Funciones Elementales II UNIDAD DIDÁCTICA 5 o de Bachillerato CCSS Diana Barredo Blanco Profesora de Matemáticas
Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS). COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.. Función compuesta Supongamos que tenemos dos funciones, definidas de la siguiente manera: f g IR IR IR IR x f(x) La primera de ellas, f, asocia a cada número real x, otro número real, f(x). La segunda de ellas, g, asocia a cada número real t, otro número real, g(t). Ahora bien, sea un número real cualquiera x, vamos a aplicar consecutivamente las dos funciones f y g, respectivamente: - Aplicando a este x la función f, obtenemos la imagen f(x), que es un número real. - Aplicando ahora la función g, al número real t = f(x), obtenemos la imagen g(t), que es el número g (f(x)). Resumiendo los dos pasos anteriores en uno: f g IR IR IR x f(x) g (f(x)) A cada valor x, se le hace corresponder un único número, g(f(x)), y a la función que establece esta correspondencia le llamamos función compuesta de f y g. IR x f g t IR g (f(x)) Definición : Dadas dos funciones f y g, se llama Función Compuesta de f y g, y se designa por g f, a la función que transforma un número real x en g (f(x)). (g f) (x) = g (f(x)) x IR Definición : Dadas dos funciones f y g, se llama Función Compuesta de g y f, y se designa por f g, a la función que transforma un número real x en f (g(x)). (f g) (x) = f (g(x)) x IR La composición de funciones no es conmutativa, es decir, que las funciones f g, y g f, son funciones distintas. Es decir, en general: g(t) x IR (g f)(x) = g (f(x)) f (g(x)) = (f g)(x) Consideremos las funciones que asocian a cada número real, su doble (f) y su cuadrado (g). La función f g, es la función que a cada número real le asocia el doble de su cuadrado; y la función g f, es la función que a cada número real le asocia el cuadrado de su doble. Analíticamente: f(x) = x (porque la función f es la que asocia el doble) g(t) = t (porque la función g es la que eleva al cuadrado) Aplicándolas consecutivamente: (g f) (x) = g (f(x)) = g (x) = (x) = x (f g) (x) = f (g(x)) = f x = x = x Autor: Diana Barredo
. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.. Función Inversa Definición: Se llama función inversa de una función f, a otra función, denotada por f, que cumple la siguiente condición: Si f(x) = y, entonces f (y) = x Es decir, la función f, es la función que asocia a cada número real, su contraimagen por la función f. x x f f f(x) f(x) Existencia de función inversa: Para que una función f, tenga inversa es condición necesaria y suficiente que dicha función sea inyectiva, es decir, que valores distintos de la variable x, tengan imágenes diferentes. Intuitivamente, ser inyectiva significa que su gráfica es cortada en un único punto, como máximo, por cualquier recta horizontal. Observa los siguientes ejemplos: y= x Inyectiva Inyectiva NO inyectiva Son inyectivas todas las funciones lineales, por lo tanto, cualquier función lineal tiene inversa, que será también una función lineal. La función f(x) = x no en inyectiva en IR, pero si lo es si restringimos el dominio a IR +. Es decir: f(x) = x x IR + Si tiene inversa, a saber: f (x) = x f(x) = x x IR No tiene inversa porque no es inyectiva Caracterización: Dos funciones f y f son inversas si la composición de ambas, en cualquier orden, es la función identidad: (f g) (x) = (g f) (x) = x x Intuitivamente, cada una de las funciones f y f, deshace lo que ha hecho la otra. De manera que si las aplicamos de forma sucesiva sobre un número x cualquiera, el número se mantiene. Consideremos la función f, que a cada número real le asocia su doble. Entonces, la función inversa f, será la función que a cada número real le asocia su mitad. En efecto: f(x) = x f (x) = x = f f (x) = f f (x) = f x = x = x f f (x) = f (f(x)) = f (x) = x = x Observemos que si a un número cualquiera le multiplicamos por dos y, al resultado, lo dividimos por dos, el número no varía. Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS). COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Consideremos la función f, que a cada número positivo le asocia su cuadrado. Entonces, la función inversa f, será la función que a cada número positivo le asocia su raíz cuadrada positiva. En efecto: f(x) = x f (x) = x f f (x) = f f (x) = f x = x = = x f f (x) = f (f(x)) = f x = x = x Observemos que si a un número positivo cualquiera, lo elevamos al cuadrado, y al resultado obtenido le extraemos la raíz cuadrada, volvemos al número de partida. Consideremos la función f, que a cada número real le asocia el mismo número aumentado en una unidad. Entonces, la función inversa f, será la función que a cada número real le asocia el mismo número disminuido en una unidad. En efecto: f(x) = x + f (x) = x f f (x) = f f (x) = f (x ) = (x ) + = x = f f (x) = f (f(x)) = f (x + ) = (x + ) = x Observemos que si a un número le aumentamos una unidad y, al resultado obtenido, le disminuimos en una unidad, se obtiene el número de partida Cálculo de la función inversa: Para obtener la expresión analítica de la función inversa (f ) de una función dada (f), aplicamos la definición: Si f(x) = y, entonces f (y) = x Para ello, seguimos el siguiente proceso, que iremos ejemplificando con el cálculo de la inversa de la función f(x) = x +. - Igualamos la expresión analítica de f(x) a y f(x) = x + = y = x + - En la expresión resultante, intercambiamos las variables x e y (es decir, donde ponía x escribimos y y, donde ponía y escribimos x : (continuación) y = x + = x = y + - Despejamos la variable y y, posteriormente, la sustituimos por f (x): (continuación) x = y + y = x = f (x) = x Autor: Diana Barredo 5
. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES - Comprobamos que efectivamente, sean inversas, aplicando la caracterización de función inversa: (Continuación:) f(x) = x + f (x) = x f f (x) = f f (x) = f x = = x + = x f f (x) = f (f(x)) = f (x + ) (x + ) = = x Representación gráfica: Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante (recta de ecuación y = x), teniendo en dicha bisectriz sus puntos comunes. Vamos a demostrarlo: f (b)=a f (x) f(a)=b f(x) b a y=x Sea una función f y su inversa f. Sea (a,b) un punto cualquiera de la gráfica de f(x) y, su simétrico respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a saber, (b,a). Como los puntos de la gráfica de f son de la forma (a,f(a)), se tiene que verificar que: b = f(a) Por otro lado, si tomamos imágenes por f en la expresión anterior, resulta: b = f(a) = f (b) = f (f(a)) = a = f (b) Lo que significa que el punto (b,a) es de la forma b,f (b) y, por lo tanto, el punto (b,a) pertenece a la gráfica de f. Luego, todo punto de la gráfica de la función f, tiene su simétrico (respecto de la bisectriz) sobre la gráfica de f, con lo que hemos demostrado que ambas gráficas son simétricas respecto de dicha bisectriz. Nota: Que las gráficas de dos funciones inversas sean simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante significa que si doblamos la hoja de papel por dicha bisectriz, ambas gráficas coincidirían una encima de la otra. Representaremos las funciones f(x) = x+ y f(x) = x (y sus inversas) para observar la simetría respecto de y = x. f(x)=x+ y=x f(x)=x y=x f (x)= x f (x)= x 6 Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS). COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Considera las funciones f y g, definidas por: f(x) = x + g(x) = x Calcula: a) (f g)( ) b) (f g)() c) (f g)(x) d) (g f)( ) e) (g f)() f) (g f)(x) g) (f f)() h) (f f)( ) i) (f f)(x) j) (g g)( ) k) (g g)() l) (g g)(x). Si f(x) = x 5x + y g(x) = x, obtén las expresiones de:. Con las funciones: a) (f g)(x) ; b) (g f)(x) ; c) (f f)(x) ; d) (g g)(x) f(x) = x 5 g(x) = x h(x) = x + hemos obtenido, por composición, estas otras funciones: p(x) = x 5 q(x) = x 5 r(x) = Explica cómo, a partir de f, g, y h, se pueden obtener p, q y r. x +. Representa y = x, y = x en los mismos ejes. Cómo son esas dos gráficas respecto de la bisectriz del primer cuadrante?. Demuestra, analíticamente, que son inversas. 