco... Si no pudist rspondrlo, aquí va la solución: La rspusta s NO, no simpr la unión d subgrupos s subgrupo. Por jmplo, considrmos los subgrupos 3Z y 5Z d (Z ; +), qu ya sabmos qu son subgrupos pus lo dmostramos ants. Sa H = 3Z U 5Z Tomando los siguints lmntos: 9 3Z 9 3Z U 5Z 9 H 20 5Z 20 3Z U 5Z 9 H 18
O sa qu 9 H 20 H, pro 9+20 = 29 H pus 29 3Z 29 5Z Por lo tanto, al no sr crrada la suma, no s subgrupo. A continuación, vrmos un tma qu vincula a los grupos con las rlacions d quivalncia. Sguramnt rcordarás qu las rlacions d quivalncia cumpln con las propidads rflxiva, simétrica y transitiva. Lo fundamntal d st tipo d rlacions s qu particionan al conjunto n distintas cldas llamadas class d quivalncia. Dfinirmos un tipo d rlacions d quivalncia llamadas rlacions d congruncia, qu gnralizan la congruncia módulo n. RELACIONES DE CONGRUENCIA Sa (G ; ) un smigrupo con nutro. Sa una rlación d quivalncia n G. s compatibl a izquirda con a, b, x G : a b x a x b s compatibl a drcha con a, b, x G : a b a x b x La rlación s compatibl con (o s d congruncia) s compatibl a drcha y a izquirda. Vamos un jmplo: Considrmos l grupo (Q-{0} ; ) y la rlación d quivalncia tal qu: a b a 2 = b 2 Analicmos si la rlación dada s compatibl con la opración dl grupo. Para llo, vamos a dmostrar sólo a drcha, ya qu la opración s conmutativa: a, b, x Q-{0} : a b a 2 = b 2 a 2 x 2 = b 2 x 2 (ax) 2 = (bx) 2 ax bx Por lo tanto, la rlación s compatibl con la multiplicación, o s d congruncia n l grupo. Obsrvacions: 1. Las rlacions d congruncia gnralizan las propidads d la congruncia módulo n y pudn rcibir otros nombrs como compatibl rspcto d la opración d grupo o stabl. 2. Una forma quivalnt d dfinir la compatibilidad s: La rlación s compatibl con a, b, c, d G : a b c d a c b d 19
Lo cual mustra qu l rsultado s indpndint dl rprsntant d clas. a b c d a c b d Obsrva la bllza d st grupo, dond s vn n difrnts tonos las class d quivalncia TEOREMA FUNDAMENTAL DE COMPATIBILIDAD Sa (G ; ) un smigrupo con nutro y una rlación d quivalncia compatibl con Entoncs l conjunto cocint (G/ ; ) s un smigrupo con nutro, sindo la opración la siguint: a b = a * b Si (G ; ) s grupo ntoncs (G/ ; ) también s grupo. Si (G ; ) s abliano ntoncs (G/ ; ) también s abliano. 20
La dmostración d st torma puds ncontrarla n l libro d la cátdra, capítulo 18. Es important tnr n cunta qu no s trata d podr rproducir d mmoria l Torma; apuntamos a qu comprndas su nunciado, las hipótsis y su aplicación. Obsrvación: Est Torma nos garantiza qu si la rlación d quivalncia s compatibl, la structura dl conjunto cocint s la misma qu la dl conjunto original. S traspasa la structura y las propidads structurals y por lo tanto rsulta una hrraminta muy útil n l momnto d modlizar situacions rals a rsolvr. Por jmplo: Considrmos l grupo (Z ; + ) y la rlación d quivalncia congruncia módulo n. 1) Primro dmostrmos qu la rlación s compatibl con la +. a, b, c, d Z : a b (n) c d (n) n a - b n c - d a - b = n k c - d = n t con k, t Z a - b + c - d = n k + n t ( a + c ) - ( b + d ) = n ( k + t ) sindo k+t Z por sr la suma crrada n Z. Entoncs n ( a + c ) - ( b + d ) ( a + c ) ( b + d ) (n) 2) Considrmos n = 5 y vrifiqumos qu ( Z 5 ; + ) s grupo abliano (la misma structura qu l conjunto original). + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 D la tabla s dsprnd qu s crrada, conmutativa (ya qu s simétrica rspcto d su diagonal principal), tin lmnto nutro:0, cada uno tin simétrico: 0 =0, 1 =4, 2 =3, 3 =2 y 4 =1 En l punto 1 dl jmplo dmostramos qu la congruncia módulo n s compatibl con la adición n los ntros. Por lo tanto, podmos garantizar, n virtud dl Torma Fundamntal d Compatibilidad qu ( Z 5 ;+ ) s grupo abliano., ya qu ( Z 5 ;+ ) s un grupo abliano. 21
GENERADORES. GRUPOS CÍCLICOS Sa (G ; ) un grupo y a G. Llamamos Subgrupo cíclico d G gnrado por a al siguint conjunto: < a > = { a n / n Z } Aclaracions: a n significa a a a... a (n vcs) a -n significa a -1 a -1 a -1... a -1 (n vcs, sindo a -1 l simétrico d a) a 0 = (lmnto nutro) Es dcir l conjunto < a > tin a todos los lmntos qu s pudn obtnr oprando al lmnto con sí mismo o con su simétrico. Vayamos a los jmplos: Ejmplo 1: Considrmos l grupo ( Z ; + ) y calculmos l subgrupo cíclico gnrado por l 2, n st caso son todos los númros qu s obtinn sumando l 2 con sí mismo cualquir cantidad d vcs, o l -2. Es dcir son todos los númros pars: < 2 > = { x Z / x = 2 k con k Z } Ejmplo 2: Considrmos l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a y calculmos l subgrupo cíclico gnrado por l lmnto d 22
Supongamos ahora qu xist un lmnto d un grupo (G ; ) qu al oprarlo con sí mismo l subgrupo qu gnra s l impropio. Calculamos d d = c ; d d d = c d = b ; d d d d = b d = a d d d d d = a d = d Admás, a s l lmnto nutro dl grupo, y l simétrico d d s b, qu ya lo opramos. Por lo tanto, no s pudn obtnr más lmntos distintos. Entoncs: < d > = { a, b, c, d } Concrtando, podmos dcir: Si (G ; ) un grupo, a G y < a > = G ntoncs a s gnrador dl grupo G y l grupo (G ; ) s cíclico porqu tin al mnos un lmnto gnrador. Analicmos cuals d los siguints grupos son cíclicos, y n caso afirmativo indiqumos los gnradors: 1) El grupo (Z ; +) s cíclico pus todos los ntros s pudn obtnr sumando al 1 con sí mismo o con l -1 la cantidad ncsaria d vcs. O sa, qu l 1 y l -1 son gnradors d ( Z ; + ) 2) Considrmos l grupo ( {1,-1, i, -i } ; ) sindo i la unidad imaginaria (i 2 = -1). Si construimos la tabla: 1-1 i -i 1 1-1 i -i -1-1 1 -i i i i -i -1-1 -i -i i -1 i Vamos... El 1 no pud sr gnrador pus multiplicado por sí mismo simpr da 1. El -1 tampoco s gnrador pus multiplicado por sí mismo simpr da 1 o -1. En cambio vamos qu pasa con la i: i i = -1 ; i i i = -i ; i i i i = 1 ; i i i i i = i O sa qu i s gnrador dl grupo ( {1,-1, i, -i } ; ) Y lo mismo ocurr con su simétrico -i. 23
3) Rcordmos l grupo simétrico (S 3 ; o ), formado por las sis funcions biyctivas con dominio y codominio n un conjunto d 3 lmntos. La tabla qu habíamos armado s: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4 f 3 f 3 f 4 f 1 f 2 f 6 f 5 f 4 f 4 f 3 f 6 f 5 f 1 f 2 f 5 f 5 f 6 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 6 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 Analicmos si s cíclico. Para llo vamos a calcular los subgrupos gnrados por cada uno d los lmntos: < f 1 > = { f 1 } < f 2 > = { f 2, f 1 } < f 3 > = { f 3, f 1 } < f 4 > = { f 4, f 5, f 1 } < f 5 > = { f 5, f 4, f 1 } < f 6 > = { f 6, f 1 } Vmos qu ninguna gnró al grupo complto, sino qu han gnrado subgrupos. Entoncs l grupo (S 3 ; o ) NO ES CICLICO. 4) Tommos l grupo ( Z 5 ; + ), cuya tabla s: + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 24
