REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES 1
REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES UNIDADES Pag. 1. DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN.3 2. CORTES CON LOS EJES...5 3. SIMETRÍA..7 4. PERIODICIDAD 9 5. FUNCIONES INVERSAS....10 6. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN... 12 7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN 15 a) CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN.17 b) CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA.20 c) CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA..22 8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN.. 24 9. PUNTOS DE INFLEXIÓN.27 10. ASINTOTAS DE UNA FUNCIÓN.29 11. REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN.33 2
DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). Ejemplos: 3
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CORTES CON LOS EJES Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados. Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve el sistema: Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve el sistema: Ejemplo 1: Ejemplo 2: Punto de corte con el eje OY : Puntos de corte con el eje OX : 5
Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son: TABLA DE VALORES X Y 0 2 1 0 2 0-1/2 0 6
SIMETRÍA FUNCIÓN PAR Una función f es PAR cuando: Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY). Ejemplo: FUNCIÓN IMPAR Una función f es IMPAR cuando: 7
Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas. Ejemplo: 8
PERIODICIDAD FUNCIÓN PERIÓDICA Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número tal que: (los valores de la función se repiten de p en p). El número p se llama periodo. Ejemplo: 9
FUNCIONES INVERSAS Sea F una función la función f -1 es la INVERSA cuyo domino es el codominio de f y tiene la propiedad de que para cada x ϵ R : (f f -1 )(x)=x Sea f la función de A en B. La función f -1 de B en A se define f -1 = (x,y) (y,x) R Ej: Sea ; 10
f=1/(4-3x) f -1 =(4x-1)/3x 11
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN TEOREMA Sea f(x) una función derivable en el punto x o I. Demostración Demostración - 1 (1) f es estrictamente creciente a la derecha del punto x o. (2) f es estrictamente creciente a la izquierda del punto x o. II. 12
Demostración Demostración -2 f es estric. creciente en x o. en ambos casos III. IV. V. Demostración Demostraciones análogas. Ejemplos: 1. a. es estrictamente creciente en x o. En la función es estrictamente creciente. b. es estrictamente decreciente en x o. En la función es estrictamente decreciente. 13
2. La función es estrictamente creciente cuando x sea negativa, pero puesto que f(x) no está definida en x=-1, el intervalo donde la función es estrictamente creciente será. Análogamente la función es estrictamente decreciente en. 14
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Sea f(x) una función y x o un punto del dominio. DEFINICIÓN La función f(x) presenta un máximo relativo en x o, cuando existe un entorno E(x o ) tal que: La función f(x) presenta un mínimo relativo en x o, cuando existe un entorno E(x o ) tal que: Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes de los alrededores. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de x o cuya imagen sea mayor o menor que f(x o ). A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos. TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Sea dominio. una función cuyo dominio es D=Dom(f) y x o un punto del 15
Demostración Demostración Este teorema se demuestra utilizando el recíproco. Nota La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero. Ejemplo: Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos. TABLA DE VALORES X Y 1/2-1/4 P. Crítico 16
TABLA DE VALORES X Y 1/2-1/4 P. Crítico RESUMEN Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo. CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN 17
CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN Sea la función f y un punto x o Tomamos dos puntos Los casos posibles que se pueden presentar son: A. En el punto de abscisas x o hay un máximo relativo. B. En el punto de abscisas x o hay un mínimo relativo. C. Ni A. ni B. No hay extremo. Ejemplo: Sea Calculamos los puntos críticos:, es un punto crítico. Siendo h un número positivo y muy pequeño es evidente que el mayor de los tres es f(0)=1, (caso A) luego x o es un máximo relativo. TABLA DE VALORES X Y 18
0 1 MÁXIMO CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA DERIVADA 19
CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA Sea la función f derivable en el intervalo (a,b) Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo. Los casos posibles que se pueden presentar son: A. y I. Si la derivada es positiva, la función es creciente. II. Si la derivada es negativa, la función es decreciente. Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto x o y es decreciente después del punto x o, luego en el punto x o hay un máximo relativo. B. y I. Si la derivada es negativa, la función es decreciente. II. Si la derivada es positiva, la función es creciente. Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto x o y es creciente después del punto x o, luego en el punto x o hay un mínimo relativo. C. Ni A. ni B. No hay extremo. Ejemplo: Los puntos críticos son:. 20