5. Sean las funciones: f(x) = x + y g(x) = x. a) Son inversas?. b) Comprueba que el punto (a,a + ) está en la gráfica de f(x). c) Calcula el simétrico de (a,a + ) respecto de la recta y = x. d) Comprueba que este último punto está en la gráfica de g. e) Representa las dos funciones en los mismos ejes y observa su simetría respecto de la recta y = x. 6. Calcula la función inversa de f, en cada uno de los casos siguientes, y representa ambas funciones (f y f ) en los mismos ejes. (indicación: Representa la más sencilla y, la otra, aplicando una simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante) a) f(x) = x 6 b) f(x) = (x ) + c) f(x) = x 5 d) f(x) = x e) f(x) = 5 x f) f(x) = x 7. Representa las siguientes funciones y dí cuáles son inyectivas. a) f(x) = 9x b) f(x) = (x ) + c) f(x) = x + d) f(x) = x 5 e) f(x) = (x ) f) f(x) = x 6 8. Restringe, si es necesario, el dominio de las funciones del ejercicio (7) para que sean inyectivas; calcula, analíticamente, su función inversa en dicho dominio y representa dicha inversa, f, en los mismos ejes donde representaste la función, f. Autor: Diana Barredo 7
. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Valor absoluto de un número: El valor absoluto de un número, es una función que se define como: a) El mismo número, cuando éste sea positivo o nulo. b) Su opuesto, en caso contrario. x = x si x s si x < De lo que se deduce que la función valor absoluto es un función no negativa. Valor absoluto de una función: Se le llama función valor absoluto de f, y se denota por f, a la función que a cada valor de la variable independiente x le hace corresponder el valor absoluto de su imagen por la función f, es decir, la composición de la función f con la función valor absoluto: D x f IR f(x) cuya expresión analítica es: f(x) si f(x) f (x) = f(x) = f(x) si f(x) < Y, al ser f(x) x D, se deduce que la función f es una función no negativa, es decir, su gráfica está por encima del eje OX. (pudiendo tener puntos en dicho eje) La función f(x) = x, es la función que asigna a cada número real, x, su valor absoluto. Es decir, que la imagen de un número es el mismo número, si es positivo; o su opuesto, si es negativo f(x) = x = x si x x si x < La función f(x) = x, es la función que asigna a cada número real, x, el valor absoluto de (x ). Es decir, que la imagen de un número x cualquiera es: f(x) = x = x si x (x ) si x < El dominio de la función debe estar en función de x, luego hacemos operaciones, con lo que resulta la siguiente expresión analítica, que como se observa, es una función a trozos. f(x) = x = x si x x si x < La función f(x) = x x+, es la función que asigna a cada número real, x, el valor absoluto de (x x + ). Es decir, que la imagen de un número x cualquiera es: f(x) = x x + = x x + si x x + (x x + ) si x x + < haciendo operaciones, resulta la siguiente expresión analítica para la función valor absoluto, que como observas, es una función a trozos. f(x) = x x + = x x + si x (,] [, ) x + x si x (,) 8 Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS). FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Representación gráfica: Para representar la función valor absoluto, basta dividir el plano en las franjas indicadas por los trozos del dominio de la función y en cada una de ellas se pinta la expresión algebraica correspondiente, según se explicó en los apartados anteriores. Representamos y = x = x si x < x si x y= x x< y= x y=x x Representamos y = x = x si x < x si x - - - - - - x< - - y= x y=x x - - - - y= x Representamos y = x x + = x + x si < x < x x + si x ó x y=x x+ - - - - - - y= x - +x - - <x< x x - - - y= x x+ Ahora bien, puede resultar más sencillo, pintar la función sin el módulo y voltear (simetría respecto del eje OX) aquella parte de la gráfica que esté por debajo dicho eje. Así se representarían los tres ejemplos anteriores. Observa que en linea entrecortada está representada la función SIN el módulo, y en trazo continuo, más grueso y azul, la función módulo. y= x y= x y= x x+ - - - - - - - - - y=x x+ - - - y=x y=x Autor: Diana Barredo 9
