TEMA 15. RELATIVIDAD ESPECIAL II.

Relatividad Espeial II. Físia General. TEMA 15. RELATIVIDAD ESPECIAL II. 1. Efeto Doppler relativista. El desplazamiento Doppler para las ondas materiales desribe el ambio de freuenia y de longitud de onda que mide un detetor uando la fuente y/o el detetor se enuentran en movimiento respeto del medio material en el que se propagan las ondas. El onepto fundamental que nos permitió deduir las euaiones del efeto Doppler en las ondas materiales, radiaba en que la veloidad de las ondas úniamente depende de las araterístias elástias e ineriales del medio, y no del movimiento de la fuente o del detetor. Así, uando la fuente de las ondas materiales se mueve a veloidad u respeto del observador, solidario on el medio material, la freuenia medida toma el valor f 1 ' mientras que al ontrario, uando es el observador el que se desplaza a veloidad u haia la fuente, solidaria on el medio, el valor medido es f : 1 u f 1 f0 ; f f0 1 + ( u/) donde hemos denominado a la veloidad de las ondas materiales en el medio. Obsérvese que los valores f 1 ' y f ' no oiniden y es posible, mediante una medida preisa distinguir si es la fuente o el detetor el que se desplaza respeto del medio. Observad que en las ondas materiales hay un sistema de referenia preferido, que es aquel en el que el medio material se enuentra en reposo. Esta propiedad no puede ser orreta para las ondas eletromagnétias, puesto que violaría el prinipio de relatividad. La expresión formal del efeto Doppler para las ondas e.m. debe ser pues diferente. Efeto Doppler relativista: Imaginemos una fuente que emite pulsos luminosos solidariamente on un sistema de referenia F, que se desplaza a veloidad u respeto de un observador en un sistema F, (Figura 40.13). La fuente luminosa emite un pulso ada período de tiempo τ, por lo que su freuenia es f 0 1/τ, medida en el sistema F. El observador de la dereha, solidario on F, ve que la fuente se le aproxima a veloidad u, pero mide el tiempo t transurrido entre la primera onda y la que hae N+1, en su reloj (F). Observa pues que hay N ondas, en la distania t-ut, de donde alula la longitud de onda λ omo: distania t ut λ f número de ondas N ' 1 N 1 λ ( u/)t 1

Relatividad Espeial II. Físia General. Figura 40.13. Efeto Doppler relativista. No hay sistema de referenia preferido por la luz y es neesario apliar el fator de dilataión temporal en la deduión. Es neesario introduir ahora el efeto de la dilataión temporal de los relojes móviles y relaionar el período (propio) del foo pulsando τ (en F ) on el período orrespondiente τ medido por el observador en F. El observador en F ve que el reloj de F retrasa: τ N f1 τ ( u/) t N Nτ τ ( ) ( ) u/ u/ ( u/) ( u/) ( u/) ( u/) f0 τ ( u/) 1+ f1 f0 ytambién: λ1 λ0 N 1+ ( u/) ( u/) Obsérvese que de auerdo on el prinipio de relatividad no hay forma de distinguir si es el reeptor el que se dirige a la fuente a veloidad u o al ontrario, o simplemente ambos se aproximan on veloidad relativista u. El aso de aproximaión de la fuente y el observador representa un inremento de la freuenia, o disminuión de la longitud de onda, que reibe el nombre de desplazamiento haia el azul. Por otra parte, uando ambos se alejan, la freuenia disminuye y la longitud de onda aumenta, lo que se denomina desplazamiento haia el rojo. Las expresiones que se aplian son las anteriores ambiadas de signo.

Relatividad Espeial II. Físia General.. La ley de Hubble. El desplazamiento por efeto Doppler que se observa en las estrellas y galaxias del Universo es uno de los pilares en que se fundamenta la astrofísia y la osmología modernas. La radiaión que emiten los átomos viene araterizada por sus líneas espetrales, seuenia de bandas de freuenia estreha, que son omo su arnet de identidad. Si observamos una determinada freuenia en una estrella, por ejemplo la del hidrógeno, y enontramos que todas las líneas están desplazadas por un fator determinado al ompararlas on las que se observan en el laboratorio, la onlusión es que el astro se desplaza respeto de nosotros a la veloidad que da la anterior euaión Doppler. Hubble estudió las líneas espetrales de un gran número de estrellas en las galaxias alejadas y desubrió que el desplazamiento haia el rojo que siempre presentaban, era más grande a medida que la estrella se enontraba más alejada de la Tierra. Esto quiere deir que todas las galaxias en el Universo se alejan de nosotros, y lo haen a mayor veloidad uanto más lejanas. De heho, enontró que: La veloidad de alejamiento de las galaxias de la Tierra es proporional a su distania a la Tierra. Ley de Hubble. u D H donde D es la distania, u es la veloidad de alejamiento y H es la onstante de Hubble H.5x10-18 s -1. Este modelo de galaxias alejándose entre sí es parte de la teoría osmológia del Big Bang, según la ual el Universo omenzó en un punto y sufrió una rápida expansión. En esta teoría, la edad del Universo es la inversa de H, es deir, 13.0x10 9 años. Como omparaión, la edad del sistema solar es de tan sólo 5x10 9 años. 3. Transformaiones de Lorentz. Las leyes de transformaión de Galileo, entre sistemas ineriales, laramente no satisfaen la ondiión de que la veloidad de una señal luminosa en el vaío sea una onstante universal, independientemente del sistema de referenia que haga la medida. Estas son: x ' x ut,y' y,z' z,t' t Transformaiones de Galileo 3

Relatividad Espeial II. Físia General. Las leyes orretas de transformaión, que inluyen las de Galileo para veloidades pequeñas, fueron obtenidas por Lorentz en 1890, al estudiar las ondas eletromagnétias, y son: ( x ut) ' y' y z' z x ' γ ux 1 t' γ t, donde γ u/ Transformaiones de Lorentz ( ) El signifiado de las anteriores transformaiones es similar a las de Galileo: imaginemos dos sistemas de referenia ineriales F y F, este último moviéndose a veloidad u respeto del primero, y sobre el eje x. Supongamos que en el instante t0 los dos orígenes O y O oiniden y que sinronizamos los dos relojes tt 0. Así pues, un aonteimiento que ourre en el instante t y en la posiión x en F, será desrito por el observador en F, omo que ha ourrido en x y en el instante t, en su sistema de referenia. Es importante subrayar: Cuando la veloidad relativa de los dos sistemas refereniales es pequeña ((u/)<<1, habitualmente en meánia lásia), γ 1, y las transformaiones de Lorentz se onvierten exatamente en les de Galileo. La magnitud x - t es un invariante relativista, es deir una magnitud que toma el mismo valor en todos los sistemas de referenia que se mueven sobre el eje x. El segundo punto se obtiene de la onsideraión de que la veloidad de la luz es la misma en todos los refereniales, por lo que: x - t x - t. Ejeriio: omprobar que la relaión anterior se satisfae, sustituyendo los valores de las transformaiones de Lorentz. Las transformaiones inversas de Lorentz, se pueden obtener senillamente ambiando u por u, y se deduen así: x γ 3.1 Longitud propia y tiempo propio. ux ( x ) + ut y t γ t' + Imaginemos que, omo se hae en el laboratorio de Instrumentaión Nulear de la Faultad, medimos la vida media de los muones ósmios. Sabemos que el resultado será muy diferente si la medida se hae después 4

