SOLUCIONARIO Sistema de inecuaciones de primer grado

SOLUCIONARIO Sistema de inecuaciones de primer grado SGUICEG032EM31-A16V1 1

TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Sistema de inecuaciones de primer grado Ítem Alternativa 1 C 2 A 3 E 4 D 5 C 6 A 7 E 8 C 9 A 10 E 11 C 12 A 13 B 14 C 15 E Comprensión 16 C 17 C 18 A 19 A 20 E 21 C 22 B 23 E 24 C 25 E 2

1. La alternativa correcta es C. El conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales corresponde a la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones lineales. (1) 2x 5 11 (2) 4 x 2 Resolviendo (1): 2x 5 11 2x 11 5 2x 6 x 3 Resolviendo (2): 4 x 2 4 2 x 6 x Gráficamente: Luego, el conjunto solución es ], 3[ 3 6 2. La alternativa correcta es A. El conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales corresponde a la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones lineales. Luego, resolviendo la primera inecuación: 4x + 7 > 3 (Ordenando) 4x > 3 7 4x > 4 (Despejando x) 4 x > 4 x > 1 Que corresponde al intervalo 1 Resolviendo la segunda inecuación: 5 x + 3 (Ordenando) x 5 + 3 x 2 (Multiplicando por 1 en ambos lados, la desigualdad se invierte) x 2 3

Que corresponde al intervalo Como uno de los intervalos está incluido en el otro, entonces la intersección de ambos conjuntos corresponde al menor de los intervalos. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales dado es [2, + [ 2 3. La alternativa correcta es E. El conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales corresponde a la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones lineales. Luego, resolviendo la primera inecuación: 3x + 4 13 (Ordenando) 3x 13 4 3x 9 (Multiplicando por 1 en ambos lados, la desigualdad se invierte) 3x 9 (Despejando x) 9 x 3 x 3 Que corresponde al intervalo 3 Resolviendo la segunda inecuación: 3x 2x 3 (Ordenando) 3x 2x 3 (Reduciendo) x 3 Que corresponde al intervalo 3 El único punto que ambos intervalos tienen en común es x = 3. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema dado es solo { 3}. 4

4. La alternativa correcta es D. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación por separado: (1) x 2 < 3 (Ordenando) x < 3 + 2 x < 5 Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = ], 5 [ (2) x + 2 3 (Ordenando) x 3 2 x 1 Por lo tanto, la solución de la inecuación (2) corresponde al intervalo S 2 = [ 1, + [ Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones: S 1 S 2 = [ 1, 5 [ 1 5 Por lo tanto, la solución del sistema de inecuaciones corresponde al intervalo [ 1, 5 [ 5. La alternativa correcta es C. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación por separado: (1) 2(x 2) > 4 (Dividiendo por 2) x 2 > 2 (Ordenando) x > 2 + 2 x > 4 5

Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = ] 4, + [ (2) 2(x +3) < 6 (Dividiendo por 2) x + 3 < 3 (Ordenando) x < 3 3 x < 0 Por lo tanto, la solución de la inecuación (2) corresponde al intervalo S 2 = [, 0 [ Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones: 0 4 S 1 S 2 = Por lo tanto, la solución del sistema de inecuaciones corresponde a. 6. La alternativa correcta es A. Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita, se resuelve cada una de las inecuaciones por separado y luego se realiza la intersección de los conjuntos solución. Resolviendo la primera inecuación: 1 2x > 1 2x > 1 1 2x > 2 (Dividiendo por 2, cambia el sentido de la desigualdad) x < 1 Resolviendo la segunda inecuación: x + 3 < 7 x < 7 3 x < 4 Entonces, el conjunto solución corresponde a todos los valores que cumplen simultáneamente que x < 1 y x < 4. Cuando una de las soluciones está incluida en la otra, la 6

intersección corresponde a la más restrictiva de las dos (es decir, a la que está incluida) en este caso x < 1. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es ], 1[. 7. La alternativa correcta es E. Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita, se resuelve cada una de las inecuaciones por separado y luego se realiza la intersección de los conjuntos solución. Resolviendo la primera inecuación: 3(x 3) 9 (Dividiendo por 3) x 3 3 x 3 + 3 x 6 Resolviendo la segunda inecuación: x + 2 < 7 x < 7 2 x < 5 Entonces, el conjunto solución corresponde a todos los valores que cumplen simultáneamente x 6 y x < 5. Como no es posible que un número cumpla con ambas condiciones al mismo tiempo, entonces el sistema no tiene solución (conjunto vacío). Por lo tanto, el sistema de inecuaciones tiene como solución. 7

