Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las propiedades de los límites que se acaban de mencionar, empezaríamos realizando la suma de fracciones algebraicas que está indicada en la función. Mejor calculamos dos límites, aplicando la propiedad III. 2 2 + 2 2 4 El primero de los límites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos división entre cero: = 2 2 El segundo límite lo calculamos factorizando el denominador: 2 2 2 2 = 4 2 + 2 2 Ahora podemos simplificar la fracción, con lo que obtenemos: 2 2 + 2 2 = = 2 + 2 2 + 2 = 4 Así que: 2 + 2 2 2 = + 4 2 2 2 = 4 2 + 4 = 3 4 Se te queda como ejercicio verificar con el uso de una tabla de valores que el resultado es correcto. 3 2 + + Ejemplo 2 aplicando la propiedad V de los límites. Este problema se resolvió en la página??. www.aprendematematicas.org.m /7
Aplicamos directamente la propiedad V de los límites para verificar el resultado: 3 2 + = + Y ambos resultados son correctos. 3 2 + + = 32 + = 20 3 + 4 = 5 3 Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomiales, podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones. También debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmediatamente el límite. Sin embargo, algunos límites no eisten. Ejemplo 3 2 + aplicando la propiedad V de los límites. Este problema es parecido al anterior. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites: 2 + = Pero no tiene sentido dividir entre cero. 2 + = 32 + = 2 0 Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no podemos factorizar el binomio de 2 +. Esto nos indica que conforme nos acercamos a = la gráfica de la función y = 2 + crece mucho, porque precisamente en = esta gráfica tiene una asíntota. www.aprendematematicas.org.m 2/7
5 3 9 7 5 f 5 3 2 3 5 7 9 4 6 8 0 Cuando nos acercamos a = por la derecha, la función tiende a crecer infinitamente. Es decir, 2 + = + Por otra parte, cuando se acerca mucho a por la izquierda, la función se hace negativa y se va a menos infinito: 2 + = Si ambos límites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a +, entonces concluiríamos que el límite es ese valor. Pero no ocurre así, los dos límites laterales son distintos. Entonces, 2 + no eiste. Límite lateral Cuando calculamos el límite 0 f usando valores de tales que i < 0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la izquierda. Por otra parte, si calculamos el mismo límite pero usando valores de tales que i > 0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la derecha. Definición Cuando los dos límites son iguales decimos que el límite eiste y es igual al valor común obtenido en ellos. Cuando los límites laterales no coinciden decimos que el límite 0 f no eiste. 0 Ejemplo 4 www.aprendematematicas.org.m 3/7
Ya sabemos que la función y = / no está definida cuando = 0. Además, cuando es negativo, los valores de y que le corresponden también son negativos. Y cuando es positivo, los valores que le corresponden de y también son positivos. Cuando es muy cercano a cero, los valores de y crecen. Por ejemplo, considere, =, con k N, entonces: 0k = 0 k = 0 k = 0 k Conforme k crece, los valores de se acercan cada vez más a cero, porque = 0 k. Profesor: Haga notar que: Pero los valores de y se hacen cada vez más grandes: y = 0 k. Observa que > 0 implica que y > 0. Cuando sea negativo ocurrirá lo mismo, pero ahora los valores de y serán negativos. y que y = 0 k 0k = 5 4 3 2 y y = 5 4 3 2 0 2 3 4 5 2 3 4 5 Entonces, por una parte, el límite por la izquierda: Y el límite por la derecha: 0 0 + = = Como ambos límites son diferentes, el límite: no eiste. 0 Observa notación: f 0 la indica el límite por la izquierda, mientras que: f 0 + indica el límite por la derecha. www.aprendematematicas.org.m 4/7
