SISTEMAS DINÁMICOS Ig. Fredy Ruiz Ph.D. ruizf@javeriaa.edu.co Carrera de Igeiería Electróica Potificia Uiveridad Javeriaa 203
Horario: Iformació geeral Jueve 8 a a.m., Ed. 54 Saló 04 Iicio 8:0 Paua 9:30 a 9:40 Fi :00 Cotacto Via correo electróico: ruizf@javeriaa.edu.co Oficia: Depto de electróica, Of. 45-2B Horario de ateció: lue y miércole 0am-2m. Moitor Ágela cuadro, a.cuadro@javeriaa.edu.co Aeoría por demada
PREREQUISITOS Aálii de circuito Teoría de itema: I-O, memoria, etabilidad. Sitema lieale: rta. impulo, fució de traferecia, rta. e frecuecia. Fíica de fluido, termología y oda Variable hidráulica Variable térmica Coducció, covecció
Aigatura del área de cotrol NUCLEO FUNDAMENTAL Circuito eléctrico Circuito e frecuecia Sitema diámico Cotrole Máquia eléctrica
Aigatura del área de cotrol ÉNFASIS Laboratorio de cotrol Automatizació de edificio Cotrol de proceo Cotrol lógico y ecuecial MAESTRÍA Sitema lieale Técica de optimizació Itrumetació idutrial Automatizació idutrial
PROGRAMA Parte. Repreetació de itema. Variable de etado 2. Sitema o lieale Parte 2. Modelo de itema fíico. Mecáico 2. Electromecáico 3. Térmico 4. Hidráulico
PROGRAMA Parte 3. Aálii de itema compueto. Itercoexió 2. Etabilidad 3. Retroalimetació Parte 4. Sitema e tiempo dicreto. Propiedade 2. Solució 3.Aálii
METODOLOGÍA Preparació: lectura previa como eccioe idicada del texto guía o artículo. Ecuetro emaale: eioe teórica, ejemplo de aplicació, eioe práctica Matlab. Refuerzo: verificació de demotracioe, ejercicio imulado, lectura de artículo técico,
BIBLIOGRAFÍA Libro de texto: Moder cotrol ytem Dorf, Richard Carl Editor:Pearo/Pretice Hall Fecha de pub: 2008.
EVALUACIÓN 2 exámee parciale 25% c/u: exámee ecrito idividuale co preguta teórica y problema, duració,5 hora Exame fial 25%: exame ecrito compreivo de toda la temática vita. Tarea y trabajo 25%: Tarea co demotracioe y olució de problema. Simulacioe, verificació de lectura de artículo técico tipo IEEE.
Itroducció DINÁMICA: Aálii matemático del movimieto de lo cuerpo y u caua.
Itroducció Aritótele 384 a. C. 322 a. C. Mudo ubluar corruptible Mudo celete perfecto Movimieto i aceleració Debil poder predictivo
Itroducció Predicció e la ociedade atigua
Itroducció Galileo Galilei 564-642 Método cietífico La aturaleza igue leye La leye de la aturaleza puede expreare e leguaje matemático La mima leye rige el mudo ubluar y la efera celete La coa o lo que lo etido percibe Coociedo la expreió matemática de ua ley atural e tiee el mimo ivel de coocimeto obre ee feómeo que el del Dio creador
Itroducció Sir Iaac Newto 643-727 Formulació de la ciemática Explica la caua del movimieto acelerado Crea el cálculo diferecial Platea, ma o reuleve, la ecuació diferecial del movimieto de do cuerpo reuelta por Beroulli Método de predecir el futuro: reolver la ecuacioe difereciale que regula lo itema diámico.
Itroducció Pierre-Simo Laplace 749-827 Etudió la ecuacioe difereciale de la mecáica celete Traformada de Laplace Determiimo: i ua mete pudiera realizar milloe de operacioe e u itate y coociera la codicioe iiciale y la leye que rige. u itema, podria coocer la evolució futura del itema, y e eta forma el preete y el futuro etaria imultaeo e u mete.
