MATEMÁTICAS FINANCERAS

MATEMÁTICAS FINANCERAS -Apoyadas co Microsoft Excel- (Versió prelimiar) Julio A. Sarmieto Sabogal Edgardo Cayó Fallo Bogotá D.C., Juio de 2005

Potificia Uiversidad Javeriaa Facultad de Ciecias Ecoómicas y Admiistrativas Departameto de Admiistració Reservados todos los derechos Julio Sarmieto Sabogal Edgardo Cayó Falló Edició: Por defiir Diseño de portada: Adrés H. Mejía V. Primera Edició: 2003 ISBN: XXXX No. de ejemplares: XXX Fotomecáica e Impresió: XXX 2

Tabla de coteido 1. El cocepto de iversió...5 1.1. La tasa de descueto o tasa de retoro míima aceptable...9 1.2. Compoetes de la tasa de iterés....14 Compoete iflacioario...14 Compoete de riesgo...16 1.3. La tasa de iterés cuado existe mas de u período: El iterés simple y el iterés compuesto....17 2. Factores de coversió...22 2.1. Valor Futuro (VF)...23 Cálculo de VF a partir de ua suma presete...24 Cálculo de VF a partir de ua suma presete co tasa o costate....27 Cálculo de VF a partir de ua serie de cuotas uiformes....30 Cálculo de VF a partir de ua serie de cuotas o uiformes....34 2.2. Valor Presete (VP)...37 Cálculo de VP a partir de ua suma futura...38 Cálculo de VP a partir de ua suma futura co tasa o costate...39 Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas uiformes...42 Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas o uiformes...44 Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas o uiformes y tasa o costate...47 2.3. Ejercicios...50 3. Tasas Equivaletes...52 3.1. Itereses aticipados y vecidos...52 3.2. Tasas omiales y efectivas...55 Tasa de iterés efectiva...59 Tasa de iterés omial...60 Tasa de iterés Periódica...61 3

Relació etre las tasas efectivas, omiales y periódicas...63 La fucioalidad de las tasas efectivas...65 Ejercicios...66 4. Tablas de amortizació...70 4.1. Compoetes de ua tabla de amortizació....70 4.2. Tipos de tablas de amortizació...71 4.3. Tablas de amortizació cuado se defie la cuota...71 Tablas de amortizació co cuota fija...72 Tablas de amortizació de cuota fija cuado se tiee tasas variables...78 Tablas de amortizació de cuota ascedete o descedete...81 4.4. Tablas de amortizació co aboo a capital uiforme...85 Tablas de amortizació co aboo a capital uiforme...86 5. Ejercicios Itegradores...89 6. Glosario...92 7. Resume de fórmulas...96 4

1. El cocepto de iversió El diccioario defie iversió como "U sacrificio de recursos hoy, co la esperaza de recibir u beeficio e el futuro". Al examiar deteidamete este cocepto se puede ecotrar que ua iversió es u "sacrificio" porque que la mayoría de los seres humaos prefiriere cosumir e el presete a hacerlo e el futuro, cuado ua persoa ivierte, deja de cosumir para etregar su diero a otro, esperado que se le recompese por su sacrificio. Para ilustrar este cocepto recurriremos a u ejercicio que solemos usar e uestras clases: Ejemplo 1.1 Imagie que Usted o tiee vehículo, pero que hoy dispoe de suficiete diero para comprar de cotado u vehículo Sprit último modelo (2005), y alguie le propoe que le preste ese diero y que a cambio le etregará e el año siguiete (2006), el mismo Sprit modelo 2006. Aceptaría usted ese egocio?. Su respuesta seguramete será u rotudo NO, Usted o esta dispuesto a postergar la compra de su automóvil por u año a cambio de recibir el mismo carro. Pero si la persoa que le propuso el egocio, le ofrece u Corsa, seguramete Usted pesaría e que se puede sacrificar u año, a cambio de recibir u carro de ua gama superior, pero para aquellos que sigue pesado que el egocio o les es favorable, qué opiaría si a cambio les ofrece u Epica?. Seguramete habrá persoas que acepte la opció del Corsa, porque cree que es u bue retoro de su sacrificio y otras que o quiera aceptar la opció del Epica 1. 1 Para quiees o esté familiarizados co el tema, el Sprit es la gama más baja de la marca Chevrolet, el Corsa es u vehículo de gama media y el Epica es el vehículo de gama alta de la marca e Colombia. 5

Del ejercicio aterior se puede extraer varias coclusioes: Las persoas o ivierte para recibir a cambio lo mismo que hubiese podido cosumir si ivertir, es decir, si se quiere que alguie ivierta, se le debe recompesar. Cada persoa tiee u ivel requiere de ua recompesa o retoro diferete, pues su decisió depede factores subjetivos absolutamete respetables como por ejemplo qué tato ecesita su carro e el mometo, cuato tiempo lleva esperado para teerlo etc. Por ejemplo, dos persoas a las que se les ofrece el mismo trato de cambiar el Sprit hoy, por u Corsa detro de u año, tiee respuestas diferetes. El primero es u estudiate que vive a uos pocos metros de su uiversidad, él podrá aceptar co mucha mayor facilidad que u padre de familia que vive e ua gra ciudad y que todos los días debe llevar a sus dos hijos, de uo y tres años al jardí, que queda a varios kilómetros de distacia de su casa y después debe ir a su trabajo y e tarde debe repetir el recorrido e setido iverso. Ua iversió además es u sacrificio de "Recursos", observe que las iversioes o solamete se hace e diero, sio e geeral, puede ivertirse cualquier bie o servicio deseable y escaso. Por ejemplo, los activos fijos (computadores, costruccioes, maquiaria etc.), el coocimieto o el tiempo, e geeral todo lo que el iversioista etrega debe ser cosiderado y cuatificado. Esto implica u problema asociado a la valoració de los activos, por ejemplo imagie que usted va ha ivertir e su uevo egocio u computador que compró hace 6 meses y costó $1.000.000 (valor de compra), adicioalmete usted lleva su cotabilidad persoal, e la cual el computador aparece co u valor de $833.333 (valor e libros). U computador usado co características similares al suyo se egocia por $500.000 (valor de mercado), pero si Usted o 6

etrega el suyo ecesitaría comprar uo uevo que cuesta aproximadamete $1.100.000 (valor de reposició), Cuál de estos valores se tomará como el moto de la iversió que Usted hizo al ceder el computador al uevo proyecto?, Normalmete se usa el valor de mercadi para determiar el valor de los activos, si embargo embargo se puede ecotrar abudate literatura sobre el tema de valoració de activos. Ahora aalicemos la palabra "Hoy", el tiempo es el cocepto más importate detro de las matemáticas fiacieras debido a que el diero tiee setido como recurso úicamete cuado se retiee por u tiempo determiado. Para aclarar esta idea, supoga que Usted le etrega a alguie $1.000.000 y esta persoa le etrega imediatamete otros billetes de la misma moeda por el mismo valor. Cosidera Usted que ha realizado algú egocio? gaó o perdió algo por esa trasacció?, seguramete su respuesta será NO (aquí o se está teiedo e cueta los costos de trasacció), pero si e el mismo caso, la persoa le devuelve el mismo milló de pesos pero u año más tarde Usted lo recibiría si igua objeció?, lo más probable es que o, ha pasado u tiempo y Usted esperaría recibir más de lo que le etregó a esta persoa. Observe que Usted o ecuetra sesato pesar que u milló de pesos de hoy es el mismo milló detro de u año; el sigificado de estos valores es diferete y por lo tato o so comparables 2. Por otra parte la "Esperaza" os recuerda que siempre que se ivierte se está corriedo el riesgo de perder ua parte o toda la iversió, o hay realmete e el mudo igua iversió absolutamete libre de riesgo, auque para efectos prácticos e el mercado fiaciero iteracioal se cosidera que los boos del tesoro de los Estados Uidos so libres de riesgo y e el mercado colombiao 2 A meudo decimos e uestras clases que sumar dos milloes de hoy co tres milloes etregados e u año, sería semejate a sumar 2 peras co 3 gatos!!! 7

los TES (Títulos de Emisió Soberaa emitidos por el Miisterio de Hacieda y Crédito Público) so cosiderados cero riesgo. Por último os ecotramos co los "Beeficios", estos so la razó por la cual se ivierte y para que estos exista se debe recuperar lo ivertido y geerar excedetes, a estos excedetes comúmete los llamamos itereses. E fiazas se acostumbra dar alguos ombres diferetes a las cifras que maejamos cotidiaamete. A las iversioes se les llama VALOR ACTUAL, o VALOR PRESENTE, porque la defiició de iversió dice que esta es u sacrificio de recursos hoy. A los beeficios, que está situados e el futuro, se les llama VALOR FUTURO. La retabilidad, que es la medida e térmios porcetuales del redimieto de u capital determiado, se le llama TASA DE INTERES y a la Utilidad producida por la iversió se le llama INTERESES. Tabla 1. Térmios usados e la matemática fiaciera Nombre Comú Matemática fiaciera Iversió Valor Actual (VA) Valor Presete (VP) Igresos / Beeficio Valor Futuro (VF) Retabilidad Tasa de iterés (i) Utilidad Itereses (I) Ahora debemos ecotrar u valor de itereses que haga que la persoa decida sacrificarse e ivierta e lugar de cosumir. E geeral, más que u valor absoluto del moto de los itereses, buscamos ua tasa de retabilidad a la cual el iversioista decida ivertir. A esta tasa se le llama Tasa de Descueto, Tasa de Oportuidad o Tasa de Retoro Míima Aceptable. Observe que esta tasa es de absoluta importacia, pues es ua tasa de iflexió de la decisió: por debajo de esta preferirá cosumir ates que ahorrar, y por ecima decidirá ivertir. 8

1.1. La tasa de descueto o tasa de retoro míima aceptable. Ejemplo 1.2 Supoga que Ud. ha veido guardado diero debajo de su colchó, para comprar ua ageda electróica, que, auque o es idispesable, le gustaría teer. Ya tiee u milló de pesos ahorrados. Yo le he pedido prestado ese diero por u año y Ud. ha pesado que o sería ua mala idea, pues le he ofrecido u respaldo que hace virtualmete imposible que se pierda el diero o se demore siquiera u día mas del plazo fijado. Ahora estamos egociado el valor que yo le debo etregar el próximo año. Observe que Usted tiee dos opcioes, compra su ageda electróica o me presta el diero a mi. Cuáto sería lo míimo que me cobraría detro de u año?. Piese e u valor que haga que Ud. se sacrifique por u año al o comprar el aparato. cuáto sería? $. Realmete me parece que la suma que Ud. acaba de poer es demasiado alta!!!, por favor, piese e la míima suma que Usted me cobraría por ese préstamo $. Bueo, le ofrezco u peso meos de lo que Usted acaba de escribir. Acepta este egocio? Si Ψ, No Ψ. Si la respuesta fue si, por favor piese por última vez cuál sería la míima cifra que estaría dispuesto a recibir $. ACABA USTED DE HALLAR SU TASA DE DESCUENTO. Por favor permítaos explicarle Observe que trabajar co valores es egorroso, si osotros cambiáramos la cifra de u milló, por cicueta milloes, Usted debería cambiar ese valor y volver a realizar el ejercicio por eso, siempre se trabaja co tasas de iterés. 9

Calculemos etoces la tasa de iterés que Usted decidió que era su tasa de descueto: VF i = VA I = VF-VA 1 (1) ó i = (3) I VA (2) Supoiedo que Ud. dijo que lo míimo que esperaba e u año era $1.150.000, tedríamos: 1. 150. 000 i = 1 = 0, 15 1. 000. 000 ó 15% Usado las ecuacioes (2) I = 1. 150. 000 1. 000. 000 = 150. 000 150. 000 i = = 0, 15 1. 000. 000 y (3) ó 15% Ahora por favor Ud. haga lo propio co los valores que eligió: i = 1 = 1.000.000 ó % Usado las ecuacioes (2) y (3) I = 1.000.000 = i = 1.000.000 = ó % La tasa de descueto es aquella a la cual u iversioista, que tiee ua sola oportuidad de iversió decide ivertir. Esto supoe que ha decidido sacrificar su cosumo imediato para recibir e cambio ua suma mayor e el futuro. Observe que esta tasa es la que hace equivalete el cosumo de hoy a u cosumo superior detro de u periodo de tiempo. Si se le ofrece a este iversioista ua tasa meor, decidirá cosumir ahora, si por el cotrario, la tasa es mayor, la persoa optará por ivertir. 10

NO INVIERTE SI INVIERTE Retabilidad de la iversió Tasa de descueto Piese u mometo deteidamete por favor el sigificado de la frase: Observe que esta tasa es la que hace equivalete el cosumo de hoy a u cosumo superior detro de u periodo de tiempo. Si se le ofrece a este iversioista ua tasa meor, decidirá cosumir ahora, si por el cotrario, la tasa es mayor, la persoa optará por ivertir. E realidad, la tasa de descueto materializa el cocepto de equivalecia, que muestra que existe u ivel de retabilidad a la cual el iversioista será idiferete cosumir ahora o ivertir. Usado la ecuació (1) podríamos decir que: VF = VA * (1 + i) (4) Y siguiedo co uestro supuesto ecotraríamos que: VF = 1.000.000 * (1 + 0,15) = 1.150.000 Ahora hagámoslo co su tasas de descueto : VF = 1.000.000 * (1 + ) = Podemos cocluir etoces que para Usted es lo mismo cosumir $1.000.000 hoy o cosumir $ detro de u año. Si yo le ofreciera meos de 11

este valor Usted preferiría comprar su ageda digital y si yo le ofreciera u valor superior a esta suma Usted preferiría ivertir. Ahora por favor cosiga cico valores futuros que otras persoas haya aotado e este mismo ejercicio. 1), 2), 3), 4), 5). So iguales estos valores? coicide alguo de estos co el suyo?, muy seguramete la respuesta será NO, etoces Alguo de estos valores es más acertado que los demás?, será que algua de las persoas que le dio u valor tiee la razó sobre cuál es el valor adecuado y Usted o? será lo cotrario?. La respuesta a estas pregutas es NO. Todos los valores so igualmete válidos, esto, porque el milló de pesos es su diero y solo Usted puede decidir que hacer co él. Adicioalmete la tasa de descueto es subjetiva, cada iversioista tiee su propia tasa de descueto, y sea esta alta, media o baja (comparada co las de las otras persoas) es igualmete correcta y respetable. E la ecoomía se empieza a ecotrar que las tasas de iterés está casi todas detro de u mismo rago, si el iversioista poe u valor por ecima de este rago, adie estará dispuesto a pagar u costo ta alto por su diero, si por el cotrario cobrase demasiado poco, estaría perdiedo diero si se compara co lo que estaría dispuestos a pagar quie lo requiere. Por eso estudiaremos como explica la ecoomía, desde u puto de vista formal, cómo se forma las tasas de iterés: Segú Fisher (1930), la tasa de iterés es el resultado de la uió de varios compoetes, e pricipio, Fisher propuso que estos compoetes era la iflació y el iterés real. Mas tarde se icluyó el riesgo como u tercer compoete adicioal. Es decir: I c = (1+i f ) x (1+i r ) x (1+i θ ) 1 (5) 12

Dode I c es la tasa de iterés, i f es el compoete de iflació, ir represeta el compoete real e i θ es el compoete de riesgo. 13

1.2. Compoetes de la tasa de iterés. Compoete iflacioario La iflació es la Medició del crecimieto del ivel geeral de precios de la ecoomía. La iflació es calculada mesualmete por el DANE sobre los precios de ua caasta básica de biees y servicios de cosumo para familias de igresos medios y bajos (Caasta Familiar). E Colombia se utiliza el IPC (Idice de Precios al Cosumidor) para su cálculo. Esta medida se basa e la medició de la caasta familiar e diferetes ciudades. Esta caasta familiar esta compuesta por diferetes grupos de gasto como alimetació, vestuario, e.t.c. y para cada uo de los estratos socio-ecoómicos. El sistema fiaciero colombiao vivió ua de las más agudas crisis de su historia a causa del UPAC, u sistema creado e 1972 para icetivar la oferta de créditos de vivieda de largo plazo, que e últimas lo que buscaba era blidar las iversioes cotra las variacioes de la iflació, que e Colombia históricamete ha sido siempre bastate volátil. 14

Variació IPC e Colombia 1955-2003 variacio porcetual 40 35 30 25 20 15 10 5 Variació IPC Promedio 0 1955 1965 1975 1985 1995 Si embargo a partir de marzo de 1993 3 se elimió totalmete la iflació de la base del cálculo del UPAC, por lo cual, u sistema que había sido creado e sus orígees para remuerar el compoete iflacioario de la tasa de iterés, se desfiguró, haciedo que el UPAC aumetara u 28.38% más que IPC e el período 1997-1999. AÑO Variació del Variació del UPAC* IPC** Diferecia 1993 23,3% 22,60% 0,74% 1994 24,3% 22,59% 1,66% 1995 20,1% 19,46% 0,68% 1996 18,8% 21,63% -2,79% 1997 20,2% 17,68% 2,52% 1998 27,1% 16,70% 10,39% 1999 24,7% 9,23% 15,47% * Fuete: Baco de la República ** Fuete DANE Este es u paorama bastate complejo si se recuerda que e estos créditos, la tasa de iterés se divide dos partes: por u lado el UPAC que recooce, 3 Istituto Colombiao de Ahorro y Vivieda (ICAV). EL UPAC, ANTECEDENTES DEL ACTUAL SISTEMA DE FINANCIACIÓN DE VIVIENDA.. http://www.icav.com/seccioes/uvr/upac.htm?icav=f1bace5c62a5c115d12267fa51748d60 15

supuestamete la iflació, y uos putos adicioales que recooce los otros dos compoetes de la tasa de iterés. Diferecia etre la variació del UPAC y el IPC 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999-5,00% Fuete: Elaboració propia co base e Baco de la República y DANE Compoete de riesgo Existe diferetes metodologías para la medició del riesgo de ua iversió, ua de ellas cosiste e medir los diferetes iveles de riesgo y combiarlos aplicables a ua iversió, estos diferetes so: a) riesgo país: que mide los riesgos de ua ecoomía para los iversioistas extrajeros el cual puede ser obteido por medio de los Spreads o metodologías como la ICRG (Iteratioal Coutry Risk Guide), b) riesgo sector: que mide el riesgo asociado propio de la actividad ecoómica desarrolla y c). Este puede ser obteido por varias vías: Usado los Spreads o Cálculos usados por compañías calificadoras de riesgo como Stadard ad Poors, Moody s o Fitch Ratigs. 16

1.3. La tasa de iterés cuado existe mas de u período: El iterés simple y el iterés compuesto. Hasta ahora hemos tomado ejemplos e dode solamete existe u período de iversió, esto, porque cuado se trabaja co más de u período existe dos formas de cálculo de los itereses. Para explicar esta situació recurriremos a ua aécdota persoal. Ejemplo 1.3 Cuado estaba e el colegio, teía u amigo al que su Papá le daba u diero para que comiese algo. Resulta que por lo geeral le sobraba algua pequeña catidad, y osotros sus compañeros, que sabíamos de esta situació, le pedíamos siempre que les prestara pero uca me pagaba. Aburrido, mi amigo decidió que e lugar de perder el diero, iba a hacer u egocio co éste. Etoces, u día, cuado alguie le pidió prestado $100 le dijo que sí, pero que al día siguiete le debería pagar $110. el 10% diario!!! era lo que cobraba mi amigo. Estará Usted escadalizado por esta tasa ta alta. Pero e hoor a la verdad, mi amigo debía cobrar esa tasa ta alta, porque la moeda de más pequeña deomiació e ese etoces era de $10. Si os hubiese cobrado meos, o hubiésemos podido pagarle!!!. U día, yo ecesitaba u diero urgete para comprar los materiales de u trabajo y le pedí prestados $1.000. Al día siguiete olvidé pedir el diero para pagar, por lo que solo pude hacerlo al segudo día. Cuado llegué a pagarle, le etregué $1.200, pero el me dijo que e realidad le teía que pagar $1.210. Por qué me estaba cobrado mi amigo $1.210? 17

Para empezar, podemos ilustrar el ejemplo co u Diagrama de Flujo de Caja, el cual muestra esquemáticamete los problemas fiacieros, este diagrama se compoe de ua líea horizotal que represeta el tiempo. E el extremo izquierdo ua divisió que represeta el período 0 o mometo 0, que es el mometo e el que se realiza la iversió. El extremo derecho represeta el último período de iversió y cortes itermedios que represeta el fial de cada período. Flechas hacia abajo que represeta iversioes y hacia arriba que muestra los igresos. Explicació del diagrama de flujo de caja Fi del periodo 1.000.000 Igresos 0 1 2 Tiempo (1.000.000) Egresos El diagrama del problema desde mi puto de vista sería etoces: i%=10% Diario 1.210 0 1 2 1.000 18

Observe que los mil pesos fuero ua etrada para mí, por eso aparece represetado por ua flecha hacia arriba e el periodo cero, y los mil doscietos so u egreso e el segudo periodo. La represetació del problema para mi compañero sería: i%=10% Diario 1.210 0 1 2 1.000 Bueo, pero regresemos al problema: Yo pesaba que debía pagar $1.200, pues pesaba que debería devolver los $1.000 que me había prestado y $200 de dos días de itereses de itereses de dos días. Pero mi compañero me explicó que a mi cueta había que adicioarle $10 de itereses de los cie que o había cacelado de itereses el primer día. Años después, ya e la Uiversidad etedí que el cálculo que yo había realizado, se coocía como Iterés simple e este, se cobra itereses úicamete sobre la suma iicial de la iversió. Y lo que mi amigo había hecho se coocía como Iterés Compuesto, que supoe que los itereses se cobra sobre la suma iicial y sobre los itereses causados y o pagados. Este último sistema, se ha tedido a sataizar e Colombia y los abogados le ha llamado Aatosismo, de hecho la Corte Costitucioal lo declaró icostitucioal y por lo tato iaplicable e el país. Si embargo este se usa e todo el sistema fiaciero iteracioal, y la razó coceptual para esto se puede explicar muy fácilmete co el ejemplo aterior por medio de la siguiete reflexió: Mi amigo me cobraba itereses diarios de $100, al o pagar los 19

itereses del primer día, yo ocasioé que él o pudiera prestar ese diero a otra persoa y por lo tato había perdido el valor de los itereses que le hubiese geerado los cie pesos, es decir había perdido diez pesos ($100*10%). Etoces quié debía asumir esta pérdida?. Seguramete los 10 pesos debía ser asumidos por mí, que era quie teía y estaba usado el diero durate ese período de tiempo. Observe que quie tiee el diero es quie debe pagar por este, y por lo tato, el sistema coceptualmete correcto desde el puto de vista fiaciero es el Iterés Compuesto. Matemáticamete el iterés compuesto completa uestra fórmula (4) al elevar la fracció (1 + i) al úmero de períodos de la iversió. VF = VA * (1 + i) (6) La fórmula (6) es ua de las bases más importates e fiazas, esta se usa o de ella se extrae modelos ta simples como saber cuáto será lo que se reciba por ua iversió, hasta temas avazados como cálculo de precio de istrumetos derivados. Cuado se tiee mas de u período, se debe agregar dos térmios a uestra tabla: Tabla 2. Térmios usados e la matemática fiaciera - Completa Nombre Comú Matemática fiaciera Valor Actual (VA) Iversió Valor Presete (VP) Igresos / Beeficio Valor Futuro (VF) Retabilidad Tasa de iterés (i) Utilidad Itereses (I) Número de períodos () o (Nper) Cuotas o pagos Cuotas o pagos 20

