Matemáticas Especiales (Física Médica) Sucesioes y Series R. Rossigoli Uiversidad Nacioal de La Plata
5. Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros reales a, a,..., a,... () dode a está defiido para todo atural. Ua sucesió es equivalete a ua fució f cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales, si idetificamos a = f(). Por ejemplo, si a =, obteemos la sucesió de úmeros aturales,, 3..., si a =, obteemos la sucesió de los iversos,, 3,.... y si a = r, co r R y 0, se obtiee la sucesió geométrica, r, r,..., r,... La expresió para a puede estar dada tambié por ua relació recursiva, a + = f(a ), () co u valor iicial a, dode f es ua cierta fució. Se obtiee así la sucesió a, f(a ), f(f(a )), f(f(f(a ))),.... Por ejemplo, a + = + a, co a =, es la sucesió de úmeros aturales a =. Si a + = ra, a =, se obtiee la sucesió geométrica. Si a + = + +a, co a =, se obtiee la sucesió, +, + +, + +,... (3) + E el caso más geeral la fució que defie la relació recursiva puede tambié depeder de y de los térmios ateriores, es decir, a = f (a,..., a ). El límite de ua sucesió, si existe, es el valor al cual se aproxima a para : lim a = L si ε > 0, ε tal que si > ε, a L < ε es decir, a (L ε, L + ε) si > ε. E este caso se dice que la sucesió es covergete. Para dos sucesioes covergetes, co lim a = L a, lim b = L b, es fácil mostrar que: lim (a + b ) = L a + L b, lim a b = L a L b, lim a /b = L a /L b (si L b 0). Si a b > 0 L a L b. Si a = f(), co f defiida e (0, ) y lim f(x) = L lim a = L. x El límite de ua sucesió es + si a toma valores arbitrariamete grades cuado crece: lim a = + si R > 0, R tal que si > R, a > R Aalogamete, lim a = correspode al caso e que a toma valores arbitrariamete grades pero egativos cuado crece. El comportamieto de a para grade puede ser tambié oscilate o errático, e cuyo caso el límite o existe. Por ejemplo, lim = +, lim = 0, mietras que lim ( ) /. Para a = r obteemos lim r = 0 r < r = + r > / r Para sucesioes que depede de fucioes o directamete geeralizables a argumetos reales, tales como!, es útil el sig. resultado: { Si lim a + 0 0 r < a = r lim a =. r > E efecto, > ε, a + a r < ε y etoces, si 0 r <, a + s a, co s = r + ε < para ε suf. pequeño. Se obtiee así a +k s k a y por lo tato lim k a +k = 0, lo que implica lim a = 0. E cambio, si r >, a + s a, co s = r ε >. E tal caso a +k > s k a y lim k a +k =, lo que implica lim a =. Ejemplo: Hallar lim b /!, co b 0. Se tiee lim a + b a = lim + = 0 b R, por lo que lim b /! = 0. El resultado aterior puede obteerse tambié directamete.