Itroducció Heri Poicaré 854-92 Problema de lo tre cuerpo Teoría del cao Topología Aálii cualitativo de lo itema diámico No e poible reolver aaliticamete la ecuacioe que regula la diámica del itema de tre cuerpo.
Itroducció Iferrig model from obervatio ad tudyig their propertie i really what ciece i about Leart Ljug Se quiere etudiar u itema real co u objetivo defiido: Iterpretació Dieño Predicció Cotrol Detecció de falla...
CAPÍTULO GENERALIDADES DE SISTEMAS
SISTEMAS DINÁMICOS Qué e u itema diámico? U pédulo ocilado Ua reacció química El itema olar La població de zorro y coejo e u boque
SISTEMAS DINÁMICOS Qué e u itema diámico? U pédulo ocilado Ua reacció química El itema olar La població de zorro y coejo e u boque QUÉ TIENE EN COMÚN ESTOS SISTEMAS?
SISTEMAS DINÁMICOS Sitema real Parte del uivero Frotera Iteraccioe Sitema modelo Iveció humaa Cotrucció matemática Repreetació implificada Capacidad predictiva
SISTEMA Sitema e ua colecció de compoete que tiee do propiedade fudametale: La compoete itera o ubitema, iteractúa etre i. La frotera del itema epara a la compoete itera del mudo extero. ENTRADA SISTEMA SALIDA
SISTEMA Etático Diámico
SISTEMA Ditribuido: Cocetrado:
SISTEMA Caual No-caual
Tiempo ivariate SISTEMA Variate co el tiempo
SISTEMA SISO MIMO
SISTEMA Ejemplo && y t 3e t y& t y t = u t y t = t e 0 t u t τ dτ
Propiede de itema Lieal Homogeeidad Aditividad No-lieal Alterativa de olució????
Repreetació de itema diámico Ecuacioe difereciale Traformada de Laplace Solució de ecuacioe difereciale Cuádo e puede aplicar? Propiedade fudametale Fució de traferecia Sigificado Codicioe iiciale?
SISTEMAS LTI Traformada de Laplace Exite i:
Solució - Repueta - Dada: La ecuació diámica La etrada ut para todo t U itate iicial t 0 La codicioe iiciale yt 0, y't 0,... La repueta del itema e ua fució yt que atiface la ecuació diferecial.
Solució - Repueta Repueta etrada cero Repueta etado cero
DESCRIPCIÓN DE SISTEMAS LTI Etrada Salida: Ecuació Itegro Diferecial lieal de coeficiete cotate: a d y dt m m d y d u d u a... a y bm bm b u 0 = m... m dt dt dt 0 Repueta a etrada cero e obtiee a partir de la codicioe iiciale. Solució homogéea Agoto de 202 F. Ruiz 36
DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI Repueta e etado cero: depede úicamete de la etrada. Solució particular Tambié e puede evaluar empleado la itegral de covolució y t = h t τ u τ dτ = h t u t τ dτ t 0 t 0 Agoto de 202 F. Ruiz 37
DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI Para itema MIMO: Ht matriz de qxp Para u itema co p etrada y q alida. Agoto de 202 = t t d t t 0 τ τ u τ H y = 2 τ τ τ τ τ τ t h t h t h t h t h t H qp q p 38 F. Ruiz
Agoto de 202 DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI Fució de traferecia Traformada de Laplace Repueta etado cero 0 0 0 0............ a a a a b b b b U Y H U b b b b Y a a a a m m m m m m m m = = = 39 F. Ruiz
Solució - Repueta Repueta traitoria Repueta e etado etable
DESCRIPCION EN EL ESPACIO DE ESTADO Etado de u itema [x]: e u itate to e la míima catidad de iformació que juto co la etrada u[t 0, determia la repueta del itema para todo t t 0. El etado reume la iformació paada requerida para determiar el comportamieto futuro del itema. Se defie variable de etado e itema co almaceamieto de eergía; o aplica para itema itatáeo. Agoto de 202 F. Ruiz 4
Modelo e variable de etado Etado: cojuto de variable que, juto co la etrada, determia la cofiguració futura y la alida del itema.
