Universidad Torcuato Di Tella Matemática I Modalidad Semestral Práctica : Funciones Primer Semestre - 205
Práctica 2: Funciones 2 Ejercicio. Determinar cuál de las siguientes curvas son gráficos de funciones. Ejercicio 2. Determinar el dominio y la imagen de las funciones f y g cuyos gráficos son: Gráfico de f 2 2 Gráfico de g Ejercicio 3. La ecuación del área de una circunferencia es A = πr 2 donde A designa el área, π = 3, 4... y r designa el radio de la circunferencia. Indicar si es posible: (a) expresar el área como una función del radio. (b) expresar el área como una función del diámetro. (c) expresar el radio como una función del área. En los casos en los que haya quedado definida una función indicar el domino y la imagen de la misma.
Práctica 2: Funciones 3 Ejercicio 4. En un triángulo rectángulo con una base (cateto) de longitud 0cm la hipotenusa y el cateto libre se pueden relacionar a partir de Pitágoras con la ecuación 0 2 + c 2 = h 2. Indicar si es posible representar: (a) la hipotenusa en función del cateto. (b) el área del triángulo en función del cateto. (c) el área del triángulo en función de la hipotenusa. En los casos en los que haya quedado definida una función indicar el domino y la imagen de la misma. Ejercicio 5. Diseñar un gráfico de la distancia recorrida por Juan desde que sale de su casa, en función del tiempo, para cada una de las siguientes situaciones: (a) Juan conduce a velocidad constante por la ciudad, aumentando la velocidad al aproximarse a los límites de la ciudad a medida que el tráfico disminuye, hasta que sale de ésta para entrar en la autopista. (b) Juan conduce a velocidad constante al dirigirse a la ciudad, disminuyendo la velocidad en las proximidades a medida que el tráfico aumenta. De pronto, un accidente congestiona el tráfico notablemente hasta que puede retomar una velocidad normal, y la sostiene. (c) Juan conduce a velocidad constante por la ciudad hasta que nota una cubierta en mal estado. Luego de haberla reparado conduce hacia el colegio a una velocidad mayor para no llegar tarde a clases Ejercicio 6. Decidir cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. (a) Si el punto ( 2, 4) está en el gráfico de f, entonces f( 2) = 4. (b) Si el punto ( 2, 4) está en el gráfico de f, entonces f(4) = 2. (c) Si el punto (2, 3) está en el gráfico de f y en el gráfico de g entonces f(2) = g(2). (d) La imagen de la función f es el conjunto de todos los números x tales que f(x) está en el dominio de f. (e) La imagen de la función f es el conjunto de todos los números f(x) con x en el dominio de f. (f) La imagen de la función f es el conjunto de todos los números b tales que existe un a en el dominio de f con f(b) = a. (g) La imagen de la función f es el conjunto de todos los números b tales que existe un a en el dominio de f con f(a) = b.
