Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo.- Álgeb lnel o entemos en detlle n en defncones demsdo fomles sno que eemos úncmente quellos conceptos que necestemos dunte el cuso.. Espcos ectoles Un espco ectol es un estuctu lgebc que ncluye dos tpos de elementos que cumplen un see de popeddes y oms. Éstos elementos son los escles y los ectoes. En genel, los escles seán el conjunto de númeos eles o complejos. Los ectoes son objetos bstctos que cumplen un see de popeddes y no tenen poque se úncmente los ectoes geométcos que conocemos. El témno ecto tmbén se us p descb entddes como mtces, polnomos o funcones. Po ejemplo, los ectoes que se usn en mecánc cuántc son funcones.. Combncón lnel, ndependenc lnel y bse Supongmos un conjunto de ectoes de un espco ectol detemndo {,, },. Un combncón lnel de dchos elementos se defne como l sum sguente + + = donde,,.., n son escles. El conjunto de ectoes es lnelmente ndependente s se cumple que = 0 úncmente cundo = == n = 0. Esto mplc que nngún ecto del conjunto {,,, } puede epesse como combncón lnel de los demás. El conjunto de ectoes seá un conjunto genedo del espco ectol s culque
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo ecto que petenezc l espco ectol puede epesse como combncón lnel de ellos = + + = Además, s est combncón es únc el conjunto genedo seá un bse del espco. En este cso, los ectoes del conjunto seán demás lnelmente ndependentes. Los coefcentes escles,,.., n seán ls componentes del ecto en l bse.. El numeo de ectoes de un bse detemn l dmensón del espco ectol. En eldd, los espcos ectoles pueden se de dmensón fnt o nfnt. El conjunto de todos los ectoes de n componentes eles confom el espco ectol R n, cuy dmensón es pecsmente n. Po ejemplo, p el espco Eucldno tdmensonl, R 3. el conjunto de ectoes {(,,3), (0,,), (,/,3), (,,)}, son genedoes del espco peo no son bse, poque no son lnelmente ndependentes. Un bse del espco l fomn los ectoes {(,0,0), (0,,0), (0,0,)}. Sn embgo, los ectoes {(,0,0), (0,,0), (,,0)} no son genedoes (n bse) de R 3 poque los ectoes cuy tece componente se dfeente de ceo no pueden epesse como combncón lnel de ellos..3 Poducto escl Apte de ls popeddes pops del espco ectol se defne tmbén un poducto nteno que pemte ntoduc ls nocones de dstnc, ángulo y nom, llmdo poducto escl. Un poducto escl debe cumpl tmbén un see de popeddes y de hecho su defncón depende del tpo de espco ectol. En los espcos que nteenen en l mecánc cuántc, Espcos de Hlbet, los ectoes son funcones defnds sobe el cuepo complejo que cumplen un see de condcones y l dmensón del espco es nfnt.
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo P el espco ectol R n se defne el poducto escl ente dos ectoes como T = = + + n n n = es dec, l sum de los poductos de ls componentes de los ectoes. A pt del poducto escl de un ecto con sgo msmo encontmos el concepto de nom = = ( ) = ( ) Demos que un ecto est nomlzdo cundo su nom es l undd = Se demuest tmbén que el poducto escl ente dos ectoes tmbén cumple = cosα donde α es el ángulo que fomn mbos ectoes. Po tnto, cundo dos ectoes son otogonles ente s, su poducto escl se nul = 0 s S los ectoes de un bse { } son otogonles ente s y están nomlzdos demos que l bse es otonoml o que está otonomltzd. Podemos escb mbs condcones l msmo tempo usndo l funcón delt de Konecke j = δ j donde δ = j 0 j = j 3
