Órgano de Fiscalización Superior del Estado de Guanajuato. GUÍA DE MUESTREO ESTADÍSTICO EN AUDITORÍA GUBERNAMENTAL

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. GUÍA DE MUESTREO ESTADÍSTICO E AUDITORÍA GUBERAMETAL

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato.

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. COTEIDO I. Muestreo Estadístco en la Audtoría... Objetvo... Prefaco... I.. Introduccón...3 I.. Marco jurídco y normatvo del muestreo en audtoría...5 I.3. El muestreo en audtoría...8 I.3. Introduccón al Muestreo...0 I.3.. Poblacón... I.3.. Razones para muestrear... I.3..3 Muestreo probablístco... I.3..4 Desventajas de la nspeccón por muestreo....3..5 Muestreo no probablístco... I.3. Resgo general de audtoría...3 I.3.. Importanca relatva...5 I.3.. Resgo de muestreo...5 I.3.4.3 Errores de muestreo...6 I.4. Plan de muestreo...7 I.4. Factores del tamaño de la muestra...7 I.4. Pruebas de audtoría...8 II. Muestreo Estadístco...0 II. Prncpos de Probabldad... II. Dstrbucones de Probabldad... II.. Dstrbucón de Bernoull... II.. Dstrbucón Bnomal... II..3 Dstrbucón Hpergeométrca... II..4 Dstrbucón ormal Estándar:...3 II.3 Tamaño de muestra smple para proporcones...7 II.3. Tamaño de muestra estratfcado...9 II.4 Procesos de seleccón...3 II.4. Muestreo Aleatoro Smple...3 II.4. Muestreo Sstemátco...3 II.4.3 Seleccón aleatora con Excel...33 II.4.3 Ejercco:...36 II.4.4. Muestreo por atrbutos...37 II.4.5 Muestreo de varables...43 II.4.5. Muestreo clásco de varables...44 II.5 Los papeles de trabajo...48 II.5. Evdencas y papeles de trabajo...49 BIBLIOGRAFÍA...5 Dsposcones Jurídcas Vgentes a Julo 006...5 ormas de Audtoría...5 Textos consultados...53 Págnas Web consultadas...53

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. TABLAS Tabla Ejemplos de métodos de muestreo según su teoría de sustento....4 Tabla Valoracón de los resgos de audtoría...4 Tabla 3 Fórmulas empleadas para un muestreo smple donde se desea estmar una proporcón...8 Tabla 4 Resumen de formulas usadas en un muestreo aleatoro smple...9 Tabla 5 Fórmulas empleadas en un muestreo estratfcado...3 Tabla 6 Para muestras no estmadas en la tabla haremos nterpolacón lneal....43 Tabla 7 Muestreo de atrbutos Tabla de evaluacón de resultados. Fuente FELABA...50 Tabla 8 Muestreo de atrbutos Tabla de evaluacón de resultados. Fuente FELABA...5 FIGURAS Fgura Poblacón y muestra...0 Fgura. Modelos de muestreo que podemos aplcar según las necesdades de audtoría 9 Fgura 3 Representacón de una dstrbucón Bernoull, Al trar... Fgura 4 Representacón de una dstrbucón Bnomal, S tra al are 00 veces... Fgura 5 La gráfca muestra la probabldad calculada con Excel y verfcada con PQRS...3 Fgura 6 Se muestra la dstrbucón normal estándar usando el programa PQRS...4 Fgura 9 En la barra prncpal de herramentas, encontramos la opcón de Complementos...33 Fgura 0 En el menú de complementos selecconamos las opcones Herramentas para análss....33 Fgura En el menú Análss de datos selecconamos Muestra....34 Fgura Ventana de la Funcón Muestra...34 Fgura 3 Ejemplo de Seleccón de elementos de una muestra con la funcón peródco, selecconando cada 3 elementos. La columna C muestra los números de los muncpos selecconados....35 Fgura 4 En la columna C, se muestran los números que corresponden a...35 Fgura 6 Tabla usada para calcular el tamaño de una muestra por atrbutos...4 3

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato C.P. Maurco Romo Flores Audtor General C.P. Patrca Agular Gallardo Drectora General de Planeacón Programacón Control y Segumento Arq. Maro González Juárez Coordnador de Control y Segumento Ing. Davd Herrera Ramos Audtor Encargado Guanajuato, Gto., novembre de 006

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I. Muestreo Estadístco en la Audtoría Objetvo nguna audtoría puede n debe mplcar una nclusón completa de todas las operacones efectuadas en el perodo que se examna.. Proporconar los fundamentos para la aplcacón de muestreo estadístco en audtoría. El audtor conocerá y aplcará los métodos de muestreo más dóneos para selecconar una cantdad de elementos sujetos a pruebas de audtoría. Prefaco El tema se expone en cuatro etapas. La prmera parte presenta una ntroduccón al tema y la normatvdad que permte la aplcacón de métodos de muestreo en audtoría. En la segunda, se explca la teoría del muestreo. En la tercera etapa se exponen los métodos de muestreo a aplcar y en la últma etapa se realza una aplcacón de los conocmentos adqurdos en un ejercco empleando herramentas de la nformacón. R.H. Montgomery, Audtng Theory and Practce (ew Cork: Ronald Press, 9) pág. 8

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.. Introduccón La Estadístca es una rama de las matemátcas que se ocupa de reunr, organzar y analzar datos numércos y que ayuda a resolver problemas como el dseño de expermentos y la toma de decsones. Así msmo, la estadístca se fundamenta en la Probabldad, que es rama de las matemátcas que se ocupa de medr o determnar cuanttatvamente la posbldad de que ocurra un determnado suceso. La estadístca se dvde en estadístca descrptva y estadístca nferencal. La prmera estuda los procedmentos que srven para organzar y resumr conjuntos de datos numércos. La segunda, estuda los procesos estadístcos que srven para deducr o nferr acerca de un conjunto de datos numércos (poblacón) al selecconar un grupo menor de ellos (muestra). Ésta últma, la más mportante para nuestro caso de estudo. La nferenca estadístca provee de técncas que permten que los resultados del análss de una muestra, se puedan generalzar a toda la poblacón. Este proceso se realza porque en la mayoría de los casos los recursos económcos-humanos y tempo no son sufcentes para revsar todos los elementos de una poblacón. La caldad con que se haya estructurado una muestra es esencal para que la nferenca sea válda. S la muestra es mal obtenda o tendencosa, nvalda el proceso de nferenca para obtener una conclusón mportante sobre el comportamento de los parámetros de la poblacón, aún cuando éste sea muy sofstcado e nnovador. El muestreo es una técnca basada en probabldad y estadístca, para selecconar de un conjunto de elementos, úncamente una parte de ellos, de manera que los elementos selecconados puedan proporconar nformacón de TODO el conjunto al cual pertenecen sn necesdad de evaluarlos uno por uno. Aplcar las técncas de muestreo estadístco a la audtoría, es una forma de evaluar una partda sn necesdad de aplcar procedmentos de audtoría a todos los ntegrantes de dcha partda; consderando un grado de certdumbre en nuestro juco. La nferenca, que se usa para hacer conclusones de un total, basados en una fraccón de ese total, debe ser tratada sn abuso, pues el carácter de las revsones que practca el Órgano de Fscalzacón Superor, oblga a señalar a cabaldad cuáles y cuántas partdas o elementos audtados tenen defcencas. Se abusa de la nferenca s proyectamos una observacón haca un todas las partdas que conforman el rubro revsado, ya sean cuentas, operacones, regstros; en funcón de una muestra en la cual se han detectado defcencas. Es preferble, s así lo apreca el audtor y el supervsor de la audtoría prescndr del muestreo y entrar a la revsón absoluta del rubro de nterés. El muestreo es úncamente una herramenta, no exste la oblgacón o la restrccón de su uso. Es váldo para el audtor, trabajar una audtoría selecconando partdas drectamente por crteros de prordad como denuncas, señalamentos hstórcos, datos de revsones de cuenta públca y posterormente trabajar una muestra estadístca en la que ha sdo extraída prevamente la o las partdas de mportanca trascendental. De certo es que no solo se exste el Stevenson, J. Wllam, Estadístca para admnstracón y Economía, Ed. Harla 98. Pág. 3-9 3

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. muestreo estadístco. La seleccón de objetos, entes o personas realzado a juco del nteresado, errátco o ntenconal, son ejemplos de muestreo no estadístco y el audtor puede hacer uso de ellos en el momento que sea necesaro. Los muestreos no estadístcos pueden dsfrazarse con un poco de seleccón aleatora, pero carecen de la teoría de muestreo desarrollada centífcamente para tal fn. En el sguente cuadro se presentan algunos tpos de muestreo. Métodos de Muestreo Estadístco (Probablístco) O estadístco (o Probablístco) Muestreo Aleatoro Smple Muestreo Aleatoro Sstemátco Muestreo Estratfcado Muestreo por conglomerados Muestreo por cuotas Muestreo de convenenca Muestreo Intenconal Muestreo bola de neve Tabla Ejemplos de métodos de muestreo según su teoría de sustento. 4

