Pricipio de Superposició y Odas Estacioarias. Física Geeral TEMA 4: Pricipio de Superposició y Odas estacioarias. Itroducció. Cuado dos odas se ecuetra e el espacio, sus perturbacioes idividuales, represetadas por las fucioes de oda, se superpoe y se suma algebraicamete origiádose así ua ueva oda. Las odas que se observa e la aturaleza raramete so ta secillas como las odas armóicas, ya estudiadas: así, la oda que se forma sobre la cuerda de ua guitarra tiee ua forma complicada y diferete de la oda armóica. Tambié, de u solo golpe sobre ua cuerda muy larga se origia ua oda viajera e forma de pulso, que o es ua fució siusoidal (armóica). Por su parte, las odas armóicas os permite compreder las odas más complicadas: así podemos combiar la odas armóicas, o superpoerlas, para obteer la forma de cualquier oda de la Naturaleza. Las odas superpuestas, que a veces se aula y a veces se refuerza etre sí, diremos que iterfiere. La superposició de las odas armóicas recibe el ombre de iterferecia. La iterferecia, como la difracció, so feómeos característicos de las odas, que las partículas clásicas o posee. Así, e 80, el descubrimieto por parte de Youg de la iterferecia de la luz, codujo al establecimieto de ésta como oda, e cotra de la opiió de Newto que la cosideraba corpuscular. El estudio detallado de la luz y de las partículas subatómicas llevó al establecimieto de la mecáica cuática.. Pricipio de superposició: Cosideremos dos pulsos que se propaga sobre ua misma cuerda co setido opuesto, como se ve e la figura 6.. Cuado ambos se ecuetra, podemos saber cual es la perturbació resultate de la cuerda sumado los desplazamietos (perturbacioes) origiadas para cada ua de las odas idividualmete. y(x,t)=y (x-vt)+y (x+vt) Pricipio de superposició. El pricipio de superposició afirma: Cuado dos odas se combia, la oda resultate es la suma algebraica de las odas idividuales. E el caso de que las dos odas sea idéticas, pero co valor iverso, llega u mometo e el que la suma de los pulsos produce u desplazamieto ulo del puto de equilibrio. Si embargo, hay que advertir
que esto o sigifica que las odas se aule, pues u istate posterior sigue su camio. El feómeo de la superposició es propio de las odas. Figura 6. Pulsos de ua oda iguales (ivertidos) co setidos opuestos. La separació de la cuerda e cada puto e istate se obtiee sumado directamete las separacioes que origia cada oda por separado. Obsérvese que cuado los desplazamietos idividuales so opuestos, la cuerda queda e la posició de equilibrio. Liealidad de la fució de odas y el pricipio de superposició. La ecuació de odas preseta la propiedad de ser lieal, de hecho solamete iterviee e su defiició la fució y sus derivadas a la primera potecia. La cosecuecia imediata de la liealidad es que si Y y Y so solucioes de la ecuació de odas, tambié lo es cualquier combiació lieal de estas: Y e Y solucioes de oda C Y +C Y solució de oda. Demostradlo!. 3. Pricipio de superposició: iterferecia de odas armóicas. La superposició de las odas armóicas recibe el ombre de iterferecia. La iterferecia de las odas armóicas depede directamete de cómo sea la diferecia de fase de éstas. Sea dos odas desfasadas e δ, co el mismo úmero de odas y amplitud, propagádose hacia la derecha (Figura 6.). Las ecuacioes de oda so: y = A si(kx ωt) y = A si(kx ωt+ δ) Figura 6. Dos odas armóicas desfasadas e δ. Las figuras y su umeració sigue el libro de P. Tipler, Física para la ciecia y la tecología, 4ª Edició. Ver P. Tipler, págia 480 y P. Fishbae págia 45.