Aquí aparece u uevo térmio llamado cuota o pago. Que aparece cuado e lugar de recibir ua sola suma al fial de la iversió (VF), se le etrega ua serie de pagos e los periodos itermedios. Estas cuotas puede ser cuotas uiformes e dode se le etrega exactamete e mismo moto durate todos y cada uo de los periodos, o cuotas o uiformes e el caso e el que los motos etregados difiera e algú periodo. Adicioalmete vale la pea mecioar que cuado existe más de u período las fórmulas (1) y (2) o se puede usar. 21

2. Factores de coversió La fórmula (6) os permite calcular cuato va a recibir u iversioista e el futuro, o e otras palabras calcular el beeficio del que hablamos e la defiició de Iversió. Observe que esta fórmula tiee 4 factores, Valor Actual, Valor Futuro, tasa de iterés y úmero de períodos. E este capítulo observaremos cómo se puede calcular cada uo de estos, siempre y cuado tegamos la iformació de otros tres de ellos y que por lo meos uo de ellos sea o la tasa de iterés o el úmero de períodos. Suma Futura: Se puede calcular a partir de ua suma presete, a partir de ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. Suma presete: Se puede calcular a parir de ua suma futura, ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. Serie de cuotas uiformes -> Suma presete Suma presete -> Serie de cuotas uiformes Suma Futura -> Serie de cuotas uiformes Serie de cuotas uiforme -> Suma Futura Cálculo de la tasa de iterés Cálculo del úmero de Períodos El cálculo de estos factores se mostrará de dos maeras: E primera istacia realizaremos el plateamieto matemático y e segudo lugar se resolverá el ejercicio usado como Herramieta Microsoft Excel, que es ua de las 22

herramietas más secillas para elimiar los problemas de la formulació matemática propia de este tema. 2.1. Valor Futuro (VF) Represeta u solo flujo de diero que se etrega al fial del último período de iversió. Se puede calcular a partir de ua suma presete, ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. Es decir, ates de saber la fórmula correcta para el cálculo se debe revisar si se cumple o o los siguietes supuestos: Tabla 3. Opcioes para el calculo del Valor Futuro Cálculo de VF a partir de: Pagos uiformes Períodos iguales Tasa costate Fórmula Fució e Excel Ua suma presete Ua suma presete Ua cuota uiforme Ua cuota NO uiforme Ua cuota NO uiforme N.A. SI SI VA ) * (1 + i VF N.A. SI NO VA [(1 i ) *(1 + i ) *...*(1 + i )] * 1 2 + VF.PLAN (1 + i ) 1 SI SI SI PAGO * VF i 1 t PAGO1 * ( 1 + i ) + PAGOt * ( 1 + i ) +... NO SI SI No existe 1 PAGO 1 * ( 1 + i ) + PAGO PAGO1 * [( 1 + 1 i ) * ( 1 + i 2) *... * ( 1 + i )] +... PAGO2 * [( 1 + i 2) *... * ( 1 + i )] +... NO SI NO PAGO * [( + i )] +... No existe PAGO 1 1 23

Cálculo de VF a partir de ua suma presete Su fórmula matemática es: VF = VA * (1 + i) ( 6 ) Ejemplo 2.1 Cuáto recibirá Luisa Ferada e 12 meses, si ha ivertido $1.000.000 a ua tasa del 2% mesual?. El diagrama de flujo de caja del problema es: VF=? i = 2% 0 12 $1.000.000 El plateamieto matemático del problema es: VF = 1.000.000 * (1 + 2%) 12 = $ 1.268.241,79 Tal como habíamos auciado arriba, resolveremos ahora el problema usado como herramieta Microsoft Excel. E primera medida debemos icluir e las celdas de Excel los datos del problema: Después debemos llamar al asistete de fucioes del programa. Esto se puede hacer buscado el botó e la barra estádar o e el meú Isertar, escoger la opció Fució : 24

Detro del meú de fucioes, se escoge las fucioes fiacieras y allí se busca la fució co el ombre del factor de coversió que se está buscado. E este caso debemos buscar la Fució VF: 25

E este mometo aparecerá el cuadro de diálogo de la fució: Fórmula que se desea aplicar Estos elemeto se explicará más adelate (Por favor déjelos e blaco) Area de explicació de la fórmula Area de explicació de la variable e uso Resultado obteido E el extremo superior izquierdo aparece el ombre de la fució que se va a calcular, e este caso es VF. E los siguietes cuadros se preguta todos los posibles argumetos de la fució, de los cuales llearemos los que era pertietes y los demás los dejaremos e blaco. E este caso teemos Tasa, Nper y VA. E la seguda parte del cuadro siempre aparecerá la iformació de la Fució que se ha llamado y la explicació del argumeto sobre el cual esta ubicado el cursor. Observe que e el cuadro aterior el cursor estaba e VA y por lo tato el segudo párrafo de explicació correspode a la de VA. Por último el cuadro muestra el resultado de la fució, e caso de que o muestre u úmero, sigifica que falta argumetos o que alguo de ellos es icorrecto. El resultado es el mismo que calculamos co la fórmula matemática: Sitaxis de la fórmula 26

El resultado es egativo porque Excel supoe que si al comiezo el flujo de caja es positivo (como se muestra e el gráfico aterior), sigifica que se ha otorgado u préstamo y por supuesto el VF será el pago del préstamo, si por el cotrario, al comiezo se hace ua iversió, al fial del flujo se dará el retoro positivo. Cálculo de VF a partir de ua suma presete co tasa o costate. Este caso ocurre cuado la tasa proyectada para cada periodo es diferete. E realidad esta e uestra opiió es la mas comú de las situacioes e la vida práctica, pues los compoetes de la tasa de iterés la tasa de iterés cambia costatemete y por supuesto esta co ellos. Su fórmula matemática es: [( + i ) * ( 1 + i ) *... * ( i )] * 1 2 VF = VA 1 + 1 ( 7 ) Ejemplo 2.2 Pedro Pablo es u iversioista que quiere colocar hoy ua tasa de $1.000.000 a cico años. Ha estado haciedo averiguacioes y ha cocluido que la tasa de iterés que para este año es del 10% aual, decrecerá u 1% cada año durate su iversió. Cuáto recibirá e cico años? 27

El diagrama de flujo de caja del problema es: VF=? 10% 9% 8% 7% 6% 1.000.000 El plateamieto matemático del problema es: VF = 1.000.000* VF = 1.468.698,26 [(1 + 0,1) *(1 + 0,09) *(1 + 0,08) *(1 + 0,07) *(1 + 0,06) ] Tal como se mostró e la Tabla 3, e Excel el ejercicio se debe resolver usado la fució VF.PLAN, si embargo, alguas fucioes (etre ellas VF.PLAN) que por lo geeral o está cargadas e el programa. Para poder usarlas vaya al meú Herramietas, y seleccioe Complemetos, busque y chulee Herramietas para aálisis 28

Ahora podemos solucioar el problema usado VF.PLAN, esta fució solo tiee dos argumetos: Capital y Serie de tasas, e el primero icluiremos el moto ivertido y e el segudo seleccioaremos el rago de tasas futuras. Observe que o es ecesario icluir los periodos pues Excel lo calcula a partir del úmero de tasas icluidas. Nótese además que esta fució o cambia de sigo como lo hacía VA. 29

Cálculo de VF a partir de ua serie de cuotas uiformes. Recordemos que las cuotas uiformes so ua serie de flujos de caja exactamete iguales durate todos y cada uo de los periodos de la iversió. Su fórmula matemática es: (1 + i ) 1 VF = PAGO * ( 8 ) i 30

Ejemplo 2.3 Carlos Humberto es u padre de familia quiere empezar a ahorrar a partir del próximo mes y durate 6 meses $50.000 para las vacacioes de fial de año, e el fodo de ahorro de su compañía le ha dicho que le pagará u iterés del 2%. De cuáto dispodrá para sus vacacioes? El diagrama de flujo de caja del problema es: VF=? 0 1 2 3 4 5 El plateamieto matemático del problema es: (1 + 0,02) VF = 50.000 * 0,02 VF = 315.406,05 50.000 6 1 E Excel el problema se resuelve de uevo co la fució VF, pero ahora o tedremos VA, sio que úicamete tedremos PAGOS. 31

Observe que el flujo que diseñamos supoe que se empieza a ahorrar o hoy, sio detro de u mes, adicioalmete la persoa tedrá que pagar la última cuota justo ates de que se empiece el viaje. Qué pasaría si e lugar de comezar al fial del primer mes, el señor pagase la primera cuota hoy mismo?. La última cuota se pagaría u mes ates de viajar, de lo cotrario termiaría pagado 7 cuotas e lugar de 6. La etidad podría etregar el diero etoces e el periodo 5 como se muestra e el gráfico: VF=? 0 1 2 3 4 5 50.000 Para la solució de este uevo problema se puede usar el argumeto tipo, dádole valor 1, que sigifica aticipado. 32

Otra opció del mismo problema 2.3, es que la persoa ahorre durate los periodos 0 al 5 (como e el caso aterior), pero que el fodo de ahorro solo etregue el diero e el periodo 6, como se observa e el diagrama: VF=? 0 1 2 3 4 5 50.000 Este plateamieto o se puede solucioar usado ua sola fució o fórmula, por lo que la solució se deberá dividir e dos pasos. E primer lugar calcularemos el VF de ua serie de pagos aticipados, tal como se hizo e el caso aterior, esto os dará el valor ahorrado e el período 5, el segudo paso será pasar ese VF1 al periodo 6, como se muestra e el siguiete diagrama: 33

VF1 VF2=? 0 1 2 3 4 5 50.000 6 La solució de este ejercicio e Excel se dividirá tambié e dos pasos, primero calcularemos el VF de ua serie de pagos uiformes aticipados y después calcularemos el VF a partir de u VA, como se muestra a cotiuació: PASO 1 PASO 2 Cálculo de VF a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Las cuotas o uiformes so ua serie de pagos e los periodos itermedios, e los que los motos difiere e alguo o todos los periodos. Su fórmula matemática es: 34