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.. Marco jurídco y normatvo del muestreo en audtoría desarrollada por órganos de control. La Consttucón Polítca de los Estados Undos Mexcanos establece que el supremo poder de la federacón se dvde para su ejercco en tres poderes, Ejecutvo, Legslatvo y Judcal. El poder Legslatvo se deposta en el Congreso de la Unón dvddo en dos Cámaras, de Dputados y de Senadores. El Congreso de la Unón tene la facultad de expedr las Leyes que regulan la organzacón del Estado, entre ellas la funcón de Fscalzacón a través de la Audtoría Superor de la Federacón así como las demás que normen la gestón, control y evaluacón de los Poderes de la Unón y de los entes públcos federales; En el artículo 74, fraccón II, nuestra Consttucón establece como facultad exclusva de la Cámara de Dputados, coordnar y evaluar, sn perjuco de su autonomía técnca y de gestón, el desempeño de las funcones de la entdad de fscalzacón superor de la Federacón, en los térmnos que dsponga la ley. La entdad encargada de la fscalzacón superor de la Federacón, tene autonomía técnca y de gestón en el ejercco de sus atrbucones y para decdr sobre su organzacón nterna, funconamento y resolucones, en los térmnos que dsponga la ley, es conocda como la Audtoría Superor de la Federacón. (Art. 79 CPEUM) y conforme a la Ley de Fscalzacón Superor de la Federacón, le permte establecer los elementos que le permtan la práctca dónea de las audtorías. (Art. 6, frac. II) Así pues, la Consttucón establece que los Poderes de la Unón y los entes públcos federales están sujetos a control y evaluacón que será ejercdo por la Cámara de Dputados a través de la Audtoría Superor de la Federacón, la cual tene autonomía técnca y de gestón aplcando las normas que le faclten su desempeño. De la msma manera, según la Ley Orgánca de la Admnstracón Públca Federal, el Poder Ejecutvo de la Unón, se organza para su funcón en Secretarías de Estado, Departamentos Admnstratvos y Consejería Jurídca. Corresponde pues, a la Secretaría de la Funcón Públca establecer las bases generales para la realzacón de audtorías en las dependencas y entdades de la Admnstracón Públca Federal. Los Estados de la Federacón son lbres y soberanos en todo lo concernente a su régmen nteror, y el poder públco de los Estados se dvde para su ejercco en Ejecutvo, Legslatvo y Judcal; y éstos se organzan conforme a la Consttucón de cada Estado, según lo estpulado en el artículo 6, segundo párrafo, de la Consttucón Polítca de los Estados Undos Mexcanos. Al gual que la Federacón, la Consttucón Polítca del Estado de Guanajuato, dvde al poder públco en Legslatvo, Ejecutvo y Judcal. El prmero, resde en el Congreso del Estado Lbre y Soberano de Guanajuato, así como la facultad de fscalzar; pues como veremos el Congreso del Estado, según el artículo 63 de dcho ordenamento, tene entre sus facultades: 5

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. XVIII.- Fscalzar la cuenta públca del Poder Ejecutvo ncluyendo la de las entdades y organsmos de la admnstracón públca paraestatal, del Poder Judcal y de los organsmos autónomos por Ley. Para tal efecto, el Congreso se apoyará en el Órgano de Fscalzacón Superor, en los térmnos de la Ley Reglamentara correspondente; XIX.- Fscalzar las cuentas públcas muncpales ncluyendo la de las entdades y organsmos de la admnstracón públca paramuncpal. Para tal efecto, el Congreso se apoyará en el Órgano de Fscalzacón, a que se refere la fraccón anteror; Así, se le ha conferdo al Órgano de Fscalzacón Superor autonomía técnca, de gestón y presupuestara en el cumplmento de sus atrbucones. A su vez, la Ley de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato establece en el artículo 8, fraccón IV, que dcha entdad debe establecer sus crteros para la realzacón de las audtorías, procedmentos, métodos y sstemas necesaros para la fscalzacón de las cuentas públcas. En el msmo sentdo, el artículo 9, fraccón II; de la msma Ley de Fscalzacón, permte que en los procedmentos de fscalzacón, el Órgano de Fscalzacón utlce las normas y técncas generalmente aceptadas y las que resulten dóneas al proceso en partcular. Además, debemos consderar las ormas de Informacón Fnancera. Ahora, en lo que respecta a los muncpos, la Consttucón Polítca de los Estados Undos Mexcanos, establece que el Muncpo Lbre es la base de la dvsón terrtoral y de la organzacón polítca de los Estados de la Federacón y será gobernado por un Ayuntamento. Los muncpos tenen personaldad jurídca y la facultad para aprobar los reglamentos, crculares y dsposcones admnstratvas de observanca general dentro de sus respectvas jursdccones, que organcen la admnstracón públca muncpal, regulen las materas, procedmentos, funcones de su competenca. (Art. 5, frac. II, párr. ) La Ley Orgánca Muncpal del Estado de Guanajuato, nsttuye que el Ayuntamento debe establecer para el estudo y despacho de los dversos ramos de la admnstracón públca muncpal dversas dependencas, entre ellas la Contraloría Muncpal, y cuyo ttular, el Contralor Muncpal, tene la facultad de Proponer y aplcar normas y crteros en matera de control y evaluacón, que deban observar las dependencas y entdades de la admnstracón públca muncpal (Art. 7, frac. II) Al permtr las leyes de nuestro país que las entdades de Control y Fscalzacón del goberno, empleen normas y procedmentos de audtoría generalmente aceptados, abre las puertas a una gama de técncas centífcas que enrquecen el desarrollo de la funcón de fscalzacón y de la audtoría gubernamental. Las ormas y procedmentos que pueden aplcar las entdades de Control Interno y Fscalzacón, han sdo aprobados por las Organzacones de Contadores Públcos, Insttutos y Entdades de fscalzacón, por ejemplo: El Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato, en su Manual de Audtoría, consdera el uso de Muestreo estadístco como una herramenta para la realzacón de audtorías. Las ormas y procedmentos de Audtoría y ormas para atestguar, publcadas por el Insttuto Mexcano de Contadores Públcos A.C. y la Comsón de ormas y Procedmentos de Audtoría, 6

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. aceptan que se utlce el muestreo para el desarrollo de una audtoría. Las normas están publcadas en boletnes que abarcan las dstntas etapas del ejercco de la audtoría. Así pues, se emtó el Boletín 500 que acepta y defne el muestreo en la audtoría y el Boletín 6060 propone como métodos de muestreo estadístco el muestreo por atrbutos y el muestreo por varables. Tambén, el Boletín 00, consdera que el audtor debe aplcar sus procedmentos de revsón a base de pruebas selectvas. Pues no es práctco revsar el 00% de las operacones realzadas por un sujeto de fscalzacón. Las operacones del sujeto fscalzado son repettvas y forman cantdades numerosas de operacones ndvduales. Según el Boletín 500, cuando exste multplcdad de partdas y smltud entre ellas, convene examnar una muestra representatva de las operacones ndvduales. Esto en audtoría es llamado Pruebas selectvas. En 977, para desarrollar la funcón contable coordnada y normada mundalmente, se fundó la Federacón Internaconal de Contadores (IFAC), de la cual forma parte nuestro país a través del Insttuto Mexcano de Contadores Públcos. Aunque las normas nternaconales pretenden ser aceptabas y aplcadas a nvel mundal, no prevalecen sobre la legslacón local de cada país membro. Cuando las normas mexcanas no contemplan un asunto contendo en normas nternaconales de la Federacón Internaconal de Contadores (IFAC), es recomendable que se usen de manera supletora 3. Manual Latnoamercano de Audtoría Profesonal en el Sector Públco. Que puede aplcarse en Méxco ya que forma parte de la Organzacón Latno Amercana de Entdades de Fscalzacón Superor, permte la aplcacón del muestreo en las actvdades de audtoría. ormas de Audtoría Gubernamental de la Contraloría General de los Estados Undos en su norma 3.4 Conocmentos técncos y competenca, numeral, ndca que el personal que realce audtorías debe tener destrezas en muestreo estadístco cuando así lo amerte el caso. (Esta norma puede aplcarse por el conveno realzado entre Méxco y la USAID) Hay muchas más dsposcones naconales e nternaconales que, por medo de convenos, pueden ser aplcados a la audtoría gubernamental realzada en el estado de Guanajuato, las menconadas aquí son enuncatvas. Para mayor referenca consulte la bblografía. 3 IMCP. ormas y Procedmentos de Audtoría y ormas para Atestguar. 006. 7