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo.4 Mtces: popeddes y opecones Defncones y popeddes elementles Un mtz es un tbl ectngul de (genelmente) númeos que pueden se sumdos o multplcdos. Ls línes hozontles de númeos se llmn fls y ls etcles columns. Decmos mtz de dmensón n m un mtz compuest po n fls y m columns. Dd un mtz A de dmensón n m, epesentmos el elemento que ocup l y- ésm fl y j-ésm column como A j o ben A(y,j). Un ecto no es ms que un mtz donde un de ls dmensones es. Así, un ecto fl es un mtz de dmensón m y un ecto column un mtz de dmensón n. Sum de mtces Dds dos mtces de dmensón n m, A y B, podemos defn su sum C = A + B como l mtz de dmensón n m los elementos de l cul enen ddos po l sum de los elementos coespondentes de ls mtces A y B tl que Cj = Aj + Bj, j P pode sum dos mtces, ésts deben tene ls msms dmensones. L mtz esultnte tendá tmbén ls msms dmensones. Poducto de mtz po escl Dd un mtz A culque y un escl α defnmos el poducto escl de α po A, B = α A como el poducto de α po cd elemento de l mtz A de mne que B = α A j j, Poducto de mtces El poducto mtcl ente dos mtces A y B solmente se puede lle cbo cundo el numeo de columns de l mtz A es gul l númeo de fls de l mtz B. En tl cso, se un mtz A de dmensón n m y un mtz B de dmensón m p tenemos que el poducto mtcl A B es ot mtz C de dmensón m p, los elementos de l cul enen ddos po j 4
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo C j = A B j + A B j + + An Bnj = A n B, m j k kj k El poducto de mtces no es conmutto, po tnto, en genel A B B A De hecho, en el ejemplo nteo el poducto B A no es n sque posble y que el númeo de fls de B no concde con el númeo de columns de A., p Tpos de mtces Mtz cudd Mtz donde el númeo de fls es gul l númeo de columns. El poducto ente dos mtces cudds es ot mtz cudd. Con mtces cudds los poductos mtcles A B y B A son posbles, pes de que, en genel, no dn el msmo esultdo. Mtz smétc Un mtz cudd A es smétc s cumple que A = A j j, Cundo los elementos de l mtz están defndos en el cuepo complejo se defne mtz hemítc como donde * Aj = Aj, j * A j epesent el conjugdo complejo del elemento de mtz. j Mtz dgonl Un mtz cudd A es dgonl s los elementos de fue de l dgonl pncpl son ceo A j = 0 j Mtz dentdd L mtz dentdd es un mtz cudd dgonl donde los elementos de l dgonl pncpl son l undd. Po ttnto, podemos escb sus elementos pt de un delt de Konecke 5
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo I j = δ j L mtz dentdd hce el ppel de elemento neuto p el poducto mtcl. Es dec, el poducto de un mtz cudd po l mtz dentdd de dmensón decud (y cees) d como esultdo l pop mtz. A I = I A = A Mtz tnspuest Dd un mtz A de dmensón n m, defnmos su mtz tnspuest, A T, que seá de dmensón m n, ntecmbndo sus fls y columns, A = n n m m nm A T = m m n n nm Po tnto, podemos escb A = A T j j, P un mtz smétc se cumple que A = A T Po oto ldo, en genel (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (A B) T = B T A T Po tnto, el poducto de un mtz culque po su tnspuest esult en un mtz smétc B = A T A B T = (A T A) T = A T (A T ) T = A T A =B j Cundo los elementos de l mtz están defndos en el cuepo complejo se defnen los elementos de l mtz djunt como A = A + * j j, En este cso, p un mtz hemítc se cumple que A = A + j 6
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo Mtz Ines Dd un mtz cudd A de dmensón n, se defne su mtz nes A - como l mtz que cumple que A - A = A A - = I donde I es l mtz dentdd de dmensón n. L mtz nes A - es únc y en genel (A - ) - = A (A B) - = B - A - Mtz sngul Un mtz es sngul cundo no este su mtz nes, es dec, cundo no es netble. Cundo el detemnnte de un mtz cudd es ceo (de nf) l mtz es sngul. Mtz otogonl Un mtz cudd U es otogonl cundo su tnspuest es su pop nes, po tnto U - = U T S dos mtces A y B son otogonles, su poducto es tmbén un mtz otogonl. Un mtz es otogonl s y solo s sus ectoes column son otonomles, es dec, cundo éstos fomn un bse otonomltzd. Cundo los elementos de l mtz están defndos en el cuepo complejo tenemos que un mtz cudd es unt cundo su djunt es su pop nes. V - = V + Tz de un mtz Se defne l tz de un mtz cudd de dmensón n como l sum de los elementos de su dgonl pncpl t ( A) = A Detemnnte de un mtz El detemnnte de un mtz cudd no es ms que un funcón que plcd l 7