Notemos que si lim a = L (fiito), tambié lim a + = L por lo que lim (a + a ) = L L = 0 (4) La diferecia etre dos térmios sucesivos de ua sucesió covergete debe pues teder a 0 para grade (codició ecesaria). E ua sucesió covergete de la forma (), co f cotiua, esto implica que L = lim a + = lim f(a ) = f( lim a ) = f(l). El límite, si existe, debe pues satisfacer L = f(l) (5) Ejemplo: La sucesió (3) es covergete, como probaremos e breve. El límite se obtiee pues de la ecuació L = + +L, es decir, L( + L) = + L o, L =. Se obtiee L = ±. Como a > 0, el límite debe ser L =. Ua sucesió es creciete si a + a y decreciete si a + a. Se dice que ua sucesió es moótoa si es o bie creciete o decreciete. Ua sucesió es acotada si a K, co K u úmero real 0. U resultado importate relativo a los úmeros reales es que toda sucesió moótoa y acotada de úmeros reales es covergete, a u úmero real L. Es decir, lim a = L. Lo mismo ocurre si es móotoa a partir de u cierto. Ejemplo : Mostrar que la sucesió a + = a +, a = es covergete, co lim a =. Mostraremos primero que es acotada y creciete. Asumiedo que a, teemos a + 4 y por lo tato, a + = a + 4 =. Como a, la relació a vale. Como además a 0, la sucesió es acotada. Notemos ahora que f(x) = x + es ua fució creciete para x. Asumiedo que a + a, obteemos pues a + = f(a + ) f(a ) = a +, es decir, a + a +. Como a = + = 3 > a, vemos que la sucesió es creciete. La sucesió, siedo acotada y creciete, es pues covergete. Para hallar el límite L, utilizamos la relació (5): L = L + L L = 0 La ecuació cuadrática posee las solucioes L = y L =, pero sólo L = es solució de L = L +. El límite es pues L =. Los primeros térmios so (,.73,.93,.983,.996,.999,...). a 4 6 8 0 Ejemplo : Cosideremos ahora la sucesió (3), dode f(x) = + /( + x). La sucesió o es moótoa, pues a > a, a 3 < a, y e geeral a + > a si impar y a + < a si par. No obstate, podemos cosiderar la sucesió de los térmios pares e impares por separado. a + = g(a ), g(a ) = f(f(a )) = + +a = 4 + 3a 3 + a co térmio iicial a = para la sucesió impar y a = f(a ) = 3/ para la sucesió par. La fució g(x) = 4+3x 3+x es creciete para x > 3/, pues g (x) = /(3 + x) > 0. 3
Como a 3 = g(a ) = 7/5 a, asumiedo a + a obteemos a +4 = g(a + ) g(a ) = a +, pues g es creciete. La sucesió de térmios impares es pues creciete. Además, como g(x) es creciete y lim g(x) = 3 x, teemos a a 3/ impar. Siedo creciete y acotada, la sucesió de impares es pues covergete. Como a 4 = g(a ) = 7/ a, asumiedo a + a obteemos a +4 = g(a + ) g(a ) = a +. La sucesió de térmios pares es pues decreciete. Además, es acotada pues g(x) 0 si x > 0, por lo que 0 a a par. La sucesió de pares es pues tambié covergete. El límite de ambas sucesioes se obtiee de la ecuació L = g(l), cuyas solucioes so L = ±. Como a > 0, el límite de ambas sucesioes es L = +. La sucesió origial coverge pues a L = =.44..., como habíamos mostrado. Los primeros térmios so.,.5,.4,.4667,, 4379....... a 4 6 8 0 Se muestra e la siguiete figura el esquema gráfico de covergecia de ua sucesió a + = f(a ), co límite L, correspodiete a ua fució f(x) creciete (izquierda), como e el ej., y decreciete (derecha), como e el ej.. La ec. (5) represeta la itersecció de las curvas y = f(x) y y = x. y y L a 4 a 3 a y=f(x) y=x a a 4L a 3 y=f(x) y=x