ir Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura
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ir Índice. Definiciones y propiedades Método de por partes Integración de funciones Integración de funciones Integración de funciones ir Bibliografía
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. Definiciones y propiedades El cálculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el de área de una región, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otras aplicaciones. ir Los orígenes del cálculo de áreas se pueden encontrar en el método de exhaución desarrollado por los griegos hace más de 2000 años. Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque riguroso actual.
. Definiciones y propiedades ir
. Definiciones y propiedades ir Definición Dadas dos funciones f y F, decimos que F es una primitiva de la función f en un conjunto de valores D si: Ejemplo Si f(x) = 2x, entonces F (x) = f(x), x D. F (x) = x 2 es una primitiva de f(x) en R, porque F (x) = (x 2 ) = 2x = f(x). Del mismo modo, F (x) = x 2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porque F (x) = (x 2 + 7) = 2x = f(x). Se deduce fácilmente que Observación Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) en D, siendo C cualquier número real.
. Definiciones y propiedades ir Definición Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y se denota por f(x)dx. De la observación anterior se deduce que si F (x) es una primitiva de f(x), entonces f(x)dx = F (x) + C, C R. Propiedades (de la integral indefinida) Sea f : I R R. Se tiene que 1 Si k R, entonces k f(x)dx = k f(x)dx. 2 (f(x) ± g(x)) dx = f(x)dx ± g(x)dx.
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ir Definición Se llaman integrales a aquellas que se deducen directamente de las reglas de derivación. En la tabla de la página siguiente se muestran algunas integrales.
Algunas integrales ir k dx = kx k R (n 1) x n dx = xn+1 1 x dx = ln x e x dx = e x a x dx = ax ln a sen(x) dx = cos(x) cos(x) dx = sen(x) 1 n+1 f(x) n f (x) dx = f(x)n+1 f (x) f(x) sen 2 (x) dx = cotg(x) f (x) 1 n+1 dx = ln f(x) e f(x) f (x) dx = e f(x) a f(x) f (x) dx = af(x) ln a sen(f(x))f (x) dx = cos(f(x)) cos(f(x))f (x) dx = sen(f(x)) sen 2 (f(x)) dx = tg(x) f (x) cos 2 (x) f dx = arctg(x) (x) 1+x 2 1 1 1 x 2 dx = arcsen(x) f cos 2 (f(x)) 1+(f(x)) 2 (x) 1 (f(x)) 2 dx = cotg(f(x)) dx = tg(f(x)) dx = arctg f(x) dx = arcsen f(x)
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Integración por sustitución o cambio ir
: sustitución o cambio ir Consiste en hacer un cambio que transforme la integral en otra que sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio. Teorema Sea x = φ(t) derivable respecto de t (entonces dx = φ (t)dt). Podremos calcular f(x)dx así: f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt Encontraremos solución siempre que sepamos calcular la última primitiva de la igualdad anterior. Ejemplo { t = 2x; x = t/2 cos(2x)dx = dt = 2dx } = { e cosx t = cosx sen(x) dx = dt = sen(x) dx cos(t) dt 2 = 1 2 sen(t)+c = 1 2 sen(2x)+c } = e t dt = e t +C = e cos(x) +C
Integración por partes ir
: por partes ir Integración por partes Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que se deduce que (u(x) v(x)) = u(x) v (x) + u (x) v(x) u(x) v (x) = (u(x) v(x)) u (x) v(x) y por tanto, si se puede integrar respecto de x: u(x)v (x)dx = u(x)v(x) v(x)u (x)dx Ejemplo { u(x) = ln x du(x) = 1 x n x ln x dx = dx } dv(x) = x n = dx v(x) = xn+1 n+1 = xn+1 n + 1 ln x x n ( xn+1 dx = ln x 1 ) + C. n + 1 n + 1 n + 1
: por partes Ejemplo ir { u = arctg(x) du = dx arctg(x)dx = 1+x 2 dv = dx v = x = x arctg(x) } = x 1 + x 2 dx = x arctg(x) 1 2 ln x2 + 1 + C.