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo mtz eton un escl (númeo) det(a) = α Cundo el detemnnte de un mtz es ceo l mtz es sngul (no netble). Tmbén ndc que un o más fls o columns de l mtz se puede epes como combncón lnel de ls ots; po tnto, ndc dependenc lnel de los ectoes fl o column que componen l mtz. Se cumplen ls popeddes sguentes det(ab) = det(a) det(b) = det (BA) det(a T ) = det(a) det(u) = Además S se ntecmbn dos fls o columns de un mtz su detemnnte cmb de sgno Multplcndo un fl o column po un escl α multplc el lo del detemnnte po α Añd un múltplo de un fl o column ot no fect l lo del detemnnte En seccones sguentes eemos como se obtene el detemnnte de un mtz cudd..5 Cmbo de bse. Dds dos bses de ectoes { } y { } cd ecto de l bse { } como combncón lnel de los ectoes de l bse { } n = = = + + n + de un espco ectol R n, podemos escb n + + n + + + + n n n Los coefcentes de l combncón lnel se pueden escb en fom de un mtz, que epesent l mtz de cmbo de bse. n nn. 8
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo A = n n n n nn Podemos escb el poceso de cmbo de bse de l mne sguente W = V A donde W y V son mtces que contenen, en columns, ls componentes de los ectoes, espectmente. de ls bses { } y { } W ( ; ;; ) n n n n n nn Po tnto, podemos escb n n n n = nn n n n n nn n n n n nn 9
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo 4.- Resolucón de sstems de ecucones lneles. 4.. Algotmo de esolucón de sstems de ecucones lneles po el método de Guss-Jodn Ptmos de un sstem de ecucones lneles con ncógnts (,,, ). + + + + + + + + + = b = b = b () donde los elementos j y b coesponden los coefcentes y témnos ndependentes de ls ecucones. Podemos escb l epesón () en fom mtcl de mne que donde A = A = b () b b b = b = (3) El lgotmo de Guss-Jodn se bs en susttu ecucones (fls de l mtz A y elementos del ecto de témnos ndependentes b) po combncones lneles de ecucones del popo sstem (ente fls de l mtz A) de tl mne que consegumos tnsfom l mtz A en un mtz dgonl. Vmos e como funcon. El objeto es, tomndo un de ls ecucones (fls de A) como efeenc (eq ef ), susttu ls ots ecucones (eq k ) po un combncón lnel del tpo eq k ' eq + α eq k ef (4) k ef de tl mne que se consg elmn de l eq k l dependenc con l ble de 0
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo efeenc (hce ceo el elemento coespondente de l column ef en A). P ello se escoge de mne decud el fcto α p cd fl k. En fom mtcl, esto mplc que s hemos escogdo l pme fl de A como efeenc, susttumos cd un de ls ots fls po combncones lneles tles que hgn que el elemento A k se nule. Es dec, petendemos consegu que en l pme column de l mtz A todos los elementos sen ceo ecepto el pmeo (el de l fl de efeenc). Se puede compob fáclmente que s susttumos l segund de ls ecucones po l combncón lnel l nue eq tendá l fom eq ' eq eq + (5) 0 ' + + ' = b ' + (6) S lo hcemos p tods ls ecucones (ecepto l de efeenc) tendemos un sstem de ecucones equlente l ognl A ' = b' (7) donde tnto l mtz de los coefcentes como el ecto de témnos ndependentes hbán cmbdo l fom 0 A' = 0 ' ' ' ' ' ' b ' b' b' = b' (8) S tommos ho como fl de efeenc l segund y epetmos el poceso p tods ls demás fls (nclud l pme, que fue efeenc en el pso nteo) el sstem quedí de l fom
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo 0 A'' = 0 0 0 ' '' '' '' b '' b'' b' = b'' Vemos que en este segundo pso hemos genedo ceos en l segund column (ecepto p l segund fl), ments que los ceo de l pme column genedos en el pso nteo se mntenen (esto es sí poque l segund fl de efeenc y tene un ceo en l pme column, po lo que l lle cbo l combncón lnel coespondente p ls demás fls su pme elemento no se e modfcdo). (9) Po tnto, s epetmos el poceso consecutmente p cd fl de l mtz A conseguemos fnlmente tene un sstem de ecucones equlente l ognl peo con ls mtces de coefcentes y de témnos ndependentes de l fom A fnl 0 = 0 0 fnl 0 0 0 fnl b fnl b b = b fnl fnl fnl (0) Aho, cd ecucón depende úncmente de un ble y po tnto l solucón del sstem es tl b b =, =,, = fnl fnl fnl fnl b fnl fnl () Vsulmente, s ddmos cd ecucón fnl po el coefcente coespondente l ble de que depende cd un tenemos que l mtz de coefcentes es l mtz dentdd de l dmensón del poblem.