a a a 3 a 4 L x a a 3 L a 4 a x Si f es derivable y x está próximo al límite L = f(l), podemos aproximar f(x) por la recta tagete, f(x) f(l) + f (L)(x L) = L + f (L)(x L) (aproximació lieal). Para a próximo a L obteemos pues a + = f(a ) L + f (L)(a L), o sea, a + L f (L)(a L), lo que cosituye ua sucesió geométrica de razó f (L) para la diferecia a L (es decir, a +k L [f (L)] k (a L)). Esta coverge a 0 si f (L) <. Se cocluye que para a suficietemete próximo (pero distito) a L, la sucesió a + = f(a ) covergerá a L si f (L) <, pero tederá a alejarse de L si f (L) >. La covergecia es moótoa si 0 f (L) < y alterada si < f (L) < 0. E el ej. (f(x) = + x, L = ), f (L) = +L = 4, mietras que e el ej. (f(x) = + +x, L = ) f (L) = (+L) = (+ ). E ambos casos se verifica f (L) <. U sucesió famosa es a + = ka ( a ), 0 < a <, 0 < k < 4 que surge e diversos cotextos (ecoomía, ecología, etc.). La sucesió es acotada pues si f(x) = kx( x), 0 < f(x) k/4 < x (0, ). La ecuació L = f(l) coduce a los posibles limites L = 0 o L = /k. Si 0 < k L = 0 a (0, ). E este caso, f (L) = k. Si < k 3 L = /k a (0, ). E este caso, f (L) = k, co f (L). Si 3 < k < 4, el límite de la sucesió o existe, excepto para valores particulares de a. Si 3 < k < 3, 6, a exhibe para grade u comportamieto oscilatorio, alterado etre dos valores fijos si k < 3, 45, etre 4 valores si 3, 45 < k < 3, 55, etc. E cambio, si 3.6 < k < 4, el comportamieto de a se tora caótico, es decir, errático, si oscilacioes fijas. E este caso, a depede fuertemete del valor iicial a aú para grade. 4
5. Series Dada ua sucesió a, a,... a..., podemos formar la sucesió de sumas parciales S = a + a +... + a = A tal sucesió se la deomia serie. La suma de la serie es el límite de la sucesió de sumas parciales, si este límite existe: S = a = lim S Si el límite aterior es o o existe, se dice que la serie diverge (o o coverge). Codició ecesaria (pero o suficiete) para covergecia: Si la serie a coverge, etoces k= a k lim a = 0 (6) E otras palabras, si lim a es distito de 0 o o existe, la serie o coverge. Esto resulta obvio a partir de (4), ya que S S = a. Si la serie coverge, etoces lim (S S ) = 0, que equivale a (6). Ejemplo: Cosideremos la sucesió de úmeros aturales a =,. Las sumas parciales so La serie S = + +... + = ( + )/ obviamete diverge ( lim S = ), lo que puede verse de (6) pues lim 0. A partir de la expresió de S, es posible obteer a como a = S S. Por ej., (+) ( ) =. Si a y b so dos series covergetes, se verifica fácilmete las siguietes propiedades: ca = c a, 5.. Serie geométrica (a + b ) = a + La serie geométrica es la sucesió de sumas parciales asociada a la sucesió geométrica, dadas por S = + r + r +... + r = Estas puede evaluarse explícitamete. Multiplicado S por r, obteemos Restado, obteiédose, si r, Por lo tato, rs = r + r +... + r + rs S = ( r)s = + r +... r (r + r +... r + ) = r + k=0 k=0 r k S = r+. r (7) r r k = lim S r + = lim = r r, r < de modo que la serie coverge si r <. Si r > o r, el límite de (7) es o o existe, por lo que la serie o coverge. Si r =, S = + +... + = +, co lim S =, por lo que la serie tampoco coverge. Esto está de acuerdo co (6), pues si r, lim a 0. La serie geométrica coverge pues si y sólo si r <. b 5