Es importante hacer notar que no todos los límites de funciones racionales cuando tiende a cero no eisten. El verdadero problema surge cuando el denominador de la función racional se hace cero. Entonces habrá que ver que los límites laterales coincidan. 0 2 Ejemplo 5 En este caso, la función tampoco está definida para = 0. De nuevo, la gráfica presenta una asíntota en = 0. Pero y siempre es positiva, porque aparece elevada al cuadrado. Esto nos indica que los límites laterales tienden a infinito los dos. Esto es evidente de la gráfica de la función: y 5 4 3 2 y = 2 5 4 3 2 0 2 3 4 5 El límite por la izquierda es: Y el límite por la derecha: Como ambos límites son iguales, 0 2 = 0 + 2 = 0 2 = 2 6 3 6 2 8 Ejemplo 6 www.aprendematematicas.org.m 5/7
Si empezamos sustituyendo = 3 en la función obtenemos una indeterminación: y3 = 2 3 6 6 3 2 8 3 = 0 0 Así que lo que tenemos que hacer es factorizar: 2 6 2 6 3 6 2 = 8 3 3 2 6 Podemos escribir: 2 6 3 6 2 = = 8 3 3 9 Como el denominador no se hace cero en el último límite, podemos evaluar la función en = 3. También podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los límites. Se te queda como ejercicio. Algunos límites parecen difíciles, pero no lo son. Ejemplo 7 2 2 2 Si sustituimos = 2 en la función obtenemos cero sobre cero: y2 = 2 2 2 2 = 0 0 Así que tenemos que simplificar la epresión si es posible. Recuerda que p p = p para cualquier valor p. Entonces, 2 2 2 = = 2 2 2 2 2 2 Ahora sí podemos evaluar el límite porque no tenemos división entre cero: 2 = 2 = 2 2 = 0 = 0 2 2 2 Y terminamos. Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende. También hay que verificar que este valor esté en el dominio de la función. El dominio de la función y = 2 es: 2, porque el radicando debe ser no negativo para que la función asigne un valor a y. www.aprendematematicas.org.m 6/7
El siguiente ejemplo termina el anterior. 2 2 Ejemplo 8 Primero debemos observar que = 2 es el mínimo valor que puede tomar para que la función y = 2 nos devuelva un valor para y. Por ejemplo, si =, obtenemos: y = 2 =. Como no nos devuelve un número real, decimos que no está definida para < 2. Esto nos hace imposible calcular el límite por la derecha de esta función. En otras palabras, el límite por la izquierda no eiste. Por otra parte, el límite por la derecha se puede calcular fácilmente. Dado que la función está definida para 2, tenemos: 2 = 2 2 = 0 = 0 2 + Pero para que el límite 2 eista, se requiere que los límites laterales sean iguales. 2 Como un límite lateral no eiste el izquierdo, es imposible que los dos límites laterales sean iguales y por eso 2 no eiste. 2 Profesor: Sugiera grafiquen función. que la La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y sustituir. Siempre tienes que tener en mente que para que el límite: f 0 eista, deben eistir los dos límites laterales por la izquierda y por la derecha: 0 f y + 0 En el caso de que la función no esté definida a la izquierda o a la derecha de 0 nos impide calcular el límite por ese lado, por lo que el límite no eiste. f 2 + 5 + 6 0 + 3 Ejemplo 9 Ya sabemos que cuando 0, el cociente / no está definido. www.aprendematematicas.org.m 7/7
Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: u = /, entonces: 2 + 5 + 6 u = 2 + 5 u + 6 + 3 u + 3 La fracción en términos de u puede simplificarse si factorizamos el numerador: u 2 + 5 u + 6 u 2 + 3 = u + 2u + 3 u + 3 = u + 2 Y al regresar a escribirlo en términos de tenemos: 2 + 5 + 6 0 + 3 = 0 + 2 Profesor: Mencione que el denominador se hace cero cuando u = 3, que implica = /3. Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los límites: 0 + 2 = + 2 0 0 Por la propiedad I, tenemos: 0 2 = 2, pero ya sabíamos que 0 no eiste página 3. Entonces, el límite 2 + 5 + 6 0 + 3 tampoco eiste. Limites de funciones trigonométricas En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los límites de funciones trigonométricas que más frecuentemente se encuentran en la resolución de problemas en matemáticas, ingeniería, administración, ciencias sociales y otras ramas del conocimiento. Ejemplo 0 sin 0 Si sustituimos = 0 en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que tendremos que utilizar otra forma. Primero nos basaremos en la gráfica para tener una idea y después utilizaremos una forma algebraica para verificar el resultado. www.aprendematematicas.org.m 8/7