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.3. El muestreo en audtoría En ocasones, el trabajo de audtoría se ve lmtado por la creatvdad para desarrollar de manera más efcente una audtoría, cantdad de recursos económcos, cantdad, los recursos humanos y por la urgenca de dar a conocer los resultados de una manera confable. Un audtor esta oblgado a obtener evdenca comprobatora, sufcente y competente para que su opnón posea un sustento ndubtable. Entonces, cómo es posble que el audtor emta un juco del ejercco de recursos públcos, s no puede abarcar la totaldad de los ngresos, egresos, obras, accones, etc.? La audtoría, es una metodología de revsón y no mplca que se deba ndagar la totaldad de las operacones de un ente. El muestreo, es una herramenta de nvestgacón centífca, cuya fnaldad es determnar qué parte, de la realdad en estudo, debe examnarse con el propósto de obtener conclusones sobre la poblacón de nterés. Vsto desde la audtoría gubernamental, es una herramenta que nos proporcona una muestra representatva de las partdas o conceptos que se deben audtar, evtando seleccones vcadas de campos ya conocdos por un audtor. o sempre será permtdo expresar las conclusones obtendas medante una muestra, haca el total de la partda de la que fue tomada la muestra. La audtoría gubernamental debe señalar puntualmente las defcencas. El muestreo debe usarse como una forma de seleccón en la que no ntervene el crtero subjetvo o preferencal y como complemento cuando se haya detectado y selecconado partdas clave. El muestreo debe relaconarse con el objetvo de la audtoría. o es lo msmo realzar un muestreo para conocer tendencas de voto, el uso de un desodorante, conocer el número total de cuentas por cobrar o conocer cuál es la razonabldad de esas cuentas, verfcar el cumplmento de procedmentos, aunque los prncpos aplcados sean los msmos. Las audtorías que desarrolla actualmente el Órgano de Fscalzacón Superor, las aplca a todos los sujetos de fscalzacón, acatando los preceptos establecdos en la Consttucón Estatal y la Ley de Fscalzacón Superor del Estado. Así, se han clasfcado en:. Revsón de Cuentas Públcas;. Audtoría: Integral, fnancera y de cumplmento o ben, en su caso, específca. 3. Investgacón de stuacones excepconales. La descrpcón de cada tpo de audtoría se encuentra en el manual de Audtoría del Órgano de Fscalzacón Superor. Por ahora, bástenos entender que en estos tpos de revsones se aplcan pruebas sustantvas y de control. Por lo tanto, el muestreo puede ser especalzado para cada prueba o estructurarse de manera que en una muestra se aplque los dos tpos de prueba, según sean las característcas y necesdades de la audtoría. En forma general, una audtoría gubernamental, es la aplcacón de una evaluacón de cumplmento o sustantvo a las accones realzadas por las undades de goberno y los funconaros públcos. Las pruebas de cumplmento se dseñan para comprobar que los procedmentos de control nterno estaban en operacón durante el perodo audtado 4. Por otro 4 IMCP. ormas y Procedmentos de Audtoría y ormas para Atestguar. 006. Boletín 5030, párrafos 70 y 76. 8

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. lado, las pruebas sustantvas se elaboran para llegar a una conclusón respecto al saldo de una cuenta, sn mportar los controles nternos sobre los flujos de las transaccones que se reflejan en el saldo. Cada una de estas pruebas, tene un adecuado método de muestreo, que por las característcas del unverso a audtar y la experenca del audtor, se optará por el que mejor se adapte a las crcunstancas. El contendo de esta guía es sólo eso, una guía, una ntroduccón al muestreo estadístco y los métodos que se exponen en ella son ejemplo de la gran varedad de posbldades que se han desarrollado para realzar un muestreo. o es un medo para dsmnur la carga de trabajo, sno hacer efcentes los recursos públcos que son empleados para realzar audtorías gubernamentales. Exsten muchos programas dseñados expresamente para muestreo, ACL, Sample, Audtor, Posdem, cada uno enfocado en su rama de especalzacón que facltan el trabajo de nvestgacón, pero se consdera necesaro conocer los prncpos fundamentales del muestreo para hacer aun más efcentes las herramentas que otras personas han desarrollado. 9

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.3. Introduccón al Muestreo Una Muestra es una versón a escala de una poblacón, que debe reflejar cada una de las característcas de la poblacón. Por supuesto, una muestra que cumpla con esta defncón realmente no exste. Por lo que se usan modelos que se adaptan lo mejor posble a la realdad en estudo. Poblacón Muestra Fgura Poblacón y muestra. La estadístca se dvde en estadístca descrptva y estadístca nferencal. La prmera estuda los procedmentos que srven para organzar y resumr conjuntos de datos numércos. La segunda, estuda los procesos estadístcos que srven para deducr o nferr acerca de un conjunto de datos numércos (poblacón) al selecconar un grupo menor de ellos (muestra). Esta es la más mportante para nuestro caso de estudo. La nferenca estadístca es el proceso medante el cual los resultados del análss de la muestra se pueden generalzar a toda la poblacón. Este proceso se realza porque en la mayoría de los casos los recursos económcos-humanos y tempo no son sufcentes para revsar todos los elementos de una poblacón. La caldad con que se haya estructurado una muestra es esencal para que la nferenca sea válda. S la muestra es mal obtenda o tendencosa, nvalda el proceso de nferenca para obtener una conclusón mportante sobre el comportamento de los parámetros de la poblacón, aun cuando éste sea muy sofstcado e nnovador. El trabajo de audtoría nca con una pregunta A qué rubros y en qué medda se les deben aplcar pruebas para conocer el nvel de desempeño, nvel de efcenca en el manejo de recursos fnanceros, control de obra, etc.? y se resuelve con una adecuada Planeacón. De manera general la nferenca estadístca es un proceso que comprende los sguentes pasos: Establecer la forma de obtener la muestra representatva. (La dstrbucón de las varables de nterés o relaconadas con la muestra, debe parecerse a la poblacón). 0

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Defnr los métodos estadístcos para analzar la muestra, no solo el cálculo de estmadores estadístcos, sno obtener toda la nformacón que requermos de ella a través de pruebas sustantvas y pruebas de cumplmento. Obtener los estmadores apropados (Meda artmétca, varanza y porcentaje de casos favorables), Aplcar las pruebas que selecconamos para estudar la muestra. Utlzar un procedmento váldo medante el uso de una dstrbucón de probabldad apropada para estmar los parámetros a partr de datos contendos en la muestra. En audtoría gubernamental, no sempre será adecuado extrapolar las conclusones de una muestra, haca la poblacón porque nos oblgaremos, en caso de detectar una defcenca, a señalar que rubros o partdas que, específcamente, deben ser corregdas. Interpretacón de los resultados y elaboracón de conclusones. I.3.. Poblacón La poblacón es la coleccón completa de objetos que deseamos estudar. Para nuestros casos de estudo, las poblacones se componen de muchas maneras, por ejemplo: El conjunto de todas las cuentas de bancos El conjunto de las cuentas de los empleados contratados en el perodo enero juno de 005. El conjunto de los benes nmuebles rentados por el sujeto de fscalzacón. El conjunto de facturas de servco automotrz de los vehículos de segurdad públca en el perodo julo dcembre de 005. El conjunto de las obras públcas cuyos pagos se realzaron en el segundo semestre de 005. I.3.. Razones para muestrear Revsar todos los regstros y operacones de un ente audtado es equvalente a realzar el trabajo dos veces, y quzá hasta más cuando la nexperenca del audtor sea relevante en el proceso audtado. El Audtor tene la facultad de selecconar de dos maneras, por crtero (no aleatoro) o aleatoramente. Y en casos especales puede hacer una mezcla de los dos tpos de muestreo. En general, la ndustra, la nvestgacón usan el muestreo: Porque se requeren pruebas destructvas y no deseamos quedarnos sn poblacón. Porque es mposble estudar a todos los elementos de una poblacón. Porque tenen un alto costo estudar a todos los elementos de la poblacón. Porque no sempre es económco nclur a todos los elementos de la poblacón en la conformacón de la muestra. Porque no se tene el tempo de revsar todo. S se audta el ejercco fscal al 00%, equvale a realzar las operacones que ya el sujeto de fscalzacón ejecutó a lo largo del ejercco. S por alguna stuacón especal debese revsarse todo tpo de operacón y regstro, la planeacón de la audtoría marcará el punto de éxto de la msma.

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.3..3 Muestreo probablístco En general, hay dos tpos de muestras: Muestra probablístca y muestra no probablístca. La muestra probablístca es aquella en la que cada ntegrante de la poblacón en estudo tene una msma probabldad conocda (y no gual a cero) de ser extraída de la poblacón e ntegrar una muestra. La muestra no probablístca carece totalmente de la ntervencón del azar. Al usar muestreo probablístco tenemos las ventajas sguentes:. Los resultados de la audtoría no deben ser calfcados de tendencosos, preferencales, lmtados a la facldad o comoddad, etc., pues se justfcan objetvamente.. Economía dervada de nspecconar sólo una porcón del lote o cuenta. 3. Reduccón del daño por manpuleo durante la nspeccón en caso de nventaros. 4. Se puede emtr una conclusón sobre el estado total de una partda presupuestal conservando límtes de error y confabldad, s el caso lo permte 5. Estma la magntud del resgo de que la muestra pueda no ser representatva de toda la poblacón. Cuando se usa el muestreo probablístco y se ha detectado un número consderable de defcencas donde debe aclararse o rentegrarse un mporte, es convenente aumentar el tamaño de la muestra, ya que se tene un buen ndco de que se encontrarán más defcencas. I.3..4 Desventajas de la nspeccón por muestreo Se consdera que el muestreo tene desventajas porque al tomar una muestra, aun que sea representatva, es posble que dentro de la poblacón exstan elementos que no satsfacen las condcones de la revsón y por causas del azar no fueron selecconados para su análss, por ende la conclusón obtenda de la muestra sea que se cumple satsfactoramente. Recuerde que no sempre, en audtoría gubernamental, será posble extender las conclusones de la muestra haca la poblacón de donde se extrajo la prmera. Entre algunas desventajas podemos ctar las sguentes:. Resgo de aceptar partdas "malas" y rechazar partdas "buenas"; es decr dar por buenas las cuentas que contenen errores o defcencas en su manejo y decr que la cuenta audtada no contene defcencas cuando en realdad s las tene.. Requere la elaboracón de planes y documentacón para el muestreo. 3. La muestra provee menos nformacón sobre el producto que la nspeccón 00%..3..5 Muestreo no probablístco Al utlzar los métodos no probablístcos, no todos los ntegrantes de la poblacón tenen la msma probabldad de ser ncludos en la muestra y los resultados estarán sesgados y no serán representatvos de la poblacón. Estos casos se presentan cuando la muestra se elabora a crtero de quén la va a estudar, quzá seleccone a las personas que le quedan más cerca de su ofcna o aquellas que tenen accesos sencllos o los que vsten de manera que al analsta le parezca famlar. Se selecconan las cuentas que ya son conocdas, que se conoce cuales son los errores, aquellas que no le han presentado complcacón en ocasones anterores, etc.

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.3. Resgo general de audtoría El resgo es la representacón mental de que un daño está próxmo. Todas las actvdades del ser humano tenen un resgo, y las meddas de prevencón tenden a dsmnur o elmnar el resgo. Resgo General de audtoría, se refere a la posbldad de que el audtor emta un juco de valor sobre sí los estados fnanceros tomados en conjunto están presentados razonablemente cuando en realdad no lo están. El "SAS" 47.- relatvo a al resgo de audtoría e mportanca de la realzacón de la msma, señala que la exstenca del resgo de audtoría está mplícto en la frase "en nuestra opnón", y que el resgo de audtoría es el resgo que corre el audtor de no modfcar, nadvertdamente y en forma apropada, su análss sobre los estados fnanceros que se presentan ncorrectamente en mportes consderables. La audtoría debe planearse para que el resgo antes señalado, se lmte a un nvel bajo que sea, acorde a su juco profesonal de los que la realzan, apropado para expresar los resultados del análss de los estados fnanceros. S la planeacón no contempla nngún tpo de resgo, deben tenerse reservas las conclusones expresadas en el nforme de audtoría. El resgo general de audtoría exste porque los sstemas de nformacón del ente audtado pueden contener errores y desvacones de mportanca relatva, que s el audtor no los toma en cuenta, los resultados de audtoría se verán empañados de aclaracones. Al respecto, el resgo de audtoría se da por el efecto combnado del resgo nherente, el resgo de control y por el resgo de deteccón. El resgo general de audtora no debe confundrse con los resultados de una mala audtoría. Por mejor que sea el muestreo o el plan de trabajo, s el audtor no evalúa correctamente la documentacón, causará cuando menos desprestgo del órgano de control que realza la audtoría. Como ya se sabe, el resgo general de audtoría tene tres componentes, resgo nherente, resgo de control y resgo de deteccón. Los sguentes párrafos expresan con mayor extensón su defncón 5. a) Resgo nherente: Realzar cualquer actvdad conlleva la exstenca de un resgo por el solo hecho de ejecutar la actvdad. El manejo de efectvo es más susceptble de malos manejos que un nventaro de artículos volumnosos. Los cálculos complejos serán más susceptbles de error que los cálculos smples. b) Resgo de control: Es la ocurrenca de errores debdo a que los sstemas de control establecdos en un área no prevengan o detecten oportunamente por el control nterno contable en vgor. Este resgo nunca desaparece totalmente. Un control para el manejo de efectvo, es que se presente una fanza por la persona que realce dcha actvdad, 5 IMCP. ormas y Procedmentos de Audtoría y ormas para Atestguar. 006. Boletín 3030, párrafos 4 al 8. 3

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. pero s la persona que resguarda las fanzas no se percata que la fanza ampara un perodo dferente al momento de trabajo, el control es defcente. S los empleados regstran hora de entrada medante una frma en hoja de papel es un control, pero débl. Porque se presta, por ejemplo, a regstrar horas dferentes a las reales de ngreso. Permtr que un contratsta esté presonando a su supervsón para que su pago salga lo más pronto posble es un control débl. La supervsón, medo de control, está presonada y no realza su trabajo de forma adecuada y por lo tanto, puede fallar. c) El resgo de deteccón: abarca las posbldades de que los procedmentos aplcados por el audtor, no detecten los posbles errores mportantes que se generaron durante la ejecucón de un proceso de la admnstracón o escaparon a los procedmentos de control nterno. El resgo de deteccón se genera del lado del audtor debdo a que se realzan pruebas a una parte de las partdas y no a la totaldad o por nterpretar los resultados erróneamente o aplcar ndebdamente un procedmento de audtoría. Los resgos nherentes y de control, son resgos ndependentes a la audtoría, el audtor solo puede evaluarlos y emtr recomendacones. El grado del resgo de deteccón es propuesto por el audtor según la naturaleza, alcance y oportundad de las pruebas sustantvas, y en funcón de los resgos nherentes y de control. Un grado de deteccón bajo proporcona la dea de que los errores de trabajo de la admnstracón se encuentran sn necesdad de buscar mucho. Por el contraro, un resgo de deteccón alto, ndca que será más dfícl detectar los errores. Cómo detectamos defcencas en un organsmo que tene ésta últma característca? Pues estudando un número mayor de casos. La sguente tabla nos permte proponer de una manera rápda el resgo de deteccón que está dspuesto a correr el audtor. Veamos, s el sujeto de fscalzacón tene resgo de control alto y el área estudada tene un resgo nherente alto, el audtor debe procurar un resgo de deteccón bajo, pues es muy seguro que las defcencas serán detectadas sn mucha dfcultad. Resgo de control Alto Medo Bajo Resgo Inherente Resgo de deteccón Alto Bajo Bajo Medo Medo Bajo Medo Alto bajo Medo Alto Alto Tabla Valoracón de los resgos de audtoría. Fuente: Boletín 3030 Por el contraro, s exste un resgo nherente bajo, y resgo de control bajo, el audtor tene un alto resgo de deteccón, es decr, que es posble no detectar fallas o defcencas. Cuánto es alto o cuánto es bajo? o hay una fórmula y depende de la aprecacón del audtor, del análss que haya aplcado para conocer la estructura y los procesos de operacón del sujeto fscalzado. De ahí la necesdad de realzar una adecuada planeacón donde se estuden las característcas del sujeto de fscalzacón 4

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. I.3.. Importanca relatva 6 Otro factor que es mportante en la determnacón del resgo de audtoría es el denomnado Importanca Relatva. Representa el mporte acumulado de errores o desvacones de ormas de Informacón Fnancera que podrían contener los estados fnanceros sn que, a juco del audtor, sea probable que afecte el juco de las personas que confían en la nformacón contenda en dchos estados. Vsto en una manera más smple, en una compara de metros cúbcos de arena, cuanta arena del total adqurda, estoy dspuesto a aceptar como pérdda o merma sn que sgnfque que se está proporconando metros cúbcos ncompletos. Permtr que partdas no mportantes complquen o desordenen el proceso de audtoría, es anteconómco y aparta la atencón de los puntos realmente sgnfcatvos de los Estados Fnanceros. Ahora, decdr porqué no es mportante una o mas partdas, debe ser expresado en los papeles de trabajo y soportado debdamente. La mportanca relatva la establece el audtor de los Estados Fnanceros, quen puede estar nformado, pero no necesaramente de un profesonal en la matera. El audtor puede decdr que los errores que sumen $00,000 no son mportantes en relacón con el mporte real ejercdo tenendo la precaucón que ese mporte tenga característcas que mplquen un msmo funconaro, destno, proveedor o cualquer ndco que señale un acto premedtado. En el análss de estados fnanceros de sujetos de fscalzacón, es posble restarle mportanca a errores menores de $ 0,000? O autorzar suscrpcones a publcacones no relaconadas con la admnstracón públca? Los recursos públcos deben cudarse al extremo ya que provenen y son de la socedad. Es deber del audtor señalar la mínma defcenca en la admnstracón de recursos públcos y emtr la recomendacón que tenda a prevenr y dsmnur el grado de mportanca relatva. I.3.. Resgo de muestreo Como djmos, toda actvdad conlleva de manera mplícta un resgo. El muestreo no es la excepcón. Se debe establecer que exsten resgos de toda índole; generados por el audtor, por la naturaleza del objeto de muestreo, etcétera; y conocéndolos será más fácl su mtgacón. El resgo, por usar muestreo, puede nterpretarse como el no analzar una partda que tene defcencas porque no fue selecconada por el procedmento de muestreo. Y consecuentemente no se expresará una observacón o recomendacón al respecto. El resgo de muestreo es expresar la conclusón, producto de la prueba aplcada a una muestra, dferrá de la que habría sacado s la msma prueba se hubera aplcado a todas las partdas de la poblacón en vez de aplcarla solo a la muestra. Se preguntará el lector, cómo puedo reducr el nvel de resgo de muestreo? Cómo aumento la confanza en ms pruebas? S se desea realzar una prueba de nvel alto o de segurdad, 6 IMCP. ormas y Procedmentos de Audtoría y ormas para Atestguar. 006. Boletín 3030, párrafos 0 al 3. 5

