CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193

A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E el capítulo 9 se estudiaba la covergecia de las series de térmios co sigo costate. Trataremos aquí las series arbitrarias, es decir aquellas cuyos térmios o so todos del mismo sigo, más precisamete aquellas que tiee ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. Para estas series será importate estudiar o sólo su covergecia sio la covergecia de la serie formada por los valores absolutos de sus térmios. Debido a la propiedad: (1) Si la serie a coverge, etoces a tambié coverge y además a a podemos distiguir los siguietes casos: (a) Ua serie a se dice que coverge absolutamete si coverge la serie a. (b) Ua serie a coverge codicioalmete si es covergete pero diverge la serie a. (c) Ua serie es divergete si diverge a y a. Otras propiedades destacables so: (2) Ua serie a coverge absolutamete si y sólo si so covergetes la serie formada co sus térmios positivos y la formada co sus térmios egativos. (3) Si las series a y b so absolutamete covergetes, etoces la serie (αa + βb ) es absolutamete covergete, α, β R. (4) Si a coverge absolutamete, todo reordeamieto de {a } produce ua serie cuya suma coicide co a. 194

(5) Si a y b so absolutamete covergetes, tambié lo es la serie producto p defiida de la siguiete maera: p = a 1 b + a 2 b 1 + + a b 1 = a k b k. U caso particular de las series arbitrarias lo costituye las series alteradas, que so aquellas cuyos térmios so alterativamete positivos y egativos. Las series alteradas se suele expresar como ( 1) a dode a 0,, o de cualquier forma equivalete (por ejemplo se(π/2)a ó cos(π)a ). Las series alteradas tiee la siguiete propiedad: (6) Si ( 1) a es ua serie alterada covergete y llamamos S a la suma de la serie, etoces S ( 1) k a k a k+1 k=1 (esto quiere decir que el error cometido al sumar los primeros térmios es meor que el primer térmio desechado). Para estudiar la covergecia de las series arbitrarias, aparte de los criterios ya euciados e el capítulo 9 para series de térmios positivos, aplicaremos los siguietes criterios específicos: - Criterio de Leibitz. Si la sucesió de térmios positivos {a } es decreciete y tiee límite cero, etoces la serie alterada ( 1) a es covergete. - Criterio del cociete. Dada la serie arbitraria a, llamamos L = lím sup a y l = lím if a. (a) Si L < 1, la serie coverge absolutamete. (b) Si l > 1, la serie diverge. - Criterio de la raíz. Dada la serie arbitraria a, llamamos L = lím sup a. k=1 195

(a) Si L < 1, la serie coverge absolutamete. (b) Si L > 1, la serie diverge. Veremos e los siguietes problemas ejemplos diversos de aplicació de estas propiedades. PROBLEMA 14.1 Estudiar el carácter de la serie a de térmio geeral a = ( 1) [ 2 1 ] y hallar ua cota del error cometido al tomar como suma la de los cuatro primeros térmios. Si escribimos a = ( 1) 1 2 1 + = ( 1)+1, vemos que se trata 2 1 + de ua serie alterada. Aplicaremos el criterio de Leibitz: 1 2 1 + < 1 ( 1) 2 + 1 + ( 1) = a < a 1. lím a = lím 1 2 1 + = 0. Como la sucesió es e valor absoluto decreciete y covergete a cero, la serie es covergete. Por otra parte, es sabido que al tomar la suma parcial s como valor de la serie, el error cometido es meor que el valor absoluto del primer térmio despreciado. La cota del error pedida e este caso es a 5 = 5 2 1 5 = 5 24. PROBLEMA 14.2 Probar que la serie 1 l 2 + 1 2 l 3 2 + 1 3 l 4 3 + + 1 l + 1 +... es covergete. A partir de la desigualdad evidete ( 1 + ) 1 ( < e < 1 + ) 1 +1, se obtiee que 196

