Souiones Hoja 1: Reatividad I) 1) Un desteo de uz es emitido en e punto O y se absorbe después en e punto P ver a figura). En e sistema de referenia S a ínea OP tiene una ongitud y forma un ánguo θ on e eje x. En e sistema S que se mueve on respeto a S on una veoidad onstante v a o argo de eje x: a) uánto tiempo t transurre entre a emisión y a absorión de a uz? b) Cuá es a separaión espaia entre e punto de emisión y e de absorión? P O θ x Souión: a) Suponiendo que os orígenes de os sistemas S y S oiniden on O en e instante iniia t = t =, e tiempo t viene dado simpemente por a orrespondiente transformaión de Lorentz: t = γt vx/ ). En este aso, t = / y x = os θ. Así pues, ) t v os θ = γ = γ os θ) = ) os θ, donde β = v/. b) Obviamente, = x ) + y ), donde y = y = sen θ y x viene dado por a transformaión de Lorentz x = γx vt) = γ os θ v/) = γos θ β). Por tanto, = γ os θ β) + sen θ. ) Un ohete espaia de ongitud propia se mueve a veoidad onstante v reativa a un sistema S ver figura). La punta de ohete A ) pasa por e punto A de S en e instante t = t = y en este instante se emite una seña desde A hasta B. a) Cuánto tardará a seña en términos de tiempo de ohete t 1) en aanzar a oa B ) de a nave? b) En qué instante t 1, medido en S, aanza a seña a oa B ) de a nave? ) En qué instante t, medido en S, pasa a oa de a nave B ) por e punto A? Souión: a) E tiempo t 1 viene dado obviamente por t 1 =. b) Para determinar e instante t 1 haemos uso de as transformaiones de Lorentz: t 1 = γt 1 + vx 1/ ) = γ v ) = γ 1 v/). 1
v B A A Definiendo β = v/, t 1 = = )1 + β) = 1 + β. ) Cauamos t haiendo uso de a expresión de a diataión de tiempo: γt = t = v t = γv = v. Obviamente, también se puede egar a este resutado haiendo uso de as transformaiones de Lorentz. 3) a) Determinar mediante un áuo direto a matriz de Lorentz que desribe un ambio de sistema de referenia S a otro S que se mueve on respeto a S on veoidad onstante en una direión ontenida en e pano xy y que forma un ánguo θ on e eje x. Pista: ver e fina de a seión 1.3 de as notas de Capítuo 1. b) Demostrar que ese resutado se puede obtener mediante a apiaión suesiva de una rotaión arededor de eje z on ánguo θ, una transformaión de Lorentz a o argo de eje x y una rotaión arededor de eje z on ánguo θ. Souión: a) Reordemos que a matriz de Lorentz para una transformaión donde a veoidad reativa entre S y S es β = v/ = β x, β y, β z ) viene dada por γ γβ x γβ y γβ z γβ ˆΛ v) = x 1 + γ 1)β x/β γ 1)β x β y /β γ 1)β x β z /β γβ y γ 1)β y β x /β 1 + γ 1)βy/β γ 1)β y β z /β. 1) γβ z γ 1)β z β x /β γ 1)β z β y /β 1 + γ 1)βz/β donde γ = 1/. En e aso que nos oupa, β = βos θ, sen θ) y, por tanto, γ γβ os θ γβ sen θ γβ os θ 1 + γ 1) os ˆΛθ) = θ γ 1) os θ sen θ γβ sen θ γ 1) os θ sen θ 1 + γ 1) sen θ. ) 1 b) La matrix de Lorentz anterior se puede obtener también ombinando una rotaión arededor de eje z on ánguo θ, dada por a matriz ˆRθ), una transformaión de Lorentz a o argo de eje x, dada por ˆΛθ = ), y una rotaión arededor de eje z on ánguo θ, dada por ˆR θ), de siguiente modo: ˆΛθ) = ˆR θ)ˆλθ = ) ˆRθ),
donde 1 γ γβ os θ ±sen θ ˆR±θ) = sen θ os θ y ˆΛθ) γβ γ = 1. 3) 1 1 Es muy senio mostrar que a mutipiaión de esas tres matries nos da e resutado de apartado anterior. 4) Demostrar que a euaión de ondas que desribe a propagaión de a uz Ψ 1 Ψ t =, donde = x + y + z, es invariante bajo as transformaiones de Lorentz, pero no o es bajo as transformaiones de Gaieo. Souión: Lo que primero que hay entender es que a invariania de una euaión signifia que adopta a misma forma en todos os sistemas de referenia ineriaes. Es deir, si en sistema S adopta a forma de enuniado, donde Ψ = Ψx, y, z), en e sistema de referenia S debería adoptar a forma ) Ψ 1 Ψ t ) =, donde ) = x + y + z y Ψ = Ψx, y, z ). Este ejeriio se puede resover fáimente apiando de forma direta as transformaiones de Lorentz o as de Gaieo) para transformar as derivadas on respeto a as oordenadas x, y, z en derivadas on respeto a x, y, z. De este modo, se puede ver que a euaión de ondas anterior esrita en e sistema S ) se onvierte en a euaión de ondas de enuniado si se utiizan as transformaiones de Lorentz, mientras que esto no se umpe en e aso de as transformaiones de Gaieo. Nosotros vamos a demostrar a invariania Lorentz de a euaión de ondas de una manera más eegante. Lo primero es darse uenta de que a forma de a euaión de ondas sugiere que se puede esribir de una forma más ompata usando e uadrigradiente t, x, y, z ) = x, x1, x, x3 ). Con esta definiión, a euaión de ondas se puede esribir omo: )Ψ =, donde es e produto esaar de uadrivetores. De este modo, tenemos que demostrar que es un invariante Lorentz, es deir, =. Para eo, tenemos que ver ómo se transforman as omponentes de. Pero antes reordemos que as oordenadas se transforman de siguiente modo: x i = Λ ij x j o x i = Λ 1 ij x j, donde Λ ij son os eementos de a matriz de Lorentz. Así pues, usando a rega de a adena tenemos que os eementos de se transforman de siguiente modo: x i = x j x xj = i Λ 1 ji xj = ˆΛ 1 ) T = Λ T ) 1. 3