Ejemplos: = ( ) = =0 =0 E geeral, si r < y m 0, / =, ar m + ar m+ + ar m+ +... = dode ar m represeta el primer térmio de la serie. ( ) Por ejemplo, + 5 = ( ) 5 = ( =4 =4 =0 ( ) = ( ) = =0 ar = ar m =m 5 )4 ( =0 =0 5 ) = (/5)4 + / = 3. r = arm r. +(/5). El error cometido al estimar la suma de la serie r co térmios es =0 r S = r+ r Para obteer u error < ε, se ecesita tal que r+ l[ε( r)] r ε, es decir, l r. Si ε = 0 3, 0 para r =, mietras que 45 para r = 0.99. La serie geométrica surge frecuetemete e diversas aplicacioes. Por ejemplo, si todos los meses se deposita e ua cueta el 90% de lo depositado el mes pasado, co u depósito iicial de a = a pesos, el moto depositado e el segudo mes es a = ra = ra, co r = 0, 9, e el tercer mes es a 3 = ra = r a y e el mes eésimo es a = ra = r a. El moto total depositado al cabo de meses es S = a( + r + r +... + r ) = a r r el cual uca podrá superar el límite lim S = a r = 0a. Otro caso es el de ua pelota que se deja caer desde ua altura h 0, y que rebota hasta ua altura h = rh 0, co 0 < r <. La altura alcazada despues de rebotes es h = rh = r h =... = r h 0. La distacia total recorrida después de rebotes es h 0 + h + h +... + h = h 0 [ + (r + r +... + r )] = h 0 [ + r( r ) ] r La distacia total recorrida hasta deteerse ( ) permaece pues fiita: H = lim h 0[ + r( r ) ] = h 0 [ + r r r ] = h + r 0 r Si r = 0, la pelota se detiee al primer rebote y H = h 0. Si r, H. El tiempo de caída desde ua altura h es h/g dode g = 9.8m/s es la aceleració de la gravedad (dado que g costate, la altura e fució del tiempo de cualquier objeto que se deja caer desde ua altura h 0 es h(t) = h 0 gt. Por lo tato, h(t) = 0 cuado t = h 0 /g. El tiempo ecesario para llegar a esa altura desde el piso es el mismo). El tiempo de caída desde la altura h es pues t = h /g = r h 0 /g = h 0 /g( r) = t 0 α dode t 0 = h 0 /g, α = r. El tiempo total trascurrido despues de rebotes es t 0 + t + t +... + t = t 0 [ + (α + α +... + α )] = t 0 [ + α( α ) α ] y el tiempo total trascurrido hasta deteerse es (ótese que si 0 < r < 0 < r < α < ) Como α = r > r, T/t 0 > H/h 0, pues +x x T = lim t 0[ + α( α ) α ] = t 0[ + α α ] = t + r 0 r es ua fució creciete de x para x [0, ]. 6
5.. Series co térmios positivos Cosideremos ua serie e la que a 0. Las sumas parciales so etoces positivas y crecietes: S = a +... + a 0, S + = S + a + S Ua codició suficiete para la covergecia es pues que S este acotada, es decir, que S C. E efecto, al ser S creciete y estar acotada, S o puede oscilar i tomar valores arbitrariamete grades para, por lo que S se aproxima ecesariamete a u límite fiito (e el cojuto de úmeros reales) que es la míima cota superior de los S. Por otro lado, si la serie diverge, etoces lim k= a k =. Ejemplo: Probaremos que coverge. Teemos = + ( + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 + 7 ) +... es decir, m + ( + ) + ( 4 + 4 + 4 + 4 ) +... = + + 4 4 +... = + + +... m =0 razó, la serie coverge.. Al estar todas las sumas parciales acotadas por la serie geométrica de Ejemplo : Probaremos ahora que la serie (deomiada serie armóica) diverge, a pesar de que lim = 0. Teemos es decir, = + + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ) +... m + + ( 4 + 4 ) + ( 8 + 8 + 8 + 8 ) +... = + + 4 + 4 8 +... = + + + +... + m, lo que muestra que la serie diverge. = 7