Que os da para la oda resultate (P. Superposició): + y = A si(kx ωt) + A si(kx ωt+ δ) δ δ = A cos si(kx ωt+ ) y Éste es el caso geeral de la iterferecia de dos odas armóicas de la misma frecuecia. Obsérvese que, e geeral, hemos ecotrado como superposició de dos odas armóicas de la misma frecuecia, otra oda armóica resultate que se propaga co la misma velocidad y frecuecia, co ua ueva fase de δ/, y co ua amplitud A cos (δ/), que depede de la diferecia de fases. Casos particulares: a) Si la diferecia de fase δ es ula, teemos iterferecia costructiva pues las amplitudes se suma (fig.6.3): Figura 6.3 Iterferecia costructiva. y + y = A si(kx ω t) b) Si la diferecia de fase es δ=π, teemos iterferecia destructiva: (Figura 6.4) Figura 6.4. Iterferecia destructiva de dos odas armóicas desfasadas π radiaes. + y = A si(kx ωt) + A si(kx ωt+ π) = A si(kx ωt) A si(kx ωt) = 0 y 3
3. Pulsacioes (o batidos). Deomiamos pulsació o batido a las variacioes e la itesidad de u soido, que se produce cuado dos odas de frecuecias próximas iterfiere etre sí. Ejemplo: cuado se afia ua guitarra comparado su soido co el de otra, aparece variacioes de la itesidad soora para ua misma ota. Frecuecia de pulsació es el ombre que recibe la frecuecia de variació de la itesidad soora. Descripció del feómeo: Supogamos que llega a u puto dos odas de frecuecias agulares próximas ω y ω, y co la misma amplitud. Imagiemos que e el istate iicial (Figura 6.5) las odas que llega a u puto se ecuetra e fase. Como la frecuecia de ua de las odas es ligeramete superior a la otra, esta última irá retardádose, aumetado su desfase respecto de la primera, hasta ecotrarse e oposició de fase (istate t e la figura). E el istate t las odas se ecuetra e fase de uevo (desfase π e realidad) y se sumará las amplitudes de las dos odas. Descripció matemática: Las vibracioes de les odas e el puto cosiderado será 3 : p p = p = p 0 0 si ω si ω y la suma ( P. de Superposició y trigoometría) p = p + p = p0si ωt + p0si ωt = = p0 cos ( ω ω)tsi ( ω +ω)t Sea ω m = ( ω + ω) = πf m la frecuecia media, y así mismo ω = ω ω = π f la diferecia de frecuecias, tedremos: p = p t t cos( π ft)si( 0 π La figura 6.5 os muestra ua represetació de la variació de presió e fució del tiempo, bajo las hipótesis de dos odas de frecuecias próxima. El oído percibe la frecuecia media f m co ua amplitud oscilate p 0 cos(π ft) de frecuecia f/. Ahora bie, la frecuecia de batida es f, ya que los máximos de itesidad aparece tato para los máximos de amplitud como para sus míimos. f m t) 3 E las ecuacioes siguietes hemos elimiado la depedecia espacial que o desempeña igú papel. 4
f batido = f Ejemplos. Figura 6.5 4 Batidos o pulsacioes producidos por dos odas sooras de frecuecias próximas. El istate iicial t=0 se ha elegido cuado las dos está e fase. E t y t 3 se ecuetra desfasadas e π radiaes. E t 0, t se halla e fase. 3. Diferecia de fase origiada por diferecia de trayectoria. Cuado dos odas llega a u puto e fase, hemos visto que la amplitud resultate es la suma, y que si lo hace e oposició de fase, la amplitud resultate es la diferecia (ula si A =A ). Así, sabemos que: p = p0si(kx ωt) p = p0si(kx ωt+ δ) os da: p = p + p = p0si(kx ωt) + p0 si(kx ωt+ δ) = δ δ = p cos si 0 kx ωt+ Ua forma usual de obteer diferecias de fase etre odas de la misma frecuecia (y logitud de oda) es hacerles recorrer trayectorias de logitud diferete, como se ve e la figura 6.6, dode se origia ua iterferecia costructiva. La diferecia de camios es u múltiplo etero de la logitud de oda 5 λ, llegado al puto las dos odas e fase y sumádose las amplitudes. Figura 6.6. Iterferecia costructiva, a la izquierda, para diferecia de camios múltiplo etero de λ. Iterferecia destructiva, a la derecha, para diferecia de camios, múltiplo impar de λ/. E el caso geeral (odas e fase co diferecias de camios) podemos escribir: 4 Observad que el dibujo preseta ciertas icoherecias, ya que la derivada de la oda resultate o puede ser discotiua y las odas debería coicidir e míimos ates que e máximos e t. 5 Obsérvese que ua diferecia de camios λ, correspode a ua diferecia de fase de π, mietras que λ/ correspode a π. 5