SISTEMAS DINÁMICOS Modelo matemático Variable idepediete tiempo, t o k Parámetro, µ:=µ, µ2,...µp Variable depediete, x:=x, x2,...x Ecuacioe de movimieto: dx/dt=fxt,t ;µ xk=g xk, k ;µ
Ejemplo
DESCRIPCION EN EL ESPACIO DE ESTADO U itema Lieal de parámetro cocetrado e puede repreetar como: ecuacioe difereciale de primer orde Agoto de 202 F. Ruiz 45
DESCRIPCION EN EL ESPACIO DE ESTADO La variable de alida e puede repreetar como q combiacioe lieale de lo etado y la etrada: q ecuacioe lieale INSTANTANEAS!! Agoto de 202 F. Ruiz 46
DESCRIPCION EN EL ESPACIO DE ESTADO X t vector de variable de etado del itema x A t matriz del itema x B t matriz de etrada x p U t vector de variable de etrada p x Y t vector de variable de alida q x C t matriz de alida q x D t matriz de tramiió directa q x p Agoto de 202 F. Ruiz 47
DESCRIPCION EN EL ESPACIO DE ESTADO Selecció o e úica El cojuto de variable de etado debe er liealmete idepediete. Sitema ivariate co el tiempo: A, B, C, D o cotate La repreetació de etado e puede emplear para itema: lieale, o lieale, variate, ivariate, cotiuo, dicreto, SISO y MIMO Agoto de 202 F. Ruiz 48
VARIABLES DE ESTADO CIRCUITOS ELECTRICOS Agoto de 202 F. Ruiz 49
EJEMPLO Platear el cojuto de ecuacioe de etado que decribe al itema. Tomar como alida v R 2 Agoto de 202 F. Ruiz 50
EJEMPLO Platear el modelo e variable de etado tomado como variable de etado: a. La carga b. El voltaje c. Ecotrar la relació etre lo do modelo. Agoto de 202 F. Ruiz 5
EJEMPLO: SISTEMA VARIANTE Platear la ecuacioe de etado para u itema Lieal Variate co el tiempo. Agoto de 202 F. Ruiz 52
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO Sitema LIT: X & = AX BU Y = CX DU Obteer la olució de la ecuació. Al tablero!!!!! Agoto de 202 F. Ruiz 53
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO Sitema LIT: X & = AX BU Y = CX DU Empleado traformada de Laplace: X = I A X0 I A BU 44 2443 442443 ENTRADA CERO ESTADO CERO Agoto de 202 F. Ruiz 54
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO Solució e tiempo: X t At A tτ t = e X 0 e BU τ dτ Se defie la matriz de traició de etado: Φ t = e 0 At = L { Φ } Φ = I A Agoto de 202 F. Ruiz 55
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO Comparado la olucioe e el tiempo y la frecuecia: X t = Φ t X 0 4243 Φ t τ BU τ dτ Repueta o forzada 0 444 24443 Homogeea o atural o a etrada Repueta forzada o e etado Φt relacioa el etado e cualquier tiempo t co el etado e el itate iicial. cero t cero Agoto de 202 F. Ruiz 56
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO La repueta etado cero: X etado cero t t = Φ t τ BU τ d τ 0 4 44 24 4 43 Repueta forzada o e etado cero E frecuecia equivale a la fució de traferecia: H = C I A B D Agoto de 202 F. Ruiz 57
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La fució de traferecia e: H = C I A B D deti A determia lo polo SISO: fució ecalar, racioal MIMO: arreglo matricial pxq, elemeto racioale Agoto de 202 F. Ruiz 58
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Sólo exite ua repreetació etrada alida: la repueta impulo y la fució de traferecia o úica. La fució de traferecia que e obtiee e racioal. Si D = 0, la fució de traferecia e etrictamete propia Agoto de 202 F. Ruiz 59