8. La alternativa correcta es C. Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita, se resuelve cada una de las inecuaciones por separado y luego se realiza la intersección de los conjuntos solución. Resolviendo la primera inecuación: x 3 < 6 x < 6 + 3 x < 9 Resolviendo la segunda inecuación: 4 x 5 x 5 4 x 1 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x 1 Entonces, el conjunto solución corresponde a todos los valores que cumplen simultáneamente x < 9 y x 1. Es decir, 1 x < 9. Por lo tanto, el intervalo solución corresponde a la gráfica representada en la alternativa C. 9. La alternativa correcta es A. Para que una raíz de índice par, tome valores reales, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Por lo tanto, para que la expresión 6 x tome valores reales, se debe cumplir que: 6 x 0 (Ordenando) x 6 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x 6 8

Por otro lado, para que la expresión 4 x tome valores reales, se debe cumplir que: 4 x 0 (Ordenando) x 4 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x 4 Entonces, la expresión 6 x 4 x toma valores reales para todos los x que al mismo tiempo son menores o iguales que 6 y menores o iguales que 4. Por lo tanto, x ], 4] 4 6 10. La alternativa correcta es E. x 3 La expresión toma valores reales siempre que x 5 (con x 5), y esto puede ocurrir en dos casos: x 3 sea mayor o igual que cero x 5 * Si (x + 3) 0 y (x 5) > 0. Estas dos condiciones se dan simultáneamente cuando al mismo tiempo x 3 y x > 5. Solución 1: ]5, + [ -3 º 5 * Si (x + 3) 0 y (x 5) < 0. Estas dos condiciones se dan simultáneamente cuando al mismo tiempo x 3 y x < 5. Solución 2: ], 3] -3 º 5 x 3 Luego, la expresión toma valores reales si x pertenece a la unión de ambos x 5 intervalos. Es decir, si x pertenece a ], 3] ]5, + [ 9

11. La alternativa correcta es C. El mínimo de dinero se gastaría si: no fueran los 2 niños (si asisten 18 niños), y todos ellos tuvieran la edad para recibir la bolsa de dulces de $ 400, sumado a la bebida. En tal caso, para cada niño habría un presupuesto de (400 + 300) = $ 700, y para los 18 niños se gastaría (700 18) = $12.600. El máximo de dinero se gastaría si: asistieran los 20 niños y todos ellos tuvieran la edad para recibir la bolsa de dulces de $ 600, sumado a la bebida. En tal caso, para cada niño habría un presupuesto de (600 + 300) = $ 900, y para los 20 niños se gastaría (900 20) = $18.000 Por lo tanto, el mínimo y el máximo de dinero que debería presupuestar para la fiesta es $12.600 y $18.000, respectivamente. 12. La alternativa correcta es A. Como la longitud de la reja corresponde al perímetro del rectángulo, y esta no debe exceder los 50 metros, implica entonces que debe ser menor o igual que 50 metros. Es decir: Perímetro 50 (Como el perímetro es igual a la suma de los lados) 2 (largo + ancho) 50 (Reemplazando el ancho) 2 (largo + 6) 50 (Dividiendo por 2) largo + 6 25 (Despejando el largo) largo 25 6 largo 19 Por otro lado, el área encerrada debe sobrepasar los 90 metros cuadrados, entonces debe ser mayor que 90 metros cuadrados. Es decir: Área > 90 largo ancho > 90 largo 6 > 90 (Como el área es igual al producto entre el largo y el ancho) (Reemplazando el ancho) (Despejando el largo) 10

90 largo > 6 largo > 15 Luego, el largo debe estar entre 15 y 19 metros (15 < largo 19). Por lo tanto, solo la medida indicada en II cumple con las condiciones dadas. 13. La alternativa correcta es B. Analizando las condiciones por separado, resulta: t > 6 significa que t pertenece al intervalo ] 6, ] Si 3t < 6 t < 2 significa que t pertenece al intervalo ], 2] Gráficamente: -6 2 Luego, el único número dentro de las alternativas que cumple con ambas condiciones simultáneamente es 5. 14. La alternativa correcta es C. Analizando las condiciones por separado: 4 > x significa que x pertenece al intervalo,4 x 2 x 2 significa que x pertenece al intervalo 2, Entonces, para que x pertenezca al conjunto P, debe cumplir que -2 x < 4. Luego: 11