5..3 Criterio de la itegral y estimació de series Existe ua estrecha relació etre ua serie y la itegral impropia correspodiete. Sea f(x) ua fució cotíua, positiva y decreciete e el itervalo [, ). Mostraremos que f() coverge si y sólo si f(x)dx coverge i= f(x) f() 3 4 5 6 x A partir de la figura, podemos iferir la siguiete cadea de desigualdades para > : f() +... + f() f(x)dx f() +... + f( ) (8) ya que la primer suma es el área de los rectágulos iscriptos situados bajo la curva etre x = y x =, y la seguda la de los rectágulos circuscriptos situados sobre la curva etre x = y x =. Si f(x)dx coverge para, etoces la primer suma permaece acotada, siedo etoces covergete para por ser creciete co. Aalogamete, si la seguda suma coverge para, I() f(x)dx permaece acotada para, siedo etoces covergete por ser I() creciete co. Como además, para u úmero real r arbitrario, I(r) = r f(x)dx f(x)dx si r, etoces I(r) tambié coverge para r. Para se cumple etoces f() f(x)dx f() (9) = si la serie o la itegral coverge. Esto implica tambié f(x)dx f() = f(x)dx (0) El criterio puede tambié aplicarse si las hipótesis se cumple sólo para 0, pues la covergecia de la serie y la itegral depede del comportamieto de f(x) para x grade. E este caso, para > 0, f( 0 + ) +... + f() 0 f(x)dx f( 0 ) +... + f( ) y, si 0 f(x)dx coverge, f() f(x)dx f() = 0 + 0 = 0 El método presete sirve tambié para estimar el error cometido al aproximar ua serie covergete por ua suma fiita. Escribiedo f() = 0 f() + f(), el último térmio satisface, si las hipótesis se cumple al meos para 0, 0 + f(x)dx = 0+ = 0+ f() 0 f(x)dx () E geeral, el puto medio del itervalo aterior es ua buea estimació del error para 0 grade, por lo que podemos escribir, e forma aproximada, 0 0+ f() f() + f(x)dx + f(x)dx () 0 0+ 8
Ejemplo : Estudiar la covergecia de Para α 0 la serie diverge por razoes obvias (lim a 0). Para α > 0, podemos aplicar el criterio de la itegral pues e tal caso f(x) = /x α es positiva y decreciete para x > 0. Como r { dx = lim xα r x α dx = α, α > 0 < α (recordar itegrales impropias hechas e clase) la serie coverge para α > y diverge α. De esta forma, La fució, 3, 3/ α coverge, mietras que ζ(α) = α, α >,, 3/4 diverge. se deomia fució zeta de Riema y posee importates aplicacioes. Alguos valores so: ζ() = = π 6 =, 64493..., ζ(4) = = π4 4 90, 083.... Utilizado (0) y otado que ζ(α) = +, obteemos α de modo que = + α (α ) ζ(α) α +, α > lim ζ(α) = +. Puede probarse que para α α +, ζ(α) + α + 0.577. Ejemplo : Hallar el error al estimar ζ() = Obteemos 0 =, 54977..., 0 Utilizado () y 0 x dx = 0, el error R 0 =, 5966.... mediate ua suma de 0 y 0 térmios. = ζ() 0 0 + R 0 0 satisface es decir 0, 09 R 0 0, y 0, 0476 R 0 0, 05. La estimació mejorada () resulta e este caso 0 + 0 + + [ 0 0 0 + ] = + [ 0 + + ] 0 que da como resultado, 645... para 0 = 0 y, 64497... para 0 = 0. Los errores so ahora mucho meores: 0, 0003 para 0 = 0 y 0, 00004 para 0 = 0. Ejemplo 3: Estudiar la covergecia de La fució f(x) = x(l x) α du = x dx, r lim r = (l()) α, α > 0 es positiva y decreciete para x. Obeemos, sustituyedo u = l(x), r dx = lim x(l x) α r l() { u α du = de modo que la serie coverge para α > y diverge para 0 < α. α (l()), α > α 0 < α 9