La gráfica de la función es la siguiente: y y = sin 3 2 0 2 3 De la gráfica inmediatamente podemos concluir que el límite buscado es, es decir: sin = 0 Observa que la función no está definida para = 0 debido a la división entre cero. Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un método algebraico. Suponemos que es un ángulo medido en radianes, positivo. Si fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo método, recordando que sin = sin. Observa que: sin = sin de manera que al cambiar el signo de el resultado sigue siendo válido. Consideramos la siguiente figura: sin tan cos El área del triángulo inscrito al arco de circunferencia es menor al área del sector circular del arco de radianes. Igualmente el área del sector circular del arco es menor al área del triángulo más grande. www.aprendematematicas.org.m 9/7
Así que se cumple la siguiente desigualdad: Área interno A sector Área eterno 2 sin cos 2 2 tan Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre 2 sin, obtenemos: cos sin cos Cuando se acerca mucho a cero cos se acerca mucho a. Entonces, cuando tiende a cero, tenemos que: sin El recíproco sin, por tanto, debe también tender a uno: sin = 0 Con este resultado podemos calcular otros límites de funciones trigonométricas. Ejemplo 0 sin2 sin3 Dado que se aproima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por 2 en el numerador y denominador de la función sin2. De la misma manera, multiplicamos por 3 en el numerador y denominador de la función sin3, así obtenemos: sin2 sin2 sin2 2 2 2 = 0 sin3 0 sin3 = 2 0 sin3 3 3 3 3 Ahora aplicamos las propiedades II y V de los límites para obtener: 2 sin2 sin2 2 sin2 0 2 0 2 = 0 sin3 3 sin3 = sin3 3 0 3 0 3 Ahora aplicamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo u = 2 y v = 3, con lo que tenemos: sin2 2 2 2 sinu sin2 0 2 u 0 u = = = 2 0 sin3 sin3 sinv 3 = 2 3 3 3 0 3 v 0 v Profesor: Mencione que si 0, entonces u = 2 0 como v = 3 0. www.aprendematematicas.org.m 0/7
Entonces, 0 sin2 = 2 sin3 3 0 sin 2 3 tan2 Ejemplo 2 Necesitamos transformar la función a funciones cuyos límites ya conozcamos. En el primer paso multiplicamos por 3 2 en el numerador y en el denominador de la fracción: sin 2 3 tan2 = sin2 3 3 3 2 2 sin3 2 tan2 = 3 2 3 tan2 El primer factor ya tiene la forma de un límite conocido, haciendo u = 3. Ahora recuerda que tan α = sin α cos α. Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos: sin 2 3 tan2 = sin3 2 3 Este resultado puede reescribirse como: sin 2 3 tan2 = 9 Ahora ya podemos calcular el límite: sin 2 3 0 tan2 9 sin2 cos2 = sin3 2 2 cos2 3 2 sin2 = 9 2 = 0 9 2 sin3 2 3 sin3 2 9 cos2 3 sin2 sin3 2 3 2 sin2 cos2 2 sin2 cos2 Aplicamos las propiedades de los límites para simplificar el cálculo: sin 2 3 9 sin3 2 = 0 tan2 0 2 2 3 sin2 cos2 = 9 sin3 2 2 2 0 3 sin2 cos2 = 9 sin3 2 2 2 cos2 0 3 0 sin2 0 = 9 sin3 2 2 0 3 0 sin2 cos2 0 2 = 9 2 2 = 9 2 www.aprendematematicas.org.m /7
Entonces, 0 sin 2 3 tan2 = 9 2 Ejemplo 3 A través de una gráfica calcula: sin 0 La gráfica de la función y = sin es la siguiente: 0.5 y y = sin 3 2 0 2 3 0.5 Observa que conforme se acerca a cero, / crece muy rápidamente. Entonces, podemos transformar el límite como sigue: sin = sin 0 Pero cuando se hace muy grande la función sin varía entre y. En otras palabras, no eiste una asíntota horizontal a la cual se aproime la función sin cuando tiende a infinito. Por tanto este límite no eiste. sin 0 = sin no eiste. El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior. Ejemplo 4 sin 0 Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite: www.aprendematematicas.org.m 2/7
