Ejercicios típicos del segundo parcial El segundo examen parcial consiste en tres ejercicios prácticos y dos teóricos, aunque esta frontera es muy difusa. Por ejemplo, el primer ejercicio de esta serie, donde sólo hay que poner los límites correctos de una integral doble, puede aparecer en cualquiera de las dos categorías. Generalmente, y a menos que se aclare durante la prueba, los primeros tres ejercicios del examen son los prácticos y los dos últimos los teóricos. Para aprobar se deben tener dos ejercicios prácticos y un teórico bien Integrales Dobles a) Escribir los límites de integración para f ( x, y) dxdy respetando el sentido de integración indicado, si es el recinto limitado por: y = 4 x, y = 2 - x, x = 0 e y = 0 b) Escribir los límites de integración para f ( x, y) dxdy respetando el sentido de integración indicado, si es el recinto limitado por: y = x 2 1, y = -1 + 8/x e y = 0 c) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región definida por: y x + 1, y 5 x, x 0 e y 0 d) Dada la transformación de coordenadas x = u.v u є [0, ); v є (-, ) y = v 2 u 2 Determinar el Jacobiano de la transformación. Indicar y representar la forma de las curvas u = u 0 y v = v 0 en el plano xy. e) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región definida por: y x, x.y 1, x 2 e y 0 f) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área del triángulo con vértices en (0,0), (2,8) y (8,8) g) Escribir la integral doble que permite el cálculo del volumen del sólido, en el primer octante, limitado por: y = x 2 e y + z = 4 h) Dar una interpretación física (qué se calcula, de qué tipo de cuerpo se trata y qué propiedades tiene) a: x 2 ydxdy i) Poner los límites correspondiente a parábola y = 3 x 2 y la recta y = 2x f ( x, y) dxdy siendo la región limitada por la j) Escribir. en los dos sentidos posible de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región encerrada por: la parábola y = x 2, la hipérbola x.y = 1 y las rectas x = 2 e y = 0 k) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región encerrada por la parábola y = x 2 6x + 8 y la recta y = 4 x
l) Dada la transformación de coordenadas x = a.r.cosθ, y = b.r.senθ, donde a y b son constantes positivas, determinar el Jacobiano de la transformación. m) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región encerrada por las rectas y = x + 1, y = 3 x, y = 0 n) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región encerrada por las rectas: y = 4 x, y = 2 x, x = 0, y = 0 o) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área de la región definida por: y x + 1, y 1 x, y 3 x, y 0 p) Poner los límites de integración a y x + 1, y 1 x, y 3 x, y 0 f ( x, y) dxdy si es la región definida por: q) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles de la función f(x,y) en la región definida por: x 0, y 0, y 1 x, y 3 x r) Dada la transformación de coordenadas x= e u cosv, y = e u senv, determinar el Jacobiano de la transformación s) Escribir, en los dos sentidos posibles de integración, las integrales dobles que permiten calcular el área del cuadrilátero cuyos vértices son: (0,1), (0,-1), (2,3) y (3,2) t) Escribir la integral doble que permite el calcular el área de la región definida por: (x,y) = { x 2 + y 2 a 2 ^ y a/2 } Integrales triples a) Escribir la integral triple que permite calcular el volumen del sólido que está por encima del plano z = 0, dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1, y dentro del paraboloide z = 2 x 2 y 2 b) Dar una interpretación física (qué se calcula y de qué tipo de cuerpo se trata: sólido atribuirle alguna) a V 3 r drdθdz c) Hallar la masa del sólido del primer octante limitado por las superficies z = 4 x 2, y = 6 y los planos coordenados, si la densidad es ρ(x,y,z) = 2x d) Expresar mediante integrales triples en coordenadas esféricas el volumen del sólido comprendido entre las esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 y x 2 + y 2 + z 2 = 9 e) Escribir la integral triple en coordenadas cilíndricas que permite calcular la masa del sólido de densidad variable ρ(x,y,z ) = z, que está por encima del plano z = 0, por debajo del paraboloide z = x 2 + y 2 y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 9
f) Dar una interpretación física (qué se calcula y de qué tipo de cuerpo se trata: sólido atribuirle alguna) a V ρ 3 senφdφdθdρ g) Escribir la integral en coordenadas cilíndricas que permite calcular la masa del sólido limitado por el plano z = 0, el paraboloide z = x 2 + y 2 y el cilindro x 2 + y 2 = 1, siendo la densidad en cada punto proporcional a la distancia del punto al eje z. h) Escribir la integral en coordenadas cilíndricas que permite calcular el momento de inercia respecto del eje z, del sólido de densidad uniforme igual a k, encerrado por los cilindros x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 9 y los planos z = 0 y z = 4 i) Escribir la integral triple que permite calcular el volumen del sólido limitado por el plano z = 0 y el paraboloide z = 4 x 2 y 2 j) Escribir la integral en coordenadas esféricas que permite calcular