De este modo, = T Ĝ = T ˆΛ 1 ĜˆΛ T ) 1 = T ˆΛ T ĜˆΛ) 1 = T Ĝ =, donde hemos usado que ˆΛ T ĜˆΛ = Ĝ y que Ĝ 1 = Ĝ. Esto ompeta a demostraión. Nota: E uadrigradiente no es reamente un uadrivetor en sentido estrito ya que no se transforma omo as oordenadas. E uadrigradiente es, en reaidad, o que se onoe omo un vetor ovariante mientras que nuestros uadrivetores son onoidos omo vetores ontravariantes) y o que hemos heho ha sido demostrar que a norma de un vetor ovariante es invariante Lorentz. 5) La diataión de tiempo impia que uando un reoj se mueve reativo a sistema S, medidas preisas hehas por observadores en S enontrarán que e reoj atrasa e tiempo marado por ese reoj transurre más entamente). Esto no signifia que un observador individua en S tenga que ver en e sentido itera de a paabra) que diho reoj atrase. Para entender esto debemos reordar que o que vemos viene determinado por a uz que ega a nuestros ojos. Consideremos un observador situado era de eje x uando un reoj se aproxima a é on una veoidad v a o argo de diho eje. Cuando e reoj se mueve de a posiión A a a B marará un tiempo t, pero uando se mide entre os dos eventos reoj en A y reoj en B) diho tiempo es t = γ t. Sin embargo, omo B está más era de observador que A, a uz desde e reoj en B aanzará a observador en un intervao de tiempo más orto que desde A. Por tanto, e tiempo t ver entre que e observador ve e reoj en A y o ve en B es menor que t. a) Demostrar que t ver = t) = t 1 + β. b) Qué tiempo verá e observador una vez que e reoj e haya pasado y se aeje de é? Souión: a) E intervao de tiempo t ver será igua a intervao de tiempo t menos e tiempo que tarda una seña uminosa en reorrer a distania desde A hasta B, que es igua a v t/ v t es a distania que reorre e reoj). De este modo, t ver = t) = γ t ) = t = t 1 + β, donde hemos heho uso de a diataión de tiempo t = γ t. Nótese que t ver < t. b) Para obtener este tiempo tan sóo tenemos que invertir e signo de a veoidad, es deir, t ver = t 1 + β > t. Te suenan de ago estas fórmuas? 4
6) Como a diataión de tiempo, a ontraión de a ongitud no puede ser vista por un únio observador. Para expiar esto, imaginemos una varia de ongitud propia que se mueve a o argo de eje x de un sistema de referenia S y un observador está ejos de eje x y a a dereha de a varia. Medidas preisas de a ongitud de a varia en un instante dado en e sistema S darían omo resutado = /γ. a) Expiar por qué a uz que ega a os ojos de observador en un instante dado debe haber saido de os extremos A y B de a varia en instantes distintos. b) Demostrar que e observador vería una ongitud más grande que. ) Demostrar que si e observador está era de eje x, verá que a ongitud es mayor que, es deir, verá que a varia se ha expandido en ugar de ontraerse. Souión: a) Esto es obvio de heho de que a uz tiene una veoidad finita. b) Esto es una onseuenia direta de primer apartado. ) Para que e observador vea os dos extremos de a varia a mismo tiempo, a uz que parte de extremo posterior habrá tenido que reorrer una distania adiiona, ver, que será a ongitud que vea e observador y que será igua a a ongitud de a varia más a distania reorrida por a varia en intervao de tiempo que transurre entre que a uz sae de extremo posterior y aanza a extremo deantero, es deir, v ver /. De este modo, 1 + β ver = + v ver ver = Nótese que ver >, omo queríamos demostrar. = /γ =. 7) E sistema de referenia S viaja a veoidad v 1 a o argo de eje x de sistema S. Un sistema S se mueve a veoidad v a o argo de eje x de S. Apiar dos vees as transformaiones de Lorentz para enontrar as oordenadas x, y, z, t de uaquier evento en términos de x, y, z, t. Demostrar que esta transformaión es en reaidad a transformaión de Lorentz estándar on un veoidad v que es a suma reativista de v 1 y v. Souión: La transformaión de oordenadas de sistema S a sistema S viene dada por donde ˆΛv) = γ γ β γ β γ x = ˆΛv )x = ˆΛv )ˆΛv 1 )x = ˆΛv)x, ) γ1 γ 1 β 1 γ 1 β 1 γ 1 ) = γ1 γ 1 + β 1 β ) γ 1 γ β 1 + β ) γ 1 γ β 1 + β ) γ 1 γ 1 + β 1 β ) Nótese que nos hemos entrado en as omponentes t y x, ya que y y z no ambian. Si ahora omparamos a matriz anterior on e resutado de una transformaión direta de S a S, es deir, ) γ γβ ˆΛv) =, γβ γ entones podemos identifiar o que nos ondue a γ = γ 1 γ 1 + β 1 β ) y βγ = γ 1 γ β 1 + β ), β = β 1 + β 1 + β 1 β, que es e resutado onoido de a adiión reativista de as veoidades. ), 5