Bloque Completmente Aletorio En culquier experimento puede existir lgun fuente de vrición que puede fectr los resultdos. Muchs veces est fuente de vrición es desconocid e incontrolle. L letoriedd es un técnic de diseño que se utiliz con el propósito de cncelr efectos de vriles que no estmos controlndo se porque no podmos controlrls o porque no se conoce. Cundo se hl de letoriedd signific que se conduce l zr no se le impone un estructur. Cundo es fuente de vrición se conoce se control ( se por letoriedd) se utiliz un técnic llmd loque pr eliminr sistemáticmente el efecto de l fuente de vrición en ls comprciones estdístics entre trtmientos. Descripción: Un diseño de experimento es completmente letorio cundo h: Un fctor de interés. Un fuente loqued. Si h lgun fuente de vrición que est incidiendo en el experimento que no está en el modelo, el efecto de est fuente de vrición se v reflejr en el error si l vrile que represent dich vrición no es loqued. L letoriedd ocurre dentro del loque. Figur. Diseño de loque completmente letorio.
Modelo Estdístico: ij i,,..., + τ i + β j + ε ij j,,..., μ, donde: ij oservción j del trtmiento i μ promedio generl τ i efecto del trtmiento i ε ij error o residul de l oservción j en el trtmiento i β j efecto del loque j En los experimentos que envuelven diseños de loques completmente letorio, se interes pror l iguldd de los promedios de los trtmientos. Por lo tnto, ls hipótesis de interés son H H 0 : μ μ μ : t lest one μ i μ j Deido que el promedio del trtmiento i es μ μ + τ, un form equivlente de escriir l i i hipótesis es en términos de los efectos en los trtmientos, entonces H H 0 : τ : τ i τ τ 0 0 t lest one i Análisis de Vrinz (ANOVA) pr este modelo: El nálisis de vrinz se deriv de l prtición de l vriilidd totl en ls prtes que l componen. ANOVA estlece que l vriilidd totl en l dt, medid por l sum de cudrdos totl, puede ser dividid en un sum de cudrdos de l diferenci entre los promedios de los trtmientos el grn promedio totl más un sum de cudrdos de l diferenci de ls oservciones entre trtmientos del promedio del trtmiento. Pr clrr l definición primero definiremos ls vriles que componen ls ecuciones de ANOVA.
Tenemos que es el totl de tods ls oservciones tomds jo el trtmiento i, es el totl de i tods ls oservciones tomds en el loque j, es el grn totl de tods ls oservciones N es el número totl de oservciones. Expresds en form mtemátic tenemos i ij j ij i i,, Κ, j,, Κ, ij i i j i j De igul form, i es el promedio de ls oservciones tomds en el trtmiento i, promedio de ls oservciones en el loque j oservciones. Esto es, es el es el promedio del grn totl de tods ls i i N L sum de cudrdos totl puede ser expresd como i j ( ) ( ) + ( ) + ( ) ij [ i ij i ] + i j Expndiendo el ldo derecho de l ecución hciendo lger simple pero tedios otenemos l ecución que represent un prtición del totl de l sum de cudrdos pero que es un de ls ecuciones fundmentles en ANOVA pr el diseño de loque completmente letorio. L ecución es ( ) ( ) + ( ) + ( ) ij i ij i + i j i j i j Est sum expresd de form simólic seri de l siguiente mner + + T Tretments Blocks E Otro prámetro considerr es el grdo de liertd de cd un de ls prtes de l sum de cudrdos. Los grdos de liertd son el número de elementos independientes en cd un de ls
sums de cudrdos. Este prámetro nos ud determinr el número de dtos que necesitmos pr hcer un estimdo. Deido que h N oservciones, T tiene N- grdos de liertd. H trtmientos loques, por lo tnto, Tretments tiene - grdos de liertd Blocks tiene - grdos de liertd. L sum de cudrdos del error E tiene (-)(-) grdos de liertd deido l diferenci entre l sum de cudrdos del trtmiento los loques. Ahor podemos otener los promedios de los cudrdos dividiendo l sum de los cudrdos por sus grdos de liertd. Pr pror l iguldd de los promedios de los trtmientos usmos l prue estdístic F F o MS Tretments MS E l cul está distriuid como F,( )( ) si l hipótesis nul es ciert. L región crític es l col superior de l distriución F, por eso rechzmos l hipótesis nul H0 si 0 > Fα,, ( )( ) form ltern podemos utilizr el P-vlue pr l tom de decisiones. El P-vlue es l proilidd de que l prue estdístic v tomr un vlor que es l menos tn extrem como el vlor oservdo de l estdístic cundo l hipótesis nul es ciert. El P-vlue se define como el nivel de significnci más pequeño que llevrí l rechzo de l hipótesis nul H0. F. De El error puede estr infldo por lo que es el error de verdd ms todo quello que no contilicé, por lo tnto, deo loquer ls vriles que son. Un procedimiento proximdo que result rzonle pr investigr el efecto de l vrile loqued es exminr el rdio de MSBlocks entre MSE. Si este rdio es grnde, implic que el fctor loque tiene un efecto grnde que l reducción de ruido otenid por el loque prolemente es útil en mejorr l precisión en l comprción de los promedios de los trtmientos. El procedimiento pr el nálisis de vrinz se resume en un tl de ANOVA como l que se present continución.