la masa del sólido del primer octante limitado por los planos coordenados y la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9, si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia del punto al origen de coordenadas. k) Escribir la integral en coordenadas cilíndricas que permite calcular la masa del sólido de densidad uniforme igual a k, que se encuentra en el primer octante, dentro del cilindro x 2 + y 2 = 9 y por debajo del plano z = y l) Escribir la integral triple en coordenadas cilíndricas que permite calcular el volumen del sólido que está encima del plano z = 0, fuera del cilindro x 2 + y 2 = 1, y dentro del paraboloide z = 2 x 2 y 2 m) Escribir la integral en coordenadas cilíndricas que permite calcular el momento de inercia respecto del eje z, del sólido de densidad uniforme igual a k, limitado por el paraboloide z = x 2 + y 2, el cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano z = 0 Integrales urvilíneas a) Hallar la masa de un arco de alambre semicircular que se extiende desde (3,0) hasta (-3,0) pasando por (0,3), siendo la densidad lineal de masa en cada punto proporcional a la distancia del punto al eje x. b) Hallar la masa de un arco de alambre en forma de parábola y = x 2 que se extiende en el intervalo 0 x 1 si la densidad lineal de masa es proporcional a la distancia al eje y c) Dar una interpretación física (qué se calcula y de qué tipo de cuerpo se trata: sólido 2 2 atribuirle alguna) a: (x + y ) ds donde es un arco de curva. d) Dar una interpretación física (qué se calcula y de qué tipo de cuerpo se trata: sólido atribuirle alguna) a: xds donde es un arco de curva
e) alcular la longitud del arco de la curva y = x 3/2 que va desde (0,0) hasta (4,8) f) alcular la longitud del arco de la parábola y = x 2 que se extiende desde y = 0 hasta y = 3/4 g) La cicloide es la curva que describe un punto de la periferia de una rueda mientras esta va rodando a lo largo del eje x. Si se trata de una rueda de radio a, las ecuaciones paramétricas de la curva son: x = a(θ sen(θ)); y = a(1 cos(θ)). el punto que está en contacto con el eje x cuando θ = 0 y vuelve a estar en contacto cuando θ = 2π; en ese mismo intervalo la abcisa del punto pasa de x = 0 hasta x = 2πa. Encontrar la longitud del recorrido de ese punto entre los dos contactos sucesivos con el eje x. Para la solución, tener en cuenta que 1 cos(θ) = 2sen 2 (θ/2) Integrales de superficie a) Hallar el área de la superficie cónica z 2 = x 2 + y 2 comprendida entre los planos z = 0 y z = 2 b) Escribir la integral que permite calcular el área de la superficie z = x 2 + y 2 encerrada dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1. olocar los límites y el integrando correspondientes, de manera que sólo reste resolver la integral. c) alcular el área de la porción del paraboloide z = 2 x 2 y 2 que se encuentra sobre el plano xy d) alcular el área de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que se encuentra por encima del plano xy e) alcular el área del casquete de la esfera x 2 + y 2 + (z + a/2) 2 = a 2 que se encuentra por encima del plano xy f) Escribir la integral que permite calcular el área de la superficie z = 1 - x 2 - y 2 que se encuentra por encima del plano xy. olocar los límites y el integrando correspondientes, de manera que sólo reste resolver la integral g) Dar una interpretación física (qué se calcula y de qué tipo de cuerpo se trata: sólido atribuirle alguna) a: k.( x 2 2 + y ) ds superficie alabeada. S donde k es una constante y S una porción de una S 2 2 h) alcular (x + y ) ds donde S es la parte de la superficie cónica z 2 = x 2 + y 2 comprendida entre los planos z = 0 y z = 1 i) alcule la masa de una lámina plana triangular con vértices en (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) si la densidad superficial de masa en cada punto está dada por σ(x,y,z) = kx 2
Gradiente, Divergencia y otor a) Si A = Mi + Nj + Pk y B = Qi + j + Sk son campos vectoriales, demostrar que ( + ) = + b) Mostrar que si F es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas segundas continuas entonces F = 0 c) Si A = Mi + Nj + Pk y B = Qi + j + Sk son campos solenoidales, demostrar que H = A + B es también un campo solenoidal. d) Si V es una región simplemente conexa del espacio cuya frontera es la superficie cerrada S y F es un campo vectorial diferenciable en cada punto de V y de su frontera S, demostrar, F por n aplicación de uno de los teoremas fundamentales del cálculo vectorial, que rot ds 0 = S e) Decir si el siguiente enunciado es verdadero o falso justificando la respuesta: Existe F tal que rotf = 2i +yj + xk f) Mostrar que si f(x,y,z) es una función con segundas derivadas continuas, entonces (f) = 0 g) Indicar si el siguiente enunciado es verdadero o falso justificando la respuesta: Existe f(xyz) diferenciable en 3 tal que f = xyi + yzj + xzk h) Mostrar que si F = <M,N,P> y G = <Q,,S> son campos vectoriales conservativos en una región V entonces H = F + G también es conservativo. i) Mostrar que si F = <M,N,P> y G = <Q,,S> son campos vectoriales conservativos en una región V entonces el producto vectorial H = F x G es un campo solenoidal. j) Siendo f un campo escalar y F un campo vectorial, indicar para cada uno de los casos siguientes si el resultado de la operación es un campo escalar, un campo vectorial o no tiene sentido: d1) grad(grad f) d2) rot(rot F) d3) rot(div(grad f)) d4) div(grad f) d5) grad(div F) d6) div(rot(grad F)) irculación y Flujo a) Dado el campo vectorial F = x 2 i + xyj + zk, calcular el flujo de rotf a través de la parte de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está por encima del plano xy b) Dado el campo vectorial F = (3x 2y)i + (z x 2 )j + (y 3 z)k, hallar el flujo de F a través de la porción de la superficie z = x 2 y 2 que está encima del cuadrilátero 1 x 2; 0 y 1