( l 1 + 1 ) = 1 + 1 ( < 1 < ( + 1) l 1 + 1 ) = < ( ) + 1 < l < 1, 1 l ( +1 ) < + 1 lo que quiere decir que la sucesió de valores absolutos es decreciete. Además es evidete que dicha sucesió tiede a cero pues 1 lím = 0 y lím l + 1 = 0. Por el criterio de Leibitz, la serie es covergete. Observació. A la suma de la serie aterior se le llama costate de Euler γ = 0,577215... la cual o se sabe aú si se trata de u úmero racioal o irracioal. PROBLEMA 14.3 Cosiderado que 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 = l + γ + ε, dode γ es la costate de Euler y lím ε = 0, hallar la suma de la serie 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 1 2 1 4 1 6 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + 1 15 1 8 1 10 1 12 +... formada a partir de la serie alterada 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 + + ( 1)+1 1 +... tomado cuatro térmios positivos, después tres térmios egativos, después cuatro positivos, etc. Calculamos la suma de los (4 + 3) primeros térmios de la serie. Teemos así: 197

S (4+3) = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 1 2 1 4 1 6 +... + 1 8 7 + 1 8 5 + 1 8 3 + 1 8 1 1 6 4 1 6 2 1 6 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + + 1 8 7 + 1 8 5 + 1 8 3 + 1 [ 8 1 1 2 + 1 4 + 1 6 + + 1 6 4 + 1 6 2 + 1 ] 6 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 8 6 + 1 8 5 + 1 8 4 + 1 8 3 + 1 8 2 + 1 8 1 + 1 [ 1 8 2 + 1 4 + 1 6 + + 1 8 4 + 1 8 2 + 1 ] 8 [ 1 2 + 1 4 + 1 6 + + 1 6 4 + 1 6 2 + 1 ] 6 = l 8 + γ + ε 8 1 [ 1 + 1 2 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 4 3 + 1 4 2 + 1 4 1 + 1 ] 1 [ 1 + 1 4 2 2 + 1 3 + + 1 3 2 + 1 3 1 + 1 ] 3 = l 8 + γ + ε 8 1 2 (l 4 + γ + ε 4) 1 2 (l 3 + cγ + ε 3) = l 8 1 2 l 4 1 2 l 3 + ε 8 1 2 ε 4 1 2 ε 3 = l 8 + l 1 2 l 4 1 2 l 1 2 l 3 1 2 l + ε 8 1 2 ε 4 1 2 ε 3 = 3 l 2 + l l 2 1 2 l 1 2 l 3 1 2 l + ε 8 1 2 ε 4 1 2 ε 3 = 2 l 2 1 2 l 3 + ε 8 1 2 ε 4 1 2 ε 3. Etoces S = lím S (4+3) = 2 l 2 1 2 l 3 = l 4 3. PROBLEMA 14.4 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) l. Aplicaremos la regla de L Hôpital para calcular el límite del térmio geeral. Así: 198

lím a = lím l = lím 1 1/ =. Por el criterio del resto se deduce que la serie es divergete. PROBLEMA 14.5 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 1 2 + 1. Como se trata de ua serie alterada podemos aplicar el criterio de Leibitz. Si llamamos a = 1 2 + 1, es evidete que la sucesió {a } es decreciete y tiee límite cero, por lo que la serie es covergete. Si embargo, la serie 1 2 + 1 es divergete (basta compararla co la serie 1/) lo que idica que la serie dada es codicioalmete covergete. PROBLEMA 14.6 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 2. Aplicaremos el criterio del cociete. Como lím +1 a = lím 2 +1 = lím + 1 2 2 = 1 2 < 1, la serie es absolutamete covergete. PROBLEMA 14.7 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 1 1. 199

Aplicaremos el criterio de Leibitz a la serie alterada. La sucesió de térmio geeral a = 1/ es decreciete (pues < a, ) y lím a = 0 lo que idica que la serie es covergete. Si embargo, dicha covergecia es codicioal porque la serie de valores absolutos 1 es divergete (caso particular de 1/ α co α 1). PROBLEMA 14.8 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 1 6 5. Como lím a = lím 6 5 = 1 6 0, por el criterio del resto se deduce que la serie es divergete. PROBLEMA 14.9 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie 1 2 + 1 ( 1) ( + 1). Del criterio de Leibitz se obtiee que la serie es covergete pues la sucesió de térmio geeral a = 2 + 1 ( + 1) es decreciete y lím a = 0. Efectivamete: a = = 2 + 3 ( + 1)( + 2) 2 + 1 ( + 1) 2 2 ( + 1)( + 2) < 0 = < a, ; lím a = lím 2 + 1 2 + = 0. 200 = (2 + 3) ( + 2)(2 + 1) ( + 1)( + 2)

La covergecia es codicioal pues la serie 2 + 1 es divergete (basta ( + 1) aplicar el criterio de comparació co la serie 1/). PROBLEMA 14.10 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 2 + 2 ( + 2) 2. Como lím a = lím 2 + 2 ( + 2) 2 = 1 0, la serie es divergete (criterio del resto). PROBLEMA 14.11 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 1 l. Por el criterio de Leibitz, como lím 1 = 0 y la sucesió {1/ l } es decreciete, la serie es l covergete. Por otra parte, la serie de valores absolutos 1 es divergete como se l comprueba aplicado el criterio de comparació co 1. E defiitiva, la serie propuesta es codicioalmete covergete. PROBLEMA 14.12 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( ) 2 + 1 ( 1). 3 + 1 201

Aplicaremos el criterio de la raíz. Como lím a = lím 2 + 1 3 + 1 = 2 3 < 1, la serie es absolutamete covergete. PROBLEMA 14.13 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) 1 + se2 2. Estudiaremos la covergecia de la serie de valores absolutos 1 + se 2 2. Por el criterio de comparació, como 1 + se2 2 2 2 y la serie 2 covergete, la serie propuesta es absolutamete covergete. 2 es PROBLEMA 14.14 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1) se 2 (2)! 2. Si llamamos a al térmio geeral de la serie, debido a que a (2)!, la serie dada será absolutamete covergete si es covergete la serie (2)! 2 2. Por el criterio del cociete, lím b +1 b = lím = lím (2+2)! (+1) 2+2 (2)! 2 (2 + 2)(2 + 1)2 = lím ( + 1) 2 ( + 1) 2 ( + 1 (2 + 2)(2 + 1) ( + 1) 2 lím ) 2 = 4e 2 < 1. Esto idica que la serie origial es absolutamete covergete. 202

PROBLEMA 14.15 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie 1 5 9... (4 3) cos(π). (3)! + 1 E primer lugar acotamos e valor absoluto el térmio geeral de la serie: 1 5 9... (4 3) a <, (3)! debido a que cos(π) = 1 y (3)! + 1 > (3)! A cotiuació probaremos que la serie mayorate 1 5 9... (4 3) (3)! es covergete aplicado el criterio del cociete: lím b +1 b = lím 1 5 (4 3)(4+1) (3+3)! 1 5 (4 3) (3)! = lím 4 + 1 (3 + 3)(3 + 2)(3 + 1) = 0. De lo aterior, y aplicado el criterio de comparació, se deduce que la serie origial es absolutamete covergete. PROBLEMA 14.16 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie (2)! 2 + cos(π). Se trata de ua serie alterada ya que cos(π) = ( 1). Como 2 + > 2, se verifica que a < (2)!. E el problema 14.14 se probó que la serie 2 mayorate (2)! es covergete. Esto idica que la serie propuesta es 2 absolutamete covergete. 203

PROBLEMA 14.17 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 3) 2 ( + 1) l 2 ( + 1). Por el criterio del cociete, lím a = lím 32+2 (+2) l 2 (+2) 3 2 (+1) l 2 (+1) = lím 32 ( + 1) l 2 ( + 1) ( + 2) l 2 ( + 2) = 9 > 1, co lo que la serie diverge. PROBLEMA 14.18 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie 2 se(π/2). (3 2) 5 Como se π 2 = ( 1)+1, teemos ua serie alterada. Si aplicamos el criterio del cociete, resulta: lím a 2+1 (3+1) 5 +1 = lím 2 (3 2) 5 y la serie es absolutamete covergete. = lím 2 3 2 = 2 < 1 5 3 + 1 5 PROBLEMA 14.19 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( 1). + + 1 204

Aplicaremos el criterio de Leibitz al tratarse de ua serie alterada. Para 1 ello debemos comprobar que la sucesió de térmio geeral a = + + 1 coverge a cero y es decreciete. Es evidete que lím a = 0. Además, a +1 + + 1 = < 1, por lo a + 1 + + 2 que la sucesió es decreciete. Si embargo, la serie de valores absolutos 1 + + 1 es divergete, como se deduce al aplicar el criterio de comparació co 1. E defiitiva, la serie propuesta es codicioalmete covergete. PROBLEMA 14.20 Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie se 3 + 1. Estudiamos la serie de valores absolutos aplicado el criterio de comparació. Como se 3 + 1 1 3/2 y la serie 1 es covergete, se deduce que la 3/2 serie origial es absolutamete covergete. PROBLEMA 14.21 Sea a ua serie hipergeométrica, es decir que verifica la relació = α + β,, dode α, β, γ so costates fijas y α, γ a α + γ o ulas a la vez. a) Probar que la serie es covergete si γ β α > 1. b) Probar que S = a (α + β) a 1 γ,. α + β γ c) Probar que, e caso de covergecia, la suma de la serie es a 1 γ α + β γ. 205

a) Aplicaremos el criterio de Raabe (observamos que, desde u cierto e adelate, > 0, pues α, β, γ so costates fijas): a lím ( 1 a ) +1 a = lím α + γ α β α + γ lo que idica que la serie coverge si γ β α > 1. = γ β α, b) Probaremos por iducció que S = a (α + β) a 1 γ, siedo S = α + β γ a 1 + a 2 + + a. - Para = 1, a 1(α + β) a 1 γ α + β γ = a 1 = S 1. - Si supoemos que S 1 = a 1[( 1)α + β) a 1 γ, debemos comprobar que S = a (α + β) a 1 γ α + β γ. α + β γ Por ser ua serie hipergeométrica, se verifica la relació a [α( 1) + γ] = a 1 [α( 1) + β]. Utilizado esta igualdad, teemos: S = S 1 + a = a 1[( 1)α + β) a 1 γ α + β γ = S = a [α( 1) + γ] a 1 γ + a α + β γ = a [α( 1) + γ + α + β γ] a 1 γ α + β γ como queríamos demostrar. + a = a (α + β) a 1 γ, α + β γ c) Si la serie es covergete, etoces a = lím S = lím α a + βa γa 1. α + β γ Ahora bie, recordado que, e ua serie covergete, lím a = 0 y γa 1 lím a = 0, dicho límite queda α + β γ. PROBLEMA 14.22 Probar que, si a + b = c, etoces a b = c!!!. 0 0 0 206

Por defiició de producto de series, si a = a! y b = b, el térmio geeral! de la serie producto es p = a 0 b + a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a b 0 = b! + a b 1 ( 1)! + a2 2! b 2 ( 2)! + + a! = 1 [ ] b + ab 1 ( 1) + a 2 b 2 + + a! 2! como queríamos probar. = 1! (a + b) = c!, Observació. Si llamamos f(x) = x, hemos probado que f(a) f(b) =! 0 f(a+b) lo que sugiere llamar a f fució expoecial (ver capítulo siguiete). PROBLEMA 14.23 Probar que 1 2! 0 2 = 0 1!. El térmio -ésimo del producto es p = 1 1 2 i i! 2 i ( i)! =! 2!( i)! i! = 1 2! i=0 debido a que 2 = i=0 ( ). i i=0 i=0 ( ) = 1 i!, B. SERIES DEPENDIENTES DE PARÁMETROS. E este apartado se resolverá distitos problemas relacioados co la covergecia de series defiidas e fució de uo o varios parámetros. Se tratará de determiar los valores que debe tomar dichos parámetros para que la serie correspodiete sea covergete (tato absoluta como codicioal) o divergete. El esquema que seguiremos e geeral es el siguiete: 207

- Aplicar el criterio del cociete o de la raíz para obteer los valores de los parámetros que de covergecia absoluta. - Estudiar la covergecia de la serie que resulta al sustituir los valores de los parámetros que hace que el criterio aterior o sea cocluyete. Para ello podemos hacer uso de alguo de los criterios ya idicados, tato e este capítulo como e el capítulo 9. PROBLEMA 14.24 Estudiar el carácter de la serie 1 5 10... ( 2 + 1) 1 (2 1)! a 2 los diferetes valores de a. segú Si aplicamos el criterio del cociete, teemos: 1 5 10...( lím a = lím 2 +1)[(+1) 2 +1] 1 (2+1)! a 2+2 = lím ( + 1)2 + 1 (2 + 1) 2 1 a 2 = 1 4 a 2. 1 5 10...( 2 +1) (2 1)! 1 a 2 La serie es absolutamete covergete cuado a > 1 2 y divergete cuado a < 1 2. 1 < 1, es decir cuado 4 a 2 Cuado a = 1, aplicamos el criterio de Raabe y resulta: 2 ( lím 1 a ) ( +1 = lím 1 ( + ) 1)2 + 1 a (2 + 1) 2 4 = lím 6 8 4 2 + 2 = 6 4 < 1, de modo que la serie es divergete. Cuado a = 1, la serie coicide co la aterior de modo que tambié es 2 divergete. PROBLEMA 14.25 Estudiar el carácter de la serie a 3 2 se π 2 segú los diferetes valores de a. 208