Est grupo s CICLICO ya qu<1 > = { 0, 1, 2, 3, 4 } y lo mismo ocurr con su simétrico 5 Por lo visto n los jmplos, y pnsando un poco más, podmos arribar a las siguints conclusions: Todo grupo cíclico s abliano Todo subgrupo d (Z ;+) s cíclico Todo subgrupo d un grupo cíclico s cíclico T proponmos qu trats d dmostrarlas. Rcurda qu puds solicitar orintación a tu tutor. Ordn d un lmnto y d un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y a G. El ordn d un lmnto s l cardinal dl subgrupo qu gnra. El Ordn d un subgrupo s l ordn d su gnrador, o bin l cardinal dl subgrupo. Si < < a >= n ntoncs s dic qu a tin ordn finito n. Si < < a >= ntoncs s dic qu a tin ordn infinito. Rtículo o Rd d subgrupos Dado un grupo (G ; ) con nutro, ntoncs l conjunto d todos los subgrupos pud sr ordnado por la inclusión. Si G s finito, ntoncs: (subgrupos d G ; ) s una Rd con primr lmnto,l subgrupo trivial, y con último lmnto, l subgrupo impropio. Por jmplo: Armmos la rd d los subgrupos dl grupo (S 3 ; o) 25
Los subgrupos son: H 1 = { f 1 } H 2 = { f 2, f 1 } H 3 = { f 3, f 1 } H 4 = { f 4, f 5, f 1 } H 5 = { f 6, f 1 } H 6 = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 } Armmos l diagrama d Hass considrando la rlación d inclusión: H 6 H 2 H 3 H 4 H 5 H 1 Para tnr n cunta: Si l grupo no s cíclico, admás d los subgrupos gnrados por los lmntos, hay qu considrar al propio grupo y buscar si xistn otros subgrupos no cíclicos. Propidads dl grupo (Zn ; + ) El grupo (Z n ;+) s cíclico Sus gnradors son: {k / mcd ( k,n) = 1, 1 k n - 1 } La cantidad d subgrupos d Z n s: D n y la rd d subgrupos s isomorfa a ( D n ; ) Hallmos todos los gnradors d (Z 18 ; +), los subgrupos y armmos la Rd d Subgrupos. Z 18 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 } D acurdo a la propidad nunciada, los gnradors son todas las class coprimas con 18 - s dcir aqullas cuyo máximo común divisor con l 18 s 1. 26
Gn Z 18 : {1, 5, 7, 11, 13, 17 } Es dcir qu l subgrupo gnrado por cada una d llas s l grupo complto. Ahora dbmos hallar los dmás subgrupos. Primro hallmos cuántos db habr n total. Para llo, calculamos: Cantidad d Subgrupos = D 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } = 6 y admás, xist al mnos un subgrupo cuyo ordn o cardinal s cada uno d los divisors d 18. El subgrupo d ordn 1 s l trivial: H 1 = <0 > = {0 } El subgrupo d ordn 2 s: H 2 = <9 > = {0, 9 } El subgrupo d ordn 3 s: H 3 = <6 > = {0, 6, 12 } El subgrupo d ordn 6 s: H 4 = <3 > = {0, 3,6, 9,12,15 } El subgrupo d ordn 9 s: H 5 = <2 > = {0,2,4,6,8,10,12,14,16 } El subgrupo d ordn 18 s l subgrupo impropio: H 6 = Z 18 Ahora podmos armar la rd d subgrupos: H 6 18 H 4 H 5 y s isomorfa a la rd ( D 18, ) 9 6 H 3 H 2 3 2 H 1 1 27