VF + PAGO 1 t 1 = PAGO1 * ( 1 + i ) + PAGOt * ( 1 + i ) +... + PAGO 1 * ( 1 + i ) Ejemplo 2.4 El 31 de diciembre del 2003 Javier Atoio decidió comezar a ahorrar para su pesió volutaria, para lo cual etregó a WF Ivestmets la suma de U$1.000. Después de hacer cuetas, ecotró que era prácticamete imposible coservar su ivel debido a los mayores gastos e la educació de sus hijos, así que ecotró que su cosigació de cada año dismiuiría e U$100. Si la compañía de iversió obtiee ua retabilidad del 10% aual, Cuáto diero ahorrado tedrá después de hacer su cosigació el 31 de diciembre de 2010? El diagrama de Flujo de Caja del problema sería: VF=? 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 900 800 700 600 500 400 300 La solució matemática es: VF = 1. 0001 ( + 01, ) VF = 8. 800 6 + 9001 ( + 01, ) 5 + 8001 ( + 01, ) 4 + 7001 ( + 01, ) 3 + 6001 ( + 01, ) 2 + 5001 ( + 01, ) + 400 35

Como aotamos e la tabla 3, o existe e Excel ua fució predefiida para este caso, por lo cual debemos costruir uestra fórmula, la cual podría hacerse de la siguiete maera: VF Fórmula usada para llevar el flujo del período 0, al periodo 1 Fórmula usada para llevar el flujo de períodos itermedios hasta el fial de la iversió. E la celda B6 aparece la fució icluida e la celda B5. Allí se calcula el VF (hasta el periodo 1) de la iversió de mil e el periodo 0, de esta maera el resultado obteido queda e el mismo periodo del flujo de 1 y puede ser sumado, lo cual se hace e la celda C6. La expresió (-C3+B5) está haciedo la operació [-(-900)+1.100] y después lleva este resultado al período 2 al multiplicarlo por uo mas la tasa. La fórmula que se muestra e C6 puede ser copiada hasta períodos, co lo cual se hace meos egorroso el cálculo. Esta formulació además permitiría calcular el VF au co tasas diferetes para cada periodo. 36

2.2. Valor Presete (VP) Es u igreso o egreso e el mometo e el presete, o al comiezo o iicio de la iversió. Se puede calcular a partir de ua suma futura, ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. Es decir, ates de saber la fórmula correcta para el cálculo se debe revisar si se cumple o o los siguietes supuestos: Tabla 4. Opcioes para el calculo del Valor Futuro Cálculo de VP a partir de: Pagos uiformes Períodos iguales Tasa costate Fórmula Fució e Excel Ua suma futura Ua suma futura Cuotas uiforme Cuotas NO uiforme Cuota NO uiforme Cuota NO uiforme N.A.: No aplica VF N.A. SI SI ( 1 + i ) N.A. SI NO VF [ + i ) * ( 1 + i ) *... * ( 1 + i )] ( 1 1 2 SI SI SI ( 1 + i ) 1 PAGO * i ( 1 + i ) NO SI SI PAGO1 PAGOt PAGO PAGO 1 + +... + + 1 2 1 ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) PAGO1 PAGO2 + ( 1 + i ) ( 1 + i ) * ( 1 + i ) +... NO SI NO 1 [ ] PAGO 1 [( 1 + i ) * ( 1 + i ) *...( 1 + i )] 1 PAGO +... [( 1 + i ) * ( 1 + i ) *...( 1 + i ) + ( 1 + i )] 1 2 2 1 2 1 1 VA No existe VA VNA No existe NO NO SI VNA.NO.PER 37

Cálculo de VP a partir de ua suma futura Su fórmula matemática es: VF VP = ( 1 + i ) Ejemplo 2.5 Cuáto tedrá que ahorrar hoy Cesar Augusto, si ecesita recibir $2.000.000 detro de u año, si e su etidad le paga ua tasa del 2% mesual?. El diagrama de flujo de caja del problema es: $2.000.000 i=2% 0 12 VA=? El plateamieto matemático del problema es: VP = 2. 000. 000 ( 1 + 2%) = 1. 402. 759 72 12, Ahora resolvamos el problema usado Microsoft Excel. La fució e Excel es VA, y como ya explicamos e el umeral 2.1 paso a paso el procedimieto para el uso de las fucioes de Excel, mostraremos la solució de maera resumida: 38

Cálculo de VP a partir de ua suma futura co tasa o costate. Este caso ocurre cuado la tasa proyectada para cada periodo es diferete. E realidad esta e uestra opiió es la mas comú de las situacioes e la vida práctica, pues los compoetes de la tasa de iterés la tasa de iterés cambia costatemete y por supuesto esta co ellos. Su fórmula matemática es: 39

VP = VF [ + i ) * ( 1 + i ) *...* ( 1 + i )] ( 1 1 2 Ejemplo 2.6 Gladys Maria de las Mercedes es ua madre de familia muy preocupada por la educació de su hija Laura Catalia. Ha estado pesado e empezar a asegurar su educació ahorrado ua suma que alcace a pagar el valor de la matricula del primer semestre de Uiversidad, el cual ella estima estar alrededor de los 15 milloes de pesos e 5 años. Como es ua persoa muy bie iformada de la situació del mercado de capitales, cosidera que las tasas de iterés para los próximos cico años se comportará de la siguiete maera: Año 1 2 3 4 5 Tasa 12% 12,5% 13% 14% 10% El diagrama de flujo de caja del problema es: 15.000.000 VP=? 12% 12,5% 13% 14% 10% El plateamieto matemático del problema es: VP = [( 1 + 0, 12) * ( 1 + 0, 125) * ( 1 + 0, 13) * ( 1 + 0, 14) * ( 1 + 0, 1) ] VP = 8. 401. 266 15. 000. 000 40

E Excel o existe ua fució que resuelva el problema directamete, así que es ecesario hacer ua solució paso por paso. Observe que el deomiador de la fórmula es la productoria de las tasas de iterés sumadas co uo, esto sigifica que el primer paso podría ser sumar uo a cada ua de las tasas de iterés: Ahora, para termiar el deomiador de la fució debemos multiplicar los factores, esto se puede hacer co la fució PRODUCTO, e esta fució seleccioamos e Número1 todo el rago de valores a multiplicar: 41

B4:F4 Ya completado el deomiador, simplemete se tiee que dividir la suma futura etre el resultado arrojado e el deomiador. =B1/B5 Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas uiformes. Recordemos que las cuotas uiformes so ua serie de flujos de caja exactamete iguales durate todos y cada uo de los periodos de la iversió. Su fórmula matemática es: 42

VP ( 1 + i ) 1 PAGO * i ( 1 + i ) = Ejemplo 2.7 Erasmo, u igeiero cotratista, sabe que los gastos mesuales de su familia asciede a $2.800.000. Como acaba de gaar ua licitació, quiere coocer cuál es el valor que debe cosigar hoy e el baco Megalómao para cubrir los egresos familiares durate 6 meses. Megalómao paga ua tasa de iterés del 0,8% mesual. El diagrama de flujo de caja del problema es: 2.800.000 0 1 2 3 4 5 6 VP=? El plateamieto matemático del problema es: 6 ( 1 + 0, 008) 1 VP = 2. 800. 000 * 6 ( 1 0, 008) i + VP = 16. 339. 457 E Excel el problema se resuelve de uevo co la fució VA: 43

Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas o uiformes Las cuotas o uiformes so ua serie de pagos e los periodos itermedios, e los que los motos difiere e alguo o todos los periodos. Su fórmula matemática es: VP PAGO PAGO PAGO PAGO + ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) = 1 t 1 + +... + 1 2 1 44

Ejemplo 2.8 A Jua Felipe le ha ofrecido que le etrega cuado se pesioe ciertos motos para su subsistecia, Juaita, aalista de WF le ha explicado que las persoas requiere de mayores igresos cuado recie se pesioa y va bajado a medida que evejece, por eso, WF ha diseñado u pla pesioal que cubre estas ecesidades. A Jua Felipe le ha eviado el siguiete cuadro que muestra los pagos que le realizará e cada uo de los períodos. Si tiee ua tasa de descueto del 15% aual. Cuáto sería lo máximo que debería ivertir e el pla pesioal?. Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo 0 0 0 0 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VP=? El diagrama de Flujo de Caja del problema sería: La solució matemática es: VP = 100 + 95 + 90 5 6 7 8 9 ( 1 + 0, 15) ( 1 + 0, 15) ( 1 + 0, 15) ( 1 + 0, 15) ( 1 + 0, 15) ( 1 + + 85 + 80 + 75 0, 15) 10 Para la solució e Excel se debe utilizar la fució VNA, que trae a valor presete cuotas o uiformes y se usa de la siguiete maera: 45

La fució, aplicada e la celda B4, requiere la tasa de descueto (tasa) y el rago de valores desde el período 1 hasta el último, subrayamos que es desde el periodo 1 y o se puede icluir detro del rago valores ubicados e el período cero, pues calcularía el valor presete del período (-1). Otra característica de esta fórmula es que se puede meter los valores uo a uo, caso e el cual la fució creará casillas para icluir más cuotas, o se puede icluir u rago de fila o columa tal como lo hicimos aquí. Debemos aotar tambié que se debe teer sumo cuidado co los ragos itermedios e dode o existe flujo de caja (e este caso los periodos 1 al 4 e dode o existe i igresos i egresos), e estos se debe poer cero, de lo cotrario Excel asumirá que o existe el periodo. Observe el resultado que mostramos e el siguiete gráfico e dode hemos elimiado los ceros de los períodos 1 al 4. 46

Observe que el resultado de la fórmula cambió, el resultado ahora es exactamete el mismo que si lleva las cuotas del periodo 5 e adelate, al periodo 4. Cálculo de VP a partir de ua serie de cuotas o uiformes y tasa o costate PAGO1 PAGO 2 PAGO 1 PAGO VP = + +... + + ( 1 + i 1) 1 2 1 2 1 1 2 1 [( 1 + i ) * ( 1 + i )] [( 1 + i ) * ( 1 + i ) *...( 1 + i )] [( 1 + i ) * ( 1 + i ) *...( 1 + i ) + ( 1 + i )] E muchas ocasioes, pricipalmete cuado se hace evaluació fiaciera de proyectos, se debe calcular valores actuales co estas características, esto supoe u problema e la catidad de cálculos ecesarios, el cual trataremos de simplificar usado la hoja de cálculo. Ejemplo 2.9 La compañía FANATER está pesado e comprar u uevo microbús, el cual ofrece los igresos que se muestra a cotiuació. FANATER, cosidera que su tasa de descueto aumetará e los próximos años como resultado del icremeto del redimieto de los títulos del tesoro de los Estados Uidos, y se comportará de la siguiete maera: Año 1 2 3 4 Igresos 300 400 500 600 Tasa 15% 16% 18% 20% FANATER quiere coocer a cuáto equivale sus igresos e térmios de valor actual. 47