Ejemplo 4: Estimar cuatos térmios se ecesita para que m Teemos, por (8), m m+ dx = l(m + ) x > M, co M = 0 y M = 00. de dode si, l(m + ) > M m > e M. Para M = 0, m > 05 mietras que para M = 00, m >, 688 0 43, lo que idica la letitud de la divergecia. E realidad, estas estimacioes so seguras pero algo grades. A partir de m m dx + = l(m) + x obteemos que m o puede ser meor a e M, es decir, 8.03 para M = 0 y 9, 89 0 4 para M = 00. E geeral, m = γ + ψ(m + ), γ = lim ( m l m) 0, 577 m d l Γ(z) dode γ es la costate de Euler y ψ(z) = dz = Γ (z)/γ(z) la derivada logaritmica de la fució Gamma (véase secció 3.5), deomiada fució Digamma. Se obtiee etoces la cota iferior exacta m > ψ (M γ) (ψ deota la fució iversa), obteiédose m > 367 para M = 0 y m >.5 0 43 para M = 00. 0
5..4 Criterio de comparació Cosideremos las series a, y supogamos que existe 0 tal que b, a 0, b 0 (3) Si a b 0 b coverge a coverge. Recíprocamete, si a diverge b diverge. Demostració: Supogamos primero 0 =. Etoces Por lo tato, si lim k= a +... + a b +... + b b es fiito, a k permaece acotada, siedo etoces covergete para por ser creciete co. Se verifica etoces a b. k= Si 0 >, la demostració es similar. Para > 0, a +... + a 0 + a 0 +... + a a +... + a 0 + b 0 +... + b = Por lo tato, dado que 0 (a k b k ) es ua suma fiita, si k= coverge y se verifica a 0 (a b ) + b. (a k b k ) + 0 k= b coverge, etoces k= b k a tambié Este criterio es de fudametal importacia práctica para determiar la covergecia de series. Existe otra formulació del mismo que resulta muy coveiete: Para series del tipo (3) co b > 0, Si Si a lim = L > 0 ambas series coverge o diverge (4) b Si a lim = 0 y b a lim = y b b coverge b diverge a coverge (5) a diverge (6) a Para demostrar (4), lim b = L implica que ε > 0 ε t.q. si > ε, a /b L < ε. Tomado ε = L, obteemos, para > ε, a b L < L L a b 3 L Lb a 3 Lb Por el criterio de comparació, de a 3 Lb se deduce que si que de Lb a se deduce que si b diverge, b coverge, a diverge. a coverge mietras Para demostrar (5), se procede e forma similar. El límite implica que ε > 0 ε t.q. si > ε, a /b = a /b < ε. Por lo tato, para > ε, a < εb, de dode si b coverge, a coverge. Fialmete, para demostrar (6), el límite implica que M > 0 M t.q. si > M, a /b > M. Por lo tato, para > M, a > Mb, de dode, si b diverge, a tambié diverge. Ejemplo : Determiar si coverge la serie + 4 + 3 +
La serie coverge, pues para grade a se comporta como /. Para ver esto e detalle, escribimos para. Como Como + 4 + 3 + = ( + /) 4 ( + 3/ 3 + / 4 ) = + / ( + 3/ 3 + / 4 ) 3 lim coverge, etoces la serie coverge. Esto puede verse tambié utilizado (4): + 4 + 3 + / = lim ( + ) 4 + 3 + = lim coverge, la serie coverge. Ejemplo : Determiar si coverge la serie + 3 + 3 + + / + 3/ 3 + / 4 = La serie o coverge, pues para grade, a se comporta como /. Para ver esto e detalle, escribimos + 3 + 3 + = ( + /) 3 ( + 3/ + / 3 ) = + / ( + 3/ + / 3 ) 6 para. Como diverge, etoces la serie diverge. Se llega al mismo resultado utilizado (4): Como lim + 3 + 3 + / = lim diverge, la serie diverge. Ejemplo 3: Determiar si coverge la serie ( + ) 3 + 3 + = lim + / + 3/ + / 3 = l() (7) Como lim l()/α = 0 α > 0, para suficietemete grade, l() < α. Eligiedo por ejemplo α =, obteemos, para suficietemete grade, l() < = 3/ Como 3/ coverge, la serie (7) tambié coverge. Puede llegarse al mismo resultado utilizado (5) y comparado co la serie covergete 3/ : l() lim / = lim 3/ Puede aplicarse tambié el criterio de la itegral: E geeral, la serie l() α l() / = 0 l(x) x dx = ue u du coverge. 0 coverge α >, pues l() es meor que cualquier potecia de para suficietemete grade. Puede obteerse la misma coclusió aplicado el criterio de la itegral ( l(x) x dx = ue (α )u du = α 0 (α ) si α >, de modo que es covergete). E cambio o coverge, pues l() > para 3. l()