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. debemos especfcar un nvel bajo de resgo de muestreo. Es decr, se requere una muestra de mayor tamaño, lo que aumenta el número de análss y esto reduce el resgo. Resgo ajeno al muestreo El resgo ajeno al muestreo, son los resgos que no son resultado del muestreo. O ben, aquel que ndependentemente del tamaño de la muestra o de la muestra msma, nduce al audtor a una conclusón ncorrecta acerca del estado de una cuenta o de la efcaca de un control contable. Son ejemplos de esta categoría de resgo: El resgo nherente y el resgo de control. La omsón de procedmentos de audtoría. (o revsar actas de ayuntamento o Consejo). Aplcar procedmentos de audtoría de forma ndebda. Aplcar procedmentos de audtoría a una poblacón ndebda o ncompleta. (Exclur los regstros de compras de gas para vehículos, en el momento de conformar una muestra, para pruebas sustantvas de las operacones y luego conclur que todas las operacones de compra son ncorrectas.) Aplcar ncorrectamente las ormas de Informacón Fnancera. o tomar las meddas necesaras, ya sea como resultado de pruebas de audtoría o porque se desconocía de los factores que requeren cudado. A partr de los nveles de resgo, debemos determnar nuestro nvel de confanza, confabldad o segurdad de audtoría. S como audtores decdmos aceptar un 5% de resgo de confanza excesva en un control contable nterno, sometdo a prueba de cumplmento, podemos expresar nuestro nvel de confabldad del 95% Resgo y Segurdad. Al planear la audtoría, el audtor utlza su crtero profesonal para determnar el nvel de resgo de audtora apropado y de manera complementara está expresando el nvel de segurdad ya que no se puede separar la Segurdad del Resgo. El objetvo del audtor debería ser el reducr el resgo fuera del muestreo a un nvel mínmo por medo de un planeacón, dreccón, supervsón y revsón adecuada. I.3.4.3 Errores de muestreo Error tolerable: Es el error máxmo en el unverso, que el audtor estaría dspuesto a aceptar y, a pesar de eso, conclur que el resultado del muestreo ha alcanzado su objetvo de audtora. El error tolerable es consderado durante la etapa de planeacón y se relacona con el juco prelmnar del audtor respecto a la mportanca. A menor grado de error tolerable, será mayor el tamaño de la muestra que requerrá el audtor. El error tolerable, el resgo de deteccón y la mportanca relatva están estrechamente relaconados para determnar el tamaño de la muestra. En los procedmentos de cumplmento el error tolerable es el porcentaje máxmo de desvacón de un procedmento de control prescrto que el audtor estaría dspuesto a aceptar sn alterar el grado de confanza que tenía planeado depostar en el control que esta probando. En el caso de pruebas sustantvas, el error tolerable es el error monetaro máxmo en el saldo de una cuenta o 6

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. transaccón que el audtor estaría dspuesto aceptar de manera que, al consderar los resultados de todos los procedmentos de audtoría, esté en poscón de conclur con razonable segurdad, que la nformacón fnancera no contene errores mportantes y no requere emtrse una observacón o recomendacón. Error esperado en el unverso: S el audtor espera la presenca del error, normalmente tendrá que examnar una muestra mayor para conclur que el valor del unverso esta razonablemente presentado dentro del error tolerable estmado o que la confanza que se había planeado depostar en un control mportante esta justfcada, las muestras de mayor tamaño se justfcan cuando se esperan que el unverso se encuentre lbre de errores. Al determnar el error esperado en un unverso, el audtor deberá consderar asuntos tales como nveles de error dentfcados en audtoras prevas, cambos en los procedmentos de los clentes y evdenca dsponble de su evaluacón del sstema de control nterno contable y de los resultados de procedmentos de revsón analítcos. I.4. Plan de muestreo El Plan de Muestreo, es nuestro mapa, ahí debemos reflejar los antecedentes del sujeto de fscalzacón, defnr cual es el área que requere mayor tempo y recursos y cuantfcarlos; estudar e dentfcar los resgos que puedan ocurrr en la audtoría. Lo anteror es una caracterzacón del sujeto fscalzado que permte obtener resultados confables. El Plan de Muestreo, programa las etapas a desarrollar por el audtor: Defncón de los objetvos, naturaleza y alcance de la prueba. Preparacón y regstro de los datos en los papeles de trabajo. Defncón del dseño muestral. Prefjar el nvel de confabldad y los resgos asocados. Determnacón de la muestra aleatora y seleccón de sus elementos. Método de estmacón de la varable en estudo. Elaboracón del Modelo de Decsón. Valdar los resultados. Cuando se emplea el muestreo estadístco, en su planeacón y evaluacón se tenen en cuenta fundamentalmente cuatro aspectos: precsón, confabldad, tamaño de la muestra y una medda de la dspersón o varabldad. Para una muestra de atrbutos, asocado a pruebas de cumplmento, esta medda se basa en el índce de error, y en una muestra de varables, asocado a pruebas sustantvas, se basa en la desvacón estándar. I.4. Factores del tamaño de la muestra Los factores que ntervenen drectamente en el tamaño de una muestra son los sguentes: El resgo de muestreo afecta nversamente el tamaño de la muestra. S decdmos confar mucho en los controles nternos y aceptamos un resgo de muestreo alto, obtendremos consecuentemente una muestra pequeña. S tenemos evdenca de que no podemos confar 7

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. en los controles nternos aunque se tenga un resgo de deteccón bajo, requermos un resgo de muestreo bajo y por ende una muestra de tamaño grande. Porcentaje tolerable de desvacón o monto de error. Es la cantdad de desvacón respecto de los procedmentos prescrtos que se pueda encontrar como resultado de las pruebas de cumplmento sn que se requera ajustar el nvel de confanza planeada en un procedmento de control o modfcar las pruebas sustantvas. La cantdad tolerable de error, es el mporte de los errores que se pueden encontrar en un saldo de una cuenta, como resultado de una prueba sustantvas. El error tolerable no puede ser mayor que el monto de mportanca relatva más pequeño en la cuenta ndvdual o para los estados fnanceros en su conjunto. Porcentaje de desvacón o monto de error esperado es una funcón de los resultados de pruebas de cumplmento de años anterores. Entendendo que lo máxmo de monto de error que puedo esperar es el msmo porcentaje o cantdad hallada anterormente. S se carece de estos, basta una prueba ploto con una pequeña muestra prelmnar y de ahí tomar la estmacón. I.4. Pruebas de audtoría Dependendo de los objetvos de audtoría, de los conceptos que serán evaluados de las pruebas que se aplcaran para una revsón, podemos escoger entre una gran dversdad de métodos de muestreo. Los procedmentos de audtoría comúnmente se denomnan pruebas. Las pruebas de cumplmento se efectúan para conocer cuán correctamente funconan certos controles nternos específcos. Su fnaldad es proporconar evdenca al audtor de que los controles están funconando como lo establece el sstema o el manual de procedmentos y consecuentemente, erradcar en lo posble las causas de esas debldades o fallos de los `procedmentos y/o controles nternos analzados, pues están enmarcadas en una flosofía de mejora contnua de la caldad. Pensemos en el control de una Insttucón que exge al responsable de cuentas por pagar calcular las sumas y los totales que aparecen en factura de proveedor, a modo de determnar que los cálculos hechos por los proveedores son artmétcamente correctos. La manera de confrmar que el control fue aplcado por el funconaro que revsó es colocar sus ncales en la factura. El audtor, para comprobar que el control se aplcó, toma una factura y comprueba que las ncales del servdor responsable estén en la factura, efectúa los cálculos artmétcos. S las ncales están y las cantdades, sumas y totales son correctas, el control se aplcó satsfactoramente. Las pruebas sustantvas conssten en pruebas de los detalles en las operacones y saldos en las cuentas, procedmentos de revsón analítca entre otros. Srven para detectar errores o rregulardades en los estados fnanceros. 8

