VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES ANISÓTROPAS EMPOTRADAS QUE SOPORTAN UNA MASA CONCENTRADA

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1 VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES ANISÓTROPAS EMPOTRADAS QUE SOPORTAN UNA MASA CONCENTRADA P.M. Ciacio C.A. Rossit Facultad de Igeiería. Uiversidad Nacioal del Cetro de la Pcia. de Bs. As. Avda del Valle 5737 (74) Olavarría - Argetia Estudiate de Posgrado Dpto. de Igeiería Uiversidad Nacioal del Sur (UNS) Dpto. de Igeiería - Istituto de Mecáica Aplicada UNS Cosejo Nacioal de Ivestigacioes Cietíficas Técicas (CONICET) pciacio@fio.uice.edu.ar, carossit@criba.edu.ar Palabras clave: Placas aisótropas - Masas adosadas Vibració placas empotradas. Resume: Es u hecho coocido e la teoría de vibracioes mecáicas que la presecia de masas adosadas altera las frecuecias aturales de vibració de elemetos estructurales, así como sus modos ormales. El estudio diámico de placas que soporta masas ha sido tratado ateriormete por diversos autores puede hallarse e la literatura umerosos trabajos relacioados co el tema. Si embargo, e la gra maoría de los casos se trata de placas de material isótropo. Cuado el material de la placa tiee características aisótropas el úmero de cotribucioes se reduce otablemete. E el presete trabajo, se estudia el efecto de ua masa adosada sobre el comportamieto diámico de ua placa rectagular aisótropa co sus bordes empotrados. E su solució, se utiliza el método variacioal de Raleigh-Ritz, aproimado la deformació de la placa co cojutos coordeados de fucioes viga que cumple las codicioes de borde de lados opuestos de la placa. Se determia frecuecias aturales modos de vibració para diversas posicioes magitudes de la masa ate ua cofiguració determiada del material aisótropo. El procedimieto propuesto, se costitue e ua herramieta útil para abordar u problema de gra complejidad aalítica. 87

2 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal. INTRODUCCIÓN E el diseño racioal de u elemeto estructural, el igeiero de diseño ecesita coocer, imperiosamete, los parámetros eseciales que defie el comportamieto diámico de ua estructura. E u eorme porcetaje de casos vigas placas o losas soporta máquias o motores que ejerce esfuerzos diámicos actuado a frecuecias a prima facie coocidos. Por otra parte so los esfuerzos diámicos aplicados trasversalmete al elemeto estructural los que posee maor ifluecia e el comportamieto diámico del sistema acoplado estructura máquia a que los compoetes de los esfuerzos que actúa segú los ejes o plaos medios del elemeto estructural o producirá, e primera istacia, situacioes de cuidado e virtud de que los modos ormales correspodietes a deformacioes ailes o e el plao, correspode a frecuecias mucho más elevadas que las que correspode a modos ormales de vibració e correspodecia co el comportamieto trasversal. La importacia del tema se ve reflejada e la creciete catidad de cotribucioes sobre el particular e la literatura técico cietífica. No obstate, so escasos los trabajos que cotempla situacioes de ortotropía o aisotropía e la estructura vibrate,,3. E u trabajo que puede cosiderarse atecedete del presete, se atacó el caso de placas aisótropas simplemete apoadas 4. E el presete trabajo, se aaliza el comportamieto diámico de ua placa rectagular aisótropa empotrada e su cotoro, cuado sobre la misma e distitas posesioes, se halla adosada ua masa. E virtud de la complejidad del sistema goberate del problema, se recurre al método variacioal de Raleigh Ritz aproimado la defleió de la placa co cojutos de fucioes viga 5 ( beam fuctios ) que sirve como codicioes de borde, a las de la placa e estudio e lados opuestos segú cada direcció coordeada. Se determia coeficietes de frecuecias aturales de vibració así como sus correspodietes modos ormales.. DESARROLLO Cuado la placa delgada de espesor uiforme h efectúa uo de sus modos ormales de vibració, a ua frecuecia atural circular ω: 88

3 P.M. Ciacio C.A. Rossit (,,t) W (, ) w iωt = () e La fucioal de eergía que gobiera el problema es: J [ W ] = U ma T ma () dode: U ma : eergía de deformació máima de la placa aisótropa T má : eergía ciética máima total del sistema que iclue a la eergía ciética máima de la placa aisótropa la eergía ciética máima de la masa cocetrada. Las epresioes de las compoetes de la fucioal de eergía, siguiedo para el domiio aisótropo la clásica otació de Lekhitskii 6 so: U ma + 4. D = 6 A D W. W. + D 6 +.D W W.. W W.. dd + D W. + 4.D 66 W. + (3) T ma..h.. W dd m..w [ (, )] = ρ ω ω m m + (4) A dode A es el área de la placa aisótropa, D ij so los coeficietes de rigidez de la parte aisótropa; ρ el valor de desidad de masa de la placa m es la magitud de la masa putual. E el segudo térmio de la epresió (4): m, m idica la posició de la masa cocetrada rígidamete adosada, de la cual se ha teido e cueta úicamete su iercia traslatoria. La fució desplazamieto de la placa es aproimada por la siguiete epresió : W M (, ) W (, ) = b X ( ) Y ( ) a N m= = m m (5) 89