El diagrama de Flujo de Caja del problema sería: VP=? 300 400 500 600 15% 16% 18% 20% La solució matemática es: 300 VP = + ( 1 + 0, 15) VP = 1. 196 400 + 500 [( 1 + 0, 15) * ( 1 + 0, 16) ] [( 1 + 0, 15) * ( 1 + 0, 16)* ( 1 + 0, 18) ] [( 1 + 0, 15) * ( 1 + 0, 16)* ( 1 + 0, 18) * ( 1 + 0, 2) ] + 600 Auque Excel o tiee ua fució específica para este problema, si se puede simplificar el cálculo reexpresado la fórmula de la siguiete maera: VP = 600 500 + ( 1 + 0, 2) 400 + ( 1 + 0, 18) 300 + ( 1 + 0, 16) ( 1 + 0, 15) Co esta reexpresió de la fórmula lo que hacemos es empezar a resolver la ecuació desde los periodos más cercaos, hasta los mas cercaos a cero, esto e Excel sigifica que se costruye la fórmula e el último período y se copia hasta el cero de la siguiete maera. Observe que e la celda E4 se ha costruido ua fórmula cuyo umerador suma lo que viee de los periodos posteriores (F4) más el flujo del año, y e el 48

deomiador lo descueta a la tasa del año. Cuado se copia esta fórmula para los periodos ateriores (1 al 3) se va logrado el efecto acumulativo que buscábamos, de forma que la fórmula calculada e el periodo uo, obtiee Solució realmete el valor presete del periodo cero. 49

2.3. Ejercicios 1. Jua acaba de gaar ua demada por icumplimieto de u cotrato de costrucció por parte de la ciudad. El valor del cotrato hace 18 meses era de $158.000 y el juez determio que se le debe recoocer itereses del 2% mesual. Cuáto deberá reclamar Jua que le pague e la tesorería distrital?. 2. Cuáto tedrá que ahorrar hoy Clarita, si ecesita recibir $2.000.000 detro de u año, si e su etidad le paga ua tasa del 2% mesual?. 3. Cuál es el valor futuro de u ahorro de $130, hecho e ua etidad que paga las siguietes tasas de iterés: Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Periodo 6 10% 12% 16% 13% 18% 11% 4. Do Pepe quiere comprar u apartameto pero o tiee la cuota iicial, así que plaea abrir co su salario del próximo mes ua cueta e el baco para ahorrar e cada uo de los próximos 36 meses ua cuota de $200.000. De cuáto podrá ser valor de la cuota iicial, si la tasa de iterés que ofrece el baco es del 1,5% mesual?. 5. E cuáto se debe comprar u boo cero cupó, co valor omial de $1.000, co plazo de tres años, si se quiere teer ua retabilidad del 10% aual? 6. A Maria Teresa le acaba de ofrecer que le paga hoy las 6 cuotas de $100.000 que le debe. Si la tasa de iterés a la cual fue pactado el préstamo es del 1% mesual Cuáto le debe pagar?. 50

7. Iva Darío esta estudiado la posibilidad de comprar co sus amigos u carro de perros calietes. Este egocio puede producir utilidades por $100.000 e el primer mes, $120.000 e el segudo mes, $180.000 e el tercer mes, $200.000 e el cuarto mes. Como él tiee su diero ivertido e u CDT que le paga el 0,5% mesual, quisiera saber a cuato equivaldría hoy estos flujos mesuales. 8. Cuáto se deberá pagar por u boo cuyo valor de emisió fue de 100 y que paga u cupó del 15% aual durate 6 años, si se quiere obteer ua retabilidad del 12% aual? si se desea ua retabilidad del 18% aual?. Cuáto sería el descueto e cada uo de los dos casos? 51

3. Tasas Equivaletes Hasta ahora solo hemos estudiado casos dode el flujo de diero ecaja correctamete co el período e el que esta expresada la tasa. Si embargo e muchas ocasioes las tasas y los flujos de diero o coicide, por ejemplo, cuado vamos a abrir u CDT a 3 meses, os iforma la tasa que os pagaría si ivirtiéramos a u año. E estos casos es ecesario poder maipular las tasas para saber cuato os va a dar realmete. No sobra mecioar que la tasa que os pagará o es simplemete la aual dividida etre cuatro. Más adelate explicaremos esto co mayor deteimieto. 3.1. Itereses aticipados y vecidos Los itereses se puede pagar al comiezo o al fial del periodo, auque iteracioalmete o es muy comú que se pague de la primera forma, e Colombia, se usa cotiuamete los dos formatos. El iterés aticipado se ocasioa cuado los itereses se paga al comiezo del periodo. I VA VA Por su parte, el iterés vecido se ocasioa co el pago de itereses al fial del periodo. 52

I VA VA Para eteder la relació etre estos dos tipos de iterés recurriremos a u ejemplo secillo: Ejemplo 3.1 A algua empresa le acaba de pagar ua factura por $400.000 co u cheque posfechado a u mes. Como la empresa ecesita urgetemete el diero, decide recurrir a los servicios de u prestamista que etre sus actividades tiee el cambio de cheques posfechados. El prestamista, gustosamete cambia el cheque y le etrega a Agricol $380.000, pues cobró los itereses (5%) por adelatado. Cuál es el costo de este crédito? A primera vista, podríamos decir que fue del 5%, si embargo, detegámoos u poco más e el problema. El diagrama de flujo de caja del prestamista es: $400.000 0 1 $380.000 Este señor ivierte 380.000 para gaar detro de u mes 400.000, si calculamos la tasa de iterés, retomado la fórmula (1) 53

VF 400 000. i = 1 = 1 = 0 0526, VA 380 000. ó 5,26% Qué paso co el 5% del que habíamos estado hablado? Cuado trabajamos co iterés aticipado hay ua dismiució de la iversió, por lo que la retabilidad de la iversió aumeta. Observe que si hubiésemos hecho el mismo ejercicio pero co ua iversió de 400.000 y u igreso de 420.000 la retabilidad hubiese sido del 5%, pero al dismiuir la base del cálculo de 400.000 a 380.000, los itereses de 20.000 pasa a ser el 5,26% de la iversió. Lo aterior os muestra que hay ua relació etre el iterés aticipado y el iterés vecido. Es decir u 5,00% aticipado es equivalete a u 5,26% vecido. Matemáticamete podríamos decir que: i a i v = 1 i a 0, 05 = = 0, 0526 1 0, 05 De maera aáloga podremos decir que: iv i a = 1 + i v 0, 0526 = = 0, 05 1 + 0, 0526 Por último queremos señalar que la retabilidad o tasa de iterés del ejercicio 3.1 es 5,26%, uca 5%. De hecho, el iterés aticipado tiee u problema coceptual, recordemos que ua iversió es u sacrificio de recursos hoy, co la esperaza de recibir u beeficio e el futuro. Si os deteemos a pesar el mometo e el que se paga los itereses, o tiee mucho setido que me etregue beeficios hoy, pues acordémoos que habíamos dicho que el diero solo tiee setido como recurso cuado se puede teer por periodo de tiempo, y e el caso de los itereses aticipados, estos se paga ates de teerlos u 54

tiempo, co lo cual se geera ua cotradicció, por eso hecho su uso es cada vez más escaso. Ejemplo 3.2 Ua compañía de Leasig a empezado a comercializar su uevo producto Supercarro. Co este producto, la persoa recibe u vehículo si cuota iicial, y paga u arredamieto mesual aticipado, cuyo costo será del 1% mesual. Calcule el costo del crédito e térmios vecidos. El costo sería de: mesual vecido. 3.2. Tasas omiales y efectivas La diferecia etre las tasas efectivas y omiales, surge cuado se pacta ua tasa de iterés para u periodo de tiempo determiado (Ej. Años) pero los itereses se liquida e lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de iterés omial se ocasioa cuado los periodos de pago de itereses so fraccioes del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de iterés efectivas so el recoocimieto a la capitalizació de itereses que ocasioa ua tasa de iterés omial. Explicaremos esto co u ejemplo secillo: 55

Ejemplo 3.3 La señora Pepita tiee $1.000.000 para ivertir por u año.por lo cual ha llamado a su asesor de la etidad fiaciera Megalómao, y este le ha ofrecido dos opcioes: Opció uo: Ivertir e u CDT a u año, co ua tasa del 24.63% aual, e el cual que le paga itereses cada trimestre vecido. Opció dos: Ivertir el milló e u CDT a u año co ua tasa del 24.14% aual, que le paga el itereses cada mes vecido. Cuál de las dos opcioes debe escoger doña Pepita? Primero observemos los diagramas de flujo de caja de las dos opcioes: Opció 1: 24, 63% = 6, 16% * 1. 000. 000 = 61. 576 4 61.576 61.576 61.576 1.000.000 61.576 1 2 3 4 1.000.000 i = 24,63% aual 24. 14% = 2, 01% * 1. 000. 000 = 20. 118 12 1.000.000 20.118 Opció 2: 1 2 3 4 1.000.000 i = 24,14% aual 56

Observe que los dos flujos o so comparables porque cada uo tiee pagos e diferetes períodos de tiempo. Etoces qué podemos hacer?. Ua alterativa sería, dado que los dos flujos so a u año, supoer que la señora o recibe los itereses e iguo de los trimestres o meses y por lo tato los itereses quedaría capitalizados a la misma tasa a la que iicialmete fue puesto el diero. Es decir, todos los flujos sería llevados a VF a la tasa pactada iicialmete: 3 VF = 61. 576 * ( 1 + 6, 16%) 73.665 2 VF = 61. 576 * ( 1 + 6, 16%) 69.392 VF = 61. 576 * ( 1 + 6, 16%) 65.367 61.576 270.000 61.576 61.576 61.576 1.000.000 1.000.000 1 2 3 4 Como puede observar cambiamos u flujo que estaba partido a la mitad, por uo e el que solamete hay ua iversió y u igreso al fial del año. 1.270.000 1 1.000.000 57

Si calculamos la retabilidad que podría obteer la señora al fial del año, siempre y cuado capitalice todos los igresos hasta el fial de la vida del CDT y que Megalómao sostega siempre la misma tasa de iterés para la reiversió de itereses, sería: VF 1. 270 000. i = 1 = 1 = 0 27, ó 27% VA 1. 000 000. Hagamos ahora lo mismo co la opció dos: Si doña Pepita reivirtiera todos los itereses a la tasa pactada iicialmete, las dos opcioes sería iguales. E este ejemplo maejamos tres tipos de tasas que so para la opció 1: 24,63%. Esta tasa es ua omial 6,16%. Que es ua tasa periódica 27%. Es la tasa Efectiva. Estudiemos ahora estos tres tipos de tasas: 58

Tasa de iterés efectiva La tasa efectiva es precisamete aquella a la que se llega cuado se capitaliza los itereses pagados a la misma tasa a la cual se pactó el egocio al comiezo del período. Observe que por su misma defiició o puede existir ua tasa efectiva aticipada, pues los itereses o estaría capitalizados e el período. Su fórmula matemática es: i i o mial _ vecido 1 + 1. efectivo = O partiedo de la tasa periódica: i efectivo = ( 1 + i ). periodico _ vecido 1 Calcule la tasa de iterés efectiva de la iversió de doña Pepita a partir del 24,63%: Elimiado: <sp> Ahora por favor calcule la efectiva a partir de la tasa periódica: 59

Tasa de iterés omial Es ua tasa pactada para u período, pero los itereses se paga e períodos meores al pactado e la tasa. Su fórmula matemática es: i * = o mi al [ ( 1 + i efectivo ) 1] O partiedo de la tasa periódica: i o mi al = i periodico * Nomeclatura de las tasas omiales Ua de los mayores cuidados que debemos teer cuado trabajemos co tasas omiales es darles el ombre apropiado a cada ua de ellas. Usado como ejemplo la tasa omial del caso aterior, podríamos decir que el 24,63% es ua tasa Nomial Aual trimestre vecido 24.63% NOMINAL ANUAL TRIMESTRE VENCIDO Advierte que los periodos de pago de itereses so meores que el período e el que se pactó la tasa de iterés Idica el periodo al cual fue pactada la tasa de iterés 60 Se refiere a los períodos de pago de itereses Muestra si la forma de pago es aticipada o vecida