{ Como se π 2 = 0 si = 2k es par ( 1) k+1 si = 2k 1 es impar, de la raíz, resulta: si aplicamos el criterio lím sup a = lím a = a, 3 2 de modo que la serie coverge absolutamete si a < 1 y diverge si a > 1. Cuado a = 1, sustituyedo los valores de se π/2 ates idicados, teemos la serie 1 se π 3 2 2 = 1 ( 1) k+1 = ( 1) k+1, k 1 3(2k 1) 2 k 1 6k 5 que es ua serie alterada codicioalmete covergete (ver problema 14.7). Cuado a = 1, resulta la serie ( 1) se π 3 2 2 = ( 1) 2k 1 ( 1) k+1 = ( 1) k, k 1 6k 5 k 1 6k 5 que es tambié codicioalmete covergete. PROBLEMA 14.26 segú los dife- Estudiar la covergecia de la serie retes valores de a. ( 1) e e a Por el criterio de la raíz, lím a = lím e e a = e1 a. La serie es absolutamete covergete cuado e 1 a < 1, es decir a > 1 y divergete cuado a < 1. Cuado a = 1, queda la serie ( 1) que es codicioalmete covergete. 209

PROBLEMA 14.27 Estudiar el carácter de la serie 1 segú los diferetes 1 + a2 valores de a. La serie es de térmios positivos, por lo que podemos aplicar el criterio de 1 1+a comparació. Como lím 2 1 1 = 1, las series (a (a 2 ) 2 ) y 1 tiee 1 + a2 el mismo carácter. Ahora bie, la serie 1 (a 2 es covergete cuado ) a 2 > 1, es decir a > 1, y divergete cuado a < 1. De aquí se deduce que la serie dada es tambié covergete cuado a > 1 y divergete cuado a < 1. Cuado a = 1, queda la serie 1/2 que es claramete divergete. PROBLEMA 14.28 Estudiar el carácter de la serie a de a. e segú los diferetes valores Por el criterio del cociete: lím a = lím (+1) e +1 a e = lím a ( + 1) e = a e. Resulta que la serie es absolutamete covergete cuado a < e y divergete cuado a > e. Cuado a = e, la serie queda que es divergete y cuado a = e, la serie es ( 1) que tambié es divergete. PROBLEMA 14.29 Estudiar el carácter de la serie a a segú los diferetes valores de a. 210

Por el criterio del cociete, lím a = lím ( + 1) a a a = a. La serie es absolutamete covergete cuado a < 1 y divergete cuado a > 1. Cuado a = 1 obteemos la serie que es divergete; cuado a = 1, la serie es ( 1) que, como sabemos, es codicioalmete covergete. PROBLEMA 14.30 Estudiar el carácter de la serie ( a + 1 ) segú los diferetes valores de a. Debido al criterio de la raíz teemos: lím a = lím a + 1 = a. La serie es absolutamete covergete cuado a < 1 y divergete cuado a > 1. Cuado a = 1, teemos la serie ( 1 + ) 1 (. Como lím 1 + ) 1 = e 0, dicha serie es divergete. Cuado a = 1, la serie es ( 1 + ) 1 que tambié es divergete debido ( a que lím 1 + ) 1 o existe. PROBLEMA 14.31 Estudiar el carácter de la serie a + 1 2 ( + 2) valores de a. segú los diferetes 211

Aplicamos tambié e este caso el criterio del cociete. Teemos así: a lím a = lím +1 +2 2 +1 (+3) a ( + 2) + 2 = lím 2( + 3) + 1 = a 2. a +1 2 (+2) La serie es pues absolutamete covergete cuado a < 2 y divergete cuado a > 2. Si a = 2, la serie es + 1 que es divergete, como se comprueba al + 2 aplicar el criterio de comparació co 1. Si a = 2, la serie es ahora + 1 ( 1) : dicha serie es codicioalmete + 2 covergete pues, segú el criterio de Leibitz, la sucesió de térmio geeral a = es decreciete y coverge a cero pero la serie de valores + 1 + 2 absolutos, como ya hemos idicado, es divergete. PROBLEMA 14.32 Estudiar el carácter de la serie ( 2 + 1)a valores de a. ( + 1)! segú los diferetes Por el criterio del cociete, lím a = lím [(+1) 2 +1] (+2)! ( 2 +1)a (+1)! = lím (2 + 2 + 2) a ( + 2)( 2 + 1) = 0. La serie es pues absolutamete covergete para cualquier valor del parámetro a. PROBLEMA 14.33 Estudiar el carácter de la serie (a/) segú los diferetes valores de a. 212

Aplicado el criterio de la raíz, resulta: lím a = lím a/ = 0. Esto idica que la serie es siempre absolutamete covergete. segú los diferetes va- PROBLEMA 14.34 Estudiar el carácter de la serie 2 + 1 a lores de a. Si aplicamos el criterio del cociete, teemos: (+1) lím a = lím 2 +1 (+1) = lím 2 +1 a (2 + 2 + 2) ( + 1)( 2 + 1) a = 1 a. De aquí se deduce que la serie es absolutamete covergete cuado a > 1 y divergete cuado a < 1. E los casos extremos teemos: - Si a = 1, queda la serie 2 + 1 que es divergete porque el térmio geeral o tiede a cero. - Si a = 1, la serie es ( 1) 2 + 1 que tambié es divergete por la misma razó que e el caso aterior. PROBLEMA 14.35 Estudiar el carácter de la serie a de a.! segú los diferetes valores Por el criterio del cociete, lím a = lím (+1)! a! = lím a + 1 = 0, por lo que la serie es absolutamete covergete para cualquier a R. 213

PROBLEMA 14.36 Estudiar el carácter de la serie! (2 + a)(2 + 2a)... (2 + a) segú los diferetes valores de a. De la defiició se observa que la serie o tiee setido cuado a = 2/, N. Para el resto de valores de a utilizamos el criterio del cociete y obteemos: lím a = lím (+1)! (2+a)(2+2a)...[2+(+1)a]! (2+a)(2+2a)...(2+a) = lím + 1 2 + ( + 1)a = 1 a. Resulta etoces que la serie es absolutamete covergete cuado a > 1 y divergete cuado a < 1. Co respecto a los valores extremos, para a = 1, como hemos idicado, la serie o tiee setido, y para a = 1 queda la serie! 3 4... ( + 2) = 2! ( + 2)! = 2 ( + 2)( + 1). Esta serie es covergete como se comprueba al aplicar el criterio de comparació co 1 2. PROBLEMA 14.37 Estudiar el carácter de la serie 2 valores de a. 2 se2 a segú los diferetes Observamos que se trata de ua serie de térmios o egativos por lo que o hay distició etre covergecia y covergecia absoluta. Si aplicamos el criterio de la raíz, resulta: lím a = lím 2 2 se2 a = 2 se 2 a. La serie es pues absolutamete covergete cuado se 2 a < 1/2, es decir se a < (4 1)π (4 + 1)π 2/2. Esto ocurre cuado < a <, Z. 4 4 Además, e los extremos de cada itervalo, es decir e los putos e que 214

se 2 a = 1/2, la serie queda de la forma 1 que, como sabemos, es covergete. 2 E el resto de valores de a la serie es divergete. PROBLEMA 14.38 Estudiar el carácter de la serie! (a + b)(a + 2b)... (a + b) segú los diferetes valores de a y b, co a, b > 0. Teemos e este caso ua serie de térmios o egativos. Si aplicamos el criterio del cociete, resulta: lím a = lím (+1)! (a+b)(a+2b)...(a+b)[a+(+1)b]! (a+b)(a+2b)...(a+b) = lím + 1 a + ( + 1)b = 1 b. La serie es pues covergete cuado b > 1 y divergete cuado b < 1. Cuado b = 1 teemos la serie!. Para estudiar (a + 1)(a + 2)... (a + ) su covergecia aplicamos el criterio de Raabe: ( lím 1 a ) ( +1 = lím 1 + 1 ) a = lím a a + + 1 a + + 1 = a. Así pues, si a < 1, la serie es divergete y si a > 1, covergete. Por último, si a = b = 1, teemos la serie! ( + 1)! = 1 + 1 que sabemos es divergete. PROBLEMA 14.39 Estudiar el carácter de la serie a(a + 1)... (a + 1)! b segú los diferetes valores de a y b, co a b. Podemos supoer que se trata de ua serie de térmios o egativos porque, desde u cierto N e adelate, a + 1 > 0, N y el umerador o cambia de sigo. 215