0.5 y y = sin 3 2 0 2 3 0.5 Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites. sin 0 = sin 0 0 Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo [, ]. Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando tiende a cero estaremos multiplicando un número muy pequeño por otro número en el intervalo [, ]. El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la gráfica de la función. Estrictamente hablando, Entonces, el límite es: = 0 0 sin = 0 0 Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométricas. En este apartado solamente hemos eplicado los más frecuentes y los que te pueden dar una idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas. Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones eponenciales y las logarítmicas. Limites de funciones eponenciales y logarítmicas 2 0 Ejemplo 5 Las funciones eponenciales están definidas para todo real. Cuando = 0, 2 =. Entonces, si hacemos que los valores de se acerquen a 0, esperamos que 2 se acerque a. www.aprendematematicas.org.m 3/7
Matemáticamente: 2 = 0 La gráfica nos muestra eso: f 8 7 6 5 4 3 2 y = 2 3 2 0 2 3 4 5 Ejemplo 6 e 0 De nuevo, cuando tiende a cero, e tiende a. Pero no queremos el límite de la función e cuando tiende a cero, sino de e. Así que aplicando las propiedades de los límites, obtenemos: e = e 0 0 0 = = 0 La gráfica muestra el mismo resultado geométricamente: www.aprendematematicas.org.m 4/7
y y = e 0 3 2 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 Observa que cuando crece mucho, los valores de y tienden a. Observa que la gráfica siempre nos ayuda a verificar el resultado de calcular un límite. Sin embargo, también podemos calcular los límites sin necesidad de una gráfica. Dependiendo del caso, decidiremos si utilizar la gráfica para verificar el resultado que obtuvimos al calcular el límite o para ayudarnos a calcularlo. ln 0 Ejemplo 7 Cuando tiende a cero por la derecha, ln se va a. Pero por la izquierda, ln no está definida. De esto nos damos cuenta con la gráfica. Entonces, cuando tiende a cero, ln se va a, porque el signo menos refleja la gráfica respecto al eje. Aplicando las propiedades de los límites, podemos calcular el límite por la derecha: 0 ln + = 0 + 0 + = = Pero no podemos calcular el límite por la izquierda, porque la función ln no está definida para 0. www.aprendematematicas.org.m 5/7
Entonces, ln no eiste. 0 Ejemplo 8 ln 0 En este caso, dado que el argumento de la función siempre es no negativo, la función está definida para toda, ecepto en = 0. Cuando tiende a cero por la derecha, ln se va a. Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetría de la función. Entonces, cuando tiende a cero, ln se va a, tanto por la izquierda como por la derecha. Luego, La gráfica de la función es la siguiente: ln = 0 y y = ln 0 5 4 3 2 2 3 4 5 2 3 Ejemplo 9 La población de una especie de rata que vive en el mercado de un municipio se calcula con la siguiente fórmula: 840 000 Pt = 700 + 500 e.02t donde la población inicial es de 700 ratas t = 0, y t es el tiempo medido en días. Si no se utilizan raticidas para controlar la población, cuál será la población de ratas a los 30 días? Primero debes observar que el denominador de la función nunca se hace cero. Eso se debe a que: 700 + 500 e.02t = 0 7 5 = e.02t pero la función eponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca se hace cero. Profesor: El modelo dado es ficticio. Pero las poblaciones de ciertas presentan especies comportamiento de éste. el www.aprendematematicas.org.m 6/7
Luego, el límite: Vamos a calcularlo. 840 000 Pt = t 30 t 30 700 + 500 e.02t eiste. Como la función está definida para toda t R, tenemos que evaluar la función en t = 30: 840 000 840 000 Pt = t 30 t 30 700 + 500 e.02t = = 200 700 + 500 e.0230 Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habrá 200 ratas. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 200 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 0 de agosto de 200. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico. 200. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m www.aprendematematicas.org.m 7/7