Pág. Página 5 Los cicos del dibujo deben medir las alturas de los 47 árboles de una cierta parcela orizontal. Para ello, proceden del siguiente modo: Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 0 cm. continuación, corren a señalar en el suelo los extremos de las sombras de los 47 árboles y de la estaca ( por qué tanta prisa?). Una vez señaladas, proceden con tranquilidad a medirlas y a anotar sus mediciones. He aquí algunos resultados: SOMBR DE MIDE Estaca Ciprés Higuera Copo 75 cm 8,8 m 3 m 5,7 m Calcula razonadamente la altura de esos tres árboles. Tienen que acerlo deprisa porque a medida que pasa el tiempo los rayos del sol modifican la sombra de los árboles en el suelo. altura de la iguera ' altura del copo H altura del ciprés Utilizando la semejanza de triángulos: 0 75 480 cm 300 La iguera mide 4,8 m de altura. 0 75 ' ' 9 cm 570 El copo mide 9, m de altura. ' H 0 75 H H 408 cm 880 El ciprés mide 4,08 m de altura. 3 m 75 cm 5,7 m 8,8 m, m
Pág. Página 53 Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus lados verifican el teorema de Pitágoras (3 + 4 5 ). Traza la altura sobre la ipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el grande son semejantes entre sí. BC es semejante a BH por compartir el ángulo ^. BC es semejante a BHC por tener en común el ángulo C^. Se concluye, pues, que BH es semejante a BHC. 3 cm B H 5 cm 4 cm C Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una sombra de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida: a) ltura de Leticia,68 m Sombra de Leticia,5 m d,9 m Con esto se calcula la altura de la farola. b) Conociendo la altura de la farola y la sombra de la morera, 5,7 m, y midiendo la distancia de la farola a la morera, 8 m, se calcula la altura de la morera. Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior. a) Si es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos: d,68,68 3,48 m mide la farola.,5,9,5 b) m altura de la morera: m 3,48 m,7 m 8 m,7 m,7 + 8 m,93 m mide la morera. 3,48
Pág. 3 Página 54 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34, un triángulo rectángulo muco más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que son, aproximadamente, las mismas. sen 34 BC 35 B 0,56 6 cos 34 C 5 B 0,8 6 tg 34 BC 35 C 0,68 5 Página 55 6 mm 5 mm 35 mm Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y el coseno de 0, 0, 30, 40, 50, 60, 70 y 80, y la tangente de aquellos que puedas. B C 0,5 O 0,5 U sen 0 0,8, cos 0 0,98, tg 0 0,8 sen 0 0,34, cos 0 0,94, tg 0 0,37 sen 30 0,5, cos 30 0,86, tg 30 0,58 sen 40 0,64, cos 40 0,76, tg 40 0,84 sen 50 0,76, cos 50 0,64; sen 60 0,86, cos 60 0,5 sen 70 0,94, cos 70 0,34; sen 80 0,98, cos 80 0,8
Pág. 4 Página 56 sen 37 0,6. Calcula cos 37 y tg 37. sen 37 0,6 (cos 37 ) + (0,6) cos 37 ± 0,36 ±0,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 37 0,8 tg 37 0,6 0,75 0,8 tg 8 0,53. Calcula sen 8 y cos 8. sen 8 cos 8 0,53 (sen 8 ) +(cos 8 ) sen 8 0,53 cos 8 (0,53 cos 8 ) +(cos 8 ) 0,8(cos 8 ) +(cos 8 ),8(cos 8 ) cos 8 ± cos 8 ±0,88,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 8 0,88 sen 8 0,53 0,88 sen 8 0,46 Página 57 3 Teniendo en cuenta que tg 45, deduce el valor de sen 45 y de cos 45 mediante las relaciones fundamentales. sen 45 cos 45 ; sen 45 cos 45 (sen 45 ) +(cos 45 ) (cos 45 ) +(cos 45 ) cos 45 ± ± Solo tomamos el resultado positivo: cos 45 sen 45
Pág. 5 4 Teniendo en cuenta que sen 30 /, alla el valor de cos 30 y de tg 30 mediante las relaciones fundamentales. sen 30 (sen 30 ) + (cos 30 ) + (cos 30 ) cos 30 ± 4 Tomamos el resultado positivo: cos 30 / tg 30 / 5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal. En todos los casos solo tomaremos los resultados positivos. 0,94 (cos α) + (0,94) cos α 0,34 tg α 0,94,76 0,34 cos α 0,8 () + (0,8) 0,57 tg α 0,57 0,69 0,8 4 ( ) + (cos α) (cos α) 6 cos α 5 4 5 cos α tg α tg α 4/5 4 3/5 3 3 5 0,94 4/5 0,8 / 3,5 0,94 0,57 4/5 0,96 / / cos α 0,34 0,8 3/5 0,7 / / tg α,76 0,69 4/3 3,5 /3 3 5
Pág. 6 tg α 3,5 3,5; 3,5 cos α cos α () + (cos α) (3,5 cos α) + (cos α) 3,5(cos α) cos α 0,7 3,5 0,7 0,96 cos α () + ( ) () / tg α / 3 3 4 tg α ; cos α cos α () + (cos α) (cos α) + (cos α) (cos α) cos α 6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de metros, qué longitud deberá tener cada brazo? cos 30 4 L,3 m L L Cada brazo deberá medir, aproximadamente,,3 m de longitud. 7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,7. cos α 0,7 () +(cos α) (0,7) +() ±0,7 Tomamos solo el valor positivo: 0,7 tg α 0,7,0 0,7
Pág. 7 8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7. tg α 0,7 0,7; 0,7 cos α cos α () +(cos α) (0,7 cos α) +(cos α),49(cos α) cos α ±0,8 Solo tomamos el valor positivo: cos α 0,8 0,7 0,8 0,57 Página 58 Halla tg 76 y cos 38. 76 38 Copia en la calculadora 39 ' 48". Pasa a el ángulo 39,9666667. 39 48 que en nuestra notación es 39 ' 48''. 3 Halla α y β directamente con la calculadora, sabiendo que cos α 0,83 y tg β,5. cos α 0,83 0,83 33,906 33 54' 4'' tg β,5,5 68,985905 68 ' 55'' 4 Si tg β 0,694, alla cos β. tg β 0,694 0,694 34,6987863 0,856673 Página 59 Víctor y Ramón quieren saber la altura a la que se encuentra el campanario de la iglesia de su pueblo. Para ello, Víctor sube al campanario y lanza el extremo de una cuerda acia afuera. El pie de la torre no es accesible. Ramón se aleja con la cuerda asta que queda tensa y la clava en el suelo. Forma un ángulo de 4. La cuerda mide 5 metros. a) qué altura está el campanario? b) qué distancia se encuentra Ramón de la base del campanario?