p = p0 si(kx ωt),y, p = p0si(kx ω que os produce ua diferecia de fase δ: δ = ( ωt) ( kx ωt) = k( x x ) = k x kx x δ = π λ p + p = p0 cos o = ( 360 ) λ x ( δ/) si( kx t) ω que represeta la diferecia de fase origiada por trayectorias distitas, e odas harmóicas. E la figura 6.8.a y b se preseta el esquema de las odas producidas por dos focos putuales separados por ua pequeña distacia y oscilado e fase, (cubeta de odas). Las separacioes etre las crestas so de logitud de oda λ. Los solapamietos de las crestas, (correspodietes a u úmero etero de logitudes de oda e diferecia de camios), origia iterferecia costructiva. Etre cada dos máximos, hay ua iterferecia destructiva (míimo), correspodiete a u úmero impar de semilogitudes de oda e el camio de los rayos. t) Figura 6.8 Iterferecia de dos focos putuales coheretes que oscila e fase e ua cubeta de odas. Las líeas a trazos idica los putos para los que las logitudes de los trayectos de los dos focos difiere e u úmero etero de logitudes de oda, iterferecia costructiva. Equidistates de las líeas de trazos, se ecuetra las líeas odales, e las que la iterferecia es destructiva. Ua cuestió que os debemos platear: la coservació de la eergía. Si la eergía trasportada por la oda es proporcioal al cuadrado de la amplitud resultate, ocurrirá que e los putos de iterferecia costructiva la eergía será cuatro veces la de ua sola oda. Por el corario, e los putos de iterferecia destructiva será ula. La figura 6.9 muestra la itesidad de la oda resultate a partir de dos focos, e fució de la diferecia de trayectorias. Observemos que la itesidad media es la que cabe esperar para o violar el pricipio de coservació de la eergía. 6
Figura 6.9 Itesidad de la oda resultate e fució de la diferecia de camios para dos focos e fase. I 0 es la itesidad de cada foco. 3.3 Cocepto de coherecia. Los sistemas físicos reales obedece el pricipio de superposició. Qué codicioes se debe cumplir para que las odas de dos fuetes distitas presete u patró de iterferecia? Si las odas que emite las dos fuetes fuera de distita frecuecia y fase, variado al azar, uca se presetaría u comportamieto coherete de iterferecia, puesto que las iterferecias cambiaría ta rápidamete de ubicació que o podría ser recoocidas. Lo mismo ocurre si las odas que iterfiere so armóicas, pero la diferecia de fase cambia de forma errática. Las iterferecias (costructivas y destructivas) se producirá siempre que tratemos co odas armóicas y las fuetes tega ua diferecia defiida y estable etre sus frecuecias y fases. Diremos que dos focos so coheretes (icoheretes) si la diferecia de fase etre ambos (o) es costate co el trascurso del tiempo. Si las fuetes so icoheretes el feómeo de la iterferecia 6 o aparece ubicado e el espacio, sio que varía cotiuamete de lugar, o se observa por tato igú esquema de iterferecia, y la itesidad es suma directa de las itesidades de cada oda. 4. Odas estacioarias. Cuado las odas se ecuetra cofiadas e el espacio, como ocurre co las odas que se forma e ua cuerda de guitarra, e la que los extremos so fijos, las odas so reflejadas e dichos extremos, existiedo por tato odas propagádose e ambas direccioes que se combia de acuerdo co el pricipio de superposició. E cosecuecia existirá iterferecia etre las odas, que para uas será destructiva y para las otras será costructiva. 6 Las codicioes de visibilidad de las iterferecias y el cocepto de coherecia se verá co detalle e el tema. 7