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. El sguente cuadro nos muestra los modelos de muestreo que podemos aplcar según los tpos de pruebas de audtoría que deseamos aplcar, no todos serán tratados en esta guía. Pruebas Control Sustantvas Muestreo por Atrbutos Muestreo por descubrmento Muestreo por aceptacón Muestreo de varables Muestreo proporconal al tamaño Fgura. Modelos de muestreo que podemos aplcar según las necesdades de audtoría. En ocasones se puede hacer una combnacón de métodos para un mejor resultado. 9

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. II. Muestreo Estadístco El muestreo estadístco se basa en prncpos de probabldad, por ello, quenes deseen aplcar muestreo estadístco deben conocer los fundamentos y obtener mayor provecho de los programas dseñados para realzar muestreo asstdo por computadora. La representatvdad en estadístca se logra con el tpo de muestreo adecuado que sempre ncluye la aleatoredad en la seleccón de los elementos de la poblacón que formaran la muestra. o obstante, tales métodos solo nos garantzan una representatvdad muy probable pero no completamente segura. La Estadístca descrptva nos permte conocer de manera rápda como es nuestra poblacón a través de meddas de poscón, centraldad, dspersón y de forma. La Meda, es una medda de centraldad, nos muestra qué tanto los datos observados se agrupan alrededor de uno de ellos msmos. Exste la meda de la poblacón representada por m y la meda de la muestra x. La dferenca el orgen de los datos para su cálculo. Por ejemplo, se regstraron las horas de entrada de 0 empleados del muncpo, las cuales se muestran así: Empleado 3 4 5 6 7 8 9 0 Hora 8:5 8:5 8:3 8:7 8:33 8:8 8:34 8:9 8:8 8:30 Usando solo los mnutos, suman 67 mnutos y los dvdmos entre 0, obtenendo 7 y así podemos decr que los empleados en promedo regstran su entrada a las 8:7 AM. La Desvacón estándar es una medda de dspersón, e ndca el grado de dspersón o concentracón respecto de la meda. Del ejemplo anteror Empleado 3 4 5 6 7 8 9 0 Hora 8:5 8:5 8:3 8:7 8:33 8:8 8:34 8:9 8:8 8:30 Promedo 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 8:7 ( x x) Usando la sguente fórmula, s = que calcula la desvacón estándar muestral. S solo dvde, es la desvacón estándar poblaconal. Podemos calcular la desvacón estándar sabendo que x es cada hora de regstro de entrada y x es la meda de esas horas. es el número de horas regstradas. De la fórmula obtenemos que s=6.0; es decr, que a 6.0 undades de la meda haca arrba o haca abajo tenemos los valores de estudo. Un valor pequeño, ndca que están muy próxmos a la meda, por el contraro s es un valor grande estarán alejados, dspersos. Este texto solo es una guía, exsten muchos textos de probabldad y estadístca para admnstradores que pueden ayudar a amplar los conceptos aquí expuestos. 0

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. II. Prncpos de Probabldad La Estadístca nferencal, base del muestreo estadístco, se basa en probabldad y es la que nos permte conclur sobre la poblacón, a partr de los elementos selecconados de ella. Así pues, y como fundamento de los métodos que se desarrollarán, es deseable conocer los sguentes fundamentos: Varable aleatora: aquella cuyo valor corresponde a los dstntos resultados posbles de un expermento Parámetro es cualquer característca de una poblacón, la meda m, la desvacón estándar s. De manera general un parámetro se representa con la letra Q. Estadístco: Es la característca que ha sdo medda en la muestra. Meda muestral X, la desvacón estándar muestral s, Evento: resultado de un expermento. vel de Confanza. Probabldad de que la estmacón efectuada se ajuste a la realdad. Cualquer nformacón que queremos recoger está dstrbuda según una ley de probabldad, así llamamos nvel de confanza a la probabldad de que el ntervalo construdo en torno a un estadístco capte el verdadero valor del parámetro. II. Dstrbucones de Probabldad Dstrbucón de Probabldad: es una lsta de todos los valores que puede tomar una varable, suponendo que para ello sólo ntervene el azar. S lanzamos un dado, Cuál es su dstrbucón de probabldad?, Pues,, 3, 4, 5,6; ya que son los valores que se presentan en las caras del dado. O ben de una moneda, es águla o sol. En audtoría, qué es una dstrbucón de probabldad? Pensemos en la autorzacón de un pago por el funconaro responsable. Cuántos valores puede tener? Sólo dos, autorzado o no autorzado. S es Pago de servcos postales mensuales (en el perodo audtado), su lstado de valores probables son los mportes de cada mes dentro del perodo audtado. El valor de una probabldad se encuentra entre 0 y. Se deduce pues, que la suma de las probabldades de un evento es gual a. II.. Dstrbucón de Bernoull: una varable aleatora tene dos posbles resultados; éxto o fracaso. La probabldad de éxto se representa con p y no camba de un ensayo a otro. Así la probabldad de fracaso será q=-p y no camba de un expermento a otro. Cada expermento es ndependente.

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Fgura 3 Representacón de una dstrbucón Bernoull, Al trar una moneda al are, se tene ½ de probabldad que caga águla o sol. Escoger una factura en una nspeccón de requstos fscales tene 0.5 de probabldad de rechazo y 0.5 de aceptacón. Analzar la forma de ntegrar 0 úncas tarjetas de precos untaros de un contrato, cuántos resultados presenta? Es un expermento Bernoull? Solo dos, es correcta o no su ntegracón, por lo cual es un expermento Bernoull. II.. Dstrbucón Bnomal: Es una sucesón de n expermentos de tpo Bernoull con probabldad de éxto p. os nteresa aquí, el número de acertos observados en los n expermentos. Pensando en ejemplo de las tarjetas de precos untaros, s las analzamos de manera ndvdual, repetmos 0 veces la prueba y en cada una se tene la probabldad de ser ntegrada correctamente o no. Fgura 4 Representacón de una dstrbucón Bnomal, S tra al are 00 veces una moneda, tene la probabldad aproxmada de que 50 veces caerá sol y por lo tanto, 50 veces caerá águla. II..3 Dstrbucón Hpergeométrca Se emplea cuando estudamos fenómenos de carácter de expermento bnomal. La dstrbucón bnara supone que la extraccón de los resultados del ensayo con reemplazo, hacendo constante la probabldad de ensayo. Reemplazo, sgnfca que en una prueba, los elementos probados no se extraen, sno que se permanecen en la lsta, conjunto o sto de estudo. Al revsar facturas, no aplcamos dos veces una prueba a la msma factura. Eso es una revsón sn reemplazo, el documento revsado ya no se rentegra al conjunto ncal. Esto hace que la probabldad de seleccón cambe. Calcular la probabldad de un expermento hpergeométrco es: k k C y Cn y p( y;, n, k) = C n

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. k n y C es número de elementos que exsten en la poblacón número de elementos en la poblacón que se consderan éxtos, aquellos que tenen la característca de nterés. cantdad de elementos tomadlos de la poblacón cantdad de éxtos encontrados en n Es el símbolo que denota combnacones Por ejemplo, de 0 facturas, 5 se aprobaron adecuadamente y 5 no. S tomo, de esas 0 facturas, al azar 4, cuál es la probabldad de que de ellas se hayan aprobado adecuadamente? Fgura 5 La gráfca muestra la probabldad calculada con Excel y verfcada con PQRS II..4 Dstrbucón ormal Estándar: La Dstrbucón ormal se adapta a varables que tenen dstrbucones empírcas campanformes y smétrcas. Es la dstrbucón más mportante y la de mayor uso de todas las dstrbucones contnuas de probabldad. Un gran número de estudos ndca que la dstrbucón normal proporcona una adecuada representacón de las dstrbucones de una gran cantdad de varables físcas: temperatura, y varables económcas: rentas, salaros,.. S la varable aleatora presenta la sguente funcón de densdad: x m / f (x) e σ ξ = para < x < σ Π Es una dstrbucón de probabldad, contnua, sus valores van desde α hasta + α, su forma es la denomnada campana de gauss. En ella, la meda, la moda y la medana se ubcan en el centro de la campana. Es smétrca, a cada lado de ella se encuentra 50% del área bajo la curva que equvale a un valor de probabldad. Pero su cálculo se vuelve complcado, por lo cual se ha estandarzado y sus valores se han tabulado. Para estandarzar, sea X una varable aleatora normal con meda m y desvacón estándar ( X m) σ, la varable aleatora Z = presenta una dstrbucón normal estándar, de meda (0) σ y desvacón estándar (): Z (0, ) 3