Tenemos tres intervalos:. En el primero: Luego En el segundo: Luego En el punto x o =0 no hay extremo, porque empieza siendo decreciente y sigue siendo decreciente. En el tercero: Ahora En el punto x 1 =3/2 existe un mínimo relativo, porque empieza siendo decreciente y después pasa a ser creciente. TABLA DE VALORES X Y 0 3 NADA 3/2 21/16 MÍNIMO 21
CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª DERIVADA 22
CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea una función derivable más de una vez. TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Pueden ocurrir los siguientes casos: a. La función f tiene en el punto x o un mínimo relativo. b. La función f tiene en el punto x o un máximo relativo. c. No se puede afirmar nada. Demostración a. Si es creciente en La derivada es negativa a la izquierda de x o y es positiva a la derecha de x o, luego la función f es decreciente a la izquierda de x o y es creciente a la derecha de x o. Se puede afirmar que en x o hay un mínimo relativo. b. Si es decreciente en La derivada es positiva a la izquierda de x o y es negativa a la derecha de x o, luego la función f es creciente a la izquierda de x o y es decreciente a la derecha de x o. Se puede afirmar que en x o hay un máximo relativo. 23
Ejemplo: Los puntos críticos son: En el punto x o =0, no se puede afirmar NADA. En el punto x 1 =3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO. TABLA DE VALORES X Y 0 3 NADA 3/2 21/16 MÍNIMO 24
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa. Condiciones analíticas de concavidad y convexidad Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b). Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b). 25
Ejemplo: 26
PUNTOS DE INFLEXIÓN DEFINICIÓN El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. Los puntos de inflexión están caracterizados por: TEOREMA Sea la ecuación de una función. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión. Clasificación de los puntos de inflexión Nota Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. Ejemplo: 27
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava). TABLA DE VALORES X Y 1-2 P. INFLEXIÓN 28
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en: a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si existe un número a tal, que : La recta x = a es la asíntota vertical. Ejemplo: es la asíntota vertical. 29
b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite: : La recta y = b es la asíntota horizontal. Ejemplo: es la asíntota horizontal. 30
c. Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites: : La recta y = mx+n es la asíntota oblicua. Ejemplo: es la asíntota oblicua. 31
Nota-1 Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras. Nota-2 En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos. Posición relativa de la función con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema: 32
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota]. Ejemplo: La función tiene por asíntota oblicua la recta Calculamos los puntos de intersección de ambas: El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3). Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA. Esto nos indica que en el intervalo asíntota y en el intervalo la función está por encima de la la función está por debajo de la asíntota. 33
REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde tenemos la seguridad de su existencia. Estas regiones se determinan, para funciones polinómicas y racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función (considerando su orden de multiplicidad). Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el eje OX. Una vez asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante un valor de la x), alternaremos en una SI y en otra NO por orden la existencia, hasta completar todo el plano. Ejemplo: 34
GRÁFICA Una vez obtenidos todos los cálculos de los puntos del 1 al 9, se realizará un dibujo de la gráfica de dicha función sobre unos ejes coordenados, indicando sobre éste las características más importantes de dicha gráfica. HOJA DE SOLUCIONES 1.-Dominio de la función D= 2.-Puntos de corte con los ejes: X Y...... 35
3.-Simetría y periodicidad Si es simétrica la función, indica el tipo TIPO = Si es periódica la función, indica el periodo PERIODO = 4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento CRECIENTE = DECRECIENTE = 5.- Máximos y mínimos: X Y M o m......... 6.-Intervalos de concavidad y convexidad CÓNCAVA = CONVEXA = 7.-Puntos de inflexión: X Y TIPO......... 8.-Asíntotas A. VERTICALES A. HORIZONTALES A. OBLICUAS... Puntos de corte de la función con la asíntota: X Y.... 36