Pág. 8 a) sen 4 5 sen 4 5 0,67 34,3 m 5 El campanario tiene una altura de 34,3 m. b) cos 4 b b 5 cos 4 5 b 37,9 m La distancia de Ramón a la base del campanario es de 37,9 m. 5 m 4 b Página 60 Para allar la altura a la que se encuentra un globo, procedemos del siguiente modo: Rosa se coloca en un punto B, y yo en un punto, a 5 metros de ella, de tal forma que los puntos, B y C (observa la figura) quedan alineados. Si los ángulos α y β miden 40 y 50, respectivamente, a qué altura se encuentra el globo? altura a la que se encuentra el globo. tg β BC tg α C tg 50 x tg 40 x +5,9 x,9x B C x,9x 0,84 0,84 0,84x + 4,,9x 0,35x 4, x +5 x +5 x,9 4,8 m El globo se encuentra a 4,8 m de altura. 3 Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura. Calcula: a) La altura de la antena. b) La longitud de los cables. c) El valor del ángulo BC. α β
Pág. 9 B 60 x 6 m 45 C a) altura de la antena. tg 60 x tg 45 6 x 3 3x x 6 x 6 x x 6 x ( + )x 6 6 x 46, + 6 46, 79,88 m La altura de la antena es de 79,88 m. b) cos 60 x 46, B 9,4 m B B sen 45 79,88 BC,97 m BC BC c) BC 80 60 45 75 Página 6 4 En un triángulo BC, calcula BC conociendo B 37 cm, C 50 cm y BC 3. sen 3 BH BH 37 sen 3 9,6 cm 37 cos 3 H H 37 cos 3 3,38 cm 37 CH 50 3,38 8,6 cm plicando el teorema de Pitágoras al triángulo BCH: BC BH + CH 9,6 + 8,6 7,03 cm 37 cm B 3 H 50 cm C
Pág. 0 Página 6 Razonando sobre el triángulo coloreado de la figura, y teniendo en cuenta que su ipotenusa es O, justifica que los segmentos O' y ' corresponden, efectivamente, a las razones trigonométricas cos α,, respectivamente. O cos α O' O cos α α cos α O' O ' 90 Y cos α B cos β sen β 80 sen γ cos γ C β γ α δ O ' sen δ cos δ D 70 X plicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo, justifica que (sen β) + (cos β). (Ten en cuenta que ( a) a ). B cos β Por el teorema de Pitágoras: β sen β ( cos β) +(sen β) OB O (cos β) +(sen β) 3 Di el valor de y cos α cuando α vale 0, 90, 80, 70 y 360. sen 0 0 sen 90 sen 80 0 sen 70 sen 360 0 cos 0 cos 90 0 cos 80 cos 70 0 cos 360 4 En este círculo se da el signo de sen φ según el cuadrante en el que se alle situado el ángulo φ. Comprueba que es correcto y az algo similar para cos φ. + + El coseno se corresponde con la longitud en el eje X, por lo que será positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercer cuadrante. cos φ + +
Pág. Página 63 5 Sitúa sobre la circunferencia goniométrica los ángulos siguientes: a) 3, b) 33. Representa sus razones trigonométricas y valóralas numéricamente. a) 3 sen 3 0,5 cos 3 0,85 tg 3 0,6 b) 33 sen 33 0,6 cos 33 0,8 tg 33 0,75 3 0, 33 6 Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos O' y OUT, y que OU, demuestra que /cos α tg α. Por la semejanza de triángulos: UT O' OU OU UT O' O' tg α O' cos α Página 64 α cos α O ' U 7 Expresa con valores comprendidos entre 80 y 80 : a) 555, b) 97. a) 555 555 4 360 + 5 555 5 b) 97 97 3 360 + 7 97 360 + 7 43 T tg α