.- RADICACIÓN Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios problemas..1 Radicación: Definición, Propiedades Operaciones con radicales.. Etracción de factores de un radical. 18. Epresiones Conjugadas Racionalización. 1
Radica ción Programa de Apoo Didáctico Matemáticas RADICACIÓN MOTIVACIÓN La visión del universo que tenían el sabio Pitágoras de Samos sus discípulos, estaba dominada por sus ide naturales gobernaban todo cuanto eistía as filosóficas acerca del número. Decían que: el número natural las proporciones entre números Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos, a través del Teorema de Pitágoras, demostró que esta afirmación era falsa, a que ellos mismos se dieron cuenta de la eistencia de un número que no era natu El triángulo cuos catetos son ambos de medida 1, fue ral tampoco se podía epresar como fracción alguna. el que originó el derrumbe de dicha teoría filosófica.
El triángulo en cuestión es el siguiente: Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo viene dado por la suma de los cuadrados de los catetos. 1 c 1 donde : c 1 + 1 c Es decir, el número que representa la longitud de la hipotenusa c, de un triángulo rectángulo isósceles con lados de medida 1, se representa como, se lee raíz cuadrada de nos indica aquel número que elevado al cuadrado es igual. Como a sabemos no es un número entero ni un número racional, este número es considerado dentro de los números reales como un irracional. En la radicación también se presentan los siguientes casos: a)cuando multiplicamos decimos entonces que es la raíz cuadrada de se indica. b)cuando multiplicamos 1 decimos entonces que es la raíz cúbica de 1 se indica 1. Resolver problemas como estos: c)vas a construir una cerca alrededor del jardín cuo terreno es cuadrado. Se sabe que el jardín tiene 1 m. El problema es determinar cuantos metros de cerca tienes que comprar para cercar todo el jardín. Si l es la longitud del lado del cuadrado, entonces, la ecuación que nos queda resolver es
l 1. En base a esto, podemos decir, que encontrar la raíz n ésima de un número h, es encontrar un número r, tales que r n h a esta operación se le llama radicación, la cual trataremos en esta unidad. Con el dominio de las propiedades de la radicación, podemos manejar eficientemente las relaciones entre elementos de un problema, donde estén involucrados epresiones radicales. Objetivo Aplicar correctamente las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios problemas Para el logro de este objetivo se contemplan los siguientes temas: Contenido Radicación: Conocimientos Previos Definición, Propiedades Ejemplos. Etracción e introducción de factores en un radical. Epresiones conjugadas, Racionalización. Tener en cuenta: Leer los contenidos previos que debes conocer, antes de iniciar el estudio de este módulo. En la columna izquierda encontrarás algunas audas comentarios que te serán de utilidad, a medida que vaas leendo el material. Resuelve nuevamente cada ejemplo por tu cuenta compara los resultados. A medida que estés resolviendo los ejemplos, analiza el procedimiento aplicado en cada paso. Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados. Intercambia ideas, procedimientos soluciones con otros compañeros.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Pre requisitos Números Racionales Operaciones con números fraccionarios: Adición sustracción con igual o diferente denominador, Multiplicación división de un número entero por un número fraccionado. Potenciación: Lees de la Potenciación: Con números positivos negativos: Potencia de un producto. Potencia de un cociente. Potencia de una potencia. Epresiones Algebraicas: Términos semejantes Agrupación de términos semejantes, para sumar restar. Comprobación 1) Para resolver las siguientes epresiones : i. aplicamos la le de potenciación : Potencia de una potencia, que consiste en multiplicar los eponentes : colocarlo como un único eponente, es decir ii. ( ) iii., aplicamos la le de potenciación: el producto de las bases con un mismo eponente. 7 + 7 7 7 8 7, en este caso, en el producto de potencias de igual base, se suman los eponentes. iv. Para el caso de la división de potencias de igual base, los eponentes se restan: 7 7 1 1 10 1 10
DESARROLLO RADICACIÓN: Si se desea encontrar los valores de equis () que satisfacen la igualdad., estos son los números Para comprobar este hecho, elevamos al cuadrado cualquiera de los valores dados da como resultado. A los valores de una incógnita, en este caso (), que satisfacen una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( ) es igual a la raíz cuadrada de, se denota así: ±. Se utiliza el símbolo para indicar un radical. La epresión n raíz n ésima( ) son: m se lee : n de equis( ) es el signo radical a la eme( ) m sus partes m es la cantidad sub radical ( n ) es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo maor que uno. Las raíces surgen como una forma alterna de epresar resolver potencias, tal como se mostró en el ejemplo anterior.