. FUNCIÓN RADICAL. FUNCIÓN RADICAL En el tema anterior, vimos una función elemental: la función potencial. Recordemos que eran funciones de la forma: f(x) = x n x IR Recordando las gráficas de estas funciones hay que notar que: Si n es impar, la función es inyectiva en IR, y por lo tanto, tiene función inversa. Si n es par, la función no es inyectiva en IR, pero sí lo es si restringimos su dominio a los números reales mayores o iguales que cero; o bien, a los números reales menores o iguales que cero. Definición: La función radical se define como la inversa, cuando existe, de la función potencial: f(x) = n x Dominio de definición: El dominio de definición de la función, como vimos antes, ser: - Todos los números reales (si n es impar) - Los números reales mayores o iguales que cero (si n es par) Representación gráfica: La representación gráfica, será simétrica respecto de la bisectriz del primer cuadrante, de la gráfica (o rama) de la función potencial. y=x y=x y= x y= x (n par;) (n impar;) Calcula la función inversa de la función potencial f(x) = (x ), indicando qué tipo de función es y cuál es su dominio. La función dada (función potencial), está definida en todo IR. Además, al ser inyectiva (exponente impar), existe su inversa en todo IR. Calculamos la inversa: y = (x ) = x = (y ) y = x y = La función inversa de la dada es, por definición, una función radical, a saber: f (x) = x + x + Que está definida en todo IR(su dominio es el conjunto de todos los números reales), pues es la inversa de una función definida e inyectiva en todo IR. Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS). FUNCIONES EXPONENCIALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Definición: La función exponencial se define como la función cuya expresión algebraica es de la forma: siendo a un número real positivo, distinto de. f(x) = a x De toda la familia de funciones exponenciales, la más conocida e importante, es la función: f(x) = e x donde el número e, es el número irracional (decimal no periódico con infinitas cifras decimales) base de los logaritmos neperianos, cuyo valor aproximado es: e =,7888... Dominio de definición: El dominio de definición de la función exponencial, es todo IR. Representación gráfica: Vamos a representar varias funciones exponenciales para ver cómo varían sus gráficas, en función del valor de a, y extraer algunas propiedades de las mismas. y=( ) x y= x y=e x y=( ) x y=( ) x y=( ) x (a > ) (a < ) Características : Todas las funciones exponenciales son continuas en todo IR y pasan siempre por dos puntos: (,) ; (,a) Si a >, la función exponencial f(x) = a x es estrictamente creciente en todo IR y, por lo tanto, no tiene máximos ni mínimos relativos ni absolutos. Si a <, la función exponencial f(x) = a x es estrictamente decreciente en todo IR y, por lo tanto, no tiene ni máximos ni mínimos relativos ni absolutos. El crecimiento (a > ) de las funciones exponenciales es muy rápido lo que significa que, a partir de un cierto valor, a poco que aumentemos la variable x, las imágenes se nos disparan hacia más infinito. Sea la función exponencial f(x) = k a x. Calcula dicha función (es decir, los valores de a y de k) sabiendo que la gráfica de dicha función pasa por el punto (,5) y, además, que la imagen de tres es. Que la función pasa por el punto (,5) significa que la imagen de cero es 5, es decir, que para x = la función vale 5: f() = 5 k a = 5 k = 5 Además, como me dicen que la imagen de es, y ya conozco el valor de k : f() = k a = 5 a = a = 8 a = Luego, la función exponencial será: f(x) = 5 x Autor: Diana Barredo