4 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal dode X m () Y () represeta las fucioes coordeadas empleadas e la aproimació de la amplitud del desplazamieto trasversal de la placa. Como fucioes coordeadas se adopta las formas modales de vibració atural de ua viga Beroulli-Euler empotrada e sus etremos; lo que permite satisfacer las codicioes de borde de la placa. E cosecuecia: Dode X m( ) = Y ( ) = Cosh( k Cosh( k m ) Cos( km ) α mseh( k m ) + α mse( km ) ) Cos( k ) α Seh( k ) + α Se( k ) Cos( km ) Cosh( km ) Cos( k ) Cosh( k ) α m = α = (7) Se( k ) Seh( k ) Se( k ) Seh( k ) m m (6) Los autovalores de las fucioes so las raíces de siguiete ecuació trascedete característica: Cos ( k ) Cosh( k ) = (8) E la Tabla se preseta los primeros diez autovalores correspodietes a ua viga empotradaempotrada cua secció es costate e toda su logitud. Tabla. Autovalores de ua viga co bordes empotrado-empotrado k k k k k k k k k k Reemplazado la epresió aproimada de la defleió e la fucioal de eergía () segú sus compoetes (3) (4) de acuerdo co el método de Raleigh Ritz, requiriedo su miimizació: J b [ W ] m a =, m =,,...M, =,,...N (9) 83

5 P.M. Ciacio C.A. Rossit se obtiee u sistema de ecuacioes homogéeos e las costates b m. Los coeficietes de dicho sistema, forma u determiate ecuació cuas raíces so los coeficietes de frecuecias aturales de la placa: ρ h ω a D Ω = () dode a es la magitud del lado de la placa rectagular segú la coordeada. Obteidos los coeficietes Ω i, a través del sistema de ecuacioes homogéeos que surge de la miimizació, es posible determiar las relacioes etre las costates b m para cada Ω i. Resulta coocidas e cosecuecia, a través de la epresió (5), las formas modales asociadas a cada frecuecia RESULTADOS OBTENIDOS Y COMENTARIOS E virtud de que el objetivo esecial del trabajo es demostrar la facilidad de utilizació del método de Raleigh Ritz e la solució de este tipo de problema teiedo e cueta la etesa catidad de variables ivolucradas e la defiició de las características de u material aisótropo, se estima oportuo cosiderar ua úica cofiguració para el material aisótropo que queda defiido: D D D66 D6 D6 = = = ; = = D D D D D 3 E las Tablas a 5, se vuelca los valores de coeficietes de frecuecias aturales obteidos para la placa aisótropa rectagular, empotrada e su cotoro co ua masa rígidamete adosada. E los cálculos se ha tomado M=N=, por lo que la aproimació (5) costa de térmios 83

6 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal La magitud de la masa queda defiida por la relació M= m, dode m m p es la masa total de la placa: m p a = ρ h a b λ = defie la relació de lados b Se ha cosiderado distitas magitudes posicioes de la masa ( m, m ), así como distitas relacioes de aspecto λ. Del aálisis de los valores volcados surge, como es sabido, que la presecia de ua masa adosada rígidamete a ua estructura, hace que los valores de sus frecuecias aturales, e geeral, dismiua. E alguos casos, si o se tiee e cueta su iercia rotatoria, cuado la masa se ecuetra ubicada sobre ua líea odal de la forma modal asociada a ua frecuecia dada de la estructura origial, dicha frecuecia su respectiva forma modal permaece ialteradas, como era de esperar. Ello hace, que e muchos casos se produzca ua alteració e el orde de los valores de las frecuecias aturales de dos formas modales, ua de las cuales permaece ialterada 8. E efecto, e la Tabla, por citar u caso, obsérvese que para la placa cuadrada (λ=), el coeficiete de frecuecia Ω= , correspode a la tercer frecuecia atural para pequeñas magitudes de la masa adosada, a la cuarta frecuecia para valores maores de la masa ( e la Tabla M.3) Obviamete, la icidecia de la masa es más marcada e la frecuecia fudametal e todos los casos, etre ellos cuado su ubicació es cetral. Se ha agregado los coeficietes de frecuecia de la placa si masa co fies comparativos, p 83