E la práctica, muchas veces se omite alguos de estos térmios y simplemete se le llama 24,63% T.V. pues se asume que si se especifica el periodo de liquidació de itereses, la base de la tasa es u año y se trata de ua tasa omial. Calcule la tasa de iterés omial aual semestre vecido de la iversió de doña Pepita a partir del 27%EA: Elimiado: <sp> Ahora por favor calcule la tasa N.A.T.V. a partir del 6,11% periódico: Tasa de iterés Periódica La tasa de iterés periódica es la tasa pactada para u periodo. Es l más comú de todas, siempre que hablamos del 2% mesual, del 25% aual estamos hablado de ua tasa periódica. E uestro cocepto es la más importate de 61

todas porque co ella se calcula los flujos de caja. Observe e el ejemplo de Doña Pepita que el valor de los itereses fue calculado co la tasa periódica. Su fórmula matemática es: i ( 1 + i ) 1 periodico = efectivo O partiedo de la tasa omial: i periodico i = o mial Calcule la tasa de iterés periódica mesual de la iversió de doña Pepita a partir del 27%EA: Ahora por favor calcule la tasa periódica a partir del 24,14% NAMV. 62

Relació etre las tasas efectivas, omiales y periódicas La utilidad de poder establecer ua relació etre las diferetes tasas de iterés es poder establecer equivalecias que permita cambiar tasas de u periodo a otro de maera que pueda ser armoizadas co los tiempos de los flujos de caja. Es importate que se determie la relació etre las tasas y los flujos, esta puede ser: La tasa determia el flujo: E este caso, la tasa explica la forma de pago de los itereses. Por ejemplo, u boo que paga ua tasa del 24%NAMV, supoe que los itereses será pagados cada mes y de forma vecida. E este caso o se requiere hacer igua coversió de la tasa. La tasa o cocuerda co los periodos del flujo: E alguas ocasioes las tasas o so compatibles co el periodo del flujo y por lo tato hay que covertirla para que se ajuste a este. Por ejemplo e Colombia la tasa referecia DTF es por su defiició TA, y si se usa para u CDT a u mes, se requerirá usar ua tasa mesual y o trimestral. E realidad hay muchas formas de covertir tasas, cada procedimieto se podría hacer de muchas formas, si embargo, osotros acosejamos usar ua sola Efectiva Tasa.omial * 1 ( 1+ ) 1 i ef i 1 + om 1 It.efectivo Nomial vecida i om Periódica forma de coversió que permita mecaizar u procedimieto secillo. Gráficamete las coversioes so las siguietes: [ i per * ] iv ia = 1+ i ) i V ( v ia = 1 i ) ( a Aticipada Vecida 63

Observemos co u ejemplo umérico cómo usar este procedimieto, al covertir ua tasa efectiva aual a ua omial aual trimestre aticipado: i om 1 * ( 1+ i ) ef 1 27% 24,63% 6,16% iv ia = ( 1+ v) i 23,20% [ i per *] 5,80% Lo aterior tambié podría usarse de maera cotraria, es decir, si os devolviéramos por el mismo camio podríamos buscar ua tasa EA a partir de ua NATA. Cuado se hace estas coversioes es ecesario seguir alguas reglas: NUNCA divida ua tasa Efectiva. Si Usted divide la tasa del 27% etre cuatro, o logrará uca obteer el 24,63% NUNCA Multiplique ua tasa de omial: La relació etre las tasas omiales y efectivas o so i productos o divisioes. SIEMPRE que multiplique ua tasa, el resultado será ua omial SIEMPRE que divida ua tasa omial el resultado será ua tasa periódica: Tega cuidado, las tasas omiales solo se puede dividir etre el úmero de periodos de los itereses para los cuales fue calculada. Es decir ua tasa NATV solo se puede dividir etre 4 y ua tasa NASV solamete se podrá dividir etre 2. NUNCA divida ua tasa periódica. Si Usted desea covertir el 6,16% trimestral e ua tasa mesual o la puede dividir etre tres. 64

La fucioalidad de las tasas efectivas La última regla para la coversió de las tasas propoía que o se puede dividir las tasas periódicas y que si se multiplica los resultados será omiales, etoces qué hacemos cuado queremos covertir por ejemplo u 6,16% trimestral e ua tasa mesual o semestral? E estos casos se ecuetra la utilidad de las tasas efectivas, estas so u puete para cuado se decide cambiar de u periodo a otro, ellas os permite pasar de ua tasa trimestral a ua mesual o viceversa. Períodica TV Efectiva La tasa efectiva es u puete que permite cambiar tasas de u período a otro MV SV AA TA Ua tasa efectiva os permite etoces hacer múltiples coversioes a diferetes tipos de periodos. 65

24,14% NAMV =4 24,63% NATV 27,00% E. A. = 12 = 2 = 6 25,39% NASV = 1 24,38% NABV 27,00% NAAV Ejercicios 1. Muestre por favor cuáto diero puede prestar realmete ua persoa que tiee $1.000.000 y cobra al 3% aticipado. Valor que supuestamete presta Itereses que cobra por aticipado Valor que Valor que recibe realmete etrega al fial del mes Totales Calcule la retabilidad que geeró el egocio 66

E otras palabras, u 3% aticipado es equivalete al % vecido 2. Por favor complete el siguiete cuadro de tasas aticipadas y vecidas equivaletes: TASAS EQUIVALENTES ANTICIPADAS VENCIDAS DIFERENCIA 1,00% 1,01 0,01% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 3. Usted ivierte $10.000.000 e u CDT, a u año que le paga el 1% bimestral. Cuáto tedrá al fial del año, si o recoge los redimietos, sio que mas bie los reivierte a la misma tasa que le ofreciero iicialmete? 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 0 1 2 3 4 5 6 10.000.000 TOTAL - La retabilidad bimesual es ó Cada bimestre Nombre técico 10.000.000 Lo que recibiría si retirara los itereses mesuales es ó Cada año Nombre técico 10.000.000 67 Lo que efectivamete recibió capitalizado los itereses fue ó Cada año Nombre técico 10.000.000

4. Ua compañía de Leasig acaba de etregar u vehículo co tasa del 36% Efectiva aual A qué tasa Nomial Aual Trimestre aticipado correspode este crédito? 36,00% Tasa.omial * i ef 1 ( 1+ ) 1 i om iv ia = 1+ i ) ( v [ i per * ] 5. A qué tasa efectiva aual correspode ua iversió que se realiza al 24% N.M.A.? It.efectivo i 1 + om 1 i per * 24,00% i om ia iv = 1 i ) ( a 6. Calcule las tasas omiales equivaletes al 25% N.A.M.V. 68

NAMV = 25,00% NAMV E. A. = 12 = 2 = 6 NASV = 1 NABV NAAV 7. Por favor complete la siguiete tabla: EA NASA NATV NAMV NAAA Semestral vecida Trimestral aticipada Mesual aticipada Aual vecida 20% 18% 15% 10% 23% 5% 2% 1% 25% 69

4. Tablas de amortizació Las tablas de amortizació describe el pla de pagos (comportamieto mesual) de u crédito, e térmios del valor adeudado, la cuota cacelada, y su distribució etre aboos a capital e itereses. Estas tablas so muy importates porque muestra cómo se distribuye la cuota, que parte de esta se dedica al pago de itereses y cual se costituye como amortizació de capital. Adicioalmete se puede observar e ellas cómo se va dismiuyedo el moto adeudado hasta que llega a cero. 4.1. Compoetes de ua tabla de amortizació. Saldo Iicial: Es el valor adeudado al comiezo del período. E el primer período es el valor del crédito y de allí e adelate es el mismo saldo fial del período aterior. Itereses: So el costo que se paga por teer el capital e el periodo. O e otras palabras, lo que cobra el baco por prestar el diero. Se calcula multiplicado el saldo 4 del crédito por la tasa de iterés. Aboo a capital: Es el moto e el que se dismiuye la deuda. Cuota: Es el valor total que se paga, icluidos tato los itereses como el aboo a capital. Saldo fial: Es el saldo del crédito después de haber aplicado la cuota. Se calcula como el saldo iicial meos el aboo de capital. 4 Será el saldo iicial cuado se trate de pagos vecidos y el saldo fial cuado se trabaje pagos aticipados. 70

4.2. Tipos de tablas de amortizació Observe por favor que e el umeral aterior o se defiió la forma de cálculo i de los aboos a capital i de las cuotas. Esto se debe estos cambiará depediedo de la forma de amortizació elegida. Se podría decir e geeral que hay dos formas básicas de pagar u crédito: Cuado se decide el moto de la cuota y cuado se decide el moto del aboo a capital. DOS FORMAS DE DEFINIR EL PAGO DE CREDITOS Se decide el moto de la CUOTA o PAGO Se decide el moto del Aboo a Capital 4.3. Tablas de amortizació cuado se defie la cuota E este caso se decide sobre el moto total a pagar, como cosecuecia lo que se aboa a capital será simplemete la diferecia etre el valor pagado y los itereses. E este esquema se puede determiar cuotas uiformes o cuotas variables. E geeral la estructura de ua tabla de amortizació cuado se defie la Cuota es: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial Depede si Cuota meos por la tasa de es fija o itereses iterés variable. 71 Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital

Tablas de amortizació co cuota fija Esta es ua de las formas más comues de liquidació de los créditos, cosiste e que se paga ua suma fija durate todos los periodos de duració del crédito. Para calcular la cuota uiforme se utiliza la siguiete fórmula: PAGO i ( 1 + i ) VA ( 1 + i ) 1 = La tabla de amortizació queda diseñada de la siguiete maera: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial Cuota meos por la tasa de itereses iterés i ( 1 + i ) PAGO = VA ( 1 + i ) 1 Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital Ejemplo 4.1 Ua persoa ha pagado ua compra de u milló de pesos co tarjeta de crédito, y ha diferido el pago a 6 cuotas. Sabiedo que la etidad fiaciera cobra itereses del 1% mesual, Calcule el valor de la cota mesual y la tabla de amortizació de este crédito. El diagrama de flujo de caja del problema es: 1.000.000 0 1 2 3 4 5 6 CUOTA =? 72

El valor de la cuota mesual se calcula de la siguiete maera: PAGO = 6 0, 01( 1 + 0, 01). 000. 000 = 172.548,37 ( 1 + 0, 01) 1 1 6 E Excel debemos usar la fució PAGO. La tabla de amortizació del crédito es: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota Saldo fial 0 1.000.000 1 1.000.000 10.000 162.548 172.548 837.452 2 837.452 8.375 164.174 172.548 673.278 3 673.278 6.733 165.816 172.548 507.462 4 507.462 5.075 167.474 172.548 339.988 5 339.988 3.400 169.148 172.548 170.840 6 170.840 1.708 170.840 172.548 0 73