Integración de funciones ir
Integración de funciones Integración de funciones Son integrales de la forma f(x)dx = p(x) q(x) dx, ir donde p(x) y q(x) son polinomios. Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el método de descomposición descrito a continuación. En otro caso, debemos efectuar la división de polinomios: f(x) = p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x), donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y el polinomio resto de la división.
Integración de funciones ir Ejemplo Calculemos x 2 x 1 dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x + 1)(x 1) + 1, por tanto: x 2 [ x 1 dx = (x + 1) + 1 ] dx = x 1 1 (x + 1) dx + x 1 dx = x2 /2 + x + ln( x 1 + C)
Integración de funciones Método de descomposición (grado(p) < grado(q)) Caso 1. grado(q) = n con todas las raíces reales y simples: q(x) = a 0(x x 1)(x x 2)... (x x n) ir Se realizará una descomposición en fracciones simples como sigue: p(x) q(x) = A 1 a 0(x x 1) + A2 x x 2 +... + An x x n, A i R, i = 1... n. A continuación se integrarán los sumandos de la descomposición obtenida: p(x) q(x) dx = A 1 a 0(x x dx + A 2 A n dx +... + dx = 1) x x 2 x x n = A1 a 0 ln x x 1 + A 2 ln x x 2 +... + A n ln x x n + C.
Integración de funciones Ejemplo Calcula 2x 3 x 2 3x+2 dx ir
Integración de funciones ir Ejemplo Calcula 2x 3 x 2 3x+2 dx Puesto que x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2), se tiene que 2x 3 x 2 3x + 2 = A1 x 1 + { 2x 3 = A 1(x 2) + A 2(x 1) Por tanto 2x 3 x 2 3x + 2 dx = A2 x 2 2x 3 A1(x 2) + A2(x 1) = x 2 3x + 2 (x 2)(x 1)) 1 x 1 dx + 2 = A 1 + A 2 3 = 2A 1 A 2 { A1 = 1 A 2 = 1 1 dx = ln x 1 +ln x 2 +C x 2
Integración de funciones Ejemplo 2x 3 2x 3 x 2 x dx = ir
Integración de funciones ir Ejemplo { 2x 3 Teniendo en cuenta: 2x 3 x 2 x dx = 2x 3 x 2 x = x(x 1)(2x + 1) ( A = x + B x 1 + C ) = 2x + 1 = 3 ln x 1 3 ln x 1 8 ln 2x + 1 + C, 3 donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo: 2x 3 2x 3 x 2 x = A x + B x 1 + } = C 2x+1 = A(x 1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x 1) = x(x 1)(2x+1) = x2 (2A+2B+C)+x( A+B C) A 2x 3 x 2, x para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A + 2B + C 2 = A + B C 3 = A A = 3 B = 1 3 C = 16 3
Integración de funciones Método de descomposición (grado(p) < grado(q)) Caso 2. grado(q) = k con alguna raíz real de multiplicidad k: q(x) = a 0(x x 0) k ir Descomposición en fracciones simples: p(x) q(x) = A 1 a 0(x x 0) + A 2 (x x 0) 2 + A 3 (x x 0) 3 +... + A k (x x 0) k. Integración de los sumandos obtenidos: p(x) q(x) dx = A 1 a 0(x x 0) dx + = A1 a 0 A 2 (x x dx + 0) 2 ln x x 0 +A 2 (x x 0) 1 1 A 3 (x x dx +... + 0) 3 +A 3 (x x 0) 2 2 A k (x x 0) k dx (x x 0) k+1 +...+A k +C. k + 1
Integración de funciones Ejemplo Calcula 3x+5 x 3 x 2 x+1 dx ir