Si aplicamos el criterio del cociete, obteemos: lím a = lím = lím + a + 1 a(a+1)...(a+ 1)(a+) (+1)!(+1) b a(a+1)...(a+ 1)! b ( ) b + 1 = 1. Como o podemos decidir la covergecia de la serie co este criterio, aplicamos el criterio de Raabe: ( lím 1 a ) +1 = lím ( + 1)b+1 ( + a) b a ( + 1) b+1 = lím b+1 + (b + 1) b + b+1 a b ( + 1) b+1 = b + 1 a. Cuado b + 1 a > 1, o bie b > a, la serie será covergete, y divergete cuado b < a. PROBLEMA 14.40 Estudiar el carácter de la serie a(a + 1)... (a + 1) b(b + 1)... (b + 1) diferetes valores de a y b. segú los E primer lugar observamos que debe ser b 0, 1, 2,... para que el deomiador o se aule. Si aplicamos el criterio del cociete, teemos: lím a = lím = lím a + b + = 1, a(a+1)...(a+ 1)(a+) b(b+1)...(b+ 1)(b+) a(a+1)...(a+ 1) b(b+1)...(b+ 1) por lo que este criterio o es cocluyete. Aplicamos pues el criterio de Raabe: ( ) lím 1 a = lím b + (a + ) b + = b a. Se deduce que la serie es absolutamete covergete cuado b > a + 1 y divergete cuado b < a + 1. Cuado b = a + 1, queda la serie a que es divergete. a + 216

PROBLEMA 14.41 Estudiar el carácter de la serie a de a y b. b segú los diferetes valores Aplicado el criterio del cociete, teemos: a lím a = lím +1 = lím a (+1) b a b ( ) b + 1 = a. La serie será pues absolutamete covergete cuado a < 1 y divergete cuado a > 1. Si a = 1, queda la serie 1 (serie de Riema), que sabemos es covergete cuado b > 1 y divergete cuado b b 1. E el caso a = 1, la serie es de la forma ( 1) ; dicha serie es absolutamete covergete cuado b > 1 (por ser covergete la serie de sus valores absolutos), es codicioalmete covergete cuado 0 < b 1 (pues, segú el criterio de Leibitz, el térmio geeral e valor absoluto forma ua sucesió decreciete y covergete a cero), y es divergete cuado b 0 porque el térmio geeral o tiede a cero. b PROBLEMA 14.42 Probar que la sucesió {a } de térmio geeral a = (1 1/4)(1 1/9)... (1 1/ 2 ) es covergete y que su límite es estrictamete positivo. Si llamamos b al logaritmo del térmio geeral, obteemos: ( b = l a = l 1 1 ) ( + l 1 1 ) + + l (1 1 ) 4 9 2. Esto quiere decir que b es el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales de l (1 1 ) 2, co lo que lím b = l (1 1 ) 2. 217 =2

Debido a la igualdad l (1 1 ) 2 = l( 2 1) l 2 = l( 1) 2 l + l( + 1), teemos: b = l 1 2 l 2 + l 3 + l 2 2 l 3 + l 4 + l 3 2 l 4 + l 5... + l( 1) 2 l + l( + 1) = l 2 l + l( + 1) = l 2 + l + 1. Esto implica que lím b = l 2 = l 1/2 y, como b = l a, resulta e defiitiva que lím a = 1/2. 218

C. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Cotestar razoadamete si cada uo de los siguietes euciados es verdadero o falso: a) Si A es la suma de la serie a, etoces la sucesió (a ) N coverge a A. Resp.: Falso si A 0 pues a 0. b) Si A es la suma de la serie a, etoces la serie a coverge a A. Resp.: Falso (ejemplo a = ( 1) ). c) Si lím a = 2, etoces a coverge. Resp.: Falso (ejemplo a = ( 2) ). d) Si lím a < 1, etoces a coverge. Resp.: Falso (mismo ejemplo aterior). e) Si a coverge, etoces la sucesió ( /a ) N límite. Resp.: Falso (ejemplo a 2 = 1 2, a 2+1 = 1 2 ). tiee f) Si a coverge, etoces lím a2 = 0. Resp.: Verdadero por el criterio del resto. g) Si a coverge, etoces a 2 coverge. Resp.: Falso (ejemplo a = ( 1) ). 219

h) Si ( ) 2 a coverge, etoces a coverge. Resp.: Falso (mismo ejemplo aterior). i) Si a coverge absolutamete, tambié lo hace a 2 1 + a 2. a 2 < a 2 < a, desde u cierto (re- Resp.: Verdadero pues 1 + a 2 cordemos que a 0). j) Si {x } es ua sucesió positiva, la serie x 1 + 2 x es covergete. Resp.: Verdadero (aplicar el criterio de comparació co 1/ 2 ). k) Si a y b so divergetes, etoces a b es diver- gete. Resp.: Falso (ejemplo a = 1/ y b = 1/). l) Si lím a = 0 y el sigo de a es alterativamete positivo y egativo, etoces a coverge. Resp.: Falso (ejemplo a = ( 1) 2 + ( 1) ). m) Si a < 1/ para todo, etoces a diverge. Resp.: Falso (ejemplo a = 1/ 2 ). ) Si a < 1/ 2 para todo, etoces a coverge. Resp.: Falso (ejemplo a = 1/). 2. Probar que, si la serie a es absolutamete covergete, tambié lo es la serie + 1 a. Sugerecia: Aplicar el criterio de comparació. 220

3. Estudiar el carácter de la serie ( 1) +1 1 + 1 =1 Resp.: Covergete (aplicar el criterio de Leibitz). ( 1 + 1 2 + + 1 ) 2. 4. Estudiar la covergecia de la serie ( 1) (14 + 5) l( 2 + 2) e ( 4. + 2) Resp.: Absolutamete covergete (aplicar el criterio del cociete). =1 5. Estudiar el carácter de la serie ( 1) l 2. Resp.: Absolutamete covergete (criterio del cociete). 6. Estudiar el carácter de la serie ( 1) 1. Resp.: Codicioalmete covergete (criterios de Leibitz y comparació co 1/ ). 7. Estudiar el carácter de la serie ( 1) 1 + ( 1). Resp.: Codicioalmete covergete (criterios de Leibitz y de comparació co 1/ ). 8. Estudiar el carácter de la serie ( ( 1) 3 ) 3. Resp.: Coverge codicioalmete (usar el criterio de Leibitz y el de comparació co 1/). 9. Estudiar la covergecia (absoluta y codicioal) de la serie ( ) π 2 se. Resp.: Divergete (se trata de la serie 1+0+1+0+... ). 2 10. Estudiar el carácter de la serie valores de a R. a segú los distitos ( + 1) 2 Resp.: Absolutamete covergete si a < 2; codicioalmete covergete si a = 2; divergete si a = 2 ó a > 2. 221

11. Estudiar el carácter de la serie (a 1) a R. ( + 1) segú los valores de Resp.: Absolutamete covergete cuado a [0, 2]; diverge e el resto. 12. Estudiar el carácter de la serie a + 1 + ( + 1). Resp.: Absolutamete covergete cuado a [ 1, 1]; diverge e el resto. 13. Estudiar el carácter de la serie (a 5) de a R. segú los valores (2 + 1) 5 Resp.: Coverge absolutamete cuado a (0, 10); coverge codicioalmete cuado a = 0; diverge e el resto. 14. Estudiar el carácter de la serie ( ) a(a + ), co a R. Resp.: Coverge absolutamete cuado a ( 1, 1); diverge e el resto. 15. Estudiar el carácter de la serie 3 a segú los diferetes valores de a. Resp.: Absolutamete covergete cuado a < 1; divergete e el resto. 16. Calcular la suma de la serie Resp.: S = 5/36. ( 1) 5. =1 17. Calcular la suma de la serie Resp.: S = 5/54. +1 2 ( 1) 5. 222