Coordinación de Matemática I (MAT01 1 er Semestre de 015 Semana 3: Guía de Ejercicios de Complementos, lunes 3 viernes 7 de Marzo Contenidos Clase 1: Teorema del seno y coseno. Resolución de triángulos. Clase : Ejercitación. 1. Ejercicios propuestos 1.1. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 75 o. Sabiendo que la altura del acantilado es de 00 m, ¾a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado? 1.. Un teleférico T transporta pasajeros desde la base B hasta la cima de la montaña C. El ángulo de elevación de la cima C respecto de la base es 30 y la altura de la montaña es 300 mt. Si el teleférico va con velocidad constante de 5 m/sg y se inició en B en el tiempo t = 0, a qué altura y a qué distancia de la cima está después de 30 segundos. 1.3. La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es 45 o, y desde un lugar B hacia el oeste de A, la elevación es de 15 o. Si AB = a, demuéstrese que la altura del campanario es :a( 4 3 + 1 4 3 1.4. En un círculo de radio 10 se inscribe un pentágono regular (todos sus lados miden lo mismo. Determinar el área del pentágono. 1.5. Si miro hacia delante, observo un árbol cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 30 o, y se encuentra a 4 m de distancia de mí. Si miro hacia atrás, observo un poste cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 75 o, y se encuentra a m de distancia de mí. Determina la distancia entra las partes más altas de ambos objetos. (despreciar la altura del sujeto 1.6. Si α + β = π, pruebe que: sin (α + sin (β = 1 1.7. Pruebe que: 1.8. Pruebe que: 1.9. Pruebe que: ( π tan 4 + α tan (α = 1 + tan (α 1 tan (α sin (a + sin (b cos (a cos (b + cos (a + cos (b sin (a sin (b = 0 ( α ( ( π + α π α 4 sin sin sin = sin (α 3 3 3 1.10. Demostrar que en un triángulo se verica que: ( α ( β ( γ sin (α + sin (β + sin (γ = 4 cos cos sin MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos 1
1.11. En el Triángulo: CD es bisectriz del ACB, Pruebe que: a b = u v 1.1. Si a + b = π, pruebe que: (sin (a + sin (b (cos (a + cos (b = 1 + sin (a 1.13. Teorema de Neper o de la Tangente: "La suma de los lados de un triángulo es a la diferencia de ellos como la semisuma de los ángulos opuestos, es a la tangente de la semidiferencia de ellos": Es decir debemos probar: Indicación: Utilice el teorema del seno: para probar que: utilice este resultado para probar su tesis. a + b tan a b = tan ( α+β ( α β a sin (α = b sin (β a + b sin (α + sin (β = a b sin (α sin (β 1.14. Pruebe que: sin 6 (α + cos 6 (α = 1 3 4 sin (α MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos
. Ejercicios propuestos que incluyen respuesta.1. Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo de elevación de 60 con la horizontal. ¾A qué altura se encuentra el volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de 18 mts. y el niño mide 1, 50 mts.?.. Desde lo alto de un edicio de 5 m de altura se obtiene una medición de 45 para el ángulo de depresión entre el edicio y un quiosco situado en el mismo plano del edicio. ¾A qué distancia se encuentra el techo del edicio del quiosco?.3. Un cohete es lanzado a nivel del suelo, en un ángulo constante de 60 hasta una distancia de 3000 metros. Determine a qué altura del suelo se encontraba en ese momento..4. Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma una ángulo de 17 con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un unto a 7 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste. Tal como indica la gura:.5. Una escalera de mano, cuyo pie está jo en la calle, forma un ángulo de 30 con el suelo cuando su extremo superior se apoya en un edicio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de 40 cuando se apoya en un edicio situado al otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 mts. ¾Cuál es el ancho de la calle?..6. Un observador determina que el ángulo de elevación a una torre es A, avanza a mts. hacia la torre y el ángulo de elevación es 45, sigue avanzando b mts., y el ángulo de elevación es (90 A. Demostrar que la altura de la torre es: H = a b a b.7. Dos boyas están apartadas por una distancia de 64, mts., y un bote está a 74,1 mts. de la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 7 18.¾Qué distancia hay del bote a la boya más alejada? MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos 3
3. Ejercicios resueltos 3.1. Considerando la gura dada, determinar el valor de tan β. 3.. Para calcular la altura de una montaña, un observador determina que ángulo de elevación es α. Avanza d metros en dirección a la montaña y observa que ahora el ángulo de elevación es β. Demostrar que la altura de la montaña es d sin α sin β h = sin (β α 3.3. Considere el triángulo de ángulos α, β y γ como el de la gura con lados a, b y c correspondientes. Si α = β muestre que los lados satisfacen: b + c a = b bc a 3.4. Demostrar α + β = π 1 + sin β cos α =. MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos 4
Respuestas y desarrollos.1 17 mts.. 5 metros..3 598 metros..4 9 pies.5 8 mts..6.7 10, 3 mts. 3.1 De acuerdo a la gura, tenemos que: tan β = x 6, tan(β + α = 3 x y tan α = 1 x Por lo tanto lo cual implica que Por lo tanto Finamelte tan β = 3 6 = 1. 3 tan β + tan α = tan(β + α = x x 3 x = +6 6x 5x 6x 1 tan β tan α = x = x + 6 5x x = 9, así x = 3 15 = x + 6 6 + 1 x 1 x 6 1 x 3. Para determinar el valor de h utilizamos las razones trigonométricas, notemos que se sigue así luego de donde 3.3 Aplicando el teorema del seno de donde tan α = tan β = h d + BC h BC d tan α + BC tan α = h = BC tan β h = sin α b por otro lado usando el teorema del coseno d tan α = BC (tan β tan α BC = d tan α tan β tan α d tan α tan β d sin α sin β = tan β tan α sin (β α = sin α a cos α = b a sin α cos α sin α a = b + c bc cos α = b a así así b + c a bc = cos α = b a b + c a = b bc a MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos 5
3.4 Suponga que α + β = π, entonces α = π β. Luego cos(α = cos( π β (1 = sin(β ( Por otro lado cos(α = cos (α sin (α (3 = cos (α 1 + cos (α (4 = cos (α 1 (5 Luego de ( y (5 tenemos cos (α 1 = sin(β cos (α = 1 + sin(β 1 + sin β cos α =. MAT01 Primer Semestre 015 (Complementos 6