Ants d continuar, rpasmos y sintticmos: Dfinimos los subgrupos y vimos difrnts jmplos, tanto d grupos finitos como infinitos. El torma d condición ncsaria y suficint d subgrupos nos rsultó útil para invstigar y dmostrar si un dtrminado subconjunto s subgrupo d un grupo dado. Obsrvamos qu algunos subgrupos son cíclicos, pus s gnran a partir d un lmnto. Pro hay grupos y subgrupos qu no tinn gnradors, y por lo tanto no son cíclicos. Considramos qu si s toman todos los subgrupos d un grupo finito dado y s los ordna con la inclusión, s tin una rd d subgrupos. En particular studiamos los grupos cíclicos (Zn ; +) Analizamos las rlacions d congruncia, qu son rlacions d quivalncia compatibls con la structura d grupo o smigrupo. Nos dtuvimos n un Torma muy important qu nos dmustra qu si s tin una rlación d congruncia, la structura dl conjunto cocint ra la misma qu la dl conjunto original dado. A continuación, vamos a sguir considrando rlacions d congruncia, pro n st caso congruncia módulo un subgrupo. Concéntrat bin, ya qu s trata d concptos abstractos, aunqu si los analizas cuidadosamnt no rsultarán complicados. Congruncia módulo un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo d G. Dfinimos la siguint rlación n G: a s congrunt cha con b módulo H a b H Lo indicamos así: b (H) Análogamnt, dfinimos la rlación: a s congrunt rda con b módulo H a b H Lo indicamos así: a i b (H) Obsrvacions: Si (G ; ) s un grupo abliano, ntoncs la congruncia a drcha coincid con la congruncia a izquirda. La rlación d congruncia módulo n n Z (studiada antriormnt) s un caso particular d la congruncia módulo H, considrando H = nz = { x Z / x = nk, k Z} 28
Dmostración: a b (H) a b H a + (-b) H a - b = nk n a - b a b (n) La congruncia módulo H, tanto a drcha como a izquirda, s una rlación d quivalncia La clas d quivalncia d cualquir lmnto a d G s: a d = H a (n la rlación d congruncia a drcha) a i = a H (n la rlación d congruncia a izquirda) H=a H=H a Es dcir, todas las class d quivalncia producidas por la congruncia módulo H (ya sa a drcha o izquirda) tinn la misma cantidad d lmntos. S las llama class latrals o co-class a drcha y a izquirda. La rlación d congruncia módulo H (tanto a drcha como a izquirda), como hmos dmostrado qu s d quivalncia, produc una partición n l conjunto. Puds consultar la dmostración d algunas d stas obsrvacions n l libro d la cátdra, capítulo 18 Vamos algunos jmplos: Rcurdas l grupo d prmutacions S 3 = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }? Considra H = < f 3 > = { f 1, f 3 } Como hmos visto, podmos aplicar la rlación d congruncia módulo H a drcha y obtnr una partición dl conjunto: Para llo calculmos las class d quivalncia: f 1d = H f 1 = { f 1, f 3 } f 1 = { f 1 f 1, f 3 f 1 } = { f 1, f 3 } Vmos qu s l mismo subgrupo. Esto simpr va a ocurrir al calcular la clas d un lmnto dl subgrupo, pus por sr H un subgrupo, la opración s crrada n H. Es dcir, los lmntos d H simpr forman una clas d quivalncia. Ahora hallmos otra clas: f 2d = H f 2 = {f 1, f 3 } f 2 = {f 1 f 2, f 3 f 2 } = { f 2, f 4 } Nos prguntamos... Hay ncsidad d calcular alguna otra clas? Por qué? 29