Para costruir la tabla de amortizació e Excel debe primero armar el ecabezado de la tabla y el úmero de períodos. Cuado las tablas de amortizació tiee muchos periodos, es ecesario usar herramietas para poder poer rápidamete el úmero de los periodos, por lo que se debe señalar la celda dode esta el periodo 0, y después arrastrarla co el rató, tomádola del cuadro que aparece e el borde iferior derecho de la celda y oprimiedo siempre al mismo tiempo la tecla Cotrol, si se hace de maera correcta aparecerá a medida que va arrastrado el úmero que quedará e la celda. Cuado llegue al último periodo suelte primero el botó del rató y después la tecla Cotrol. 74

Este pequeño sigo de adició aparecerá siempre que tega oprimida la tecla Cotrol Número del período Después se costruye la primera líea de la tabla, debe teer cuidado co aquellas celdas que so fijas, tal como se muestra e el siguiete gráfico: 75

Después se seleccioa toda la fila desde el saldo iicial hasta el saldo fial y se copia las fórmulas oprimiedo doble clic e el cuadro iferior derecho de la selecció: Ejemplo 4.2 Ua persoa acaba de solicitar u préstamo por $200.000 a 6 meses a ua tasa de iterés mesual del 2%. Calcule el valor de la cota mesual y la tabla de amortizació de este crédito. La cuota sería de: 76

El diagrama de flujo de caja del problema sería: Elimiado: <sp> 0 1 2 3 4 5 6 77

Y la tabla de amortizació del crédito quedaría de la siguiete maera: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota Saldo fial 0 200.000 1 2 3 4 5 6 Tablas de amortizació de cuota fija cuado se tiee tasas variables Como mecioamos ateriormete, la tasa de iterés varía a través del tiempo, esto supoe u riesgo que debe ser asumido por algua de las dos partes. Cada vez más, quie asume el riesgo es el que recibe el crédito. Esto supoe e pricipio que la cuota o puede ser costate, pues para ello se tedría que coocer co exactitud las tasas futuras. Si embargo, se puede costruir tablas de amortizació co cuotas fijas hasta el peúltimo período, ajustado el error acumulado e el último período. Ejemplo 4.3 Se compró u carro co u préstamo de $1.000.000 a 6 meses. La tasa de iterés al iicio del crédito fue del 1%, pero, debido al mayor edeudamieto del gobiero, a teido ua tedecia alcista y se ha comportado como se muestra e la tabla. Costruya la tabla de amortizació del crédito Periodo Tasa 1 1,00% 2 1,10% 3 1,20% 4 1,30% 5 1,40% 6 1,50% 78

Para costruir esta tabla, e primer lugar debemos calcular la cuota uiforme que se usará desde la primera hasta la peúltima cuota, esta se calcula co la tasa de iterés del primer periodo. E este caso es de $172.548. Después se costruye la tabla ormalmete desde el periodo 1 hasta el peúltimo periodo costruir la tabla de la misma maera que lo hicimos ateriormete, la úica diferecia es que los itereses o será multiplicados por ua tasa fija, sio por la tasa de iterés de cada periodo, como se muestra e los siguietes cuadros: 674.115*0,012 El último período, el aboo a capital será igual al saldo fial del peúltimo período y el cálculo de la se redefie como los itereses más el aboo a capital. Aboo a capital más itereses 79

E el segudo caso la persoa defie cuato será lo que aboa a capital, y la cuota será etoces la suma de lo que se decidió pagar Ejemplo 4.4 Alguie está ecesitado u préstamo de $200.000 para salir de vacacioes. E el baco le ha dicho que le presta a ua tasa de DTF + 3% durate 6 meses co cuotas uiformes durate los 6 primeros meses y ua última cuota de ajuste. Costruya por favor la tabla de amortizació del problema. Proyecció de la DTF (T.A.) Periodo Tasa 1 10,00% 2 10,50% 3 11,00% 4 11,50% 5 10,40% 6 10,50% Cálculo de la tasa de iterés periódica Periodo DTF T.A. Putos adicioales 1 10,00% 3% 2 10,50% 3% 3 11,00% 3% 4 11,50% 3% 5 10,40% 3% 6 10,50% 3% Tasa T.A. Tasa E.A. Tasa M.V. La cuota sería de: 80

Y la tabla de amortizació quedaría de la siguiete maera: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota Saldo fial 0 200.000 1 2 3 4 5 6 Tablas de amortizació de cuota ascedete o descedete Hasta hace algú tiempo, el maejo de las cuotas crecietes y decrecietes era bastate complejo dada la gra catidad de fucioes de gradietes (factores costates de variació) que existía. Co la itroducció de las hojas de cálculo esta dificultad quedó superada. La herramieta Buscar objetivo de Excel ayuda a costruir casi cualquier forma de tabla de amortizació, observemos como fucioa: Ejemplo 4.5 Se debe costruir ua tabla de amortizació de u préstamo por $100.000, a 12 meses de plazo y co ua tasa de iterés del 2% mesual, e dode la cuota mesual se debe reajustar e u 5% cada mes. Primero se debe costruir ua tabla de amortizació comú y corriete, co la úica diferecia que el valor de la cuota, o se ha calculado co la fució 81

PAGO, sio que simplemete se escribe cualquier valor. E este caso hemos escrito 100, pero hubiese podido escribir 55, 2.000 o simplemete dejarla e =F53 =E54-D54 =B54*2% Cualquier valor =B54-C54 blaco. Observe que tambié creamos ua columa dode aparece los aumetos (fíjese que esto implica que podríamos teer u aumeto diferete para cada período. Después copiamos las fórmulas costruidas e todas las columas exceptuado la de la cuota. Para fijar el valor de la seguda cuota, se debe teer e cueta que esta debe ser u 5% superior que la primera, esto, e térmios matemáticos se puede expresar como Cuota 2 =Cuota 1 *(1+5%), la tercera cuota debe teer el mismo comportamieto y así sucesivamete, e geeral podíamos decir que Cuota =Cuota -1 *(1+5%). Se costruye etoces la fórmula e Excel y se copia para todo el resto de periodos. 82

Esta fórmula, costruida e el periodo 2 y copiada hasta el periodo 12, os garatiza u aumeto del 5% e el valor de la cuota. El valor del saldo fial del último periodo debe ser igual a cero. Observe que el saldo fial del periodo 12 es positivo, eso sigifica que todavía o se ha termiado de pagar el capital. Si por el cotrario, este valor fuese egativo, sigificaría que hemos pagado más de lo que adeudábamos. Tambié se puede ecotrar que los aboos a capital so egativos, esto sucede porque lo que se está pagado como cuota o alcaza siquiera a cubrir los itereses, y co el sistema de iterés compuesto, la parte que queda si cubrir se va capitalizado y aumetado el saldo fial. EL siguiete paso etoces es ecotrar u valor de la primera cuota que haga que el saldo fial del período 12 sea cero. Este es u procedimieto que Excel puede hacer muy rápidamete co la fució Buscar objetivo. Nuestro objetivo 83

es que la celda F65 (argumeto: Defiir la celda) sea cero (argumeto: Co el valor), y para lograrlo debemos modificar la celda E54 (argumeto: Para cambiar la celda). Al aceptar, Buscar objetivo resolverá el problema iterado hasta que se halla satisfecho satisfecho las codicioes. Después de ecotrar la solució, la fució mostrará u cuadro de dialogo que aucia que se ha ecotrado ua solució. 84

4.4. Tablas de amortizació co aboo a capital uiforme E este caso se decide sobre el valor e el que se dismiuye el capital, es decir, se determia cuato será el aboo a capital y por lo tato el valor de la cuota será simplemete la sumatoria del aboo a capital y los itereses. E este esquema o se puede determiar cuotas uiformes sio que estas será variables. Por otro lado se podrá determiar si se hace aboos a capital fijos o variables. E geeral la estructura de ua tabla de amortizació cuado se defie la Cuota es: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial Depede si por la tasa de es fijo o iterés variable. Itereses mas aboo a capital Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital 85

Tablas de amortizació co aboo a capital uiforme E este caso se busca dismiuir el moto adeudado e partes iguales durate cada uo de los periodos de pago del crédito. Para calcular el moto del aboo se utiliza la siguiete fórmula: VA ABONO = La tabla de amortizació queda diseñada de la siguiete maera: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial ABONO = por la tasa de iterés VA Itereses mas aboo a capital Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital Ejemplo 4.6 Ua persoa ha solicitado u seiscietos mil pesos a su fodo de empleados, el cual será cacelado e 6 cuotas co aboos a capital uiforme, a ua tasa de iterés del 1% mesual, Calcule el valor de cada uo de los pagos mesuales. 600. 000 El valor del aboo costate será de ABONO = = 50. 000 12 Y la tabla de amortizació quedará costruida de la siguiete maera: Período Saldo Iicial Aboos Itereses Cuota Saldo Fial 0 600.000 1 600.000 50.000 6.000 56.000 550.000 2 550.000 50.000 5.500 55.500 500.000 3 500.000 50.000 5.000 55.000 450.000 4 450.000 50.000 4.500 54.500 400.000 5 400.000 50.000 4.000 54.000 350.000 86

6 350.000 50.000 3.500 53.500 300.000 7 300.000 50.000 3.000 53.000 250.000 8 250.000 50.000 2.500 52.500 200.000 9 200.000 50.000 2.000 52.000 150.000 10 150.000 50.000 1.500 51.500 100.000 11 100.000 50.000 1.000 51.000 50.000 12 50.000 50.000 500 50.500 - Siguiedo los mismos pasos mostrados e la secció Tablas de amortizació co cuota fija, la formulació del primer periodo e Excel quedaría: Los aboos a capital tambié puede ser ascedetes o descedetes, si embargo su costrucció es igual a cuado se trata de cuotas uiformes, de maera que lo ivitamos a cosultar la secció Tablas de amortizació de cuota ascedete o descedete 87

Ejemplo 4.7 Ua persoa ha solicitado u $1.200.000 mil pesos a su fodo de empleados, el cual será cacelado e 6 cuotas co aboos a capital uiforme, a ua tasa de iterés del 1% mesual, Calcule el valor de cada uo de los pagos mesuales. El valor del aboo uiforme sería de: Y la tabla de amortizació del crédito quedaría de la siguiete maera: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota Saldo fial 0 1.200.000 1 2 3 4 5 6 88

5. Ejercicios Itegradores 1. Cuáto se debe pagar por u boo que fué emitido hace 3 años y medio, co u valor facial de $1.000.000, co vecimieto a cico años, que paga ua tasa del 10% TV, si quiero que mi retabilidad sea del 30% EA? 2. Si ua empresa recibe u crédito por $ 50.000.000 y realiza los siguietes pagos trimestrales: Trimestre 1 $ 5.000.000 Trimestre 2 $ 10.000.000 Trimestre 3 $ 15.000.000 Trimestre 4 y 5 $ 20.000.000 Cuál es la tasa efectiva aual que está pagado? 3. ACME S.A. ha emitido boos de deuda a descueto, cuya retabilidad es del 25% aual. Cuáto se tedrá que pagar si el título tiee u valor facial de $1.000 y se redime e 180 días? 4. Do Pedro desea comprar ua casa que vale $200 milloes, de los cuales pagará el 20% e u cuota iicial y el 80% lo obtedrá de u crédito bacario a siete años, a ua tasa del 2% mesual. Do Pedro cosidera que la casa es muy grade, y piesa alquilar el primer piso de su uevo hogar, para pagar co el arredamieto el 50% de la cuota. Do Pedro recibirá el alquiler el primer día del mes, y lo colocará e ua cueta de ahorros que paga itereses del 15% aual. Cuáto debe cobrar Do Pedro de arredamieto? 5. Usted adquiere u vehículo que tiee u valor de $12.000.000 y se le propoe el siguiete esquema de pagos a dos años: 89