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. f η (z) z = Para < x < e Π Fgura 6 Se muestra la dstrbucón normal estándar usando el programa PQRS 7 Como djmos, una dstrbucón de probabldad tene todos los valores posbles de una varable. El área bajo la curva representa esos valores. S medmos el área bajo la curva partendo desde cero haca ambos extremos encontramos que:. El 68.8% del área bajo la curva (los valores que puede tomar la varable) esta a una y menos una desvacón estándar. El 95.44% del área bajo la curva esta a dos y menos dos desvacón estándar 3. El 99.74%, práctcamente toda el área, está a tres y menos tres desvacones estándar de la meda. densdad 0.4 0.3 0. 0. 0-5 -3-3 5 Fgura 7 Representacón de los límtes del área de la campana de Gauss que contenen al 68.8%, 95.44% y 99.74% x Meda,Desv. Típ. 0, Vamos a magnar que 50 audtores tomaron una muestra cada uno, de una msma poblacón. A cada muestra se le sacó el promedo ( X ) y se obtuvo la dstrbucón de medas sguente: densdad 0.4 0.3 0. 0. Meda,Desv. Típ. 0, 0-5 -3-3 5.96.96 x Fgura 8 Representacón magnara de una dstrbucón de medas 7 El programa PQRS se obtene grats http://www.eco.rug.nl/~knypstra/pqrs.shtml 4

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. La meda poblaconal, ndcada en el círculo, fgura 8, está contenda dentro del área acotada por -.96 y.96. El ntervalo de confanza, expresa la ampltud dentro de la cual probablemente se encuentra la meda de la poblacón (m). Los ntervalos de confanza más usados son el 99%, y el de 95%. Pero, por necesdades del nteresado se pueden usar otros ntervalos como 87.6%, 80%, 90%, etc. Un ntervalo de confanza X%, sgnfca que el X% de los ntervalos construdos de manera smlar contene el parámetro que se está estmando. Otra nterpretacón es que, 95% de las medas muestrales para un tamaño de muestra especfcado, está dentro de.96 desvacones estándar de la meda poblaconal. Smlarmente, en un ntervalo de 99%, 99% de las medas muestrales estarán a.58 desvacones estándar de la meda poblaconal hpotétca. Menconamos anterormente que el 95.44% del área bajo la curva normal se encuentra en el ntervalo {-,+}. El numero (), es el valor Z, o cantdad de desvacones estándar. Así Los números.96 y,58, son los valores estandarzados de la dstrbucón normal, para los cuales los ntervalos {-.96, +.96} y {-.58.+.58} contenen exactamente al 95% y 99% del área bajo la curva de la dstrbucón normal. Error estándar de la meda, es la desvacón estándar de la dstrbucón de muestreo de las medas muestrales. σ = x σ n σ = Desv. Estad. De la meda n = tamaño de la muestra σ x = error estándar de la meda Elaborar ntervalos de confanza. Una vez que hemos calculado una meda muestral, podemos construr ntervalos de confanza para conocer que tan lejos estamos de la meda poblaconal, usando el error estándar, cuando n y s es desconocda, usamos s. Z es el valor correspondente al grado ce confanza a que hemos selecconado. X ± Z α s = desvacón estándar de la muestra, ya que la poblaconal es desconocda. s Z a = valor normal estandarzado para el grado de confanza n selecconado 90%, 95% n = tamaño de la muestra mayor que 30 X = meda calculada en la muestra Aproxmacón Bnomal S en un expermento bnomal, el número de ensayos n tende a α su dstrbucón de probabldad se puede aproxmar a la dstrbucón normal estándar. 5

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Sabemos que la meda o valor esperado de una bnomal es µ = np y su varanza es var( p) = npq= np( p) ; la desvacón estándar es la raíz cuadrada de la varanza: x np z = donde p= np( p) p es la proporcón de la poblacón que tene la característca de nterés. z es el valor de la dstrbucón normal estándar ubcado en el eje de las x. El valor de probabldad correspondente se encuentra a la zquerda o derecha de este valor. x n 6

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. II.3 Tamaño de muestra smple para proporcones A partr de la fórmula de la aproxmacón de una dstrbucón bnomal a una normal estándar, entendendo que para un número de eventos tenemos un área de probabldad z, podemos despejar n y analzarla de la sguente manera: Para un área de probabldad z dada, qué tamaño de n es necesaro probar?. Al hacer un poco de álgebra se obtene la fórmula utlzada para calcular el tamaño de muestra cuando la poblacón en estudo es analzada en proporcones. O vsto de otra manera, atrbutos. Sabemos que atrbuto es una propedad, una característca. Cuando, aquí se habla de proporcón, nos refermos a qué porcentaje de la poblacón posee una propedad o atrbuto X. Sea una poblacón de trabajadores dada, qué porcentaje de personas tenen carro (p) y cuántas no (q=-p). Qué porcentaje de cheques se aprobaron correctamente y cuántos no. El muestreo aleatoro smple consste en selecconar de una poblacón un grupo de undades muestrales, de tal manera que cada elemento de la poblacón tenga la msma oportundad de ser selecconada. La poblacón no se tene dentfcada en grupos o subgrupos. Para calcular el tamaño de la muestra cuando queremos estudar atrbutos de una poblacón usamos la ecuacón: n= pq ( ) B + Z α Ecuacón pq n p q Tamaño de poblacón Tamaño de la muestra Proporcón de la poblacón que tene la característca de nterés Proporcón de la poblacón que O tene la característca de nterés B Z Límte de error de estmacón, hasta cuánto me puedo equvocar. En este caso sgnfca cuanto quero que x dfera de x. x x < B Valor de la dstrbucón normal para una probabldad de error α, el cual se dvde por dos, ya que es el área en los extremos de la campana. α Para una probabldad de error de 5%, α = 5 =. 5.96 ; el valor de Z para.5% es Los térmnos (p) y (q=-p), se pueden determnar de pruebas ploto, por antecedentes de revsones prevas, o cuando se desconocen totalmente, podemos usar p=0.5, ya que el mayor producto de pq es 0.5 que al multplcar a, nos proporcona el máxmo producto de pq. Ahora ben, el térmno B, menconado en los textos de estadístca como límte de error de estmacón, error muestral, lo equparamos para audtoría, con el error tolerable que está en 7

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. funcón del resgo de deteccón y la mportanca relatva. Es la dferenca entre un estadístco y su parámetro correspondente. Es una medda de la varabldad de las estmacones de muestras repetdas en torno al valor de la poblacón, nos da una nocón clara de hasta dónde y con qué probabldad una estmacón basada en una muestra se aleja del valor que se hubera obtendo por medo de un censo completo. Sempre se comete un error, pero la naturaleza de la nvestgacón nos ndcará hasta qué medda podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e ntervalos de confanza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al prncpo o al fnal. Un estadístco será más precso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decr que es la desvacón de la dstrbucón muestral de un estadístco y su fabldad. El nvel de confanza o segurdad de la audtoría, lo expresamos medante el térmno Z que es el valor de de probabldad en una dstrbucón de probabldad normal para un grado de error a. S se ha estmado un nvel de confanza del 95%, la probabldad de error es del 5%, dstrbudo en los dos extremos de la campana de Gauss, por lo que a se dvde entre, y el valor de Z corresponde a.96, pues de este punto haca el extremo de la campana se encuentra el.5% del área de probabldad. El sguente cuadro es un resumen de las fórmulas empleadas para proyectar, hacer la nferenca, de los resultados de muestreo haca la poblacón, tratándose de proporcones de atrbutos. Recuerde sempre las salvedades en audtoría. Proporcón Estmado Varanza muestral Límtes de error de estmacón Varanza estmada pˆ = y = n = n y pq ˆ ˆ n V ( pˆ) = n donde qˆ = pˆ Z pq V ( pˆ) = Z pˆ qˆ n Tabla 3 Fórmulas empleadas para un muestreo smple donde se desea estmar una proporcón S no deseamos estmar proporcones, entonces el tamaño de la muestre se obtene con: n= D= ( ) B ( ) Z α s D+ s Ecuacón S B Varanza poblaconal Error de estmacón, Cuánto permto equvocarme? Z a/ Es el valor de Z para un nvel de confanza a A 99%, 95%, 90%, 85%, 80% Tamaño de la poblacón que se desea estudar 8