El resultado es que, para ua cuerda de determiadas características, ta sólo hay ciertas frecuecias (discretas) para las que el pricipio de superposició os da u esquema vibratorio estacioario posible, que se deomia odas estacioarias. Este feómeo es importate por ejemplo, e los istrumetos musicales y e Mecáica Cuática (odas de probabilidad). 4. Cuerda fijada por sus dos extremos. Es el ejemplo típico de las cuerdas de los istrumetos musicales. El hecho de que los dos extremos esté fijos, y por tato ecesariamete de amplitud ula e todo mometo, impoe ua fuerte restricció sobre las odas que se puede propagar e el seo de tales cuerdas (figura 6.). Las frecuecias permitidas recibe el ombre de frecuecias de resoacia. La más baja de todas, se deomia fudametal o primer armóico. E la figura se ve la existecia de odos y vietres, para cada armóico, es decir putos de amplitud ula y máxima respectivamete. Como se observa e la figura, la codició de resoacia para el armóico de orde es: λ L =, =,,3..., Codició de oda estacioaria, para ua cuerda co los dos extremos fijos Figura 6.. Odas estacioarias sobre ua cuerda fijada por los dos extremos. Obsérvese los odos (N) y atiodos (A) o vietres. 8
Las frecuecias f de vibració las podemos deducir como: v v v f = = f = = λ (L / ) L f v siedo f la frecuecia fudametal que toma u valor, f =. L F Como la velocidad de propagació de la oda es: v =, se tiee: µ f = L F µ Ejemplo del diapasó coectado a ua cuerda para compreder las logitudes de resoacia de ésta. Figura 6.3. Ua cuerda de logitud L, está fija por u extremo y por el otro coectada a u diapasó que vibra co frecuecia propia f. Esta frecuecia o es igua de las frecuecias aturales (o de resoacia) de la cuerda. Las odas itroducidas e la cuerda rebota e el extremo fijo, se ivierte y vuelve hacia el diapasó. Si el tiempo que utiliza la oda para recorrer la distacia L coicide co el período del diapasó, se produce u solapamieto (iterferecia costructiva) etre la oda reflejada dos veces y la oda que e ese mometo emite el diapasó. Como cosecuecia, la oda resultate habrá duplicado la amplitud. Tambié se producirá resoacia, si el tiempo que tarda la oda e recorre L es u múltiplo etero del período del diapasó. La codició de resoacia es pues: L v = T f = v L Figura 6.3 Odas producidas sobre ua cuerda por u diapasó, cuya frecuecia o coicide co las frecuecias aturales (o de resoacia) de la cuerda. La oda reflejada (gris) dos veces sobre los extremos, o se ecuetra e fase co la que sale del diapasó: o hay iterferecia costructiva, y la resultate es la líea egra. Cuado la frecuecia del diapasó o coicide co igua de las frecuecias aturales o de resoacia de la cuerda, las odas estacioarias o llega a producirse. Ejemplos de aplicació. 9
4. Cuerda fija por u solo extremo. La figura 6.5, aclara lo que pasa e este caso. El extremo libre será ahora u vietre, y la codició de odas estacioarias la escribiremos: Figura 6.5 Odas estacioarias e ua cuerda fija por u solo extremo. L =, λ 4, =, 3,5. Codició de oda estacioaria, u solo extremo fijo. Las frecuecias de las odas estacioarias viee dadas por: v v f = = = f =, 3, 5,... λ 4L dode la frecuecia fudametal es ahora: f = Úicamete ha quedado los armóicos impares. Se ha perdido los armóicos pares, respecto del caso aterior. 4.3 Odas sooras estacioarias. U ejemplo de odas estacioarias sooras so las producidas e los istrumetos musicales, por ejemplo u órgao. Los órgaos se costruye co los dos extremos abiertos (órgao abierto) o uo de los extremos cerrado (órgao cerrado). Dado que la presió del aire e el iterior y exterior de u extremo abierto es la misma (atmosférica), éste represetará u odo de presió, mietras que u extremo cerrado debe represetar u vietre. Comparad su comportamieto, desde el puto de vista de las odas estacioarias, co el de ua cuerda 7. v 4L 7 Ver. P. Tipler, págia 49. Recordar el desfase existete etre la oda de desplazamieto y la de presió. 0
