Univrsidad d Jaén Dpartamnto d Matmáticas (Ara d Álgbra) Curso 4/5 PRÁCTICA Nº 6 Espacios vctorials uclídos. En sta práctica vamos a vr cómo introducir un producto scalar y trabajar con él n Mathmatica y a partir d ahí como podmos calcular una bas ortogonal u ortonormal d un spacio vctorial V a partir d una bas cualquira, para llo aplicarmos l procso d ortogonalización d Gram-Schmidt.. PRODUCTO ESCALAR. Sa V spacio vctorial sobr, un producto scalar n V s una aplicación vrificando las siguints propidads: <, : V V. < u, v = < v, u, u, v V.. < u + v, w = < u, w + < v, w, u, v, w V. 3. < αu, v = α< u, v, α, u, v V. 4. u V, < u, u y 5. < u, u = u =. Un spacio vctorial uclído s un par (V,<,) formado por un spacio vctorial ral V y un producto scalar dfinido n él. Sa (V, <,) un spacio vctorial uclído, s dfin la norma (o módulo) d un vctor u V por: u = < u, u Un vctor u s dic qu s unitario si tin norma. A partir d un vctor v V, cualquira podmos obtnr uno unitario dividindo por su norma. Llamarmos ángulo ntr los vctors x y al único númro ral α, α π d forma qu: cos(α) = < x, y x y I
Sa (V, <, ) un spacio vctorial uclído. S dic qu los vctors x, y V son ortogonals, y s dnota por x y, si < x, y = (o quivalntmnt si l ángulo qu forman s π/). Sa (V, <,) un spacio vctorial uclído y sa B={u,...,u n } una bas d V. Dnotamos para cada i y cada j a ij = < u i, u j. S llama matriz d Gram (o matriz métrica) rspcto d B a la matriz: Notar qu la matriz d Gram s simpr simétrica, pus a ij = a ji. Dados x, y V d coordnadas x = (x,...,x n ) B, y = (y,...,y n ) B s tin < x,y = < x,y = X t AY. Esta fórmula rcib l nombr d xprsión matricial dl producto scalar rspcto d la bas B. En Mathmatica mpzarmos distinguindo ntr l producto scalar usual y cualquir otro. En cualquir caso sguirmos trabajando con coordnadas, s dcir, d igual forma qu si trabajaramos n n. El motivo d sta distinción s qu l producto scalar usual n n stá dfinido n Mathmatica scribindo un punto ntr los vctors, por jmplo l producto scalar n 3 d los vctors v=(-,,3) y w=(,-,) lo haríamos: In[]: = v ={-,,3}; w={,-,}; v.w Out[]: = Ejmplo 6.. Considrmos n 3 l producto scalar usual. Dfinir dos función pusual y nusual qu nos calcul l producto scalar usual y la norma n dicho spacio. Comprobar ambas funcionan calculando l producto scalar d los vctors v y w antriors, sus normas y l ángulo qu forman. Calcular la matriz d Gram rspcto d la bas canónica para st producto scalar. Introducimos las funcions: In[]: = pusual[{x_,x_,x3_},{y_,y_,y3_}]:={x,x,x3}.{y,y,y3} nusual[x_]:=sqrt[pusual[x,x]] Calculamos l producto scalar d v y w, sus normas y l ángulo qu forman: In[3]: = pusual[v,w] nusual[v] nusual[w] Out[3]: = a A = M a n L O L a a n M nn II
3 In[4]: = angulo = ArcCos[ ]/Dgr//N Out[4]: = 79.7366 Calculmos ahora la matriz d Gram rspcto d la bas canónica: In[5]: = Bc=IdntityMatrix[3]; A=Tabl[pusual[Bc[[i]],Bc[[j]]],{i,,3,},{j,,3,}]; MatrixForm[A] Out[5]: = Ejmplo 6.. Considrmos n 4 l producto scalar cuya xprsión rspcto d la bas canónica vin dada por : < (x, x, x 3, x 4 ), (y, y, y 3, y 4 ) = x y + x y + 4x 3 y 3 + x 4 y 4 + x y 3 + x 3 y + x y 3 + x 3 y + x 3 y 4 + x 4 y 3 Calcular la matriz d Gram rspcto d la bas canónica. Primro introducimos l producto scalar y la bas canónica: In[6]:= p[{x_,x_,x3_,x4_},{y_,y_,y3_,y4_}]:= x y + x y + 4 x3 y3 + x4 y4 + x y3 + x3 y + x y3 + x3 y + x3 y4 + x4 y3 In[7]:= Bc=IdntityMatrix[4]; A=Tabl[p[Bc[[i]], Bc[[j]]], {i,,4,},{j,,4,}]; MatrixForm[A] Out[7]= 4 4 Ejmplo 6.3. Sa A la matriz d Gram obtnida n l jmplo antrior. Dfin a partir d ésta l producto scalar d dos vctors y la norma d un vctor. Comprobmos qu funciona calculando l producto scalar d los vctors a=(,,,) y b=(3,,,) y sus normas. Qué angulo forman ambos vctors? Son prpndiculars? In[8]: = pscalar[x_,y_]:=x.a.y norma[x_]:=sqrt[pscalar[x,x]] III