Como ya hmos visto, n st tipo d rlación d quivalncia (la congruncia módulo un subgrupo), todas las class d quivalncia tinn la misma cantidad d lmntos; y tnindo n cunta la dfinición d partición, no quda otra posibilidad más qu las dos funcions qu nos faltan (f 5 y f 6 ) conformn una clas d quivalncia, Por lo tanto, no hay ncsidad d calcularla, pus ya sabmos quins la forman: f 5d = { f 5, f 6 } Por lo tanto la Partición d S 3 a drcha s: P d = { { f 1, f 3 }, { f 2, f 4 }, { f 5, f 6 } } Gráficamnt: S 3 H f 1 f 3 f 2 f 4 f 5 f 6 Ahora calculmos la partición a izquirda, para lo cual solamnt s ncsario calcular una clas, por jmplo la d f 2 : f 2i = f 2 H = f 2 { f 1, f 3 }= { f 2 f 1, f 2 f 3 } = { f 2, f 5 } Y hacindo l mismo razonaminto antrior, ya podmos indicar las otras class: P i = { { f 1, f 3 }, { f 2, f 5 }, { f 4, f 6 } } f 2 H f 1 f 3 f 5 S 3 f4 f 6 30
Mirmos los gráficos antriors y obsrvmos qu, las particions a drcha - n l primr gráfico - y a izquirda n l sgundo gráfico - son distintas. Más adlant vrmos una dfinición qu tin n cunta cuándo coincidn las particions a ambos lados. Ejmplo 2: Considrmos l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g F c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a y l subgrupo H = { a, } Partición a drcha: Como st subgrupo s d ordn 2, significa qu la partición tndrá cuatro class d quivalncia. Ya sabmos qu a d = { a, }, ntoncs calculamos: b d = { a, } b = { b, g } c d = { a, } c = { c, f } y ya stá, pus sguro qu la clas qu falta stá formada por { d, h } Por lo tanto: P d = { { a, }, { b, g }, { c, f }, { d, h } } Partición a izquirda: Ya sabmos qua i = { a, }, ntoncs calculamos: b i = b { a, } = { b, h } c i = c { a, } = { c, f } y ya stá, pus sguro qu la clas qu falta stá formada por { d, g } Por lo tanto: P d = { { a, }, { b, h }, { c, f }, { d, g } } En st caso tampoco son iguals ambas particions. 31
Índic d un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo d G. El índic d H n G s la cantidad d class d quivalncia módulo H. S indica: [ G : H ] Ejmplos: Tommos los dos jmplos antriors n los qu calculamos las particions: 1. En l grupo S 3 con H = { f 1, f 3 } s cumpl [ S 3 : H ] = 3 2. En l grupo ( A ; ) con H = { a, } s cumpl : [ A : H ] = 4 T proponmos qu pinss las siguints custions y complts n las línas puntadas. Ant cualquir duda o dificultad, consulta a tu tutor. [ G : G ] =... [ G : {} ] =... Si G y H son finitos ntoncs [ G : H ] s... Si G y H no son finitos, [ G : H ] s ncsariamnt infinito? Considra st jmplo para rspondr: G = (Z,+) H = 3Z (múltiplos d 3) [ G : H ] =... Pasmos ahora al siguint torma, qu constituy una hrraminta muy útil a la hora d buscar los subgrupos d un grupo finito ya qu nos indica l ordn qu tals subgrupos pudn tnr: Torma d Lagrang Sa (G ; ) un grupo d ordn finito n y H un subgrupo d G. Entoncs, l ordn d H divid al ordn d G. 32