Ejemplo Coideremo la ecuació: La olució etá dada por la ecuació Para calculare At, e evalúa la ivera dei-a Agoto de 202 F. Ruiz 60
Solució de la Ecuació de Etado Empleado la expaió e fraccioe imple y uado ua tabla de traformada Laplace. La olució completa e: Agoto de 202 F. Ruiz 6
ANÁLISIS MODAL La olució homogéea del itema e: x t = Φ t x 0 Dode: x t i = - v i So lo autovectore de la matriz A - λ i lo autovaloe de A - α i depede de la codicioe iiciale = α v i i e λ t i 62 Agoto de 202 F. Ruiz
VARIABLES DE ESTADO Realizado u cambio Z de variable Sitema origial: X = PZ P e la relació etre lo do cojuto de variable de etado. X = Y = CX AX BU Cómo reulta el itema de ecuacioe para el uevo vector de etado? Agoto de 202 F. Ruiz 63
VARIABLES DE ESTADO Reulta Z& = A Z B U Y = C ˆZ DU Realizado la traformacioe imilare: A = P AP; B = P B C = CP Cuál e la relació etre la fucioe de traferecia? Agoto de 202 F. Ruiz 64
CONTROLABILIDAD La ecuació de etado de u itema e completamete cotrolable i exite ua etrada Ut, que pueda traferir cualquier etado iicial a cualquier etado fial e u tiempo fiito, e cao cotrario o e cotrolable C BM ABMKK A B = M Sitema cotrolable i y ólo i rago C =, Agoto de 202 F. Ruiz 65
OBSERVABILIDAD U itema e completamete obervable i y olo i exite u tiempo fiito t, tal que el etado iicial e puede determiar a partir de la alida y de la etrada. C CA O = M CA Sitema obervable i y ólo i rago Ô = Agoto de 202 F. Ruiz 66
CONTROLABILIDAD & OBSERVABILIDAD Platear la ecuacioe de etado. La etrada ut e ua fuete de corriete y la alida y e le voltaje obre el codeador. Tomar: i L = x ; v c = x 2. Qué codicioe obre R, L y C garatiza que el itema e cotrolable? Qué codicioe obre R, L y C garatiza que el itema e obervable? Qué paa co la fució de traferecia e eo cao? Agoto de 202 F. Ruiz 67
Realizacioe Dada la fució de traferecia, cómo obteer ua repreetació e epacio de etado? Cao : Realizació de la fució G=bo/D o fució olo polo. G bo bo Y N = 2 a2... a a0 D U D = a = Agoto de 202 F. Ruiz 68
69 Agoto de 202 Realizacioe Forma Compaio Variable tipo fae......... 0 0 2 3 2 2 2 2 3 2 t u b t x a t x a t x a t x a dt y d t x t x dt y d t x t x dt y d t x t x dt dy t x t y t x = = = = = = = = = = F. Ruiz
70 Agoto de 202 Realizacioe Repreetació matricial: [ ] = = x x x x y t u b x x x x a a a x x x x 2 0 2 0 2.... 0. 0 0 0.... 0 0............................ 0.... 0 0.... 0.... F. Ruiz
7 Agoto de 202 Realizacioe Diagrama de bloque: Reolviedo la ecuacioe: 0 2 2 0 0 2 2 0...... a a a b a a a b U Y = = F. Ruiz
72 Agoto de 202 Realizacioe Cao 2: Realizació de la fució propia = m: El reiduo e etrictamete propio, y el cociete correpode al térmio d de la ecuació de alida '...... ' ' '... ' '... 0 0 2 2 0 0 D N d G a a b b b a b a a a b b b G = = = [ ] ' ' lim lim d d D N d d A SI c = = F. Ruiz
73 Agoto de 202 Realizacioe E eceario realizar la fució etrictamete propia: Exteió forma Compaio Fraccioe parciale 0 0 2 2...... a a b b b D N G = = F. Ruiz
Ejemplo Agoto de 202 F. Ruiz 74