4.4 Fucioes de oda estacioaria: superposició. Ya hemos visto que las odas, por el hecho de propagarse exhibe ecesariamete el argumeto propio de la propagació. Ahora bie, cuado se trata de odas estacioarias, las codicioes de cotoro, es decir, el hecho de que las amplitudes debe ser ulas e los extremos, impoe fuertes restriccioes sobre las posibles frecuecias de propagació y además sobre la forma de la ecuació de la oda misma, que como vamos a ver, puede simplificarse. E efecto, sea y + (y - ) la oda que es propaga hacia la derecha (izquierda). y + =A si(kx-ωt) y - =A si(kx+ωt) dode, como es usual k=π/λ es el úmero de odas y ω=πf es la pulsació o frecuecia agular. La suma de ambas odas debe escribirse como: y ( x,t ) = y+ + y = Asi( kx ωt) + Asi( kx+ωt)= Acos( ω t) si( kx) Si la cuerda está fija por ambos extremos, (codicioes de cotoro), debe cumplirse que las elogacioes e x=0 y x=l ha de ser ulas e cualquier istate, por tato: λ si(kl)=0 k L = π, =,,3.. = que es la misma codició de oda estacioaria establecida ates. Fialmete, las ecuacioes de las odas estacioarias las escribiremos: y(x,t) = A cos( ωt)si(k x) dode A es la amplitud del harmóico resoate de orde, k es el úmero de odas (discretas por las codicioes de cotoro) correspodiete y ω la frecuecia agular correspodiete. E geeral, u sistema vibrate o lo hace co u úico armóico aislado, sio que el movimieto es la composició o superposició de todos o parte de los armóicos permitidos. Así, la fució de oda (por ejemplo de ua cuerda de guitarra vibrate) es ua combiació lieal (o superposició) de les fucioes de oda armóicas permitidas: L
y (x,t) = = = A si k ( x) cos( ω t) La ecuació aterior se puede iterpretar para cada armóico como que cada puto de la oda estacioaria vibra co ua amplitud, que depede de la posició A si (k x) y co la frecuecia agular del armóico ω. Figura 6.. Ua cuerda pulsada por el cetro. Al dejarla libre, su vibració es ua combiació lieal de odas estacioarias. Figura 6.. Los cuatro primeros armóicos de la cuerda. Por la simetría del problema solamete cotribuye los armóicos impares al caso aterior. Figura 6.3. Solamete co los tres primeros armóicos impares se reproduce casi la forma de la cuerda pulsada: observad que todos cotribuye a la vibració. 4. Aálisis de armóicos. Dos otas iguales tocadas por diferetes istrumetos tiee el mismo too, pero timbre diferete. El too hace referecia a la frecuecia del armóico pricipal y el timbre a las diferetes itesidades relativas de los armóicos secudarios que lo acompaña. El oído humao es u extraordiario detector de soidos, pues es susceptible de distiguir que u clariete y u piao da la misma ota, por ejemplo la (es el too), y distiguir los istrumetos (que tiee ua composició diferete de armóicos). Otra cualidad del soido es su itesidad, que como ya hemos visto, se relacioa co la eergía que trasporta la oda soora. La figura 6.3 os muestra las formas de oda correspodietes a u diapasó, u clariete y u oboe. El diapasó prácticamete es u soido fudametal, si armóicos superiores. E cambio, esto o ocurre e otros istrumetos que tiee u riqueza apreciable de armóicos superiores. El aálisis de Fourier es u procedimieto matemático para desarrollar cualquier forma de oda (periódica) e fució de los armóicos que la compoe. E el caso de los istrumetos ateriormete