c) Hallar el flujo del campo F = xi + yj + 2zk a través de la porción de superficie del paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está por encima del plano xy d) alcular la circulación del campo vectorial F = yi /(x 2 + y 2 ) xj /(x 2 + y 2 ) en sentido antihorario, a lo largo de la circunferencia de centro en el origen y radio 1 e) alcular el flujo del campo F = 3xi + yj + zk a través de la porción de superficie del plano z = 1 x/2 y/4 que se encuentra encima del triángulo del plano xy con vértices en (0,0); (0,2) y (1,0) f) Hallar la circulación del campo vectorial F = xi + yj + 2zk a lo largo del segmento de la recta con ecuaciones paramétricas x = -1 + t y = -1 + t que se extiende entre los puntos (-1,-1,-1) y (1,1,1) z = -1 + t ampos conservativos, Función potencial a) Dado el campo vectorial F = xi + 2yj + zk : a1) Verificar si es o no es conservativo a2) En caso que sea conservativo, hallar la función potencial a3) alcular F dr a lo largo de una trayectoria cualquiera de (0,0,0) hasta (1,1,1) b) Indicar, justificando la respuesta, si el campo V = (x 2 y 2 )i 2xyj es o no es conservativo c) Existe una condición que necesariamente debe cumplir un campo vectorial para ser conservativo, pero esta condición no siempre es suficiente. Indicar cuál es la condición necesaria y qué otro requisito debe cumplir para que resulte también suficiente. d) Determinar la función potencial para el siguiente campo vectorial conservativo: F = 2.(x + y)i + 2.(x + z)j + 2.(y + z)k e) Determinar si el campo vectorial F = yi /(x 2 + y 2 ) - xj /(x 2 + y 2 ) es o no es conservativo f) Determinar si el campo vectorial F = xi /(x 2 + y 2 ) + yj /(x 2 + y 2 ) es o no es conservativo g) Determinar si el campo vectorial F = (2xy + z 2 )i + (2yz + x 2 )j + (2xz + y 2 )k es conservativo. En caso afirmativo calcular el valor de la circulación entre los puntos (0,0,0) y (1,1,1) ya sea calculando por una trayectoria cualquiera o bien mediante la función potencial Teoremas de Green, Gauss y Stokes a) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular la circulación del campo vectorial F = 2xyi + y 2 j a lo largo de la poligonal cerrada con vértices en los puntos (0,0), (2,0) y (2,4)
b) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular la circulación del campo vectorial F = 2xi/y + 4j a lo largo de la poligonal cerrada con vértices en los puntos (0,1), (2,2) y (2,4) c) Dado el campo vectorial F = 2xzi + xyj yzk, indicar si es posible aplicar el Teorema de Gauss para calcular el flujo de rotf saliente de la superficie esférica cerrada con centro en el origen y radio 2 d) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular la circulación del campo vectorial F = yi /(x 2 + y 2 ) xj /(x 2 + y 2 ) a lo largo de una circunferencia centrada en el origen de radio 1 e) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular la circulación del campo vectorial F = 2xi/y + y 2 j/x a lo largo de la circunferencia (x-3) 2 + (y-3) 2 = 4 f) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular 5 xydx + 2ydy siendo la circunferencia de centro en el origen y radio 4 g) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Green para calcular la circulación del campo vectorial F = 2xi /(x 2 + y 2 ) + y 2 j /(x 3)) a lo largo de la poligonal cerrada con vértices en los puntos (-1,-1), (2,-1) y (2,4) h) Si G = rotf, demostrar que el flujo de G a través de una superficie cerrada en una región del espacio en la que F y G son diferenciables, es nulo i) alcular, aplicando el Teorema de Gauss, el flujo del campo V = (x 2 x)i xyj + 3zk saliente de la región encerrada por las superficies z = 4 y 2 ; z = 0 ; x = 0 ; x = 3 * j) Aplicando el Teorema de Gauss, escribir la integral que permite calcular el flujo del campo F = xy 2 i + xz 2 j + x 2 zk saliente de la región encerrada por el paraboloide z = x 2 + y 2 ; el cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano xy k) Indicar, justificando la respuesta, si es posible aplicar el Teorema de Gauss para calcular el flujo del campo vectorial F = xi + 3yj k a través de la porción de superficie y = x 2 comprendida entre los planos z = 0 y z = 2 l) Indicar, justificando la respuesta, si se puede aplicar el Teorema de Stokes para calcular F &&& dr &&& si es el segmento de recta entre los puntos (1,2,3) y (3,4,2)