INTRODUCCIÓN AL USO DE PAQUETES COMPUTACIONALES Profesoras Especialista Bernal Herrera Fanny Maricela Especialista Franco Valderrama Dalia Elizabeth Página 1
3.1 Objetivo particular del tema 3.0 Tema II Matrices Que el alumno conozca y resuelva los diversos tipos de matrices en Excel. 3.2 Introducción a las matrices El término matrices aparece por primera vez en 1850, empleado por el matemático ingles James Sylvester. El concepto de matriz juega un papel importante en el desarrollo del algebra lineal y en el uso que se le da es básicamente de carácter operativo o como de herramienta para trabajar gran parte de esta rama de las matemáticas. Asimismo se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistema de ecuaciones lineales, de las ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría estadística, economía, informática, física, etc. La utilización de matrices (arreglos) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadores en filas y columnas. Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y líneas verticales (columnas) de la forma: Una matriz se representa con cualquier letra mayúscula, mientras que sus componentes con letras minúsculas o algún símbolo especifico. Abreviadamente suele expresarse en la forma (a ij ), con i=1,2,3,.,m, j=1,2,3,..,n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 25 sera el elemento de la fila 2 y la columna 5. Página 2
3.3 Tipos de matrices A continuación se describen algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad. Matriz en fila: Es una matriz que solo tiene fila, es decir m=1 y por tanto es de orden 1 x n Matriz en columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n=1 y por tanto es de orden m x 1 Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo numero de filas (renglones) que de columnas, es decir m=n. En este caso se dice que la matriz cuadrada es de orden mxn. Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto numero de filas que de columnas, siendo su orden m x n, m n. Página 3
3.4 Operaciones con matrices Para realizar operaciones matriciales, el Excel está provisto de un conjunto de funciones, entre las que podemos ver son las siguientes: MMULT MINVERSA MDETERM TRANSPONER SUMAPRODUCTO SUMAX2MASY2 SUMAX2MENOSY2 SUMAXMENOSY2 COLUMNAS Y FILAS 3.4.1 Suma de matrices Ejemplo, calcular A + B de las matrices: 9 7-11 -6-2 -6 7 4 B= 13 56 38 75-1 -3-11 -10 a) Se ingresan los elementos de ambas matrices en los rangos: B3:E4 y G3:J4. b) Se selecciona el rango B7, para escribir sobre él, los elementos de A + B. c) Se escribe = B3:E4 + G3:J4. En la figura 1 se observa la suma A+B Fig. 1 Introducción de la fórmula para la suma A+B en Excel. Página 4
d) Seleccionar 8 celdas incluyendo la formula, ya que corresponden al tamaño de la matriz de 2x4, es decir 2 filas por 4 columnas. e) Pulsa Ctrl+ Shift+Enter para obtener la suma de las matrices (Fig. 2). Fig. 2 Selección de las celdas y obtención de los valores de la suma A+B. 3.4.2 Resta de matrices Para la resta A-B solamente se cambia + por - (Fig. 3). 3.4.3 Multiplicación por escalar Fig. 3 Resta de las matrices A-B en Excel. Para multiplicar una matriz por el escalar se usara el siguiente ejemplo: 8-10 6 5 15 5 2-4 -8 Página 5
a) Ingresamos el escalar -8 en la celda A3; los nueve elementos de la matriz A en el rango C2:E4 b) Seleccionar el rango A6 para escribir la matriz =$A$3* C2:E4 c) Seleccionar las celdas de acuerdo al tamaño de la matiz y pulsar Ctrl+ Shift+Enter (Fig. 4). 3.4.4 Multiplicación de matrices Fig. 4 Multiplicación de una matriz por un escalar en Excel. Esta operación requiere de mayor cuidado para realizarla. Se debe de cumplir que el número de las columnas de la matriz A sea igual al número de renglones de la matriz B. Lo que significa que en el producto de matrices, es importante el orden y la colocación de ellas, es decir, AB no siempre es igual a BA. De forma general se dice que dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz C cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas B. Multiplicar las siguientes matrices: 5 9-11 7 B= 3 6 11-7 12 8 Página 6
a) Ingresar las matrices A y B en los rangos B2:C3 y E2:G3. b) Seleccionar el rango B6 y escribir =MMULT (B2:C3, E2:G3). c) Seleccionar las celdas correspondientes al tamaño de la matriz y pulsar Ctrl+ Shift+Enter (Fig. 5). Fig. 5 Multiplicación de matrices en Excel. d) También se puede pulsar el menú de fórmulas y usar el botón insertar función (Fig. 6). e) Describir que se desea realizar una multiplicación de matrices y pulsar ir. f) Inmediatamente aparecerán diferentes funciones, seleccionar MMULT. Fig. 6 Cuadro de dialogo insertar función del menú de fórmulas de Excel. Página 7