5..5 Criterio de la razó Es e realidad u caso particular del criterio de comparació. Cosideremos la serie Si existe 0 tal que etoces la serie coverge. Por hipótesis, a, a > 0, a + a r < 0 Por lo tato, a 0 + ra 0, a 0 + ra 0 + r a 0, a 0 + ra 0 +... r a 0 a 0 + a 0 + +... + a 0 + a 0 ( + r +... + r ). Para, el miembro derecho (ua serie geométrica) coverge a a 0 /( r). Por lo tato, la primer suma permaece acotada para, siedo etoces covergete por ser creciete co. Se obtiee a = Por otro lado, si existe 0 tal que la serie diverge, pues 0 a + = 0 a 0 a + a r > 0 a + a 0 r a 0 + ra 0, ; a 0 + ra 0 + r a 0, a 0 + ra 0 +... r a 0 Como r >, esto implica que lim a 0 + = = 0, por lo que la serie es divergete. El presete criterio se utiliza ormalmete evaluado el límite Si 0 L < a + L = lim a pues e tal caso, ε > 0, ε tal que si ε, a + a a coverge L < ε, de dode a + a < L + ε <, ε si ε es suficietemete pequeño. Si L > a diverge pues e tal caso, de a + a L < ε teemos < L ε < a + a para ε suficietemete pequeño. Lo mismo ocurre si L =. Notemos fialmete que si L =, el criterio o decide: si a = /, a + /a = /( + ) para, pero / diverge. E cambio, si a = /, a + /a = /( + ) para, pero / coverge. 3
El criterio es muy coveiete cuado aparece factoriales e la expresió de a. Ejemplo : Teemos a + a a!, a >. = a+ (+)! / a! = a +, que tiede a 0 para a. Por lo tato, la serie coverge. Para 0 < a < la covergecia de la serie es obvia, pues a! a y e este caso a coverge. Podemos tambié aplicar directamete el criterio de comparació para a >, pues a a...a...a! = ( )... ( a 0( 0 )... 0 ) 0 a 0 0! ( a 0 ) 0 0! eligiedo 0 > a. Al ser meor que ua serie geométrica, la serie coverge. Ejemplo : Aplicado el criterio aterior, teemos! ()!. a + ( + ) = a ( + )( + ) = ( + / + / ) 4 ( + /)( + /) = 4 + / + / ( + /)( + /) Para, el cociete se aproxima a 4, por lo que la serie coverge. Podemos tambié aplicar directamete el criterio de comparació, pues (!)! ()! = ( )...(+) ( ), por lo que la serie coverge. Ejemplo 3: Teemos a + a =! ( + ) ( + ) + = ( + /) Para, ( + /) e, de modo que el cociete aterior se aproxima a e < para grade. Por lo tato, la serie coverge. Puede aplicarse tambié el criterio de comparació directamete, pues! = ( )...(/)(/ )............ = ( )/ = ( ), de modo que la serie es covergete. 4
5..6 Covergecia absoluta y codicioal Cosideremos la serie a, dode a o es ecesariamete positivo. Probaremos que Si a coverge a coverge (8) E tal caso se dice que a coverge absolutamete. Sea a + = ( a + a ), a = ( a a ) de modo que si a 0, a + = a, a = 0, mietras que si a < 0, a + = 0, a = a = a. Etoces Por el criterio de comparació, si 0 a ± a a coverge, tambié covergerá las series a + y a. Por lo tato, como a = a + a, la serie tambié coverge. Notemos, si embargo, que a = (a + a ) = a + a puede coverger aú cuado a o coverge. E tal caso se dice que la covergecia es o absoluta o codicioal. Si la covergecia es codicioal, o se debe reagrupar o reordear los térmios de la serie, ya que el límite de las sumas parciales depederá e este caso del orde de los mismos. Esto o ocurre cuado la covergecia es absoluta. Ejemplo: Mostrar que se() coverge absolutamete. Como se() = se(), y coverge, de comparació, por lo que la serie origial coverge absolutamete. 