Relatividad Espeial II. Físia General. de haber detenido los muones o si la haemos sobre los muones en vuelo, porque aparee el efeto relativista de la dilataión del tiempo. Definiión de tiempo propio: El tiempo transurrido entre dos suesos que ourren en el mismo punto del espaio de un referenial, se denomina tiempo propio. Imaginemos que medimos la vida media de los muones, detenidos por plomo en el Laboratorio en x0, y obtenemos τ. Ésta es también su vida propia, por haberse medido en reposo. Sea ahora un sistema referenial que se desplaza a la veloidad u respeto del Laboratorio. Las transformaiones de Lorentz dan: x γut y t γτ El observador en movimiento, respeto del referenial en el que los aonteimientos tienen lugar en el mismo punto (reposo), ve que ourren más lentamente, alargados por el fator γ. Si fuera un reloj, atrasaría. Enontramos la dilataión temporal, ya introduida 1. Definiión de longitud propia. La longitud de un objeto medida en un S.de R. en el que el objeto se halla en reposo reibe el nombre de longitud propia. Sea una varilla en reposo, on el origen en x0 y su final en xl. La longitud propia de la regla es por definiión L. Un observador inerial que se desplaza a veloidad u quiere medir su longitud. El prinipio de medida de longitud se basa en la determinaión de los extremos de la regla, pero simultáneamente, en el S.de R. onsiderado. Esto implia que t 1 t. Sea el instante en que O hae la medida de la regla t 0. Las transformaiones de Lorentz dan, ya que t 1 0, y x 1 0, y omo t 0, x L: ux1 t1 γ t1 t1 0 ux ul t γ t t donde de nuevo se pone de manifiesto que el onepto de simultaneidad es relativo al maro referenial. Calulemos ahora la longitud de la regla en el S.de R. prima: γ x ut x 0 ( ). x1 1 1 1 1 Además, enontramos que en el sistema F en el que el muon no se enuentra detenido, se desintegraría en x γut-ut, que representa la posiión del origen del sistema F. 5

Relatividad Espeial II. Físia General. u L u x γ ( x ut ) γ L L γ 1 x. La longitud, en la direión de movimiento del observador se ontrae, resultado que ya había sido obtenido en el tema anterior. 3. Transformaiones de Lorentz para ampos elétrios y magnétios. Las euaiones de Maxwell predien la veloidad de la luz y no haen referenia a ningún sistema privilegiado por ésta. En el tema anterior se ha visto que mantener la invariania formal de las leyes de Galileo, uando trabajamos on la fuerza de Lorentz, implia que los ampos elétrios y magnétios se deben mezlar entre sí uando los medimos sobre refereniales ineriales diferentes. Adelantamos las transformaiones: E ' E + (u B) B' B donde las primas indian que los ampos se miden sobre el sistema F. La sustituión de las leyes de Galileo por las de Lorentz para el tiempo y el espaio, quiere deir que también los ampos se deben transformar de distinta forma a omo lo haría bajo Galileo. Queremos aquí justifiar el origen relativista de estas transformaiones. La presenia de argas origina ampos elétrios y si además estos se mueven se generan ampos magnétios. Las transformaiones de Lorentz modifian las distribuiones de arga medidas en dos refereniales, dando lugar a la interrelaión entre ampos elétrios y magnétios. En efeto: Sea un ondutor elétriamente neutro que transporta una orriente en la direión +x (Figura 40.1). Sabemos que la orriente se origina por el movimiento de los eletrones on una veloidad efetiva v d haia la direión x. L γ Figura 40.1. (a)un ondutor elétriamente neutro se representa por dos distribuiones igualmente espaiadas de eletrones e iones en F. (b) En el sistema F, solidario on los eletrones, se ensanha la distribuión de los eletrones mientras que se omprime la distribuión de los iones, originando un ampo elétrio. En el sistema de referenia F en el que el ondutor se enuentra en reposo y es neutro, hay tantos iones positivos en la red metália omo 6

