TEMA 4 Números complejos * Definiciones Supongmos que quiero resolver l ecución de segundo grdo x + 0. Quedrá: x, luego x ±, que evidentemente no pertenecen l conjunto de los números reles. Por tnto tenemos que concluir que est ecución, no tiene soluciones reles. Pr conseguir que tod ecución de segundo grdo teng soluciones, unque no sen reles, definiremos l unidd imginri i, como i. De este modo ls soluciones de l ecución serán: x ± ± i Así i. De l mism mner: ± ± ± ± i Ej.: 5 5 5 i ; 4 4 i Si queremos resolver un ecución culquier de segundo grdo, procederemos de l form siguiente: Ej.: x 6x+ 0 6± 6 5 6± 6 6± 6 6± 4i + i x ± i i Números complejos en form inómic. Definiremos como número complejo todo número de l form + i donde y son números reles. El conjunto de todos los números complejos se design por C. z + i Prte rel Prte imginri (sin l i ) Tmién se utiliz l siguiente notción: Re (z) e Im (z) Not: Los números complejos se denotn con letrs como zwetc,,... + i form inómic del número complejo. Propiedd: Todo número rel puede ser considerdo un número complejo, puesto que si : 5 R 5 5 + 0i C Por tnto el conjunto de los reles R está incluido en el conjunto de los números complejos C. Tenemos pues los siguientes conjuntos numéricos: N Z Q R C
Representción gráfic de un número complejo: Todo número complejo + i, viene representdo en el plno, por un punto de coordends (, ): Y O v (, ) z + i X Hy que drse cuent que ddo un número complejo z + i, utomáticmente qued definido un vector v (, ) del plno y vicevers. Por tnto un número complejo se puede considerr que es un vector del plno. Llmremos módulo del número complejo z i v,, es decir donde tommos l ríz positiv. + l módulo del vector z + El opuesto del número complejo z i. Se llm conjugdo del número complejo z + i l número complejo i, que designremos por z. Operciones con números complejos en form inómic. Iguldd de complejos: + i c + di c y d Sum de complejos: z + i w c + di z + w (+c) + (+d)i ( + i) + (5 i) ( + 5) + ( + ( )) 8 i. L sum tiene ls propieddes socitiv, conmuttiv, del elemento neutro y del elemento opuesto. Multiplicción de un complejo por un número rel: z i + 5.( + i) 0 + 5i + λ z λ λi Producto de números complejos: (Se plic l propiedd distriutiv multiplicndo cd elemento de dentro de los préntesis por todos los del otro préntesis y teniendo en cuent que i ) i + i + 4i i 6i + 4i i+ 6 8+ i
Propiedd: (No importnte) Se cumple l propiedd siguiente: z z z : En efecto: z z ( + i) ( i) ( i) i + z El producto de complejos cumple l propiedd socitiv, conmuttiv, elemento unidd o neutro ( + 0.i) y distriutiv respecto de l sum (ver Pág. 00 del liro) Inverso de un número complejo: Ddo el complejo z, se llm inverso de z y se represent por z, l número que cumple que z z Ej. de cálculo del inverso de i. Pr hllr el inverso, se escrie en form de frcción y se multiplic el numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor. z i z + i + i + i + i z i i + i 4+ 9 ( i) 4+ 9 Como ejercicio vemos que en el ejemplo nterior se cumple que z z En efecto: z z 4 6 6 9 4 9 ( i) + i + i i i + Propiedd: (No importnte) Se puede demostrr tmién que z z z z. z z En efecto, puesto que tendrímos zz. z., lo que prue que es el inverso. z z z División de complejos: Se procede de form nálog l cálculo del inverso de un número complejo. + 6 i ( i)( + i) + 4i i 6i + i+ 6 8+ i 8 + i i ( i)( + i) 4 i + 4 5 5 5 + 4 Not: Ejercicios sore producto y cociente de complejos, hn slido stnte en los exámenes de ños nteriores. Potencición de números complejos: Teniendo en