Integración de funciones ir Ejemplo Calcula 3x+5 x 3 x 2 x+1 dx Puesto que x 3 x 2 x + 1 = (x + 1)(x 1) 2, se tiene que: 3x+5 x 3 x 2 x+1 = A 1 x+1 + A 2 (x 1) + A 3 (x 1) 2 3x+5 x 3 x 2 x+1 = A 1(x 1) 2 +A 2 (x 1)(x+1)+A 3 (x+1) (x+1)(x 1) 2 y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores también son iguales, los numeradores también lo serán: de donde Por tanto 3x + 5 = A 1 (x 1) 2 + A 2 (x 1)(x + 1) + A 3 (x + 1) 3x + 5 x 3 x 2 x + 1 dx = 0 = A 1 + A 2 3 = 2A 1 + A 3 5 = A 1 A 2 + A 3 1/2 x + 1 dx + A 1 = 1/2 A 2 = 1/2 A 3 = 4 1/2 (x 1) dx + 1/2 ln x + 1 1/2 ln x 1 3 (x 1) 2 dx = 4 (x 1)
Integración de funciones ir Ejemplo donde : { } 2x 3 Teniendo en cuenta: x 3 3x 2 + 3x 1 dx = x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) 3 = ( = A x 1 + ) B (x 1) 2 + C (x 1) 3 dx = ( 0 = x 1 + 2 (x 1) 2 + 1 ) 1 (x 1) 3 dx = 2 (x 1) + 1/2 (x 1) 2 + C 2x 3 x 3 3x 2 +3x 1 = A x 1 + B (x 1) 2 + lo que implica que A = 0, B = 2 y C = 1. Observación C (x 1) 3 = Ax2 +x( 2A+B)+(A B+C) (x 1) 3 Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raíces reales y complejas (simples y/o múltiples). Aquí sólo se tratará el caso anterior, y el caso en que la raíz compleja es de multiplicidad 1.
Integración de funciones ir Método de descomposición (grado(p) < grado(q)) Caso 3. q(x) tiene alguna raíz compleja simple. q(x) = k(x x 1) α 1... (x x p) αp [(x b 1) 2 + c 2 1]... [(x b k ) 2 + c 2 k] con k, x i, a j, c j R y α i N. Siempre es posible descomponer la fracción de esta forma: ( p(x) A 1 q(x) dx = 1 A α 1 1 + + x x 1 (x x +... 1) α 1 siendo M j, N j R + A1 p A αp p + + x x p (x x + p) αp M1x + N1 + [(x b 1) 2 + c 2 1 ] + + M kx + N k [(x b k ) 2 + c 2 k ] ) dx
Integración de funciones Ejemplo 1 x 3 +1 dx ir
Integración de funciones ir Ejemplo 1 x 3 +1 dx Puesto que x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 x + 1), se tiene que: 1 x 3 +1 = A 1 x+1 + A 2x+A 3 x 2 x+1 = A 1(x 2 x+1)+(a 2 x+a 3 )(x+1) (x+1)(x 2 x+1) 1 = A 1 (x 2 x + 1) + (A 2 x + A 3 )(x + 1) Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores Por tanto 0 = A 1 + A 2 0 = A 1 + A 2 + A 3 1 = A 1 + A 3 A 1 = 1/3 A 2 = 1/3 A 3 = 2/3 1 dx = 1/3 dx + 1/3x+2/3 dx = x 3 +1 x+1 x 2 x+1 = 1 ln x + 1 + 1/3x+2/3 dx 3 x 2 x+1 = 1 ln x + 1 1/6 2x 4 dx = 3 x 2 x+1
Integración de funciones ir Ejemplo (continuación) 1 x 3 +1 dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 2x 1+1 4 x 2 x+1 dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 2x 1 x 2 x+1 + 1/6 3 x 2 x+1 dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1/6 3 x 2 x+1 dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1/6 3 (x 1/2) 2 +3/4 dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1/6 3 4/3 4/3[(x 1/2) 2 +3/4] dx = = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1/6 4 ) 2+1 dx = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1 6 3 2 ( 2x 1 3 4 2/ 3 ( ) 2x 1 2+1 dx = 3 = 1 3 ln x + 1 1/6 ln(x2 x + 1) + 1 2/ 3 ( ) 3 2x 1 2+1 dx = 3 ( ) = 1 3 ln x + 1 ln x2 x+1 + 1 arctg 2x 1 6 3 3
Integración de funciones Método de descomposición (grado(p) < grado(q)) Caso 3.q(x) tiene alguna raíz compleja múltiple Por ejemplo, 2x 3 2x 2 +16 x(x 2 +4) 2 dx ir Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el método de Hermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas de cocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados en sucesivos pasos.