Dmostración: Si l ordn d H s m, como todas las class d quivalncia tinn l mismo cardinal, significa qu n = k m sindo k la cantidad d class. Por lo tanto, m divid a n. D acurdo a st important torma, rspond: 1) Un grupo d 20 lmntos, pud tnr un subgrupo d ordn 6?... 2) Cuáls son los órdns posibls d los subgrupos d un grupo d 20 lmntos?... 3) Si G= p sindo p un númro primo. Cuáls son los únicos subgrupos qu tin?... Como simpr si tins dudas, consulta a tus tutors. Subgrupo Normal Sa (G ; ) un grupo con nutro y H un subgrupo d G. H s subgrupo normal las class a drcha coincidn con las class a izquirda. Ejmplos: 1) El subgrupo H = { f 1, f 3 } NO s subgrupo normal d S 3 pus cuando antriormnt calculamos las particions, vimos qu no ran iguals. 2) El subgrupo H = < f 4 > = { f 1, f 4, f 5 } s subgrupo normal d S 3 ya qu aunqu no hayamos calculado las co-class d quivalncia, como l cardinal d st subgrupo s xactamnt la mitad dl cardinal dl grupo, tndrmos dos class d quivalncia, sindo una d llas l subgrupo. Por lo tanto, la otra la forman las rstants trs funcions { f 2, f 3, f 6 }. Es dcir, qu tanto a drcha como a izquirda rsultan iguals. 3) El subgrupo H = <2 > s subgrupo normal d ( Z 12 ;+ ) ya qu la+ s conmutativa, por lo tanto, a drcha y a izquirda s obtin la misma partición. 33
T proponmos qu tnindo n cunta los jmplos analizados intnts compltar stas gnralizacions: 1. Si (G ; ) s un grupo abliano, ntoncs todos los subgrupos son... 2. H = {} s subgrupo normal d G?... 3. G s subgrupo normal d G?... 4. Si G= 2 H ntoncs H s subgrupo... A continuación prsntamos un torma qu nos va a garantizar la structura dl grupo cocint. Torma: Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo normal d G. Entoncs (G/H,) s grupo sindo a b = a b y l cardinal d G/H s [G : H] La importancia d st torma s qu da la structura dl conjunto cocint dl grupo G módulo dl subgrupo normal H y mustra qu s un subgrupo con la opración. Est grupo s llama GRUPO COCIENTE d G MÓDULO H y tin [G : H] lmntos. Para consultar la dmostración d st torma podés rcurrir al libro d la cátdra, capítulo 18. Vamos algunos jmplos: Volvindo al grupodado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a 34
Considrmos l subgrupo normal H = { a, b, c, d } El conjunto cocint s: { A = { a, b, c, d}, E = {, f, g, h} } Justamnt lo qu nos garantizó l torma s qu st conjunto con la opración inducida d las class s también un grupo. Su tabla s: A E A A E E E A Y sto sucd pus, n primr lugar, la rlación d congruncia módulo l subgrupo H s compatibl con la opración dl grupo (sto significa qu l rsultado s indpndint dl rprsntant d clas. En st caso podmos vr qu cualquir lmnto d la clas d a llamada A, oprado con cualquir lmnto d la clas d llamada E, da por rsultado un lmnto d la clas d ). Si la rlación no fus compatibl, ntoncs no s podría habr armado sta tabla dl cocint. Admás, como l subgrupo H s normal, sta partición s la misma a drcha y a izquirda, por so dirctamnt lo llamamos l grupo cocint sin spcificar latralidad. Sinttizando: Dfinimos la congruncia módulo un subgrupo qu s una rlación d quivalncia qu gnraliza la congruncia módulo n qu ya habíamos studiado, dfinida n l conjunto d los númros ntros. Buscamos las class d quivalncia y analizamos algunas propidads qu rsultaron muy útils para rsolvr jrcicios. Nos dtuvimos n algunos jmplos dond pudimos vrificar las propidads nunciadas. Dfinimos índic d un subgrupo n un grupo. Dmostramos