Una potencia de eponente fraccionario se puede escribir como raíz, es decir, si tenemos m n, esto es igual a n m. De aquí se puede generalizar que la epresión sub radical consta de una base un eponente. Para convertirlo en potencia con eponente fraccionario consideramos: La base de la potencia es la base de la epresión subradical ( ). Las raíces más utilizadas son las que se leen como: Raíz cuadrada ( ), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se sobreentiende que es dos() Raíz cúbica Raíz cuarta Raíz quinta Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice. El numerador del eponente fraccionario es el eponente de la base en la cantidad sub radical ( m ) su denominador es el índice del radical ( n ) Se considera el caso particular cuando m 1, podemos definir la siguiente equivalencia: n r sí solo si Criterio de eistencia de la raíz n ésima de un número, n : EQ. 1 (a) Si el índice n es par es positivo, eisten dos raíces n ésimas reales de, una positiva otra negativa. Pero la epresión n sólo está referida a la positiva. Es decir, las dos raíces n ésimas de son n n n. Sin embargo, los números reales negativos no tienen una raíz real cuando el índice es par.
Por ejemplo, 81 tiene dos raíces cuadradas, 9 9, 9 ( 9) 81 pues 81. tiene dos raíces cuartas Sin embargo,. 6 no tiene raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da 6, es decir 6 no eiste, no es un número real. Por lo mismo, no tiene raíz cuarta. (b) Si el índice n es impar, cualquiera sea el número real,, positivo o negativo, tiene una única raíz n ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es, 8, la raíz cúbica de 7 es, 7
Propiedades de los Radicales: El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto. Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub radicales con el mismo índice, en términos generales: n a n b n a b Ejemplo 1: Escriba el siguiente producto de raíces como la raíz de un producto. Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo el mismo índice se epresan las cantidades sub radicales como un producto.. 6 Respuesta: 6 El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente. Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub radicales con el mismo índice, en términos generales: n n a b n a b
Ejemplo : Escriba el siguiente cociente de raíces 6 como una la raíz de un cociente. Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación. Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez manteniendo el mismo índice, se epresan las cantidades sub radicales como un cociente. Respuesta: 6 6 6 Potencia de una raíz: 1 Escribir una raíz elevada a una epresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub radical elevada a esa misma epresión, es decir: n m n m ( a ) a Ejemplo : Resolver ( ) ( ) ( ) 6 1 Respuesta: ( ) 6 Vamos a eplicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente ejemplo:
Ejemplo : Resolver ( ) ( ) ( ) Respuesta: ( ) 1 1 Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede eistir otro signo radical, como por ejemplo 7 o varios como z. Raíz de una raíz: Resolver esto es mu fácil, sólo se deben multiplicar los índices de los radicales escribir un nuevo radical con este resultado como índice se conservan las cantidades sub radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma: n m n m a a Ejemplo : Resolver a b Para la epresión a b, multiplicamos los índices de los radicales dados (. 6) este será el nuevo índice del radical resultante la cantidad sub radical se conserva. Respuesta: b 6 a a b
NOTA: No eiste ninguna propiedad que distribua la suma o la resta en un radical. Errores como a b a + b o +, son comúnmente vistos en la resolución de ejercicios en matemáticas preocupan a los profesores, continúan despistando a los estudiantes. Considero que para enfrentar este problema académico se tiene que prevenir que se cometa el error e implica preguntarse en qué momento se enfrenta el estudiante por primera vez con epresiones similares. Entre ellas están: las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos los conceptos trabajados previamente, las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) la dimensión lineal (longitud). Dado que la raíz no se puede distribuir, entonces a b a + b o +. Y para resolver estas epresiones: a b o, tenemos primero que resolver lo que ha dentro de la raíz.
Operaciones con radicales Para sumar restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes. Definición: Dos o más radicales son semejantes cuando poseen el mismo índice la misma cantidad sub-radical. Por ejemplo: 7 6 7 7 1 1 Son radicales semejantes: a que en ambos el índice de la raíz es la cantidad sub radical es. No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad subradical es la misma. No son radicales semejantes: porque las cantidades sub radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales. Son radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub radical el índice de cada una de las raíces son iguales.