5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Definición: La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial, y su expresión algebraica es de la forma: f(x) = log a (x) siendo a un número real positivo, distinto de. De toda la familia de funciones exponenciales, la más conocida e importante, es la función: f(x) = lnx donde ln, denota el logaritmo neperiano (logaritmo cuya base es el número e.) Dominio de definición: El dominio de definición de la función logarítmica son todos los números reales estrictamente positivos. (recordemos que no existe el logaritmo de los numeros negativos ni del cero) Representación gráfica: La gráfica de la función logarítmica (y = log a x) y de la función exponencial (y = a x ), son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, por ser funciones inversas luego, recordando las gráficas de las funciones exponenciales que pintamos antes, basta realizar una simetría respecto a la bisectriz y = x. y=ln x y=log x - - y=log x - (a > ) ( < a < ) - y=log e x Características : Todas las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio y, además, pasan siempre por dos puntos: (,) ; (a,) Si a >, la función logarítmica f(x) = a x es estrictamente creciente en todo su dominio y, por lo tanto, no tiene máximos ni mínimos relativos ni absolutos. Si a <, la función logarítmica f(x) = a x es estrictamente decreciente en todo su dominio y, por lo tanto, no tiene ni máximos ni mínimos relativos ni absolutos. El crecimiento (a > ) de las funciones logarítmicas es muy lento, lo que significa que a partir de un cierto valor, por mucho que aumentemos la variable x, las imágenes varían muy poco. Sea la función f(x) = k + log a x. Calcula dicha función (es decir, los valores de a y de k) sabiendo que la gráfica de dicha función pasa por el punto (,5) y, además, que la imagen de 8 es 8. Que la función pasa por el punto (,5) significa que la imagen de es 5, es decir, que para x = la función vale 5: f() = 5 k + log a = 5 k = 5 Además, como me dicen que la imagen de 8 es 8, y ya conozco el valor de k : f(8) = 8 5 + log a 8 = 8 log a 8 = a = 8 a = Luego, la función exponencial será: f(x) = 5 + log x Autor: Diana Barredo
o Bachiller (CCSS) 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS 9. Dadas las siguientes funciones valor absoluto, exprésalas como funciones a trozos y represéntalas. a) y = x b) y = x x c) y = d) y = x + 6 e) y = x x f) y = g) y = x h) y = x x i) y = x +. Representa las funciones f(x) siguientes y, a partir de su gráfica, representa su función valor absoluto, f(x) : a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x d) f(x) = x + 6 e) f(x) = x f) f(x) = x g) f(x) = x h) f(x) = x x i) f(x) = x +. Comprueba que, en el ejercicio () has obtenido la misma representación, para cada una de las funciones, que en el ejercicio (9).. Representa las siguientes funciones: a) f(x) = x + x b) f(x) = x x c) f(x) = x + d) f(x) = x + x + x e) f(x) = x x x + x + f) f(x) = x. Dadas las funciones exponenciales f(x) = x y g(x) = 5 x, cuántos puntos tienen en común?. cuál o cuáles son?. Qué valor es más grande f(5) ó g(5)?. Razona. Representa las funciones: a) y = x b) y = x + c) y = x d) y = x e) y = x f) y = x 5. Si f(x) = x y g(x) = log x, a) Cuál es la función (f g)(x) y (g f)(x)?. b) Cómo son las funciones f y g? c) Cómo son sus gráficas?. Razona 6. Representa la gráfica de la función y = x y, a partir de ella, representa y = log x. 7. Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = x b) y = log x c) y = e x d) y = ln(x + ) e) y = x f) y = + 5 x 8. Representa cada una de las funciones del ejercicio (7) y su correspondiente función inversa, en los mismos ejes coordenados. 9. Dada la función f(x) = k a (x ), calcula el valor de k y de a para que: f() = y f() =.. Dada la función f(x) = k + log a (x ) calcula el valor de k y de a para que: f() = y f( 7 ) =. Autor: Diana Barredo