Práctica 2: Funciones 4 (h) El gráfico de la función f está formado por todos los (x, y) con x en el dominio de f. (i) El gráfico de la función f está formado por todos las soluciones (x, y) de la ecuación y = f(x). (j) Si el punto (x, y) está en el gráfico de f, entonces f(x) = y. (k) El gráfico de la función f está formado por todos los puntos de la forma (x, f(x)) con x en el dominio de f. FUNCIONES LINEALES Ejercicio 7. Encontrar, siempre que sea posible, una función lineal, distinta para cada inciso, que satisfaga: (a) f() = 2 y f(2) = 3. (b) f(0) = y Im(f) = {3}. (c) f(5) = f(2) = 3. (d) Su gráfico cruza el eje x en x = 5 y cruza el eje y en y = 2. (e) Su gráfico cruza el eje y en y = /2 y f(0) = 4. Ejercicio 8. (a) Encontrar en cada caso una función lineal que satisfaga: (i) f() = 2, f(2) = 3. (ii) f( 0) = 4, f(20) = 4. (iii) f(0) = 5, f(2) = 0. (b) Encontrar la pendiente de las rectas que son gráficas de las funciones lineales dadas en el ítem anterior. Ejercicio 9. Probar que la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, 2) y (3, 4) es el doble de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, 3) y (, 2). Ejercicio 0. Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P, en cada uno de los siguientes casos:
Práctica 2: Funciones 5 (a) P = (2, 3) m =. (b) P = (3, 5) m = 4. (c) P = (0, ) m = 2. (d) P = (000, 3) m = 0. Realizar el gráfico de cada una de ellas. Cuáles son crecientes y cuáles decrecientes? Ejercicio. El Costo total de producir x unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión se hicieron 00 unidades con un costo de $200 y en otra ocasión se hicieron 80 unidades con un costo de $240. Cuánto costará fabricar 40 unidades? Ejercicio 2. Una función lineal de pendiente 4 pasa por el punto P = (a; 5). Hallar, si es posible, las imágenes f(a 3), f(a + 2) y f(2a). Ejercicio 3. Decidir si los siguientes enunciados son Verdaderos o Falsos: (a) No existe una función lineal cuya imagen sea un único punto. (b) Si f es una función lineal y f(a) = 3 entonces f(2a) = 6. (c) Si f y g son funciones lineales, entonces la suma f + g y el producto f.g son también funciones lineales. FUNCIONES CUADRÁTICA y VALOR ABSOLUTO Ejercicio 4. Si f : R R, f(x) = 2x 2 + 3x 4, encontrar f(0), f( 2), f(x + 2) y f(2x). Decidir si 3 2 pertenece a la imagen de f. Ejercicio 5. Dar un ejemplo de: (a) una función cuadrática f con dos raíces distintas que no corte a la función lineal g(x) = x +. (b) una función cuadrática f con raíces en x = y x = 0 y Im(f) = [ 3, + ) (c) una función cuadrática f con raíz en x = 2 que corte a la recta y = en x = 0. (d) una función cuadrática f tal que su gráfico cruza el eje x en x = 5 y cruza el eje y en y = 2. Ejercicio 6. Representar gráficamente las siguientes funciones
Práctica 2: Funciones 6 (a) f (x) = x 2 (b) f 2 (x) = x 2 + 4 (c) f 3 (x) = (x + 4) 2 (d) f 4 (x) = x 2 + 4 (e) f 5 (x) = x 2 4 (f) f 6 (x) = (x 4) 2 + 4 A partir de estos gráficos, determinar cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones e inecuaciones: (a) x 2 + 4 = (x 4) 2 + 4 (b) x 2 + 4 < 0 (c) (x 4) 2 + 4 < 0 (d) x 2 + 4 (x 4) 2 + 4 Ejercicio 7. Un proyectil es disparado desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s. La posición del proyectil a los t segundos está expresada por h(t) = 4, 9 t 2 + 20 t. (a) Para qué valores de t asciende el proyectil? Para cuáles desciende? (b) Hallar el instante en el que el proyectil alcanza la altura máxima. Calcular esa altura. (c) Hallar el tiempo que demora el proyectil en llegar al suelo. (d) Si se efectúa otro disparo con la misma arma y en las mismas condiciones, pero desde 50m de altura, determinar la función