Ecuciones de ANOVA Fuente de Sum de Grdos de Promedio Vrición Cudrdos Liertd Cudrdo F 0 Trtmientos Tretments - Tretments - MS E Bloques Blocks - Error E (-)(-) Totl N- T Blocks - E (-)(-) MS Tretments Estos vlores se pueden clculr en un hoj de clculo de Excel pero tmién se pueden otener de form mnul clculndo ls formuls expresds en términos de los trtmientos loques totles. Ests formuls son T i j N ij Tretments i i N Blocks j N el error se otiene restndo como sigue E T Tretments Blocks Ejemplo Un fricnte de dispositivo médico produce injertos vsculres (vens rtificiles). Éstos injertos son producidos insertndo presión resin de politetrfluoetileno comindo con un luricnte dentro de los tuos. Con frecuenci, lgunos de los tuos en un funcionmiento de producción contienen slientes pequeñs durs en l superficie extern. Estos defectos se conocen como " flicks." El defecto es cus pr el rechzo de l unidd.
El desrrolldor del producto responsle de los injertos vsculres sospech que l presión de insertr l resin fect l ocurrenci del " flicks", por lo tnto, se prepone conducir un experimento pr investigr est hipótesis. Sin emrgo, l resin es fricd por un suplidor externo es entregd l fricnte del dispositivo médico en lotes. El ingeniero tmién sospech que puede her un vrición significtiv de lote--lote, porque mientrs que el mteril dee ser constnte con respecto prámetros tles como peso moleculr, tmño de prtícul promedio, retención, cociente de l ltur de pico, est vrición no es prolemente deido l vrición de l fricción en el suplidor de l resin l vrición nturl en el mteril. Sin emrgo, el desrrolldor del producto decide investigr el efecto de los cutro niveles diferentes de l presión de inserción en los flicks usndo un diseño completmente letorio considerndo los lotes de l resin como loques. L vrile respuest es el rendimiento o el porcentje de tuos en l producción que no contiene flicks". A continución se present l tl que contiene los dtos con respecto este experimento. Dtos del ejemplo numérico. Ejemplo clculndo i : Pr l presión 8500 Ejemplo clculndo : 6 i 6 i 8500 8500 8500() + 8500() + 8500(3) + 8500(4) + 8500(5) + 90.3 + 89. + 98. + 93.9 + 87.4 + 97.9 556.9 8500(6)
Pr el Lote de Resin (Bloque ) Ejemplo clculndo : 4 j 4 j (8500) + (8700) + (8900) + (900) 90.3 + 9.5 + 85.5 + 8.5 350.8 Se puede clculr sumndo cd uno de los trtmientos de los diferentes loques o simplemente i + 4 6 i j (556.9 + 550.+ 533.5 + 54.6) + (350.8 + 359.0 + 364.0 + 36. + 34.3 + 377.8) 55. Análisis de Vrinz: Pr relizr el nálisis de vrinz h que clculr ls siguientes sums de cudrdos: T 4 6 i j N ij 93,999.3 ( 55.) 4 480.3 Tretments N 4 i i 6 [( ) ( ) ( ) ( ) ] ( 55.) 556.9 + 550. + 533. + 54.6 4 78.7 Blocks N 6 j [( ) ( ) ( ) ] ( 55.) 350.8 + 359.0 + + 377.8 Λ 4 4 9.5 E T Tretments Blocks 480.3 78.7 9.5 09.89
Llenndo l tl de ANOVA hciendo cd uno de los cálculos con ls formuls en l tl nterior tenemos el siguiente resultdo: Resultdos de ANOVA Fuente de Sum de Grdos de Promedio Vrición Cudrdo Liertd Cudrdo F 0 P-Vlue Trtmientos 8. 0.009 78.7 3 59.39 (Presión de Inserción) Bloques (Lotes) 9.5 5 38.45 Error 09.89 5 7.33 Totl 480.3 3 Usndo un α 0.05, el vlor crítico de F es F 3. 9. Este vlor se otiene de ls tls pr 0.05,9,5 l distriución F. Deido que F > F 8. 3. 9, concluimos que l presión de inserción 0 0.05,9,5 > fect el rendimiento promedio. El P-Vlue de l prue tmién es ien pequeño lo que signific que el experimento es ceptle. Tmién, los lotes de resin (loques) precen diferir de form significtiv, deido que el promedio cudrdo pr los loques es grnde en relción con el error.
Ejemplo usndo MINITAB En Minit, en l pntll de WORKSHEET, ingresmos l dt que est en l tl. Se ingresn tres columns de dtos. Un column que identifique el tipo de presión de inserción, otr que identifique los lotes de resin otr que teng l vrile respuest, en este cso el rendimiento, que concuerde con el tipo de presión lote de resin. Como queremos relizr un ANOVA con un fctor un efecto loquedo utilizmos l opción de Generl Liner Model l seleccionmos como se present continución.
Al hcer est selección precerá l siguiente pntll en donde tiene que seleccionr l vriles respuest, «Response», el modelo que est considerndo, «Model». Pr seleccionr l vrile respuest coloque el cursor en l csill de Response precerán ls columns que contienen dt en l csill de l izquierd. Seleccione Rendimiento dándole dole clic l column rendimiento en l csill izquierd o seleccion l column rendimiento presion el otón de «Select». En l csill de Model dee seleccionr tnto l column de Presión de Inserción como l column de Lote de Resin. Lo único que tiene que hcer colocr el cursor en l csill del modelo luego seleccion ls columns correspondientes dándolo dole clic. En l opción de «Storge» nos permite lmcenr en un column del WORKSHEET los residules los vlores estimdos otenidos trvés del modelo. En l opción de «Grph» podemos otener ls grfics con ls cules podemos hcer el nálisis de los residules determinr si h normlidd en los dtos.
Presionr «OK» cundo h selecciondo todo lo desedo. Los resultdos del ANOVA precerán en l ventn de «Session» como se muestr en l próxim figur. L primer prte es un informción generl de los fctores usdos en el modelo, que fueron Presión de Inserción Lote de Resin.
Si comprmos los resultdos otenidos usndo Minit con los resultdos clculdos con ls ecuciones podemos notr que son los mismos, lo que demuestr que el softwre de Minit es un herrmient mu eficz en diseño de experimentos. Otr informción útil provist por el softwre de Minit es el R-Sq que se define como l proporción de l vriilidd de l dt explicd por el modelo de ANOVA. Est cntidd de clcul usndo l siguiente ecución: Model R. A mor porciento más confile desele es el modelo utilizdo. Si este Totl porciento est por dejo del 60%, entonces el modelo utilizdo no es el mejor que descrie l dt. Entre ls presunciones de ANOVA el nálisis de vrinz supone que los errores del modelo, por ende ls oservciones, tienen un distriución norml e independiente con l mism vrinz en cd nivel del fctor. Ests presunciones se pueden verificr exminndo los residules. Un residul es l diferenci entre l oservción rel ij el vlor ŷ ij que se huier otenido de un
juste de mínimos cudrdos del modelo de ANOVA fundmentl. A continución se presentn ls gráfics otenids en Minit del nálisis de residules: L gráfic de normlidd nos permite visulizr que los dtos están normlmente distriuidos que l dispersión de los residules est sore l líne de normlidd. L gráfic de histogrm nos permite corroorr que los dtos están normlmente distriuidos con medi igul cero que el histogrm tiene form de cmpn centrlizd en el punto cero. L grfic de los residules versus los vlores justdos nos permite visulizr corroorr l presunción de independenci de los dtos que no siguen un ptrón sino que están dispersos de form letori.