7 P.M. Ciacio C.A. Rossit TABLA: Coeficietes de frecuecias aturales Ω = ρ h ω a D relació de lados λ co ua masa adosada e su cetro ( m =.5, m =.5) para ua placa aisótropa de λ M Ω Ω Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω /5 / /3 3/ 5/

8 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal TABLA 3: Coeficietes de frecuecias aturales Ω = ρ h ω a D relació de lados λ co ua masa adosada e ( m =.75; m =.5) para ua placa aisótropa de λ M Ω Ω Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω /5 / /3 3/ 5/

9 P.M. Ciacio C.A. Rossit TABLA 4: Coeficietes de frecuecias aturales Ω = ρ h ω a D relació de lados λ co ua masa adosada e ( m =.5; m =.75) para ua placa aisótropa de λ M Ω Ω Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω /5 / /3 3/ 5/

10 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal TABLA 5: Coeficietes de frecuecias aturales Ω = ρ h ω a D relació de lados λ co ua masa adosada e ( m =.75; m =.75) para ua placa aisótropa de λ M Ω Ω Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω /5 / /3 3/ 5/

11 P.M. Ciacio C.A. Rossit FORMAS MODALES E las Figuras se preseta las formas modales de dos placas cuadradas para dos posicioes distitas de ua masa de magitud: M=.5. Las posicioes cosideradas so: cetral ( m = m =.5) sobre la diagoal ( m = m =.75) E el caso de la posició cetral de la masa, Figura, se observa el efecto de la aisotropía de material e la ieistecia de simetría e las formas modales Primer modo Ω = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada e su cetro 837

12 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal Segudo modo Ω = Tercer modo Ω 3 = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada e su cetro (Cot.) 838

13 P.M. Ciacio C.A. Rossit Cuarto modo Ω 4 = Quito modo Ω 5 = 3.6 Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada e su cetro (Cot.) 839

14 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal Seto modo Ω 6 = 6.85 Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada e su cetro (Cot.) Primer modo Ω = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada sobre la diagoal ( m = m =.75) 84

15 P.M. Ciacio C.A. Rossit Segudo modo Ω = Tercer modo Ω 3 = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada sobre la diagoal ( m = m =.75) (Cot.) 84

16 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal Cuarto modo Ω 4 = Quito modo Ω 5 = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada sobre la diagoal ( m = m =.75) (Cot.) 84

17 P.M. Ciacio C.A. Rossit Seto modo Ω 6 = Figura : Modos ormales de vibració de ua placa aisótropa cuadrada empotrada co ua masa de magitud M =.5 adosada sobre la diagoal ( m = m =.75) (Cot.) 4. AGRADECIMIENTOS Los autores agradece al Dr. Patricio A. A. Laura por sus valiosas sugerecias. El trabajo ha sido fiaciado por la Secretaría Geeral de Ciecia Tecología de la Uiversidad Nacioal del Sur, de la Uiversidad Nacioal del Cetro por el CONICET. 5. REFERENCIAS [] H.A. Larrodo, D.R. Avalos ad P.A.A. Laura, Trasverse vibratios of simpl supported aisotropic rectagular plates carrig a elasticall mouted cocetrated mass, Joural of Soud ad Vibratio 5(5), 95- (998) [] D.R. Avalos, H.A. Larrodo,ad P.A.A. Laura, Aálisis of vibratig rectagular aisotropic plates with free-edge holes, Joural of Soud ad Vibratio (4), (999) [3] D.R. Avalos, H.A. Larrodo,ad P.A.A. Laura, Trasverse vibratios of simpl supported orthotropic rectagular plates with rectagular ad circular cut-outs carrig a elasticall mouted cocetrated mass, Structural Egieerig ad Mechaics, Vol 7(5) 53-5 (999) 843

18 MECOM 5 VIII Cogreso Argetio de Mecáica Computacioal [4] P.M. Ciacio, C.A. Rossit D.V. Bambill, Vibracioes trasversales de placas rectagulares, co iclusioes aisótropas como refuerzos de masas cocetradas. Mecáica Computacioal XXII (CD), , (3) [5] D. Youg R.P. Felgar Jr., Tables of characteristic fuctios represetig ormal modes of vibratio of a beam. The Uiversit of Teas Publicatios, Nº 493.(949). [6] S.G. Lekhitskii, Aisotropic plates, Gordo ad Breach Scieces Publishers, N.Y. (968) [7] P.M. Ciacio C.A. Rossit Vibracioes libres de placas rectagulares de material aisótropo bordes apoados, empotrados o libres. Resume aceptado Mecom 5 [8] D.H. Feli, Vibracioes de placas ortótropas co diversas codicioes de vículo orificios de borde libre. Tesis doctoral. Departameto de Igeiería, Uiversidad Nacioal del Sur. (4) 844