que exprese su posición en el instante t. Responder a las preguntas anteriores en este caso. Ejercicio 8. Una compañía inmobiliaria posee 00 apartamentos, que están todos ocupados cuando la renta es de 500$ al mes. La compañía calcula que por cada incremento de 40$ en la renta se desocuparán 0 apartamentos. Cuál debe ser la renta para que la compañía obtenga la mayor ganancia bruta? Ejercicio 9. Dadas las funciones f, g, h: R R, definidas por las expresiones f(x) = 3x 4, g(x) = x 2 + x, h(x) = 3 y m(x) = x 4. Hallar a partir de los gráficos las siguientes desigualdades: (a) m(x) h(x) (c) g(x) f(x) (b) m(x) < f(x) (d) 0 > g(x) Ejercicio 20. Dadas las siguientes funciones: f(x) = x 2 + 5x 6 h(x) = x 3 + g(x) = 2x 2 4x + 6 z(x) = 2x 3 + 2 x
Práctica 2: Funciones 7 (a) Hallar el dominio de estas funciones. (b) Hallar los ceros y los intervalos donde la función es positiva y negativa. (c) Hallar los intervalos donde la función es creciente y decreciente. (d) Hallar los puntos donde se cumple la desigualdad f(x) g(x). (e) Hallar los puntos donde se cumple la desigualdad f(x) > h(x). (f) Hallar los puntos donde se cortan los gráficos de las funciones h(x) y z(x). FAMILIAS DE FUNCIONES Ejercicio 2. Dada la función f(x) = 2 x 2 3. Decidir si 2, 3 y 2 3 de f. están en la imagen Ejercicio 22. Hallar analíticamente el dominio natural de las siguientes funciones: (a) f(x) = 3 2x (b) f(x) = 3x + 4 (c) f(x) = 3 x 2 (d) f(x) = 4x 2 (e) f(x) = x + 2 x 2 (f) f(x) = (g) f(x) = x x x + 4 x + 3 x x + 2 si x > 4, (h) f(x)= si x 4. (x 2 + 4x + 3)(x 5) Ejercicio 23. Hallar analíticamente el dominio, el conjunto de ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de cada una de las siguientes funciones. (a) f(x) = 0 (b) f(x) = 3 x (c) f(x) = 2x + x 2 2x 3 (d) f(x) = x 3 + (e) f(x) = 2x (f) f(x) = 2x 2 + 8x 6 (g) f(x) = 4 x 2 (h) f(x) = x 2 + (i) f(x) = x 2 (j) f(x) = x x + (k) f(x) = x 2 3x + 2 (l) f(x) = 2x + 3 x x + 5
Práctica 2: Funciones 8 Ejercicio 24. Dadas las funciones definidas por las expresiones f(x) = 3x + 2x 3, g(x) = x2 9 y h(x) = x 2 5x +, hallar analíticamente todos los valores de x tales que: (a) f(x) < 0 (b) < f(x) 4 (c) g(x) > 0 (d) g(x) > h(x) (e) h(x) > (f) h(x) < 5 (g) g(x) h(x) (h) (f g)(x) < 0 ( ) (i) (x) > 0 g f Ejercicio 25. Representar gráficamente las siguientes funciones: (a) f(x) = 3 x ; (b) f(x) = 3 x ; (c) f(x) = 2 x ; (d) f(x) = x + 3 x + 2 ; (e) f(x) = 2 x + 2; (f) f(x) = 3x + x + 2. Determinar en cada caso, usando el gráfico de la función, el dominio, el conjunto de ceros, positividad y negatividad y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ejercicio 26. Consideremos las siguientes funciones con valores reales: f(x) = x 2 + 2x, g(x) = (x + ), h(x) = 3x 2. (a) Determinar el dominio natural de cada una de ellas. (b) Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique. (i) 3 Img(f); (ii) Im(h) = R; (c) Calcular si es posible: (i) (g f)( ) (ii) (f h)() (iii) 0 Img(g); (iv) 0 Img(f); (iii) (h f)(7) (iv) (f g)(3) (v) Img(g); (vi) 5 Img(g). (v) (f h)(7) (vi) (g f)(6) (d) Dar las fórmulas que describan las relaciones funcionales de las siguientes composiciones: (i) f g (ii) f h (iii) g f (iv) f f (v) g h (vi) (f g) h