cuent ls potencis de i, (ver cudro djunto), se ve que se repiten cd cutro, por lo tnto pr hllr culquier potenci de i, st dividir por cutro el exponente y quedrse con el resto, como se oserv en los ejemplos siguientes: z i 0 i i i i i i i 4 i i i 5 4 i i i i 5 80 0 5 7 i i i i i i i i 5 4 80 4 57 4 05 8 00 70 7 64 0 Not (no importnte): L regl ntes citd (suryd), se demuestr quí en generl. Si tenemos que clculr i p, siendo p un número superior cutro, podemos efectur l división euclíde de p entre 4, oteniendo un cociente q y un resto r ( 0 r < 4). Por ls propieddes de l división, se cumple que 4 + 4 4 +, por lo que p 4q r p q r q r q r q r r i i i i i i i i
En el cso de exponentes negtivos: i i i i i i i i i i Pr clculr potencis de números complejos, plicremos l fórmul del Binomio de Newton, como en el ejemplo siguiente: ( + i) (Desrrollr en clse) Ved por vuestr cuent otro ejemplo más lrgo y complicdo: 5 5 5 4 5 5 5 5 ( + i) + i+ ( i ) + ( i) + ( i) + i 0 4 5 5 4 + 5 i + 0 i + 0 + 5 + i + 40i + 80 9i + ( i) ( i ) 6 8 9i 4 7i 8i 4i 4 5 4 5 + 40 7 i + 0 8i + 4i + 40i 70 080i + 80 + 4i 597i 5 4 5 5 0 0 5 4 5 i i (Veremos después que l potencición y l extrcción de l ríz de culquier índice, result mucho más fácil utilizndo l form trigonométric del número complejo, que veremos con posterioridd) Extrcción de Ríces: De momento vemos como se procede en el cálculo de l ríz cudrd de un número en form inómic. L ríz del número pedido, que queremos clculr l llmremos x + yi, y nuestro ojetivo será clculr el vlor de x y el de y. 5+ i x+ yi x, y R Por tnto: ( x + yi) 5+ i Desrrollndo el cudrdo: x + xyi + y i 5+ i Como i qued: ( x y ) + xyi 5+ i Semos que dos complejos son igules, cundo coinciden su prtes reles por un ldo y sus prtes imginris por el otro. Por tnto: despejndo en l segund ecución 6 y. x x Sustituyendo en l ª: x y 5 xy 6 6 x 5 x 5 x x Quitndo denomindor (multiplico por x ): 4 4 x 6 5x, luego x 5x 6 0, que es un ecución icudrd que se convierte en un de segundo grdo hciendo x t: t 5t 6 0 luego 5 ± 5 + 44 5 ± 69 5 ± 9 t 4 ( t 4 se desech y que implic que x 4, luego x no serí rel). t 9 x 9, luego: 6 + x y 6 Por tnto ls soluciones son: + i x+ yi i Form trigonométric de un número complejo. Si representmos gráficmente el número complejo z + i se α el ángulo que form el vector (, ) con el eje OX y se r el módulo de este número complejo ( r z ). Al ángulo α se le llm rgumento del número complejo y se escrie α rg( z) tomr los vlores comprendidos entre 0º y π (éste excluido), donde α puede 4
L relción entre l prte rel, imginri, el módulo y el rgumento del número complejo, vienen dds continución, y slen de oservr l figur djunt y plicr los conocimientos de trigonometrí y vistos. r α z + i r + senα r luego r senα cosα r luego r cosα luego α rc tg Se llm form trigonométric de un número complejo z r ( cosα isenα ) sustituir y por los vlores vistos más rri: + que sle de z + i r cosα + r senα i r cosα + isenα α 0,π ) Ej.: Psr form trigonométric el complejo z + i En este cso: y Por tnto: + i 60º 0º tg 60º α rctg 80º 60º 0º(ver figur) r + + ( i ) z cos0º + sen0º form trigonométic Ej.: Ahor psr form inómic: Bst con multiplicr el módulo por ls rzones de dentro del préntesis y sustituir ests por sus vlores, teniendo en cuent que: 60º 0º cos0º cos 60º sen 0ºsen 60º Luego: 5