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. El sguente cuadro muestra las expresones para estmar la meda, el total, en el muestreo aleatoro smple, las varanzas de muestra y estmada, así como los ntervalos de error de estmacón para cada caso. Estmado Varanza muestral Límtes de error de estmacón Varanza estmada Meda ˆµ = y = n = n y s n s n V ( y) = Z V ( y) = Z n n s = n = ( y y) n Total τˆ = y= n = n y s n V ( y) n = s n Z V ( y) = Z n s = n = ( y y) n Tabla 4 Resumen de formulas usadas en un muestreo aleatoro smple II.3. Tamaño de muestra estratfcado Las poblacones, estadístcamente hablando, en ocasones sus elementos no tenen las msmas propedades de nterés, lo que motva su agrupamento según se parezcan los elementos entre sí. Estrato, es el conjunto de elementos que, con determnados caracteres comunes se agrupan. Pero cada grupo es dferente entre sí y los elementos que conforman el estrato son homogéneos. Debemos elaborar los estratos de manera que un elemento no pueda estar en dos grupos a la vez. El muestreo estratfcado es un procedmento en el cual se selecconan muestras aleatoras de cada estrato. La defncón y exstenca de los estratos se hace necesara cuando la poblacón no es homogénea y exsten subgrupos con característcas dferentes. Se espera que los resultados del análss de los datos sean dferentes para cada estrato. Para cada estrato es selecconada una sub-muestra del total, escogendo las undades dentro de cada estrato medante un muestreo smple aleatoro. Esto asegura una muestra mejor ntegrada que la obtenda a través de un muestreo aleatoro smple sobre toda la poblacón. Por ejemplo, se desea revsar una poblacón del sstema de cuentas por pagar. En ella se regstraron las cuentas por pagar de tres departamentos que se dedcan a funcones dferentes, por lo que las cuentas por pagar se enfocan a dferentes rubros. Para generar un muestreo más adecuado y representatvo de este sstema, recurrmos al muestreo estratfcado, donde cada departamento forma un estrato. El número total de cuentas por pagar, es la suma del número de cuentas de cada estrato. La representacón ndca la cantdad de cuentas del estrato. Las propedades de cumplmento en cada estrato serán p q. El tamaño de muestra calculada n, se ntegrará con muestras n obtendas en cada estrato. Para este tpo de muestreo, la fórmula para determnar el tamaño de la muestra tene las sguentes varacones: 9

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. n= B Z α k = + p q k = Ecuacón 3 p q Donde k es el número de estratos en que hemos dvddo a la poblacón. Después de encontrar el tamaño de la muestra, se reparte ésta de manera proporconal al tamaño de cada estrato, aplcando la sguente relacón: n = n Ecuacón 4 Ya podemos saber cuantos elementos conforman la muestra para estudar en una poblacón. S se qusera revsar los mportes de las cuentas por pagar, tomará los valores del mporte total de las cuentas por pagar. ndca el mporte de las cuentas por pagar de cada departamento. El térmno p q se susttuye por la desvacón estándar de cada estrato. La expresón ahora ncluye una ponderacón del tamaño de cada estrato. Es decr, s el mporte de cada estrato es la tercera parte del total, w =3. Así, con la sguente expresón podemos calcular un tamaño de muestra, cuando deseamos estmar un promedo o un total (de ventas, recargos, mportes, cantdades, etc.) en una poblacón estratfcada. n= D= ( ) B L = ( Z ) α s D+, L w = s B D= 4 Ecuacón 5 solo para total S B Z a/ Varanza poblaconal Error de estmacón, Cuánto me permto equvocarme? Es el valor de Z para un nvel de confanza a a 99%, 95%, 90%, 85%, 80% Tamaño de la poblacón que se desea estudar El sguente cuadro muestra las expresones para estmar la meda, el total o una proporcón para una poblacón estratfcada, las varanzas de muestra y estmada, así como los ntervalos de error de estmacón para cada caso. 30

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. 3 Estmado Varanza muestral Límtes de error de estmacón Meda = = L st y y = = L st n n s y V ) ( = = L n n s y V ) ( Total = = = L st y y ˆ τ = = L st n n s y V ) ( = = L n n s y V ) ( Proporcón = = L st p p ˆ = = ˆ ˆ ) ˆ ( L st n q p n p V = = ˆ ˆ ) ˆ ( L st n q p n p V Tabla 5 Fórmulas empleadas en un muestreo estratfcado

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. II.4 Procesos de seleccón o todas las partdas, cuando se ha decddo usar el muestreo estadístco, están oblgadas a partcpar del proceso de seleccón aleatoro. Recuérdese que la planeacón puede determnar la exstenca de partdas clave que deben ser audtadas y por lo tanto no debe arresgarse a que, por la naturaleza aleatora de seleccón sean omtdas de la revsón. Luego de que hemos de termnado que tamaño tene la muestra que vamos a trabajar, debemos conocer quenes ntegran esa muestra. Para esto, debemos usar técncas de seleccón aleatora, usando tablas de números aleatoros, calculadoras o con programas que tengan dcha funcón. Los procesos de seleccón más dfunddos son el Muestreo Aleatoro Smple y el Muestreo Aleatoro Estratfcado. II.4. Muestreo Aleatoro Smple En este método podemos calcular el tamaño de la muestra con las ecuacones,, 3 y 5 según sea el caso. Ahora, para determnar a quenes selecconar para conformar la muestra, se procede a asgnar un número de dentfcacón a los elementos muestrales. Generando números aleatoros, estos números tenen valores entre 0 y, por lo que deben multplcarse por un número k, tal que nos de un número entero para selecconar dentro de los números de dentfcacón de los elementos muestrales. En caso de repetrse un número ya escogdo se desecha y se contnúa el proceso. II.4. Muestreo Sstemátco Es una técnca en la que se elge medante la seleccón de una observacón cualquera elegda al azar, una vez elegda esta se hace una sucesón. Este método se usa cuando se desea cubrr el rango de las undades comprenddas en la poblacón. Prmeramente, debemos calcular el tamaño de la poblacón con las expresones antes vstas. Para formar la muestra, se hará de manera sstemátca a partr de la prmera según el proceso sguente. Generamos un número aleatoro R. Obtenga su valor entero comprenddo en el rango de a. ( = Tamaño de la poblacón) A partr de este número se obtene un certo valor k donde k = /n Sumamos k a R para obtener el sguente número que corresponde a segundo elemento muestral selecconado. Este procedmento se repte con cada número selecconado, recorrendo así todo el marco muestral de la poblacón. S medante la secuenca que se sgue llega un momento el número calculado para extraer el elemento muestral se sale del rango de los números de la poblacón, se contnúa a partr del límte nferor del rango de forma tal que se recorra la magen de los datos poblaconales. 3

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Ahora, para determnar a quenes selecconar y conformar la muestra, se procede a asgnar un número de dentfcacón a los elementos muestrales. Estos son todos los elementos que conforman la poblacón. Generando números aleatoros se selecconan uno a uno hasta completar n. Los números aleatoros, s los genera en computadora o la calculadora, tenen valores entre 0 y, por lo que deben multplcarse por un número k, tal que nos de un número entero para selecconar dentro de los números de dentfcacón de los elementos muestrales. En caso de repetrse un número ya escogdo se desecha y se contnúa el proceso. II.4.3 Seleccón aleatora con Excel Excel ofrece, dentro de sus muchos recursos, una opcón denomnada análss de datos, que no está cargada por de fault, sno que el usuaro debe cargarla, según sus necesdades. A contnuacón se ndca como. En la barra de herramentas, selecconamos la opcón Herramentas, que desplega el menú que se muestra en la fgura. Selecconamos la opcón de Complementaros Fgura 9 En la barra prncpal de herramentas, encontramos la opcón de Complementos Complementaros, desplega el menú de la fgura, en este, selecconamos las casllas correspondentes a Herramentas para análss Fgura 0 En el menú de complementos selecconamos las opcones Herramentas para análss. Lo anteror carga las funcones para realzar análss estadístco básco. Análss descrptvo, hstogramas, comparacón de medas, correlacón, seleccón aleatora de muestras, etc. 33

Órgano de Fscalzacón Superor del Estado de Guanajuato. Para ejemplfcar su uso, tomemos una lsta de nombres de muncpos del Estado de Guanajuato, de los cuales requermos selecconar de manera aleatora a 0 muncpos. Usando de la barra de herramentas la opcón Herramentas-Análss de Datos se desplega el sguente menú: Fgura En el menú Análss de datos selecconamos Muestra. Aquí selecconamos la opcón Muestra, y de desplega la ventana sguente: Fgura Ventana de la Funcón Muestra. En la ventana se muestran tres campos, el prmero corresponde a la Entrada. Aquí debemos ngresarle el rango de celdas que contene la nformacón que deseamos selecconar. Los datos a selecconar es una lsta de números que dentfque y corresponda a la lsta de entes que deseamos selecconar. En este caso, Tenemos una lsta de nombres de muncpos (columna B), a la cual hemos asgnado un número de dentfcacón que va del al 46, (columna A). En método de muestreo, se seleccona el método de seleccón que hemos de aplcar para obtener una seleccón aleatora smple o sstemátca. Rango de salda (columna C), solcta el rango de celdas, o la hoja en la que han de vacarse los elementos selecconados. La opcón peródca corresponde a la seleccón sstemátca, pero debemos tener cudado, pues el procedmento programado en Excel, seleccona como elemento pvote el prmer dato que tenemos en la lsta, y a partr de ahí cuenta el perodo de seleccón que le hemos peddo. S se pde un muestreo con perodo 4, proporconará el elemento 4, y selecconará de 4 en 4. S se pde con perodo 9, sucederá lo msmo. Vea la fgura que muestra una seleccón con perodo 3, en la cual se arrojan 4 de los 46 muncpos de la lsta. La seleccón nca con el muncpo 3, sgue con el 6, 9, hasta el muncpo 45. 34