citados, el aálisis de Fourier os da las composicioes de los armóicos que se ve e la figura 6.4. Figura 6.3 Formas de oda para diferetes istrumetos: diapasó, clariete, oboe, co la misma itesidad aproximadamete. Observad que por tratarse de la misma ota (frecuecia de fudametal), todas las formas de oda preseta los mismos odos. Figura 6.4. Itesidades relativas de los armóicos para las odas de la figura aterior, mediate aálisis de Fourier. Obsérvese que las odas de la figura6.3 so periódicas, puesto que se repite a itervalos iguales de la variable idepediete (el tiempo e este caso), que o está restrigido a u itervalo fiito (como e los paquetes de oda). La restricció e este caso se basa e que todas las odas que tiee que daros el resultado periódico, debe aularse e los mismos putos (ver figura 6.3), y esto solo se puede obteer co los armóicos de frecuecia múltiple. Figura 6.5. Figura 6.5. Oda cuadrada periódica y sus primeros armóicos. Todos ellos debe cumplir que se aula e el puto e el que lo hace la oda: restricció. Hoy e día se ha hecho muy frecuete obteer uevos soidos mediate procedimietos basados e el uso de ordeadores. Estos procedimietos, cotrarios al aálisis de Fourier, se deomia sítesis de soidos mediate los harmóicos: u ejemplo puede verse tambié e la figura 6.5. 3
5. Paquetes de oda y dispersió. Las odas reales aparece ormalmete e forma de pulsos o paquetes de odas, que so perturbacioes (del medio) co u iicio y u fial. Las odas armóicas que hemos estudiado, co seo y coseo, so ua idealizació de la realidad, ya que o tiee iicio i fial. Así pues, para eviar ua señal (que es fiita) portadora de iformació y eergía, a u puto del espacio, o se puede usar odas armóicas, sio que se debe usar paquetes de oda. La diferecia fudametal etre las señales estudiadas e el apartado aterior y los paquetes de oda es que aquellas so periódicas y se repite idefiidamete e el tiempo, si iicio i fial, mietras que los pulsos está localizados e el tiempo co u iicio y u fial, y cuya duració deomiaremos t. Los pulsos o paquetes o preseta igua dificultad matemática i coceptual. De modo que so solució la ecuació de odas, co su depedecia explícita del argumeto de propagació (x±vt), como ocurre co u pulso de forma gaussiaa, y que por tato se propaga e el espacio. (z x,t) ( ( x vt )/ α z ) 0 e = Pulso de forma gaussiaa. dode se observa que la costate α represeta la achura (duració) del paquete. Los paquetes de oda se puede descompoer matemáticamete como superposició (suma) de odas armóicas, que a diferecia de la descomposició de Fourier del aálisis de armóicos, es cotíua e ω. Ahora bie, la restricció espacial del pulso, se traduce aquí e ua restricció e las frecuecias agulares ω de les odas armóicas que lo costituye. Esta descomposició se efectúa matemáticamete mediate ua técica coocida como trasformacioes de Fourier: si el pulso tiee ua duració temporal t, se ecuetra que tambié dispoe de ua amplitud de frecuecias agulares ω. Esto quiere decir que u pulso está costituido por u cojuto cotíuo de odas próximas a u valor ω 0. Usado estas técicas, se demuestra que si la amplitud del pulso e el tiempo es t, la amplitud del pulso e las frecuecias ecesarias para describir el paquete es ω, de modo que se verifica que: w t k x 4
u pulso de corta duració tiee ua amplitud e las frecuecias que la compoe relativamete grade, y viceversa. Las ateriores relacioes so de gra importacia, puesto que se debe verificar para todo tipo de odas, y e particular debe verificarse e el cotexto del mudo microscópico de los átomos, e el que recibe el ombre de relacioes de icertidumbre. Si u paquete de odas debe mateer su forma al propagarse por u medio material, es ecesario que todas las odas armóicas que lo costituye se propague a la misma velocidad e el medio. Etoces, se dice que el medio es o dispersivo. E los medios dispersivos, si bie geeralmete la velocidad de las odas o varía demasiado, el paquete se deforma durate la propagació, ya que uas odas se adelata a las otras. Se deomia velocidad de fase a la velocidad de las odas armóicas e el medio, (diferete para cada uo de los armóicos que compoe el paquete) y velocidad de grupo a la velocidad global del paquete (úica para el paquete). Lecturas recomedadas: Paquetes de oda y dispersió. P. Tipler, págia 496. Descomposició de Fourier de pulsos y el pricipio de icertidumbre. P. Fishbae, págia 47 y siguietes. 5