5..7 Series Alteradas a se() tambié coverge por el criterio So aquellas e las que sus térmios so alteradamete positivos y egativos, es decir, ( ) + a = a a + a 3 a 4 +..., a 0 (9) o bie ( ) a = a + a a 3 +.... Existe u importate teorema de covergecia para este tipo de series. Si a + a y lim a = 0 (0) etoces (9) coverge. Podemos escribir la suma parcial para u úmero par de térmimos e la forma S = (a a ) + (a 3 a 4 ) +... + (a a ) Como por hipótesis a a 0, vemos que S es ua fució positiva y creciete de. E cambio, para u úmero impar, S + = a (a a 3 )... (a a + ) es ua fució decreciete de, pues a a + 0. Además, S + S = a + 0 () 5
de dode obteemos la siguiete cadea de desigualdades a a = S S 4... S S +... S 3 S = a Por lo tato, S está acotada superiormete, y S + acotada iferiormete. Ambas sucesioes so etoces covergetes por ser moótoas, es decir, lim S = S p lim S + = S i Ahora etra e juego la seguda de las hipótesis e (0). Teemos, utilizado (), lim (S + S ) = S p S i = lim a + = 0 de dode S p = S i. Tato S como S + coverge pues a u mismo valor S para. Obteemos 0 S S 4... S S S +... S 3 S () S S 3 4 5 6 7 8 9 Obviamete, ( ) a = ( ) + a. resulta tambié covergete co las mismas hipótesis. Asimismo, si los a so decrecietes sólo para 0, co lim a coverge, pues lo que sucede para 0 o es relevate para la covergecia. Ua cosecuecia importate de () es que S S S + S = a +, S + S S + S + = a + = 0, la serie (9) tambié pues S S y S S +. El error S S es pues meor o igual que el térmio siguiete, tato para par o impar: S S a + (3) Ejemplo : La serie ( ) + coverge, pues decrece co y lim = 0. Si embargo, o coverge absolutamete pues diverge. Notemos que la serie coverge letamete (al valor l() como veremos luego). Para estimarla mediate ua suma fiita S co u error < 0 3, ecesitamos + 0 3, es decir, > 000. Ejemplo : La serie ( ) + α, α > 0 coverge α > 0 pues decrece co y lim α para α > (véase secció 5..3). Ejemplo 3: La serie = α ( ) (l()) α, α > 0 = 0. Si embargo, coverge absolutamete sólo coverge, pues lim (l()) = 0 y α (l()) decrece para α > 0. Pero coverge absolutamete α sólo para α > (véase ejemplo e 5..3). 6
5..8 Series de diferecias Mostraremos que si lim a = L, fiito, (a a + ) = a lim a E efecto, S = (a a ) + (a a 3 ) +... + (a a + ) = a a +, de dode lim S = a lim a + = a lim a = a L. Notemos que o es posible e geeral escribir la serie como la diferecia a a, pues a o ecesariamete coverge. Por ejemplo, ( + ) = ( + ) = lim = dode hemos supuesto a =. Tambié podríamos haber escrito (+) = + + +, co a = +, obteiedo el mismo resultado: a lim a = =. Asimismo, si lim a = L (fiito) y k es u úmero atural, (a a +k ) = [(a +a + +...+a +k ) (a + +...+a +k +a +k )] = a +a +...+a k k lim Por ejemplo, para k atural, =k+ k = k ( + k) = k =k+ ( + k ) = k ( + +... + k ) ( k + k ) = k = ( + k ) = k ( + +... + k ) a 7