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo A fnl 0 = 0 0 0 0 0 b fnl b b = b fnl fnl fnl fnl fnl (0) En este punto, el ecto de témnos ndependentes concde con l solucón del sstem de ecucones. El lgotmo en pseudocodgo p este poceso se el sguente do Po cd fl de efeenc do Po ls demás fls k (k ) end do end do kj k ' b ' b k kj b = k fnl fnl k b j j Intenmente, ls modfccones de l mtz de coefcentes y de témnos ndependentes se pueden gud en ls poscones de memo de ls pops mtces ncles po lo que se sobescben sus loes ncles. De est mne no se necest defn nngun mtz o ecto ul p lle cbo el poceso de Guss-Jodn. 3
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo Ots consdecones Debemos pocu de que los elementos de l dgonl de l mtz A ( kk ) deben se dfeentes de ceo, de lo conto α no se clculble. S l pncpo se detect este poblem ( = 0), entonces l pme fl de efeenc debeí se ot donde ( k 0). Po oto ldo, ddo que l mtz A se modfcndo confome mos nzndo el poceso de elmncón, cd ez que debmos escoge un fl de efeenc debeemos compob que el elemento de l dgonl pncpl no se nul, y s es sí, ntecmb est fl po ot de ls que no h sdo utlzd nteomente como efeenc p segu con el poceso. S se lleg un punto en que nngun de ls ecucones estntes cumple dch condcón entonces queí dec que el sstem no es comptble (no tene solucón). P un dscusón ms detlld e l seccón de Poteo Pcl. Fíjense que p clcul el fcto α se utlzn los elementos de l mtz de coefcentes ntes de se tnsfomd.o se que puesto que tenemos que kj ' kj confome mos eclculndo los nueos elementos de l fl k (p cd column j; kj ' ), eentulmente sobescbemos el lo k (cundo j=). Esto mplcí k utlz p un msm fl dos fctoes α dfeentes, α = p j y k j α = p j > ). P etlo debemos clcul el lo de α y gudlo en un ble ntes de plc ls susttucones opotuns. k' Un mne de hce más sencllo el lgotmo es defn l mtz mpld sguente b b b 4
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo donde l column de témnos ndependentes se h ñddo l mtz cudd de coefcentes. De est mne l mtz A ho tendí dmensones (+) y tendímos todos los efectos que b ( + ) Esto quee dec que podmos eclcul los elementos de l mtz de coefcentes y el ecto de temnos ndependentes de un ez hcendo kj k ' kj j j =, + 5
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo 4.. L técnc del poteo en el lgotmo de Guss-Jodn El lgotmo de elmncón Gussn tl y como lo hemos sto es bstnte nestble y compot un see de poblems. Ente ellos, el más edente es cundo nos encontmos con que un elemento de l dgonl de l mtz de coefcentes (nclmente o según l mos tnsfomndo) es ceo (o un númeo muy pequeño, del oden de l pecsón de l máqun). L estteg de poteo combnd con el escldo nos puede yud dseñ un lgotmo ms estble y de plccón genel. Recodemos que el lgotmo de Guss-Jodn esuele un sstem de ecucones lneles del tpo, A = b () o más de uno smultánemente (lgotmo de nesón mtcl) AX = I X A () mednte l plccón de opecones báscs que conssten en susttu un fl de A po un combncón lnel ente ell msm y ot que se elge como pote. Se puede e fclmente que el hecho de elz este tpo de opecón no fect l esultdo sempe y cundo plquemos l msm opecón l ecto/mtz de témnos ndependentes, es dec l deech de l eq. () o (). Así msmo, hy ots opecones elementles que podemos elz y que no nos fect l solucón de ls eq () o (): el ntecmbo de fls o columns. Intecmb dos fls de A y ls coespondentes de b o I no fect l solucón del sstem y que solo mplc cmb el oden en que se escben ls ecucones. S se ntecmbn dos columns entonces debemos con cuddo y que el esultdo fnl del sstem se eá ltedo menos que elcemos los msmos ntecmbos ente ls fls del ecto () o mtz (X) de solucones. L técnc de poteo mplc elz ests opecones con el fn de seleccon el mejo elemento de l dgonl que se utlzá p lle cbo el poceso de 6