I) 0 pertenece al conjunto P, ya que -2 0 < 4. II) 2 pertenece al conjunto P, ya que -2-2 < 4. III) 4 no pertenece a P, ya que x debe ser menor estricto que 4, x < 4. Por lo tanto, solo los números de I y II pertenecen al conjunto P. 15. La alternativa correcta es E. Comprensión El enunciado el precio no puede sobrepasar a la mitad de la suma entre el precio y 100 significa que x debe ser menor o igual (no mayor) que la mitad de (x + 100). Lo que se expresa como x 2 1 (x + 100). Por otro lado, el enunciado el resultado de la suma entre el doble del precio y 50 debe ser mayor que 200 significa que el doble de x sumado con 50 debe ser mayor que 200. Lo que se expresa como 2x + 50 > 200. Por lo tanto, el sistema de inecuaciones que representa el planteamiento de las condiciones es x 2 1 (x + 100) ; 2x + 50 > 200 16. La alternativa correcta es C. Al resolver el sistema en términos de a resulta: 2x y = 3 (1) x + 3y = a (2) Multiplicando (1) por 3 resulta: 6x 3y = 9 (3) 12

Reduciendo (2) + (3) resulta: 7x = a + 9 a 9 x = 7 Reemplazando la expresión para x en (1) resulta: a 9 2 y = 3 7 (Ordenando) 2a 18 3 = y 7 (Sumando) 2a 18 21 7 = y (Reduciendo) 2a 3 7 = y Por lo tanto, para que x > y, debe cumplirse que: a 9 2a 3 > 7 7 (Multiplicando por 7) a + 9 > 2a 3 (Ordenando) a 2a > 9 3 (Reduciendo) a > 12 (Multiplicando por 1) a < 12 17. La alternativa correcta es C. Como 0< a < b (Elevando al cuadrado) a 2 < b 2 (Dividiendo por c) a 2 b 2 < c c Según el teorema de Euclides, y basándonos en las variables indicadas en el dibujo: a 2 a 2 = p c, por lo tanto p = ; b 2 b 2 = q c, por lo tanto q = c c Por lo tanto, como a 2 < c b 2 entonces significa que p < q. c 13

I) Falsa, ya que para que h pertenezca al intervalo ]a, q, debe ser mayor que a y un cateto no puede ser mayor que la hipotenusa. II) Verdadera, ya que para que h pertenezca al intervalo ]p, b, debería cumplirse que p < h < b. Según el teorema de Euclides, y basándonos en las variables indicadas en el dibujo, se cumple que h 2 = p q. Si multiplicamos por p la desigualdad p < q resulta la desigualdad p 2 < p q = h 2 (Aplicando raíz cuadrada), p < h. Por otro lado, en el triángulo de lados b, q y h, la hipotenusa mide b, por lo tanto q y h son menores que b. En particular, h < b. Luego, p < h < b. III) Verdadera, ya que para que h pertenezca al intervalo ]0, 2 c, debería cumplirse que c c h <, lo que es correcto, ya que es la medida de la transversal de gravedad, y la 2 2 altura siempre es menor que la transversal de gravedad del mismo lado (sólo llegan a ser iguales, si el triángulo es isósceles, y en este caso es escaleno). 18. La alternativa correcta es A. a b < 1 a (Separando la fracción) a b < 1 a a (Simplificando la primera fracción) 1 + a b < 1 (Restando 1 a cada lado de la desigualdad) b < 0 a Según la regla de los signos, para que la división entre dos cantidades sea negativa, deben tener distinto signo, lo que se indica en la alternativa A. En el resto de los casos, no siempre se cumple la condición. Por ejemplo, si a = 2 y b = 1 se cumplen las situaciones dadas en las alternativas B, C, D y E. Sin embargo, a b 2 1 3 = = = 1,5 > 1. a 2 2 14