Relatividad Espeial II. Físia General. eletrones, lo que hae que sus distribuiones sean iguales y podemos suponer que se enuentran uniformemente espaiados de manera que el ondutor sea pues neutro. Sea ahora un sistema referenial F que se desplaza on los eletrones a veloidad v d. En este sistema los eletrones se enuentran en reposo y son los iones positivos los que se desplazan haia la dereha a veloidad v d. Las transformaiones de Lorentz implian que el ondutor ya no es neutro para el observador en F. Así, por una parte el observador en F mide una distania entre eletrones más grande que la que mide el observador en F, debido a la ontraión espaial y por otra parte, la longitud entre iones positivos medida por F es más pequeña que la obtenida por F. En onseuenia, para el observador F el ondutor ya no es elétriamente neutro y apareerá un ampo elétrio. Se ha demostrado aquí que la forma peuliar en la que la relatividad desribe el espaio hae que un solo ampo elétrio en un sistema inerial F, introduza un ampo magnétio en otro sistema F inerial. Este es el origen del aoplamiento entre los ampos elétrios y magnétios de las euaiones de Maxwell, que no son invariantes bajo las transformaiones de Galileo, pero si lo son bajo las transformaiones de Lorentz. Como la veloidad de la luz es una onseuenia físia direta de las euaiones de Maxwell, esta habrá de ser la misma en todos los sistemas de referenia ineriales. Hemos llegado así a una desripión onsistente de la teoría. 4. Transformaión de veloidades. Sea un sistema de referenia F y otro F que se desplaza a veloidad u respeto del primero y sobre el eje x. Una partíula se desplaza a v o v medida desde los respetivos sistemas. Obviamente: veloidad ( ) v x dx,y,v dt x dx dt Las transformaiones de Lorentz nos dan difereniando: d x γ ( dx udt),y,dt γ dt La veloidad de la partíula en F será pues: udx Observad que la longitud propia se ontrae siempre para un observador inerial en movimiento respeto del sistema propio. La longitud propia entre eletrones la da el sistema F en el que los eletrones están en reposo, mientras que la distania propia entre iones viene determinada por F. 7

Relatividad Espeial II. Físia General. v x dx dt ( dx udt) γ udx γ dt dx u dt dx u dt vx u u vx Si la partíula se mueve en el espaio, on omponentes de veloidad sobre los otros ejes, tendremos: v y vy vz vx u,vz,on,v x u u u γ 1 v 1 v x 1 v γ x x Transformaiones de Lorentz para veloidades Ejeriio: Deduir las euaiones de transformaión inversas: (ambio de signos). 5. Cantidad de movimiento relativista. El heho de haber modifiado las noiones básias de tiempo y espaio, que son la base de muhas magnitudes de la meánia lásia, nos obliga a redefinir las magnitudes físias que se fundamentan en ellos, omo por ejemplo momento y energía. El momento quedó definido omo el produto pmv y en ausenia de fuerzas externas, la antidad de movimiento de un sistema de partíulas permanee onstante (Terera Ley de Newton). Si bien la magnitud momento (o antidad de movimiento) debe de volverse a definir en relatividad, el prinipio de onservaión del momento ontinúa siendo válido para todos los sistemas onoidos 3. El momento en relatividad debe tender al valor lásio, para veloidades pequeñas: p rel mv, uando v 0. Y en ausenia de fuerzas externas se debe mantener onstante. Podemos haer la hipótesis, sobre la base del análisis dimensional: p mf(v)v donde f(v) 1, uando v 0; debe ser adimensional y no puede depender del vetor veloidad, sino que debe depender de v. En realidad se puede demostrar que, en relatividad, la expresión orreta del momento es: 3 El prinipio de onservaión del momento se dedue de las propiedades de simetría del espaio y el tiempo bajo iertas transformaiones matemátias válidas tanto en meánia lásia omo relativista. 8

Relatividad Espeial II. Físia General. p m γv mv ( v / ) donde el fator γ umple los requisitos estableidos. La segunda ley de Newton queda así: donde se ve que F y 6. Energía relativista. d v/ dt dp F dt d m dt ( γv) no tienen porque ser paralelos. Una fuerza resultante no nula, al atuar sobre una partíula realiza un trabajo igual a la variaión de su propia energía inétia (Teorema del trabajo-energía). Si apliamos este teorema al aso relativista, obtenemos: v v v v dp mv E Fi ds ds dp v v d v 0 0dt 0 0 v / Integrando esta expresión se obtiene finalmente 4 : E m ( v/) m La expresión de la energía inétia onsta de dos términos: El segundo término no depende de la veloidad y omo Einstein hizo notar, hay que onsiderarlo omo la relaión que existe entre masa y energía 5. E 0 m donde m es la masa (en reposo) de la partíula. La expresión anterior nos india el valor de la energía en reposo de la partíula, asoiada a su masa. El primer término es la energía total de la partíula, ya que representa la suma de la energía inétia más la de reposos de la partíula. E tot m E + m Energía total relativista ( v/) 4 Ver P. Tipler página 197, 4ª ediión. 5 Observad que la letra m se ha usado aquí para definir la masa de la partíula, que en otros libros se denomina masa en reposo. De auerdo on M. Alonso no tiene sentido hablar de masa relativista. 9

Relatividad Espeial II. Físia General. En onseuenia, en el maro de la relatividad, uando una fuerza neta atúa sobre una partíula le omunia un inremento de energía que varía desde su valor iniial (energía en reposo: m ) hasta el valor final (total), dado por la expresión anterior (paralelo al Teorema del trabajoenergía lásio). Si multipliamos ahora la euaión del momento por, enontramos un resultado interesante, al ompararla on la euaión de la energía total: m v v p vetot β p E ( v/) tot El parámetro β representa la veloidad de la partíula en unidades de, y no puede ser mayor que la unidad para ualquier fenómeno en el que se transporte energía y/o informaión. Las energías en la físia mirosópia se expresan en funión de la unidad ev (eletrón-voltio) y sus múltiplos. Un ev es la energía que adquiere en el vaío un eletrón, sometido a una diferenia de potenial de 1 voltio. Como la arga del eletrón es 1.6x10-19 C: 1 ev 1.6x10-19 J La expresión de la energía en reposo de las partíulas E 0 m, que pone de manifiesto la equivalenia entre una magnitud inerial (masa) y la energía, se ha omprobado en múltiples oasiones: en reaiones nuleares, en los reatores nuleares, es la base de las reaiones termonuleares en el Sol (ver tabla 39.1). Una onfirmaión espetaular de la ley de equivalenia entre masa y energía se puso de manifiesto en la reaión de la antimateria en los laboratorios de partíulas. En estas reaiones se rea masa (antimateria y también materia) a partir de la energía suministrada a las partíulas por los aeleradores. Tabla 39.1. Calule el letor la diferenia de masa existente entre los onstituyentes de la partíula alfa (dos protones y dos neutrones) y la propia de la partíula. Esta es la energía liberada en una reaión nulear uando a partir de los onstituyentes se forma una partíula alfa. Explique por qué esta idea no se suele apliar en las reaiones químias, por ejemplo en la ombustión de gasolina. 10

Relatividad Espeial II. Físia General. 7. Relaión entre energía y momento en relatividad. A partir de la expresión del momento (multipliada por ) y de la energía relativista, E tot tot m 4,y, p ( v/) ( v/) 4 E p m E p + m tot Cualquier partíula sin masa verifiará por tanto: E tot p La luz hemos visto que satisfae esta euaión y por tanto, nos permite interpretar que se omporta omo partíula sin masa, por ejemplo al interatuar on los átomos. Además, omo la veloidad de una partíula viene definida por la relaión existente entre p y E, la expresión anterior nos permite afirmar que la veloidad de todas las partíulas sin masa, en el vaío y en todos los sistemas de referenia, es preisamente. Esto ourre para los fotones y los neutrinos, sin masa (hasta ahora). Definiión: diremos que una magnitud es invariante relativista uando su valor es el mismo y resulta independiente del sistema referenial en el que se mide. Otro punto interesante es que la relaión E -p es un invariante relativista: todos los sistemas de referenia ineriales, independientemente de su veloidad, miden el mismo valor de la magnitud anterior. m v 4 11