( i ) z cos0º + sen0º z + i + i Operciones con complejos en form trigonométric. Producto: Se reliz plicndo l siguiente iguldd que no demostrmos: Ej.: ( cosα senα) ( cos β senβ) r s( cos( α β) isen ( α β) ) r + i s + i + + + ( + ) ( + ) ( ( + ) + ( + )) cos90º isen90º cos 50º isen50º 6 cos 90º 50º isen 90º 50º 6 cos 440º + i sen440º cos80º sen80º ( + ) 6 cos80º isen80º 440º 60º 80º División: Se reliz plicndo l siguiente iguldd que no demostrmos: r ( cos α + isen α) r ( ) cos α β + isen α β scosβ + isenβ s Ej.: ( cos90º + isen90º ) cos( 60) isen( 60) ( cos 00º isen00º ) ( cos50º+isen50º ) + + Potencición: Se reliz plicndo l siguiente iguldd que no demostrmos: Ej.: n n ( α + α) ( α + α) r cos isen r cos n isen n ( cos 50º + isen50º ) ( cos 50º + isen 50º ) 7 cos750º + i sen750º 0º 0º 7 ( cos0º + isen0º ) 750 60º 0 Extrcción de ríces: Se plic l siguiente fórmul: n α + πk α + πk n r ( cosα + isenα) r cos + isen n n k 0,,,n Se otienen sí n ríces distints Ej.: Hllemos ls ríces cúics de l unidd. 0º + 60º k 0º + 60º k + 0.i ( cos0º + isen0º ) cos + isen si k 0 ( cos0º + isen0º ) ( + i0) si k ( cos0º + isen0º ) + i + i si k ( cos 40º + isen40º ) + i i Como ejercicio, vmos compror que + i es un ríz cúic de l unidd. Evidentemente l elevrl l cuo dee dr. Aplicremos l fórmul que desrroll el cuo de un inomio: + + + + + i + i+ i + i 9 9 8 + i i + i + i+ i + 8 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 i 6
Ejercicios del liro de l pág. y 4.- Clcúlese: + i ( + i)( + i) + i+ i i ) i i ( i)( + i) i ) ( 4+ i)( + i) 4+ 4i i+ i 7+ i ( 7+ i)( + i) i i i ( i)( + i) 7i+ i+ i 4i 4 i i 9+ i i i 0 0 0 5 5 4.- Escríse los números complejos + i y i en form trigonométric. + i r 4+ 4 8 α 5º 5º 45º 45º tg5º tg45º π π ( cos5º + isen5º ) cos + isen 4 4 Vemos hor el segundo complejo propuesto: i r + 4 α rctg 00º 00º 60º 60º tg 00º tg 60º ( + i ) cos00º sen00º 5.- Escríse en form inómic los números 4( cos60º + isen60º ) y ( cos5º isen5º ) +. 7
4cos60º ( + isen60º ) 4 + i + i ( cos5º + isen5º ) + i + i, puesto que viendo l primer figur del ejercicio 4º, se ve que cos5º cos 45º y sen 5º sen45º z + i, escriiendo primero el número en form trigonométric. 6.- Clcúlese z 8, donde r + 4+ 6 4 α 60º Luego : z ( + i ) + i 4( cos60º + isen60º ) 8 8 8 z 4 cos 8 60º + isen8 60º 4 ( cos0º + isen0º ) 480º 480º 6556( + i ) 768 + 768 i Y que 480º 60º 0º y por tnto tienen ls misms rzones y demás: cos 0º cos 60 y sen0º sen 60º Ejercicios de exámenes: 0º junio 95 mñn (determinr pr que el cociente se rel) 0º junio 95 trde (hllr z expresdo medinte cociente de potencis de i) 9º junio 96 trde (Productos y cociente de complejos en form inómic) 8º septiemre 97 0º jun 95 trde (pero pide prte imginri) 0º septiemre 98 9º junio 96 trde 7º septiemre 99 (cociente de potencis de i) º septiemre 000 (cociente de complejos en form inómic) 0º junio 00 mñn (cociente y producto de complejos y potencis de i) 4º junio 00 trde que el de l mñn con lgún cmio en el enuncido 5º septiemre 00 (cociente y producto de complejos y potencis de i) 0º junio 00 trde (cociente y producto de complejos y potencis de i) 9º septiemre 00 (cociente y producto de complejos y potencis de i) 4º junio 004 mñn (cociente y producto de complejos y potencis de i) 5º junio 004 trde (cociente de complejos con un prámetro) 6º septiemre 006 (cociente de potencis de i) 6º junio 007 trde (prte imginri de un cociente de complejos) * Este tem h sido psdo soporte informático por los lumnos José Miguel Sánchez y Jesús Rmil, sándose en el liro Mtemátics Especiles, de E. Bujlnce y otros, editdo por l editoril Snz y Torres y en ls explicciones dds en ls tutorís presenciles, por el profesor tutor del Centro de l Uned Alzir-Vlenci Frncisco Tomás y Vliente, José Luis Lomillo, que los h corregido, completdo y mplido. 8