Adición Sustracción de Radicales: Una vez que haas aprendido los conceptos de radicales semejantes, puedes seguir los pasos para sumar o restar radicales: Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes. Si a simple vista no lo son, trata de etraer factores o realizar algunas operaciones indicadas hasta comprobarlo, si es posible. Paso : Conserva igual la parte radical de las epresiones a sumar (o restar). Luego suma (o resta) los coeficientes, al hacer esto sólo estás factorizando la epresión por factor común. Nota: En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, sumar los coeficientes directamente, es 7 decir: + 1. Observamos que los tres términos tienen en común el radical, por lo tanto son términos semejantes sacamos factor común : + 7 Ejemplo 6: Resolver 7 Respuesta: + ( ) 7 + 1. 6 1 Factor + 7 común + Ejemplo 7: Resuelve 6 + 6 + 90 0 + 8 98 9 60 60 0 6 9 + 0 Respuesta: Ejemplo 8: Resuelve 10 + 6 10 + 6
Identificamos cuales son términos semejantes luego los agrupamos. Etraemos el factor común de cada agrupación sumamos ( o restamos) los coeficientes. ( 10 ) + (6 ) ( 10 ) + ( 6 ) 6 + Respuesta: 10 + 6 6 + Multiplicación división de radicales con índices iguales Cuando los índices de los radicales son iguales, procedemos a utilizar la propiedad: El producto (el cociente) de raíces con igual índice es la raíz del producto o cociente. Esta propiedad nos indica que resolver el producto ( o el cociente) de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto ( o el cociente) de las cantidades sub radicales con el mismo índice: n a n b n a b n n a b n a b Multiplicación división de radicales con índices diferentes Cuando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realizar los siguientes pasos:
Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz. Paso : Se divide el m.c.i. entre los índices de cada raíz luego el resultado es el eponente de la epresión sub radical de cada raíz. Paso : Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice terminamos de resolver el ejercicio. Ejemplo 9: Resuelva. 7 Para resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones: Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (,) 10. Este es el nuevo índice de ambas raíces, por lo tanto los radicales quedan así 10 10. Paso : Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz luego el resultado es el eponente de cada cantidad sub radical. 10 10 / 10 ( ). ( 7 ) 10 10 ( ). ( 7 ) 10 / Paso : Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el ejercicio. 10 10 6. 7 10 10 ( ). ( 7 ) 7 10 9 11 10 9 7 10 10 9 11. 907 Respuesta: 7 9 9 10. 9 11907
Para simplificar la epresión, podemos etraer términos de la raíz, en este caso 11 Sacamos el mínimo común índice m.c.i.(,1)1 convertimos la epresión en un solo radical resolvemos. Ejemplo 10: Resuelva 6 1 9z En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación. 1 6 1 Respuesta: 1 6 z ( 9z ) 9 1 8 7 z 1 6 1 9 z 9 z 1 1 el m.c.i.(,1) 1 1 z 1 7. 187 z 1 9 z. 187 z z 1 Se descompone 9 se aplica la propiedad de potencia de una potencia: 9 ( ) 8 Ejemplo 11: Resolver. z. z ( ) ( ) ( ) z 8 ( ) Respuesta:. z z 8z. z 8z Se etrae el factor z de la raíz sale como z /1 z
EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL Etraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible etraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub radical sea epresada como factores en forma de potencia que los eponentes de los factores sean iguales o maores que el índice del radical. El proceso para etraer factores de una raíz es el siguiente: Paso 1: se descomponen en factores primos la cantidad subradical. Paso : se toman aquellos factores cuo eponente es maor o igual al índice de la raíz se divide el eponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz. El cociente de la división representa el eponente de la base que se etrae el residuo es eponente de la base que queda dentro de la raíz. Veamos a continuación un ejemplo: Ejemplo 1: Etraiga del radical 7 los factores que sean posibles: Paso 1: Como eiste un solo factor, se divide el eponente de la cantidad sub radical entre el índice de la raíz: 7 el residuo es 1 Paso : Esto nos indica que el factor se etrae de la raíz con eponente queda dentro con eponente 1 7 Respuesta:
OTRA FORMA DE EXTRAER FACTORES DE UN RADICAL Para resolver este tipo de ejercicios de manera alterna, debemos conocer las propiedades de los radicales. Ejemplo 1: Etraiga del radical 781 los factores que sean posibles. Se descompone 781 en sus factores primos se epresa como potencia: 781 7 781 7 La raíz de un producto es el producto de las raíces Como 7>, se epresa 7 como multiplicación de potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los eponentes sea igual al índice de la raíz. 1 simplificamos los eponentes. 1 1 1 1 Respuesta: 781 Ejemplo 1: Etraiga del radical posibles. 6 los factores que sean Observe en este ejercicio, el factor no se puede descomponer en factores primos (a que es un número primo), mientras que para los otros factores, el eponente de la variable es el de la variable es 6, ambos eponentes pueden ser divididos de forma eacta entre el índice de la raíz,. 6 Ejemplo 1: Etraiga del radical 8 los factores que sean posibles. 8 Respuesta: 8
Cuando la cantidad sub radical es una suma algebraica no se puede etraer factores, pues no están epresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible, aplicamos algunas reglas algebraicas para epresarlo como factores o potencias. Ejemplo 16: Etraiga del radical que sean posibles. a + ab + b a + + ab b los factores Observamos que en la cantidad sub radical se tiene una suma algebraica no un producto. Pero podemos factorizar la epresión sub radical nos queda: Respuesta: ( a + b) ( a + b) a + b a + ab + b a + ab + b a + b Introducción de factores en un radical: Introducir factores a un radical significa meterlos dentro de la raíz.. Para introducir un factor en un radical: Se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice. Ejemplo 17: Dada la epresión en la raíz. a ab, introduzca el factor Se introduce el factor dentro del radical: a ab ( a) ab Se resuelven las potencias: 6 a ab a b Respuesta: 6 a ab a b Importante: Sólo se puede introducir factores en una raíz, 6 no sumandos, es decir si tenemos +, no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede introducir dentro del radical 6.
Epresiones Conjugadas Racionalización Epresiones Conjugadas La conjugada de una epresión con presencia de radicales es aquella que permite etraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la epresión es un monomio o un binomio, veamos a continuación cada uno de estos casos: Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una epresión radical monómica es un radical con el mismo índice los mismos factores de la epresión sub radical, de tal manera que los eponentes de estos factores son: i. La diferencia entre el eponente del factor el índice en caso de ser este último maor; o ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente maor al eponente del factor este último, en caso de ser el índice menor. Aclararemos esto con algunos ejemplos: Ejemplo 1: Hallar la conjugada de Observa que en la epresión los eponentes de son respectivamente (menores que el índice de la raíz) en la conjugada se eligen como eponentes de a 1 respectivamente, es decir el eponente de es igual a 1 el eponente de es igual a.
Luego la conjugada de es, a que al multiplicar las dos epresiones se elimina la raíz:. Epresión conjugada Epresión original Multiplicación de radicales Etracción de factores de un radical El eponente de es, menor que el índice de la raíz, que es 6. El factor,, tiene un eponente igual a 7, maor que el índice de la raíz, que es 6. Respuesta: La epresión conjugada de es Ejemplo : Hallar la conjugada de 6 7 Aplicamos el caso (i), en la conjugada para el primer factor, que tendrá un eponente igual a la diferencia del índice de la raíz el eponente de, es decir, 6 1. El eponente del segundo factor caso (ii) en la epresión conjugada, será la diferencia de un múltiplo de 6 (inmediatamente maor a 7) el eponente del factor, es decir, 1 7. Respuesta: Luego la epresión conjugada de 6 7 es 6. En el ejemplo, se presenta una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el eponente de uno de los factores es maor que el índice de la raíz, será etraer de la raíz los factores posibles luego aplicar el caso (i) para hallar la epresión conjugada del radical resultante. Ejemplo : Hallar la epresión conjugada para 1 Primero etraemos los factores de la raíz 1 1 1 ; ahora hallamos la conjugada de, que es Respuesta: La conjugada del monomio 1 es
