Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos Coseno de la diferencia y de la suma (a través del producto escalar) Sean y dos ángulos cualesquiera, cuyos vértices coinciden con el origen de un sistema de ejes ortogonales. Al representarlos en la circunferencia de radio unidad dan lugar a los vectores a y b ambos de módulo unidad y cuyas componentes son: a (cos,sen ) b (cos,sen ) El ángulo formado por a y b es, y el producto escalar, a través de su doble formulación se encarga de evaluar el coseno. ab a b cos ( ) cos ( ) cos ( ) a b (cos, sen ) (cos, sen ) cos cos sen sen De las dos expresiones anteriores se obtiene: cos( ) cos cos sen sen Observación El hecho de haber dibujado mayor que es irrelevante. El ángulo que media entre los dos vectores es ó, según que queramos dotarlo de uno u otro sentido. En ambos casos coincide el coseno por tratarse de ángulos opuestos. El coseno de la suma se obtiene de la fórmula anterior cos( ) cos ( ) cos cos( ) sen sen( ) Pero cos( ) cos y sen( ) sen luego: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
cos( ) cos cos sen sen Coseno de la diferencia y de la suma Sea OAC un triángulo rectángulo en C y cuya hipotenusa vale. De la figura se obtienen las siguientes relaciones: OC cos AC sen OA' cos( ) OA ' OA' OC' A' C' OC' AB OC' OC cos coscos OC' OC coscoscos AB AC sen sensen OA coscossen sen cos( ) cos cos sen sen cos( ) cos ( ) cos cos( ) sen sen( ) cos cossen ( sen ) cos( ) cos cos sen sen Seno de la suma y de la diferencia Observa que para cualquier ángulo se verifica: sen cos De igual forma: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
sen ( ) cos ( ) cos cos cos sen sen sen cos cos sen sen ( ) sen cos cos sen El seno de la diferencia es inmediato a partir de esta última fórmula: sen ( ) sen ( ) sen cos( ) cos sen ( ) sen cos cos sen sen ( ) sen cos cos sen Tangente de la suma o diferencia de ángulos sen ( ) tg ( ) cos( ) sen coscossen coscossen sen sen cos cos sen cos cos cos cos cos cos sen sen cos cos cos cos tg tg tg tg tg tg tg ( ) tgtg sen ( ) sen coscossen tg ( ) cos( ) coscossen sen sen cos cos sen cos cos cos cos cos cos sen sen cos cos cos cos I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
tg tg tg tg tg tg tg ( ) tgtg Observación Ten en cuenta que las funciones trigonométricas tg ( ) y tg ( ) están definidas si: + k y k También que la división por cos cos no puede efectuarse en el caso en que dicho producto sea nulo, es decir si: cos 0 ó cos 0 pues entonces tag o tag no están definidas. En este caso las fórmulas anteriores no tienen sentido. Razones trigonométricas del ángulo doble Si en las fórmulas de las razones trigonométricas de la suma de ángulos hacemos tenemos: sen sen( ) sen cos cos sen sen cos cos cos( ) cos cos sen sen cos sen tg tag tg tg ( ) tg tg tg tg sen sen cos tg cos cos sen tg tg I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Halla una fórmula que exprese sen 3 en función de sen. Basta aplicar sucesivamente las fórmulas del seno de una suma y del ángulo doble. sen3 sen( ) sen cos cos sen sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen 3cos sen sen 33sen sen sen 34 sen Razones trigonométricas del ángulo mitad Como y teniendo en cuenta la fórmula del coseno del ángulo doble tenemos: cos cos cos sen El segundo miembro puede expresarse de forma que sólo aparezca el seno o el coseno. Cada caso proporciona una de las fórmulas buscadas. cos cos sen sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos cos sen tg cos cos cos cos cos sen cos cos cos cos tg cos I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez
Transformaciones de sumas en productos y viceversa Transformaciones de sumas de senos y cosenos en productos Consideremos las fórmulas: sen(a b) sena cosb cosa sen b () sen(a b) sena cosb cosa sen b () cos(a b) cosa cosb sen a sen b (3) cos(a b) cosa cosb sena sen b (4) Sumando () y () miembro a miembro resulta: sen(a b) sen(a b) sena cosb (5) Restando () y () miembro a miembro obtenemos: sen(a b) sen (a b) cosa sen b (6) Si en las fórmulas (5) y (6) hacemos los cambios a b a b a b obtenemos: sen + sen sen cos sen sen cos sen Sumando (3) y (4) miembro a miembro resulta: Restando (3) y (4) miembro a miembro resulta: cos(a b) + cos(a b) cos a cosb (7) I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez
cos(a b) cos(a b) s ena sen b (8) Haciendo los mismos cambios que antes en las fórmulas (7) y (8) obtenemos: cos cos cos cos cos cos sen sen Este grupo de fórmulas permite conseguir un producto a partir de una suma (diferencia) de senos (cosenos); son además igualmente útiles en el problema inverso planteado a continuación. Ejemplo: Transformar en producto cos x cos 3x. 5x x 5x cosxcos3x sen sen x sen sen Transformaciones de productos de senos y cosenos en sumas Es el problema inverso del anterior. Basta con despejar los productos de las fórmulas (5), (6), (7) y (8). sen cos sen( ) sen( ) cos sen sen( ) sen( ) cos cos cos( ) cos( ) sen sen cos( ) cos( ) Ejemplo: Transformar sen 3x cos x en suma de senos. sen5x sen x sen 3x cosx sen( 3xx) sen( 3xx) I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez
Fórmulas Trigonométricas Razones trigonométricas de la Suma y Diferencia de ángulos sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg ( ) tg tg sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg ( ) tg tg Razones trigonométricas de los ángulos Doble y Mitad sen sen cos sen cos cos cos sen cos cos tg tg tg tg cos cos Transformaciones de Sumas de senos y cosenos en Productos sensen sen cos coscos cos cos sensen cos sen coscos sen sen Transformaciones de Productos de senos y cosenos en Sumas sen cos sen( ) sen( ) cos cos cos( ) cos( ) cos sen sen( ) sen( ) sen sen cos( ) cos( ) I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez
Identidades Trigonométricas Las identidades trigonométricas son igualdades entre expresiones trigonométricas que se verifican para cualquier ángulo. Por ejemplo, son identidades: sen x sen cos tg x tg cos x cos x x y todas las fórmulas que hemos demostrado anteriormente. En la identidad tg x se cumple: cos x Para x 0 0 cos tg 00 Para x 4 cos 4 tg 4 No existen reglas para demostrar una identidad trigonométrica. En general habrá que reducir el miembro que nos aparezca más difícil (mediante sustituciones por identidades) hasta hacerlo igual a otro miembro; o bien, si los dos miembros no son sencillos, operar con ambos hasta llegar a unas expresiones sencillas. Ejemplo: Prueba la identidad cotgx sec x cosc x cos x tg x cos x sen x sen x cos x sen x sen x sen x Ejemplo: Prueba que cos sen sen cos sen cossen sen sen sen I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Prueba que cosx tgx senx cos x sen tg x sen x cos x x sen x sen x tg x sen x cos x cos x Ejemplo: Prueba que cos 4 x cos 4 x sen x Basta observar que el primer miembro es el desarrollo de un cuadrado: 4 4 4 cos x sen x sen x sen x sen xsen 4 x Ecuaciones trigonométricas Se llaman así las igualdades entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos, igualdades que sólo se verifican para algunos valores particulares de dichos ángulos. Resolver una ecuación trigonométrica es buscar todos los valores de los ángulos que la satisfacen. No existen reglas generales para resolver ecuaciones trigonométrica. Más aún, muchas de ellas no se pueden resolver de forma exacta, precisándose entonces métodos de aproximación numérica para acercarse a las raíces. Son de utilidad las siguientes indicaciones: a) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las razones trigonométricas que intervengan en una ecuación, en función de un mismo ángulo sencillo y de una sola razón trigonométrica. b) Es conveniente transformar las sumas y diferencias en productos de senos y cosenos aplicando las expresiones correspondientes. c) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones con simplificaciones, o añadir soluciones de forma inadecuada. Así, por ejemplo: ) Añadimos soluciones a la ecuación sen x si la elevamos al cuadrado. Hemos añadido las soluciones: x k 6 7 x k 6 correspondientes a sen x I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez
Podemos elevar al cuadrado si tenemos buen cuidado de comprobar las soluciones y desechar las que no verifiquen la ecuación. En este caso, sen ; por tanto, 6 desechamos la solución x k 6 ) Si en la ecuación sen x cos x 0 dividimos los dos miembros por sen x, nos queda cosx 0. Hemos suprimido las soluciones sen x 0 x 0k. (No se puede, por tanto, dividir por sen x 0). Ejemplo: Resuelve la ecuación cos x 3sen x 0 Vamos a expresar la ecuación en función de una sola razón; por ejemplo, de sen x. cos x3sen xsen x3sen x4sen x0 sen x En grados sexagesimales 30º 360º k Si sen x x arcsen 50º 360º k kz º º k Si sen x x arcsen 0 360 330º 360º k kz En realidad, al variar k se obtienen cuatro familias de soluciones, que pueden resumirse en dos grupos: x30º 80º k x50º 80º k kz I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
En radianes 053598775 ' k Si sen x x arcsen ' 67993878 k kz ' 665949 k Si sen x x arcsen 3 5' 75958653 k kz En realidad, al variar k se obtienen cuatro familias de soluciones, que pueden resumirse en dos grupos: x053598775 ' k x' 67993878 k k Z Ejemplo: Resuelve la ecuación cos x 4senx Sabemos que cosx cos x sen x. Sustituyendo en la ecuación: cos x sen x 4sen x Vamos a expresar la ecuación en función de una sola razón; por ejemplo, de sen x. sen xsen x4sen x sen x4sen x0 sen x(sen x) 0 sen x 0 sen x En grados sexagesimales Si sen x0 x0º 80 º k kz Si sen x Imposible. El seno de un ángulo no puede ser menor que. En radianes Si sen x 0 x 0k k Z Si sen x Imposible. El seno de un ángulo no puede ser menor que. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Resuelve la ecuación tg x 3tg x 0 Es una ecuación de segundo grado en la incógnita tg x. 3 tg x 9 8 tg x tg x En grados sexagesimales Si tg x x 63' 43º 80 º k Si tg x x45º 80 º k En radianes Si tg x x074878 ' k Si tg x x0' 78539863 k Ejemplo: Resuelve la ecuación sen x 4 3 En grados sexagesimales Si 3 3 60º 360º k sen 45º x 45º x arcsen 0º 360º k 45º x60º 360º k x 5º 360º k x 7' 5º 80º k 45º x0º 360º k x 75º 360º k x 37' 5º 80º k I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
3 3 En radianes 3 3 ' 0479755 k Si sen x x arcsen 4 4 ' 0943950 k 4 x ' 0479755 k x 0' 6799387 k x 030899693 ' k 4 x ' 0943950 k x ' 308996939 k x 0' 654498469 k Ejemplo: Resuelve la ecuación 3 sen x cos x er método 3 sen x sen x sen x 3 sen x Al elevar al cuadrado los dos miembros para suprimir la raíz, introducimos nuevas soluciones y debemos tener la precaución de comprobarlas todas para rechazar las que no verifiquen la ecuación. sen x 3sen x sen x 3sen x3sen x I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez
4sen x 3sen x0 sen x sen x 3 0 sen x 0 sen x 3 0 Si sen x0 sen x0 x0º 360º k x80º 360º k Comprobamos la validez de las soluciones: 3 sen 0º cos 0º 0º 360º k sí es solución. 3 sen 80º cos 80º 0 80º 360º k no es solución. 3 Si sen x 3 0 sen x x60º 360º k x0º 360º k 3 4 3 sen 60º cos 60º 60º 360º k no es solución. 3 3 sen 0º cos 0º 0º 360º k sí es solución. 3 En definitiva, las soluciones son: x0º 360º k x0º 360º k º método Teniendo en cuenta, que de las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble se deduce: x x sen x sen cos I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez
x x cosx cos sen Vamos a expresar nuestra ecuación en función de ellas. 3sen x cos x cos x sen x x x 3 x x x x 3 x sen cos sen sen sen cos sen x x x sen 3 cos sen 0 x sen 0 x x 3 cos sen 0 x x Si sen 0 0º 80º k x0º 360º k Si 3 cos x sen x 0 3 cos x sen x tag x 3 tag x 3 x 60º 80º k x0º 360º k I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Resuelve la ecuación cos4x cos x 0 4x x 4x x Transformando la suma en producto cos4xcos x cos cos Sustituyendo en la ecuación: cos3xcos x0 cos3x 0 cos x 0 Si cos 3x0 3x 90º 80º k x 30º 60º k Si cos x0 x90º 80 º k cos3x 0 cosx 0 En realidad, al variar k se obtiene una única solución, ya que las dos anteriores se pueden agrupar en: x 30º 60º k Ejemplo: Tenemos un reloj de los antiguos, con sus dos manecillas, la de las horas (horaria) y la de los minutos (minutera). Se comienza a contar el tiempo a las cero horas, cuando las dos manecillas se superponen sobre las. Se trata de encontrar todos los instantes en los que las manecillas forman ángulo recto. Comencemos por fijar el extremo de las manecillas al cabo de t minutos: La grande gira 360º cada hora, es decir, 6º por minuto (el signo se debe al sentido negativo del giro). Tras t minutos ha girado 6º t, y como comienza en 90º, el ángulo medido desde OX es: 90º 6º t I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez
El extremo de la manecilla grande tiene por coordenadas: cos( 90º 6º ), sen ( 90º 6º ) sen 6º, cos 6º t M t t M t La manecilla pequeña, veces más lenta, gira 0'5º grados por minuto. Su posición al cabo de t minutos es: cos 90º 0'º 5,sen 90º 0'º 5 sen 0'º,cos 5 0'º 5 t m t t m t Las manecillas formarán ángulo recto cuando el producto escalar de los vectores que las componen sea cero. mm 0 (sen 6º t, cos 6º t) sen 05 ' º t, cos 05 ' º t 0 sen 6º tsen 05 ' º t cos 6º tcos 05 ' º t 0 cos 6º t 05 ' º t 0 cos 55 ' º t 0 90º 80º k 5' 5º t 90º 80º k t 55 ' º Si k 0 t 0h6' 36 min. Si k t 0h49' 09 min. Si k t h ' 8min. Si k 5 t 9h Si k t h 43' 63min Sistemas de Ecuaciones Trigonométricas Un sistema de ecuaciones trigonométricas está formado por una serie de ecuaciones trigonométricas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver dicho sistema será encontrar (si existen) unos valores particulares x 0,y0 de los ángulos incógnitas (x, y). Tales valores han de verificar simultáneamente todas las ecuaciones. Este conjunto de valores x,y constituye una solución del sistema. 0 0 No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas. Habrá que reducir dichas ecuaciones mediante identidades trigonométricas a otras más sencillas. I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Resolver el sistema sen x cos y cos x cos y Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones, obtenemos: (sen xcos x) sen xcos x sen x sen x sen x ( sen x) sen xsen x sen x sen xsen x0 sen x(sen x) 0 sen x 0 sen x sen x 0 x0º 360º k x80º 360º k sen x x90º 360 º k Sustituyendo los valores de x en la ecuación sen x cos x tenemos: Si x0º 360º k sen 0º cos 0º 0 x0º 360º k sí es solución Si x 80º 360º k sen 80º cos 80º 0 x80º 360º k no es solución Si x 90º 360º k sen 90º cos 90º 0 x90º 360º k sí es solución Sustituyendo los valores de x en la primera ecuación del sistema, calculamos los valores correspondientes de y. Si x0º 360º k sen 0º cosy cos y y0º 360º k Si x 90º 360º k sen 90º cosy cos y y 80º 360º k Por tanto, las soluciones del sistema son: 0º 360º k, 0º 360º k y 90º 360º k, 80º 360º k I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Resuelve el sistema sen x sen y x + y 80º Despejando y en la segunda ecuación tenemos y 90º x Sustituyendo este valor en la primera ecuación y desarrollando el seno de la diferencia de dos ángulos obtenemos sen x sen ( 90º x) sen x sen 90º cos x cos 90º sen x sen xcosx sen xcosx cos x cosx cos x ( cos x) cos xcos x cos x cos xcos x0 cos x(cos x) 0 cos x 0 cos x cos x 0 x90º 360º k x70º 360º k cosx x0º 360 º k Sustituyendo los valores de x en la ecuación sen x cos x tenemos: Si x 0º 360º k sen 0º cos 0º 0 x 0º 360º k sí es solución Si x90º 360º k sen 90º cos 90º 0 x90º 360º k sí es solución Si x 70º 360º k sen 70º cos 70º 0 x 70º 360º k no es solución Hallamos los valores de y: Si x 0º 360º k y 90º ( 0º 360º k) 90º 360º k 90º 360º k Si x 90º 360º k y 90º ( 90º 360º k) 0º 360º k 0º 360º k Las soluciones del sistema son: ( 0º 360º k, 90º 360º k) y ( 90º 360º k, 0º 360º k ) I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez
Ejemplo: Resuelve el sistema tg x tg y + 3 cotg x tg y 3 Este sistema se puede expresar de la siguiente manera, teniendo en cuenta que cotg x tg x : tg x tg y 3 tg x tg x tg y tagx 3 3 3 tg x( 3) 3 tg x x45º 80º k Los valores correspondientes de y son: x45º 80º k tg y 3 tg 45º 3 y 60º 80º k Las soluciones del sistema son: ( 45º 80º k, 60º 80º k ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez