Caracterización de la parábola como lugar geométrico plano 1 Ficha del estudiante Actividad 1 LA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA A PARTIR DE SU PROPIEDAD FOCO DIRECTRIZAS Una parábola es el lugar geométrico determinado por el conjunto de posiciones asumidas por un punto móvil que equidista de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz, la cual no pasa por. Sea una recta dada y un punto exterior a ella, es la proyección ortogonal de en sí y solo sí y es perpendicular a para cualquier posición de. Además, la distancia de a es igual a la longitud de. Tarea Dada una recta y dos puntos exteriores y, construye un triángulo isósceles tal que y sean los catetos y sea la proyección ortogonal de en. Ver Figura 1. a) Puedes arrastrar de tal manera que se conserve isósceles durante todo el recorrido? Por qué? b) Cómo imaginas que sea el lugar geométrico definido por el conjunto de posiciones de que 1 Recurso pedagógico diseñado por Mario Andrés España González con fines investigativos no comerciales.
cumplen con la condición de que y sean siempre iguales? Realiza un dibujo. Construye un triángulo isósceles tal que sea un punto exterior a, C un punto libre en, y un punto libre situado sobre la mediatriz del segmento. Ver Figura 2. c) Qué sucede con las longitudes y cuando varía en? Por qué? d) Qué sucede con las longitudes y cuando varía en? Por qué? e) El lugar geométrico de cuando varía en es una parábola? Justifica tu respuesta. Construye un triángulo isósceles tal que sea un punto exterior a, un punto libre sobre, y un segmento perpendicular a para cualquier posición de. f) Qué sucede con las longitudes y cuando varía en? Por qué? g) Prueba que el lugar geométrico de cuando varía en es una parábola e identifica cuál es el foco y cuál es la directriz. Expone tus argumentos. h) Qué sucede con la parábola cuando arrastras el foco muy cerca de la directriz? i) Qué sucede con la parábola cuando el foco se aleja de la directriz? j) Y en el caso de que el foco cruce al otro lado de la directriz, qué ocurre con la parábola? k) Cómo es la mediatriz del segmento con
respecto de la parábola? Construye una circunferencia Ÿ que sea tangente a en un punto libre y pase por un punto exterior. Ver Figura 3. l) Cómo se comporta la razón cuando varía en? m) Verifica que el lugar geométrico de cuando varía en es una parábola. Justifica tu respuesta. n) Considerando la última construcción, ilustrada en la Figura 3, formula una nueva definición para el concepto de parábola. Actividad 2 ELEMENTOS NOTABLES DE LA PARÁBOLA El vértice es el punto situado sobre la parábola, que se encuentra a mitad de distancia entre el foco y la directriz. El eje de simetría es la recta que pasa por el foco y el vértice perpendicularmente a la directriz. El parámetro es la distancia comprendida entre el vértice y el foco. Una cuerda es el segmento que une cualquier par de puntos situados sobre la parábola. Una cuerda focal es aquella que pasa por el foco. El latus rectum puede interpretarse geométricamente como la medida de longitud de la mínima cuerda focal.
Tarea Abre el archivo actividad2.fig y activa Traza sobre los puntos y. Puedes utilizar también la herramienta Lugar. Experimenta con la construcción y responde: a) Podría afirmarse que la trayectoria descrita por es simétrica respecto de? Justifica tu respuesta. b) Explica por qué el conjunto de posiciones de los puntos y determinan una parábola. c) Podrías construir una parábola tal que 2? Por qué? d) Construye el vértice de la parábola y explica cómo lo hiciste. e) Construye la mínima cuerda focal y determina el latus rectum. Explica detalladamente como lo obtuviste. f) Calcula el valor de la razón, arrastra por la pantalla y observa el comportamiento de dicho valor numérico. Propone una expresión que represente simbólicamente la relación entre latus rectum y parámetro. Actividad 3 LA PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PARÁBOLA Sea una parábola de vértice y eje de simetría, si es la proyección ortogonal un punto libre sobre dicha parábola y el latus rectum, se tiene que: Un polígono es cualquier región plana delimitada por segmentos que se unen en los extremos. A los segmentos se les llama lados del polígono y a los extremos se les llama vértices. Un cuadrilátero es un polígono con cuatro vértices cuatro lados, y cuatro ángulos. Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos. Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Un cuadrado es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes (de igual longitud). Una diagonal es un segmento que une dos vértices no adyacentes de un polígono.
Tarea En el archivo actividad3.fig encontrarás una parábola y un cuadrilátero RZTL. Ahora investiga la construcción y responde: a) Por qué es un paralelogramo? Explícalo. b) Cuando arrastras M, qué características cambian y cuáles se conservan del cuadrilátero? c) Qué tipo de cuadrilátero es? Por qué? d) Verifica que y son equiextensos (de igual área) para cualquier posición de. e) Argumenta lógicamente la razón por la cual y son equiextensos. f) Calcula el latus rectum y compáralo con la longitud. Explica por qué la longitud del segmento es constante. g) Cómo interpretas la expresión? h) Si hacemos que, y, podrías obtener una expresión semejante a la del literal (g)? Cuál? i) Utiliza la propiedad foco directriz para verificar que el conjunto de posiciones de corresponde a una parábola. Ayuda Para efectuar la demostración del literal (e) ten en cuenta que todo cuadrilátero es dividido en dos triángulos iguales y semejantes por cualquiera de sus diagonales. Recuerda que en Matemáticas el todo es igual a es igual a la suma de sus partes. Actividad 4 CONSTRUCCIÓN DEL EJE, EL FOCO Y LA DIRECTRIZ DE UNA PARÁBOLA DADA Un diámetro es una recta que pasa por los puntos medios de cualquier par de cuerdas paralelas, es decir, las biseca. Tarea Dada una parábola (archivo actividad3.fig), construye su eje de simetría y su foco. Ayuda Todos los diámetros de la parábola son paralelos al eje de simetría.
Sugerencia Empieza construyendo un diámetro. Utiliza la propiedad fundamental para construir el foco y la directriz.