l Torma d Lagrang qu rsulta muy práctico para ncontrar los subgrupos d un grupo finito. Nos dtuvimos n la dfinición d subgrupo normal qu lugo utilizamos para construir l grupo cocint d un grupo gnrado por un subgrupo normal. El tma qu sigu s l último, dntro d la unidad d Grupos, y s rfir a funcions qu podmos dfinir ntr dos grupos dados. Nustro mayor intrés s cntra n aqullas funcions qu san biyctivas ya qu n sos casos, los grupos dados s comportarán d la misma manra. Si ya cursast Álgbra, y studiast Transformacions Linals, qu ran homomorfismos ntr spacios vctorials, muchas dfinicions y propidads qu vrmos a continuación t van a rsultar conocidas, ya qu s trata d lo mismo, pro ahora ntr distintos grupos. 35
Tngamos n cunta qu l conjunto d los vctors d un spacio vctorial, con la suma d vctors, s un grupo abliano, o sa qu las propidads qu stamos studiando ahora no pudn sr distintas, sólo s trata d qu cambiamos d conjunto. Homomorfismos d Grupos San (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dos grupos con nutros 1 y 2 rspctivamnt f: G 1 G 2 s homomorfismo f s función y a, b G 1 : f( a 1 b) = f(a) 2 f(b) Vamos algunos jmplos: 1) Sa la función f: (Z ;+) (3Z ;+) / f(x) = 3x Vamos a dmostrar qu f s homomorfismo d grupos: a, b Z: f(a + b) = 3 (a+b) = 3 a + 3 b = f(a) + f(b) Con lo cual quda dmostrado. 2) Sa la función g: (R + ; ) (R ;+) / g(x) = log x Vamos a dmostrar qu g s homomorfismo d grupos: a, b R + : g(a b) = log (a b) = log(a) + log(b) = g(a) + g(b) Con lo cual quda dmostrado. A continuación, nunciarmos algunas propidads qu s cumpln n todo homomorfismo d grupos: Sa f : (G 1 ; 1 ) (G 2 ; 2 ) un homomorfismo d grupos. Entoncs: 1) f( 1 ) = 2 Por sr 1 l lmnto nutro d G 1, s cumpl: x G 1 : x 1 1 = x 1 1 x = x Aplicamos la función n ambos mimbros: f( x 1 1 ) = f(x) f( 1 1 x) = f(x) 36
Por sr f un homomorfismo, n los primros mimbros: f(x) 2 f( 1 ) = f(x) f( 1 ) 2 f(x) = f(x) Por sr G 2 también un grupo, cada lmnto tin simétrico, n particular l simétrico d f(x) srá [ f(x) ]. Lo opramos a izquirda n la primra igualdad: [ f(x) ] 2 f(x) 2 f( 1 ) = [ f(x) ] 2 f(x) Asociando: { [ f(x) ] 2 f(x) } 2 f( 1 ) = [ f(x) ] 2 f(x) Por dfinición d simétrico: 2 2 f( 1 ) = 2 Y por sr 2 lmnto nutro: f( 1 ) = 2 Con lo qu qudó dmostrado. 2) a G 1 : f(a ) = [ f(a) ] Por sr G 1 un grupo sabmos qu: a G 1 : a G 1 : a 1 a = 1 Aplicamos la función f n ambos mimbros: f( a 1 a ) = f( 1 ) Por sr f un homomorfismo, n l primr mimbro; y por la propidad antrior n l sgundo: f(a) 2 f(a ) = 2 Por sr G 2 también un grupo, cada lmnto tin simétrico, n particular l simétrico d f(a) srá [ f(a) ]. Lo opramos a izquirda: [ f(a) ] 2 f(a) 2 f(a ) = [ f(a) ] 2 2 Asociamos y utilizamos la propidad d los simétricos: 2 2 f(a ) = [ f(a) ] 2 2 Por propidad dl lmnto nutro: f(a ) = [ f(a) ] Con lo qu qudó dmostrado. Clasificación d homomorfismos: Sa f : G 1 G 2 un homomorfismo d grupos: Si f s inyctiva, f s llama monomorfismo Si f s sobryctiva, f s llama rfismo Si f s biyctiva, f s llama is o 37