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo elmncón de Guss-Jodn. El uso del ntecmbo de fls úncmente ecbe el nombe de poteo pcl (ptl potng), ments que s se plc demás el ntecmbo de columns estemos plcndo poteo totl (full potng). Con el poteo pcl conseguemos fáclmente ) et dsones pe ceo y b) detemn s el sstem es ncomptble o l mtz es sngul (no tene nes). Lo que hemos seá escoge l fl de efeenc sempe como quell (dsponble) que pesente un lo más gnde (en lo bsoluto) en el elemento studo en l column donde petendemos gene los ceos. Así, s petendemos gene ceos en l pme column elegemos como fl de efeenc quell cuyo pme elemento se myo en lo bsoluto. S ést fl no coesponde con l pme, pocedeemos l ntecmbo de los loes de l fl escogd de l mtz mpld po los de l pme, y pocedeemos segudmente l poceso de elmncón. El pso sguente es el de gene ceos en l segund column de l mtz mpld. P ellos escogeemos como fl de efeenc quell que pesente un elemento myo en lo bsoluto en l segund column, eceptundo l fl pme, que cbb de se usd como fl de efeenc. Esto es sí poque s olémos us como efeenc un fl nteo pedeímos los ceo que hbímos genedo pemente en columns nteoes. Po tnto, sempe debemos busc l nue fl de efeenc p gene ceos en l column ente ls, +,, n fls dsponbles. L entj de este poceso es que, s se lleg un punto en el que no hy nngun fl dsponble con un lo dfeente de ceo en l column en l que se petenden gene ceos podemos segu que el sstem no es comptble (o ben que l mtz no tene nes). Po oto ldo, s en un sstem de ecucones multplcámos un de ls ecucones po un fcto de 0 6 l solucón no se eá fectd, y esto poocí que, cs con totl segudd, est ecucón psí se l pme efeenc p el poceso de elmncón. omlmente se combn l técnc del poteo pcl con l del escldo, según l cul se escln ls ecucones ognles del sstem de mne que los coefcentes de ls msms sen compbles ente s. Un mne de hcelo es dd los coefcentes de cd ecucón po el elemento mámo (en lo bsoluto) de cd un. 7
Técncs Computconles, Cuso 007-008. Pedo Sldo Ejemplo Encont el polnomo ntepoldo de 3 e oden que ps po los puntos (-,0), (3,), (0,-4), (-3,). Debemos plnte un sstem de ecucones del tpo 3 y = + b +c +d, en este cso: 0 = (-) 3 + b (-) +c(-) +d = 3 3 + b 3 +c 3 +d -4 = 0 3 + b 0 +c 0 +d = (-3) 3 + b (-3) +c(-3) +d Así pues, debemos esole el sstem de ecucones lneles sguente: 0 = - + b -c +d = 7 + 9b +3c +d -4 = d = -7 + 9b -3c +d y en fom mtcl - 0 7 9 3 0 0 0-4 -7 9-3 S plcámos Guss-Jodn sn poteo pcl tendímos: Genendo ceos en column -.00000.00000 -.00000.00000 0.00000 0.00000 36.00000-4.00000 8.00000.00000 0.00000 0.00000 0.00000.00000-4.00000 0.00000-8.00000 4.00000-6.00000.00000 Genendo ceos en column -.00000 0.00000-0.33333 0. -0.05556 0.00000 36.00000-4.00000 8.00000.00000 0.00000 0.00000 0.00000.00000-4.00000 0.00000 0.00000.00000 -.00000 3.00000 o es posble gene ceos en l column 3 debdo l pesenc de un ceo en el elemento 8