g) Se debe de especificar los rangos en la ventana que se muestra en la pantalla y poner aceptar (Fig. 7). Fig. 7 Cuadro de dialogo argumentos de función en el botón insertar función en Excel. 3.4.5 Trasponer matrices Para hallar la transpuesta de una matriz en el Excel se debe usar la función TRANSPONER. A continuación se muestra un ejemplo: 36 2-45 47 3-68 58 4-96 43 1-32 a) Registrar los elementos de de la matriz A en los rangos B3.D6. b) En el rango B8 escribir la formula =TRANSPONER (B3:D6), pulsar control+ Shif t+ Enter (Fig. 8). Página 8
Fig. 8 Transpuesta de la matriz A en Excel. 3.4.6 Determinante de una matriz Para obtener el determinante de una matriz se usa la función MDETERM. Por ejemplo hallar el determinante de la multiplicación -6A 4-56 7 6 73 3 9-1 -8 a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B2:D4 b) Multiplicar los elementos de la matriz A por -6, registrar los elementos en el rango F2:H4. c) Seleccionar el rango B6, escribir la formula =MDETERM (F2:H4) y pulsar ENTER (Fig. 9). Página 9
3.4.7 Inversa de una matriz Fig. 9 Determinante de la matriz A en Excel. Para hallar la inversa de una matriz, se debe tener presente que la matriz debe ser cuadrada. Por ejemplo encontrar la inversa de la siguiente matriz. 7.3 5.9 1.9 2.6 2.1 4.7 8.4 3.5 2.8 a) Registrar los elementos de la matriz en los rangos B3:D5. b) Seleccionar la celda B8 y escribir la formula = MINVERSA (B3:D5). c) Seleccionar el rango B8:D10, que corresponden al tamaño de la matriz. d) Pulsar Ctrl +Shift+ Enter (Fig. 10). Fig. 10 Inversa de la matriz A en Excel. Página 10
3.4.8 SUMAPRODUCTO Esta función, devuelve la suma de los productos de los elementos de dos, tres o más matrices, las mismas deben tener el mismo orden. 8-5 15 33 B= 2 3-7 9 a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B2:C3. b) Registrar los elementos de la matriz B en el rango E2:F3. c) En la celda B5 escribir la formula =SUMA PRODUCTO (B2:C3: E2:F3) y pulsar ENTER (Fig. 11). Fig. 11 SUMAPRODUCTO de las matrices A y B en Excel. 3.4.9 La función SUMAX2MASY2 Esta función, devuelve la suma total de las sumas de los cuadrados de cada elemento de dos matrices. A continuación se muestra un ejemplo: 3-11 35 43 B= 4 5-3 12 Página 11
d) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B2:C3. e) Registrar los elementos de la matriz B en el rango E2:F3. f) En la celda B5 escribir la formula =SUMA X2MASY2 (B2:C3: E2:F3) y pulsar ENTER (Fig. 12). Fig. 12 Función SUMAX2MASY2 de las matrices A y B en Excel. 3.4.10 La función SUMAX2MENOSY2 Esta función, halla la suma de las diferencias entre los cuadrados de los elementos de dos matrices. Considerando las matrices M y N de la ecuación. 34-88 54 76 B= 32 51-45 72 a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B2:C3. b) Registrar los elementos de la matriz B en el rango E2:F3. c) En la celda B5 escribir la formula =SUMA X2MENOSY2 (B2:C3: E2:F3) y pulsar ENTER (Fig. 13). Página 12
Fig. 13 Función SUMAX2MENOSY2 de las matrices A y B en Excel. 3.4.11 La función SUMAXMENOSY2 Suma los cuadrados de las diferencias de los elementos correspondientes de dos matrices. A continuación se muestra un ejemplo: 33-22 56 23 B= 7 8-2 32 a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B2:C3. b) Registrar los elementos de la matriz B en el rango E2:F3. c) En la celda B5 escribir la formula =SUMA XMENOSY2 (B2:C3: E2:F3) y pulsar ENTER (Fig. 14). Fig. 14 Función SUMAXMENOSY2 de las matrices A y B en Excel. Página 13
3.4.12 Las funciones filas y columnas Las funciones FILAS y COLUMNAS, devuelven el número de filas y el número de columnas de una matriz. A continuación se muestra un ejemplo del cálculo de número de filas y columnas: 33 5-75 57 3-68 51 6-45 53 1-72 43 6-80 Para obtener el número de filas a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B3:D7. b) En la celda B10 escribir la formula =FILAS (B3:D7) y pulsar ENTER (Fig. 15). Para obtener el número de columnas Fig. 15 Filas de la matriz A en excel. a) Registrar los elementos de la matriz A en el rango B3:D7. b) En la celda B10 escribir la formula =COLUMNAS (B3:D7) y pulsar ENTER (Fig. 16). Página 14
Fig. 16 Columnas de la matriz en Excel. Página 15