Comprobmos qu funciona calculando l producto scalar d los vctors (,,,) y (3,,,) y sus normas: In[9]: = pscalar[{,,,},{3,,,}] norma[{,,,}] norma[{3,,,}] Out[9]: = 8 Por último calculmos l ángulo qu forman: In[]: = angulo = ArcCos[ ]/Dgr//N Out[]: = 9.9366. MÉTODO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT. Sa (V, <, ) un spacio vctorial uclído y B = {,..., n } una bas d V. Dirmos qu B s una bas ortogonal si los vctors qu la forman son ortogonals dos a dos, sto s: < i, j =, i j. S dic qu B s una bas ortonormal si s ortogonal y admás todos los vctors qu la forman tinn norma, sto s: i =, i=,...,n. Torma d Gram-Schmidt Sa (V, <,) un spacio vctorial uclído y sa B = {u,...,u n } una bas d V, ntoncs xist una bas ortogonal (rsp. ortonormal) {,..., n } d V d forma qu para cada k s vrifica L({u,...,u k }) = L({,..., k }). Considrmos (V, < ) un spacio vctorial uclído y dada B = {u, u,..., u n } una bas d V, tratamos d construir una bas ortogonal qu rprsntarmos por {,,..., n }, para llo s calcula: = u,... n = u = u... n < u,... < u.., n. n n- n- Si lo qu qurmos s una bas ortonormal bastará con dividir cada vctor por su norma. Ejmplo 6.4. Considrmos 3 con l producto scalar usual. Dada la bas B = {(,,), (,-,), (,,-)} calcular la bas ortogonal asociada.. < u...,. n- IV
Para mpzar introducimos B n Mathmatica inicializamos Bo la bas ortogonal como una lista d cros: In[]:= B={{,,},{,-,},{,,-}}; Bo=Tabl[,{i,,3}]; Tnindo n cunta l método d Gram-Schmidt s tin: In[]:= Bo[[]] = B[[]]; Bo[[]] = B[[]] ((B[[]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]]; Bo[[3]] = B[[3]] ((B[[3]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]] ((B[[3]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]]; Print[Bo] Out[]= {{,, }, {, -, }, {/, /, -}} Ejmplo 6.5. Considrmos n 4 l producto scalar dl jrcicio 6. y 6.3. Calcular la bas ortogonal asociada a la bas canónica d dicho spacio con st producto scalar. Rcordmos qu st producto scalar y su norma los tnmos dfinidos mdiant las funcions pscalar y norma rspctivamnt. Introducimos la bas canónica inicializamos Bo la bas ortogonal como una lista d cros: In[5]:= Bc=IdntityMatrix[4]; Bo=Tabl[,{i,,4}]; Tnindo n cunta l método d Gram-Schmidt vamos a calcular la bas ortogonal asociada a Bc con st producto scalar: In[6]:= Bo[[]] = Bc[[]]; Bo[[]] = Bc[[]] pscalar[bc[[]],bo[[]]]/norma[bo[[]]]^*bo[[]]; Bo[[3]] = Bc[[3]] pscalar[bc[[3]],bo[[]]]/norma[bo[[]]]^*bo[[]] pscalar[bc[[3]],bo[[]]]/norma[bo[[]]]^*bo[[]]; Bo[[4]] = Bc[[4]] pscalar[bc[[4]],bo[[]]]/norma[bo[[]]]^*bo[[]] pscalar[bc[[4]],bo[[]]]/norma[bo[[]]]^*bo[[]] pscalar[bc[[4]],bo[[3]]]/norma[bo[[3]]]^*bo[[3]]; Print[Bo] Out[6]= {{,,, }, {,,, }, {-/, -/,, }, {/6, /6,- /3, }} Para comprobarlo sólo ncsitamos calcular la matriz d Gram para la bas antrior, si dicha matriz s diagonal, ntoncs Bo srá una bas ortogonal y si la matriz d Gram qu s obtin s la idntidad, ntoncs Bo s una bas ortonormal. V
In[7]:=Tabl[pscalar[Bo[[i]],Bo[[j]]],{i,,4,},{j,,4,}]//MatrixForm Out[7]:= 3 5 3 Por último comntar qu Mathmatica tin un comando, Orthogonaliz, para calcular dirctamnt la bas ortonormal: Ejmplo 6.6. Calcular, usando la ordn Orthogonaliz, las bass ortonormals asociada a las bass 6.4 y 6.5 rspcto d los productos scalars dados n dichos jrcicios. In[8]:= B={{,,},{,-,},{,,-}}; Orthogonaliz[B]; Out[]= {{,, },{,, },{,, 3 3 3 6 6 }} 3 In[9]:= Bc=IdntityMatrix[4]; Orthogonaliz[Bc,pscalar] Out[9]= {{,,, },{,,, },{ - -,, 3 3, },{,, 3 5 5 -, 5 3 }} 5 VI