Por lo tanto, si a b a < 1 siempre se cumple que a y b tienen distinto signo. 19. La alternativa correcta es A. I) Verdadera, ya que si m > 2, entonces m < 2. Como además p < 0, entonces (p m) < (0 + 2). Luego, p m < 2. II) III) Falsa, ya que si m es un número mayor que 2, entonces puede tomar valores tanto negativos como positivos. Como p es un número negativo, entonces el signo de m p depende del signo de m. Falsa, ya que depende de los valores de m y p. Si m es positivo y su valor absoluto es mayor que el valor absoluto de p, entonces la suma entre ambos será positiva. Por lo tanto, solo la afirmación I es siempre verdadera. 20. La alternativa correcta es E. I) Falsa, ya que solo se sabe que a + b = 5, pero este resultado se puede dar con infinitas combinaciones, por ejemplo (2 + 3), ( 1 + 6), (7 + 2). Luego, no necesariamente ambos deben ser positivos. II) III) Verdadera, ya que si b c = 3, entonces b = 3 + c. Es decir, b es 3 unidades mayor que c. Verdadera, ya que b c = 3, luego b = 3 + c, y al reemplazar en la primera ecuación resulta: a + b = 5 a + 3 + c = 5 a + c = 5 3 (Reemplazando) (Ordenando) 15

a + c = 2 Luego, (a + c) es un número positivo. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas. 21. La alternativa correcta es C. Si a pertenece al intervalo [ 4, 1], entonces: 4 a 1 (Multiplicando por 2) 8 2a 2 Si b pertenece al intervalo [ 2, 3], entonces: 2 b 3 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) 2 b 3 (Reordenando) 3 b 2 Como se conocen los valores extremos de cada término, entonces la suma de los términos se encuentra entre la suma de estos extremos. Es decir: 8 2a 2 3 b 2 (Sumando) 11 2a b 0 Por lo tanto, el intervalo que contiene todos los valores posibles de (2a b) es [ 11, 0]. 16

22. La alternativa correcta es B. I) Sí se cumple, ya que: 0 < a (Multiplicando por 1 cambia el sentido de la desigualdad) 0 > a (Sumando b a ambos lados) b > b a Entonces (b a) es menor que b. II) III) Sí se cumple, ya que: b < 0 (Sumando b a ambos lados) b + b < b 2b < b Entonces 2b es menor que b. No se cumple, ya que por ejemplo si b = 3 y a = 1, entonces 2a = 2 es mayor que b = 3. Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre menores que b. 23. La alternativa correcta es E. I) Verdadera, ya que: 1 > 2 (Sumando m a ambos lados) m 1 > m 2 (Como ambos son negativos, al elevar a 1 la desigualdad se invierte) 1 1 m 1 m 2 II) Verdadera, ya que como m y n son números negativos, entonces m n es positivo, y siempre un número positivo es mayor que uno negativo. Entonces, n m. m 17

III) Verdadera, ya que como m es un número negativo, entonces: m > m (Sumando n a ambos lados) n m > n + m Por lo tanto, las tres afirmaciones I, II y III, son siempre verdaderas. 24. La alternativa correcta es C. Si Raúl tiene x años, entonces José tiene (x + 4) años. Como Jaime tiene 12 años, y es el hermano mayor, entonces se puede plantear la desigualdad: x < x + 4 < 12. Entonces, x < 8. Luego: (1) La edad de Raúl es un número par de años. Con esta información, no es posible determinar la edad de Raúl, ya que x podría ser 2, 4 ó 6 años. (2) El resultado entre la suma de la edad de Raúl y la de José es menor que la edad de Jaime. Con esta información, no es posible determinar la edad de Raúl, ya que: x + x + 4 < 12 2x < 12 4 2x < 8 x < 4 Entonces, x podría ser 1, 2 ó 3 años. Con ambas informaciones, sí es posible determinar la edad de Raúl, ya que: {2, 4, 6} {1, 2, 3} = {2}. Luego, la edad de Raúl, al ser un número par, es 2 años. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 18

25. La alternativa correcta es E. (1) a + b = c. Con esta información, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c, ya que solo se establece que c es mayor que a y b, pero no sabemos la relación entre a y b. (2) a < c. Con esta información, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c, ya que solo se establece que c es mayor que a, pero no sabemos la relación entre a y b o entre a y c. Con ambas informaciones, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c, pues solo se establecería que c es el mayor número, pero no sabemos la relación entre a y b. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 19