Integración de funciones ir
Integración de funciones ir -: f(sen(x), cos(x))dx Se convierten en integrales mediante la sustitución trigonométrica t = tan( x ), como sigue: 2 f(sen(x), cos(x))dx = = que es la integral de racional. Ejemplo dx sen(x) dx = = { t = tan( x 2dt ) dx = 2 1+t 2 sen(x) = 2t 1+t 2 cos(x) = 1 t2 1+t 2 ( 2t f 1 + t 2, 1 ) t2 2 1 + t 2 1 + t 2 dt, { t = tan( x 2 sen(x) = ) dx = 2dt 1+t 2 2t cos(x) = 1 t2 1+t 2 1+t 2 1 t dt = ln t + C = ln tan( x 2 ) + C. } } = =
Integración de funciones ir Observaciones Existen varios tipos de integrales que se pueden racionalizar con cambios más sencillos. Son los siguientes: 1 f(sen(x), cos(x))dx, donde f( sen(x), cos(x)) = f(sen(x), cos(x)). Cambio t = cos(x). 2 f(sen(x), cos(x))dx, donde f(sen(x), cos(x)) = f(sen(x), cos(x)). Cambio t = sen(x). 3 f(sen(x), cos(x))dx, donde f( sen(x), cos(x)) = f(sen(x), cos(x)). Cambio t = tan(x).
Integración de funciones ir Ejemplo = dx sen(x) dx = { t = cos(x) dx = dt 1 t 2 sen(x) = 1 t 2 cos(x) = t 1 1 t dt = 1 2 2 ln t 1 t + 1 + C = 1 2 ln cos(x) 1 cos(x) + 1 + C. Ejemplo t = sen(x) dx = dt cos 3 1 t 2 (x) dx = cos(x) = = 1 t 2 sen(x) = t = 1 t 2 dt = t t3 3 + C = sen(x) sen3 (x) + C. 3 } =
Integración de funciones ir ir
Integración de funciones ir ir del tipo f(x, x 2 ± a 2 )dx, f(x, a 2 x 2 )dx con a R, se convierten en integrales mediante los cambios 1 f(x, a 2 x 2 )dx: cambio x = a sen(t). 2 f(x, x 2 a 2 )dx: cambio x = a sen(t). 3 f(x, x 2 + a 2 )dx: cambio x = a tan(t).
Integración de funciones ir Ejemplo a { x = a sen(t) 2 x 2 dx = dx = a cos(t)dt } = a 2 que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos 2 (t) se transforma en cos 2 (t)dt ir a 2 cos 2 (t) dt = a 2 2 t + a2 a2 sen(2t) + C = 4 2 t + a2 2sen(t) cos(t) + C = 4 a 2 2 t + a2 4 2 sen(t) 1 sen 2 (t) + C = a 2 2 arc sen x a + x a 2 x 2 + C. 2
Integración de funciones ir Ejemplo x2 + a 2 dx = ir
Integración de funciones ir ir Ejemplo = x2 { } x = a tan(t) + a 2 dx = = a 2 dx = adt cos 2 (t) { y = sen(t) dt = dy 1 y 2 cos(t) = 1 y 2 sen(t) = y = a2 4 } = a 2 1 cos 3 (t) dt = 1 (1 y 2 ) 2 dt = ( ) 1 (1 y) + 1 2 (1 y) + 1 (1 + y) + 1 dt = 2 (1 + y) = a2 4 ( 2y 1 y 2 + ln y+1 y 1 ) + C = { } Deshaciendo los cambios: = y = sen t = 1 tan tan(t) = x = 2 (t) x 2 a 2 = x 2 x2 + a 2 + a2 ln x+ 4 x x 2 +a 2 x 2 +a 2 + C
Integración de funciones ir ir del tipo ( ) ax + b f x, n dx cx + d Se convierten en integrales mediante el cambio Ejemplo dx 1 + 3 x + 1 dx = = 3 (t 1)dt + 3 Cambio: t = 3 x + 1 dx = 3t 2 dt t = n ax + b cx + d = 3 t 2 dt 1 + t = dt 1 + t = 3 t(t 2) + 3 ln(t + 1) + C = 2 = 3 3 x + 1( 3 x + 1 2) + 3 ln( 3 x + 1 + 1) + C 2