Si G 1 = G 2, f s llama ndomorfismo Si G 1 = G 2 y f s biyctiva, f s llama automorfismo Ejmplos: 1) Sa ( G ; ) un grupo abliano. Dmostrarmos qu la función f: G G / f(x) = x s un isomorfismo. Primro hay qu avriguar qu sa homomorfismo: a, b G: f(a b) = (a b) = b a pro por sr G abliano: = a b = f(a) f(b) Ahora vamos a clasificarlo: La función f s inyctiva, ya qu a, b G : f(a) = f(b) a = b (a ) = (b ) a = b También la función f s sobryctiva, pus: b G : a G : b = f(a) para sto alcanza con tomar a = b Por lo tanto, como f s biyctiva, rsulta sr un ISOMORFISMO. 2) La función g: ( Z ; + ) ( Z 5 ;+ ) s un EPIMORFISMO. Primro avriguamos si s homomorfismo: a, b Z: g (a + b) = a b = a b = g(a) g(b) No s inyctiva, pus xistn infinitos ntros qu prtncn a una misma clas. Pro sí s sobryctiva, ya qu las class d quivalncia no son vacías. Núclo d un homomorfismo Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo d grupos. S dfin: Nu(f) = { x G 1 / f(x) = 2 } G 1 G 2 Nu(f) 2 38
Es dcir l núclo stá formado por todos aqullos lmntos dl primr grupo cuya imagn s l lmnto nutro dl sgundo grupo. Ejmplo: Si considramos la función dl jmplo antrior g: ( Z ; + ) ( Z 5 ;+ ) El núclo s l conjunto formado por todos los múltiplos d 5, ya qu todos llos tinn como imagn a la clas dl cro, qu s l nutro d Z 5. Propidad dl Núclo: Nu(f) s subgrupo d G 1 T proponmos qu intnts dmostrarlo. Para llo, rcurda las condicions ncsarias y suficints d subgrupos. Si ncsitas ayuda puds consultar l capítulo 18 dl libro d la cátdra, dond s prsnta sta dmostración, o bin consultar a tu tutor. Otra propidad rlativa al núclo d un homomorfismo, qu rsulta bastant útil para clasificarlo s la siguint: Propidad: Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo d grupos. Entoncs s cumpl: Nu(f) = { 1 } f s inyctiva Como la propidad s un bicondicional, dmostrarmos cada part por sparado: 1) Nu(f) = { 1 } f s inyctiva Dm) a, b G 1 : f(a) = f(b) f(a) 2 f(b) = f(b) 2 f(b) f(a) 2 f(b ) = 2 f(a 1 b ) = 2 Pro por hipótsis, l único lmnto dl núclo s 1, o sa l único cuya imagn s 2, por lo tanto db sr: a 1 b = 1 a 1 b 1 b = 1 1 b a 1 1 = b a = b Con lo cual quda dmostrado qu f s INYECTIVA 2) f s inyctiva Nu(f) = { 1 } Por método dl absurdo. Supongamos qu n l núclo, admás d 1 xistira otro lmnto x, ntoncs f(x) = 2. Pro como f s inyctiva, si f( 1 ) = 2 f(x) = 2, dbn sr iguals 1 = x Con lo cual quda dmostrado. 39
Imagn d un homomorfismo Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo. S dfin: Im(f) = { y G 2 / x G 1 f(x) = y } Obsrva qu s la misma dfinición d Imagn d una función cualquira. Propidad d la Imagn: Im(f) s subgrupo d G 2 Como n l caso antrior, t proponmos qu intnts dmostrarlo. También para sta propidad rcurda las condicions ncsarias y suficints d subgrupos. Si ncsitas ayuda puds consultar l capítulo 18 dl libro d la cátdra, dond s prsnta sta dmostración, o bin consultar a tu tutor. Primagn o Imagn Rcíproca Sa f : G 1 G 2 un homomorfismo y sa B G 2. S dfin: f -1 (B) = { x G 1 / f(x) B } G 1 G 2 f -1 (B) B Es dcir son todos los lmntos d G 1 qu tinn como imagn algún lmnto d B. Para pnsar... D acurdo a sta última dfinición, y tnindo n cunta todo lo visto antriormnt puds dcir qué nombr rcib la primagn d B = { 2 }? Si quirs asgurart, consulta a tu tutor. 40