- Cuota iicial del 30% - 24 Cuotas uiformes mesuales - 2 cuotas extraordiarias de $500.000 c/u e los meses 12 y 24, adicioales a la cuota mesual. Si el costo del crédito es del 2% mesual. A cuáto ascederá las cuotas mesuales? 6. Calcule el valor de las cuotas del ejercicio aterior, supoiedo que el moto total de las cuotas 12 y 24 es de $500.000. Ua empresa debe cobrar los siguietes valores: $3 milloes de imediato $4 milloes detro de u año $5 milloes detro de tres años $2 milloes detro de cuatro años El deudor, que desea pagar lo más proto posible esta obligació, ofrece el siguiete pla de pagos: $5 milloes de cotado y el saldo a dos años. Calcule el saldo si la tasa de descueto de la compañía es del 16%. 7. Se desea ivetir hoy (3 de marzo de 2001) e u boo que fue emitido el 3 de marzo de 2000, co las siguietes características: - Valor omial: $100.000 - Tasa: Prime + 5% E.A. - Plazo: 5 años - Amortizació: Al vecimieto. Si Ud desea comprarlo hoy, Cuáto sería lo máximo que debería pagar por ese título si su tasa de descueto es del 6% aual?. Tasa Prime 8.75%. 8. Rodrigo es el dueño de ua máquia que vale $1.000.000. Le hace dos ofertas de compra: La primera cosiste e ua cuota iicial de $200.000 y 90

cuatro cuotas iguales cada 3 meses. La seguda cosiste e ua cuota iicial de $300.000 y dos cuotas semestrales. Si su tasa de descueto es del 24% aual mes vecido, Cuáles debe ser las cuotas trimestrales y semestrales, para que las ofertas sea equivaletes? 9. U iversioista ha puesto $1.000 e la bolsa, el primero de agosto del 2001 y obtiee los siguietes resultados: - 01/08/01 compra 50 accioes por $1.000-06/08/01 vede 20 accioes por $350-10/08/01 vede 10 accioes por $300-13/08/01 recibe dividedos por $100-30/08/01 vede 20 accioes por $390 Ayude por favor a este desesperado señor a saber cual fué la retabilidad de esta operació e térmios efectivos auales. 10. U iversioista desea saber cual es la retabilidad e pesos, de u boo que tiee las siguietes características: - Valor omial USD1.000 - Tasa: 8% - Vecimieto: 3 años - Amortizacioes: Al vecimieto - Valor de compra: 98% de su valor omial - Devaluació aual esperada: 10%; TRM $2.000 11. Calcular cuáto recibirá u iversioista, que ivierte $200.000 a diez años, e u título co tasa flotate, si se sabe que la tasa de captació del baco es de 22% aual y se estima que la tasa dismiuirá u 1% los primeros 4 años, y aumetará u 0.3% durate los 6 años siguietes. 91

6. Glosario Aboo a capital: Es el moto e el que se dismiuye la deuda. Boo Yakee: Es u boo soberao de cualquier país, emitido e la Bolsa de Nueva York, de tal forma hay Yakees colombiaos, ecuatoriaos etc. Boo cero cupó: Boo a descueto que se vede al descueto y o tiee cupoes. Boo Soberao: Boo emitido por el gobiero de cualquier país. Boo 5 : Es la promesa de pago que hace ua empresa co la cual se compromete a pagar el valor omial al vecimieto (maduració o redeció) y uos itereses pactados (cupoes) que se paga periódicamete. La firma los puede veder a descueto o o (a descueto sigifica que los vede por meor valor que el omial). Así mismo, puede ofrecer itereses periódicos (cupoes) o o. Cuota: Es el valor total que se paga, icluidos tato los itereses como el aboo a capital. Cuota: Se tiee ua cuota o pago cuado e lugar de pagar la totalidad de la iversió al fializar el plazo, se etrega VARIAS sumas de diero e diferetes periodos de tiempo. Cuotas o uiformes: e el caso e el que los motos etregados difiera e algú periodo. 5 Tomado de Vélez 2004 92

Cuotas uiformes: So cuotas e dode se le etrega exactamete e mismo moto durate todos y cada uo de los periodos, o Cupó 6 : Taló que debe desprederse de u título de accioes para reclamar dividedos, recibir accioes gratuitas o solicitar uevas accioes, o que debe desprederse de u boo al portador para cobrar itereses. Orde presetada para obteer u pago moetario, mercacía o servicio. DTF (Depósito a térmio Fijo): Es el promedio semaal de la tasa de captació de los certificados de depósito a térmio (CDTs) a 90 días emitidos por las etidades de crédito, calculado por la Superitedecia Bacaria. Itereses: So el costo que se paga por teer el capital e el periodo. O e otras palabras, lo que cobra el baco por prestar el diero. Se calcula multiplicado el saldo 7 del crédito por la tasa de iterés. Número de periodos (): Es el tiempo que dura iversió, desde que se iicia hasta que se termia. Tambié se puede iterpretar como el úmero de periodos que separa los valores e el tiempo y a su vez permite hacer las trasformacioes. Pago: Se tiee ua cuota o pago cuado e lugar de pagar la totalidad de la iversió al fializar el plazo, se etrega VARIAS sumas de diero e diferetes periodos de tiempo. E EXCEL pago se etiede como ua suma uiforme que se etrega e todos y cada uo de los periodos e los que esta compuesta la iversió. 6 Tomado del diccioario de térmios de la Superitedecia de Valores 7 Será el saldo iicial cuado se trate de pagos vecidos y el saldo fial cuado se trabaje pagos aticipados. 93

Saldo fial: Es el saldo del crédito después de haber aplicado la cuota. Se calcula como el saldo iicial meos el aboo de capital. Saldo Iicial: Es el valor adeudado al comiezo del período. E el primer período es el valor del crédito y de allí e adelate es el mismo saldo fial del período aterior. Spread: Diferecia de retabilidad aual etre el T Bod y u Yakee. Medida de riesgo usada para calcular riesgo de ua ecoomía específica. Tabla de Amortizació: describe el pla de pagos (comportamieto periódico) de u crédito, e térmios del valor adeudado, la cuota cacelada, y su distribució etre aboos a capital e itereses. Tasa de descueto: Es la tasa que hace equivalete el cosumo de hoy a u cosumo superior detro de u periodo de tiempo. Si se le ofrece a este iversioista ua tasa meor, decidirá cosumir ahora, si por el cotrario, la tasa es mayor, la persoa optará por ivertir. T-Bod (Treasury Bod): So los Boos del Tesoro de Estados Uidos emitidos e la Bolsa de Nueva York. So los equivaletes e el mercado orteamericao de los TES del mercado colombiao. So los títulos de meor riesgo e el mudo. TES (TÍTULOS DE TESORERÍA) 8 : Títulos de deuda pública emitidos por la Tesorería Geeral de la Nació (e pesos, e UVR s - Uidades de Valor Real Costate - o e pesos ligados a la TRM) que so subastados por el Baco de la República. Se caracteriza por ser ua de las mayores fuetes de fiaciació del Gobiero. 8 Tomado del diccioario de térmios de la Superitedecia de Valores 94

Valor actual: Es u igreso o egreso e el mometo e el presete, o al comiezo o iicio de la iversió. Se puede calcular a partir de ua suma futura, ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. Valor futuro: Represeta u solo flujo de diero que se etrega al fial del último período de iversió. Se puede calcular a partir de ua suma presete, ua serie de cuotas uiformes o a partir de ua serie de cuotas o uiformes. Tambié se puede trabajar co tasas de iterés iguales para todos los periodos o co tasas de iterés diferetes e cada uo de estos. 95

7. Resume de fórmulas FACTORES DE CONVERSION Opcioes para el calculo del Valor Futuro Cálculo de VF a partir de: Pagos uiformes Períodos iguales Tasa costate Fórmula Fució e Excel Ua suma presete Ua suma presete Ua cuota uiforme Ua cuota NO uiforme Ua cuota NO uiforme N.A. SI SI *(1 + i VF VA ) N.A. SI NO VA [(1 i ) *(1 + i ) *...*(1 + i )] * 1 2 + VF.PLAN (1 + i ) 1 SI SI SI PAGO * VF i 1 t PAGO1 * ( 1 + i ) + PAGOt * ( 1 + i ) +... NO SI SI No existe 1 PAGO 1 * ( 1 + i ) + PAGO PAGO1 * [( 1 + 1 i ) * ( 1 + i 2) *... * ( 1 + i )] +... PAGO2 * [( 1 + i 2) *... * ( 1 + i )] +... NO SI NO PAGO * [( + i )] +... No existe PAGO 1 1 Opcioes para el calculo del Valor Futuro Cálculo de VP a partir de: Pagos uiformes Períodos iguales Tasa costate Fórmula Fució e Excel Ua suma futura Ua suma futura Cuotas uiforme VF N.A. SI SI ( 1 + i ) N.A. SI NO VF [ + i ) * ( 1 + i ) *... * ( 1 + i )] ( 1 1 2 ( 1 + i ) 1 SI SI SI PAGO * i ( 1 + i ) VA No existe VA 96

Opcioes para el calculo del Valor Futuro Cálculo de VP a partir de: Pagos uiformes Períodos iguales Tasa costate Fórmula Fució e Excel Cuotas NO uiforme Cuota NO uiforme Cuota NO uiforme N.A.: No aplica NO SI SI PAGO1 PAGOt PAGO PAGO 1 + +... + + 1 2 1 ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) PAGO1 PAGO2 + +... ( 1 + 1 i ) [( 1 + 1 i ) * ( 1 + i 2) ] NO SI NO PAGO 1 +... [( 1 + 1 i ) * ( 1 + 2 i ) *...( 1 + i 1) ] PAGO [( 1 + i ) * ( 1 + i ) *...( 1 + i ) + ( 1 + i )] 1 2 1 VNA No existe NO NO SI VNA.NO.PER TASAS EQUIVALENTES Cálculo de Periódicas A partir de Nomiales E excel: N.A. i o mi i periodico = al A partir de Efectivas E excel: N.A. 1 + i ( ) 1 i periodico = ef. [ 1 1] Nomiales N.A. = ( + i ) Efectivas E Excel: It. Efectivo i i... = 1 + om vec ef 1 E Excel: N.A. i i... = 1 om at ef 1.. i om ef. N.A. Las siguietes fórmulas solo aplica para tasas periódicas: N.A. A partir de Periódicas. * i om. = i per. * E Excel: N.A. = 1 + i ( ) 1 i ef. per. ve. E Excel: N.A. = 1 i ( ) 1 i ef. per. ve. i vecido i aticipado ivecido = i aticipado = 1 i 1 ivecido aticipado 97

TABLAS DE AMORTIZACION Cuota Fija: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial Cuota meos por la tasa de itereses iterés i ( 1 + i ) PAGO = VA ( 1 + i ) 1 Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital Aboo a capital Uiforme: Periodo Saldo iicial Itereses Aboo a capital Cuota 0 No existe No existe No existe No existe 1 Saldo fial del periodo aterior Saldo iicial ABONO = por la tasa de iterés VA Itereses mas aboo a capital Saldo fial Valor del crédito Saldo iicial meos aboo a capital 98