Observa que sólo la cantidad subradical es un binomio, la epre es un sión como tal ( ) monomio. NOTA: En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha epresión se trata como un monomio, independiente de la característica de la cantidad subradical. Ejemplo : Hallar la conjugada de la epresión. ( ) La conjugada de la epresión ( ) es ( ) Ejemplo : Hallar la conjugada de la epresión t + Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub radical es un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub radical como un solo elemento, que en este caso es t + con eponente 1, por lo tanto su conjugada sería: (t + ) Respuesta: La conjugada de (t + ) es (t + ) Cuando el índice de la raíz es es la raíz cuadrada de una epresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella misma. Ejemplo 6: Hallar la conjugada de la epresión + h La conjugada de es ella misma. Por lo tanto: + h Respuesta: la conjugada de + h es + h. Para hallar la conjugada de ( + 1+ h) observamos que tenemos como cantidad sub radical, un trinomio con eponente, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al eponente resultante de la resta del índice de la raíz el eponente del trinomio Ejemplo 7: Hallar la conjugada de la epresión ( + 1+ h) La conjugada será: ( + 1+ h) ( + 1+ h) Respuesta: La conjugada de ( + 1+ h) es ( + 1+ h) Ejemplo 8: Hallar la conjugada de la epresión 6 ( h) z Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo. Para hallar la conjugada de 6 ( h) z observamos que tenemos como can
tidad sub radical un binomio, dos términos ( h), z el eponente del binomio es 1, es decir, (( h) z) 1. Por lo tanto la conjugada será la raíz seta del binomio elevado al eponente resultante de la resta del índice de la raíz el eponente del binomio: 6 6 1 (( h) z) 6 (( h) z) Respuesta: La conjugada de 6 ( h) z es 6 (( h) z) Para estos casos, aplicaremos el producto notable de la suma por la diferencia para obtener la diferencia de los cuadrados de los términos ( ) ( + ) ) así eliminar las raíces. Caso B. La conjugada de un binomio: En los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la epresión. Para epresiones binómicas con radicales de índice dos (), tales como a + b a b, i. La conjugada de a + b es a b a que al multiplicar las dos epresiones, ( a + b ) ( a b ) ( a ) ( b ) a b ii. Así mismo la conjugada de a b es a + b, al multiplicarlos: ( a b ) ( a + b ) ( a ) ( b ) a b Nota: Observa que para las epresiones binómicas con radicales de índice, su conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la operación entre ellos. Ejemplo 9: Hallar la epresión conjugada de + comprobar su respuesta. La epresión conjugada de + es Veamos ahora el producto entre ellas: ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )
+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Respuesta: La conjugada de + es el producto de ellas : ( + )( ). Ejemplo 10: Hallar la epresión conjugada de 7 comprobar su respuesta. La epresión conjugada de 7 es 7 + Veamos ahora el producto entre ellas: ( 7 )( 7 + ) ( ) ( ) 7 7 Ejemplo 11: Hallar la epresión conjugada de +z multiplicarlas entre sí. La conjugada de + z es z. Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro término no tiene radical Veamos ahora el producto entre ellas: ( + z )( z ) z 9z ( ) ( )
Para estos casos, aplicamos los siguientes productos notables: ( ) ( + + ) ( + ) ( + ) + Simplificamos los términos semejantes. Simplificamos los términos semejantes. Para epresiones binómicas con radicales de índice tres (), tales como a b a + b i. La conjugada de a b es a + a b + b, Pues al multiplicar las dos epresiones, se eliminan las raíces de la epresión, es decir : ( a b ) ( a + a b + b ) ( a ) ( b ) a b ii. Así mismo la conjugada de a + b es a a b + b al multiplicarlos: ( a + b )( a a b + b ) ( a ) + ( b ) a + b Ejemplo 1: Hallar la epresión conjugada de z multiplicarlas entre sí. La conjugada de z es z z ( ) + ( ) ( ) + ( ). Veamos ahora el producto entre ellas: ( z ) ( ( ) + ( ) ( z ) + ( z ) ) Aplicamos la propiedad distributiva del producto nos queda:
( ) + ( ) ( z ) + ( ) ( z ) ( ) ( z ) ( ) ( z ) ( z ) ( ) ( z ) z Ejemplo 1: Hallar la epresión conjugada de + a La conjugada de + a es ( + a) + ( + a) () + (). Y el producto de una epresión por su conjugada es igual a: ( + a )( ( + a) + ( + a) () + () ) ( + a) a Para estos casos, aplicamos los siguiente productos notables: ( ) ( ( + ) ( + + + + ) ) Para epresiones binómicas con radicales de índice cuatro (), tales como a b a + b i. La conjugada de a b es a + a b + a b + b, pues al multiplicar las dos epresiones, se eliminan las raíces de la epresión, es decir ( a b ) ( a + a b + a b + b ) ( a ) ( b ) a b
ii. Así mismo la conjugada de a + b es a a b + a b b al multiplicarlos: ( a + b ) ( a a b + a b b ) ( a ) ( b ) a b Ejemplo 1: Hallar la epresión conjugada de + 1. La conjugada de + 1 es ( + 1) + ( + 1) ( ) + ( + 1)( ) + ( ) Y el producto de una epresión por su conjugada es igual a: ( ) 1 1 ( + 1) + ( + ) ( ) + ( + )( ) + 1 + ( ) ( + 1) 1
Racionalización Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio requiere que la epresión a racionalizar sea multiplicada dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1: Racionaliza el denominador de Se multiplica divide por la conjugada del denominador. Multiplicación de fracciones. Multiplicación de radicales de igual índice en el denominador. Etracción de factores en el denominador. 1ab simplifica el resultado de ser posible. 1 a b. 1ab ab a b 1. a b. ab a b a b a b a b ab 1 Respuesta: ab a b ab
Para racionalizar la epresión 1 tenemos que dividir multiplicar por la conjugada del denominador, que es un monomio. Ejemplo 16: Racionaliza el denominador de 1 simplifica el resultado de ser posible. 1 1 ( ) ( ) 1. 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 Respuesta: 1 ( 1 ) 1 Ejemplo 17: Racionaliza el denominador de Se multiplica se divide por la conjugada del denominador. simplifica el resultado de ser posible. 6. 6 Etracción de factores 10 10 6 8 10 11 1 10 10 10 Respuesta: 6 10
Ejemplo 18: Racionaliza el denominador simplifica si es posible. Se multiplica se divide por la conjugada del denominador. ( + ) ( )( + ) +. + 6+ 6 + 6+ 9 7 6 + Respuesta: 7 Ejemplo 19: Racionaliza el denominador simplifica si es posible., + Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice: Por ser 8 Multiplicamos dividimos por la conjugada del denominador. + 8 +, entonces nos queda: + 8 + ( 8 + 8. 8 + ( 8 8 + ) ) Se aplica la propiedad distributiva en el numerador se resuelve el denominador. ( ) ( 8 + 8 ) ( 8 + ) ( 8 8 + ) ( 6 + 9 6 ( ) +( ) + 9 8 )
Multiplicación de radicales etracción de factores: Se agrupan los términos semejantes 6 8 ( + 9 + 9 ) 8+ ( 1 6 + 9 + 9 ) 11 ( 9 10 + 9 ) 11 Ejemplo 0: Racionaliza el numerador de Multiplicamos dividimos por la conjugada del numerador. Observa que este es el signo que cambia, no el signo que está bajo el radical +, simplifica si es posible. + ( + )( + + ) ( + + ) + + + + ( + ) + + + 9 + + 6 + + Respuesta: + 6 + +
Ejemplo 1: Racionaliza el numerador ( + h) + 1 + 1, simplifica si es posible. h Multiplicamos dividimos la epresión ( + h) + 1 + 1, por la conjugada del h numerador. Desarrollamos el producto notable (+h) en el numerador Factorizamos simplificamos ( + h) ( + h) + 1 + 1. h ( ( + h) + 1) ( + 1) h ( + h) + 1+ + 1 + 1 + 1 h ( + h) + 1+ + 1 ( + h) + 1+ + 1 ( + h) + 1 ( + 1) h ( + h) + 1 + + 1 h + h + h + 1 ( + h) + 1 + + 1 ( + h) h ( + h) + 1 + + 1 h Respuesta: ( + h) 1 h + h h + h + 1 + + 1 + 1 + 1 h ( ) + h ( + h) + 1+ + 1 +h ( ) 1 +h + + + 1 Es conveniente comenzar por descomponer en factores primos, la cantidad sub radical, 7. 7 Ejemplo : Racionaliza el numerador de, 1 simplifica si es posible. 7 1 1
Se multiplica se divide por la conjugada del numerador se realizan las operaciones sobre los radicales. Multiplicamos dividimos por la conjugada del numerador de la epresión. Se resuelve el numerador: 1 Respuesta:. 1 7 1 1 1 1 Ejemplo : Racionaliza el numerador de +, simplifica si es posible. + ( + ) ( ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )( ( + ) + ( + ) + ( + ) + ) ( + )( ( + ) (+ )( (+ ) ( ( + ) + ( + ) + ( + ) ) + (+ ) + (+ ) + 9 (+ ) + 7 ) ) ) Simplificamos (+ )( (+ ) (+ ) + (+ ) + 9(+ ) + 7 ) ( (+ ) 1 + (+ ) + 9(+ ) + 7 )