Práctica 2: Funciones 9 Coinciden f g y g f como funciones? Ejercicio 27. Dadas las siguientes funciones f(x) = x + x y g(x) = x. Hallar (f g)(x), (g f)(x), (g g)(x) y (f f)(x). Ejercicio 28. Dadas las siguientes funciones { x 2 Si x < 0, f(x) = y g(x) = 2x 3 x si x 0 Hallar (f g)(x), (g f)(x) y (f f)(x). Ejercicio 29. * Dadas las siguientes funciones x 2 3x + 2 si x < 3 f(x) = 2x + x si x 3 y hallar (f g)(0 + x 2 ) x 2 3x + si x < 3 g(x) = x + 2 2x 2 si x 3 Ejercicio 30. Graficar (en un mismo par de ejes) y comparar las siguientes funciones: (a) f(x) = 2 x (b) g(x) = (3/2) x (c) h(x) = 0 2 x (d) f(x) = ( 4 )x (e) g(x) = 0, 2 ( 4 )x (f) h(x) = [ 3 ( 4 )] x Ejercicio 3. Modificar un solo parámetro para que la función f(x) = 5 (0, 2) x sea creciente. es la única opción? Ejercicio 32. Graficar y comparar las siguientes funciones: a)f(x) = ln(x) g(x) = ln(x + 3) g(x) = ln(x) + 3
Práctica 2: Funciones 0 b)f(x) = 2 + ln(x ) g(x) = ln(x + 2) h(x) = ln(2x) Ejercicio 33. Indique cuál es el error de cálculo que lleva a este resultado: 4 < 2 ( ) 4 ( 5 < 2 la función exponencial es decreciente 5) cuando la base es menor a [ ( ln ) ] 4 5 [ ( < ln ) ] 2 5 Aplico logaritmo en ambos términos 4 ln ( ( 5) < 2 ln ) El logaritmo baja el exponente, 5 es decir: ln(a b ) = b. ln(a) 4 < 2 simplifico el factor ln ( ) 5 Ejercicio 34. Hallar el Dominio Natural de las siguientes funciones, indicando en cada caso si alguna de ellas admite inversa. (a) f(x) = ln(x + 4) (b) g(x) = ln (x 2 x) ( ) (c) h(x) = 0 ln x + (d) j(x) = ln(x) (e) k(x) = (f) l(x) = 3 ln(x + 2) ln x ln(0 x) Ejercicio 35. Un cultivo se inicia con 000 bacterias, y duplica su tamaño cada 3 horas. Deduzca un modelo exponencial para el tamaño del cultivo en función del tiempo, en horas, y con el modelo pronostique cuántas bacterias habrá después de 2 días. Ejercicio 36. El isótopo radioactivo yodo 3, cuya vida media es de 8 días, se usa para diagnósticar las enfermedades de la glándula tioride. Si hay 20000 unidades en el instante t = 0, Cúanto quedara después de 20 días? Ejercicio 37. Determinar analíticamente los parámetros k y a de las funciones exponenciales de la forma y = k a x que pasan por los siguientes pares de puntos: (a) P = (0, 2) P 2 = (2, 8) (b) P = ( 2, 75 4 ) P 2 = (, 6 5 ) (c) P = ( 2, 5 2 ) P 2 = (2, 0) (d) P = ( 3, 48) P 2 = (2, 3 2 ) Ejercicio 38. Resolver las siguientes ecuaciones :
Práctica 2: Funciones (a) 5 log 5 x + 5 = 0 (b) 4 3 x 4 = 0 (c) 2 log 2 x 3 3 (d) 3 4 x + 6 = 0 = (e) 5 x+2 + 3 5 x+ 8 = 0 (g) 3 log 2 3 x 6 log x 9 = 0 3 (h) 3 x 2 + 27 3 x = 0 (i) 2 x 2 2 x = 0 (j) 2(log 3 x) 2 7 log 3 x + 8 = 0 (k) 4 3 2x + 8 3 x 5 = 0 (l) e x 3 + 2 e x = 0 (f) e 2x e x 6 = 0 (m) x+2 5 x = x+ 5 x Ejercicio 39. Estudiar analíticamente el dominio de las siguientes funciones ( ) (a) f(x) = e /x e 2x. x (d) f(x) = ln. x + 2 (b) f(x) = ln(2x). (e) f(x) = cos(x 2 ln(x + )). (c) f(x) = ln (3x 2 + 2x). (f) f(x) = sin ( /x) x 3. Ejercicio 40. Calcular la composición de los siguientes pares de funciones (a) f(x) = 2x + 3 x +, g(x) = x2. (b) h(t) = sin(t 2 2), s(t) = e /t. Ejercicio 4. Hallar el dominio de f g y g f (a) f(x) = x, g(x) = x 2. (b) f(x) = ln(x), g(x) = sin(x). (c) f(x) =, g(x) = cos(x). x2 (d) f(x) = x, g(x) = sin(x). (e) f(x) = x, g(x) = ln(x). (f) f(x) =, g(x) = 2 sin(x). x